第三章代数式（暑假单元测试卷）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 2026-2027学年七年级上学期第三章代数式单元卷，90分钟120分，聚焦代数式书写、求值、实际应用及规律探究，融合抽象能力、运算能力与模型意识，适配暑假巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|代数式书写规范、求值、实际意义|第4题结合土豆价格等情境考查代数式意义，体现应用意识| |填空题|6/18|规律探究、古代数学问题|第15题引用《孙子算经》“物不知数”渗透文化传承，第16题正方形图案规律培养抽象能力| |解答题|8/72|代数式表示、实际应用（运费/购票）、几何与代数结合|第20题运费问题构建模型，第23题购票方案对比提升应用能力，第24题三角形点阵规律发展推理意识|

2026-2027学年七年级上学期单元测试卷 第三章 代数式 数学·全解全析 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各式中，书写格式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项即可． 【详解】解：A、数字与数字相乘不能用点或省略乘号，应该写成，不符合题意； B、符合代数式书写格式，符合题意； C、应改写成，不符合题意； D、应改写成，不符合题意； 故选：B． 2．当a=-3时，下列代数式的值为正数的是（　　） A．-a-3 B．a3-1 C．-|a| D．-8+a2 【答案】D 【解析】解：当a=-3时， A、-a-3=0，故不符合题意； B、 a3-1=（-3）3-1=-28＜0，故不符合题意； C、-|a| =-3＜0，故不符合题意； D、 -8+a2 =-8+（-3）2=1＞0，故符合题意； 故答案为：D. 3．“4与x的平方的积”可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是列代数式，的平方可以写成，再与4的积，可以写成，即可得出答案． 【详解】的平方可以写成，再与4的积，可以写成， 故选：B． 4．给代数式赋予实际意义，下列四个例子中错误的是（　　） A．若土豆的价格是3元/，则表示买土豆的金额 B．若 表示一个等边三角形的边长，则表示这个等边三角形的周长 C．若一个两位数十位上的数字为3，个位上的数字为，则这个两位数可表示为 D．某文具的进价为元，已知销售这种文具能盈利50%，则销售两件这种文具的销售额为 元 【答案】C 【解析】解：A、根据“单价×数量＝总价”可知表示买a kg土豆的金额，故不符合题意； B、由等边三角形周长公式可得表示这个等边三角形的周长，故不符合题意； C、由题可知，这个两位数用字母表示为，故符合题意； D、由“售价＝进价＋利润”得售价为 元，则(元)，故不符合题意． 故答案为：C． 5．若，则的值为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查的是求代数式的值，把整体代入变形后的代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选：C． 6．“△”表示一种运算符号，其意义是：，那么等于（　　） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的混合运算，新定义运算的含义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据新定义运算的运算法则先列式，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 7．一个两位数，十位上的数字是a（为的整数），个位上的数字是6，能表示这个两位数的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，关键是掌握两位数的表示方法． 根据两位数的表示方法：十位数字个位数字，列式即可． 【详解】解：根据题意得，能表示这个两位数的式子是：． 故选：C． 8．观察下列算式：…，则第n个算式的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是考查数字变化规律．观察出算式中结果与算式的序号之间的关系即可得到答案． 【详解】解：观察算式，第1个结果为， 第2个为， 第3个为， 第4个为， …， 第n个为， 故选：A． 9．已知a、b互为相反数，互为倒数，x是最大的负整数，则的值为（    ） A．0 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了求代数式的值，掌握相反数，倒数的定义是解题的关键．根据题意，得到，，，代入计算即可得到答案． 【详解】解：a、b互为相反数， ， 互为倒数， ， x是最大的负整数， ， ， 故选：B． 10．等边在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为和．若绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转一次后点所对应的数为，则连续翻转次后点所对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及数轴，根据题中所给翻转方式，依次得出数轴上表示，，，，，由此可见，点，，依次与数轴上表示，，等整数的点重合且每个数一个循环，又因为，所以经过个循环后又翻转一次，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：由题知，翻转一次后点所对应的数为， 翻转二次后点所对应的数为，点所对应的数为， 翻转三次后点所对应的数为， 翻转四次后点所对应的数为， 翻转五次后点所对应的数为，点所对应的数为， 翻转六次后点所对应的数为， 由此可见，点，，依次与数轴上表示，，等整数的点重合且每个数一个循环， 又因为， 所以经过个循环后又翻转一次， 所以翻转次后点所对应的数为， 故选：． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，代数式求值，根据绝对值的非负性求得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．用含有字母的式子填空，草莓的亩产量由增长，就达到 ． 【答案】 【分析】本题考查了百分数的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． 根据草莓的亩产量由增长即可列代数式． 【详解】解：∵草莓的亩产量由增长， ∴达到了 故答案为：． 13．“三天打鱼，两天晒网”，是古代渔民的耕作规律，那么第天渔民在 ． 【答案】打鱼 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，由题意可知天一个循环，据此解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴第天渔民在打鱼， 故答案为：打鱼． 14．根据如图所示的运算程序，若输入x，y的值分别为，，则输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值．根据运算程序，把、分别代入进行计算即可得解． 【详解】解：当、时， ， 所以，输出的值是． 故答案为：． 15．《孙子算经》是中国古代时期重要的数学专著，其中包含了“鸡兔同笼”“物不知数”等许多有趣的数学问题．《孙子算经》中记载：“今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”其译文为：“有一个正整数，除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的正整数．”请用含k (k为自然数）的代数式表示满足条件的所有正整数　 　. 【答案】105k+23 【解析】解：∵一个正整数，除以3余2，除以7也余2 ∴这个正整数除以21也余2 ∵除以21余2的最小正整数是23 而 ∴满足条件的最小正整数为23 ∵3、5、7的最小公倍数为3×5×7=105 ∴满足条件的所有正整数 可以表示为： 105k+23 故答案为： 105k+23 16．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有个正方形，第个图案中有个正方形，第个图案中有个正方形……按此规律排列下去，则第个图案中正方形的个数为 个． 【答案】 【分析】本题考查图形类规律探究，正确得出规律是解题关键．观察可知，第个图案中有个正方形，后一个图案比前一个图案多个正方形，据此进行作答即可． 【详解】解：第个图案中有个正方形， 第个图案中有个正方形， 第个图案中有个正方形， …… ∴第个图案中有个正方形， ∴第个图案中正方形的个数为个正方形． 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）用代数式表示： (1)长为cm、宽为cm的长方形的周长是多少？ (2)开学时爸爸给小强元，小强买文具用去了元，还剩多少元？ (3)某机关原有工作人员人，被抽调下基层工作后，留在该机关工作的还有多少人？ (4)甲每小时走千米，乙每小时走千米，两人同时同地出发反向行走，小时后，他们之间的距离是多少？ 【答案】(1)cm (2)元 (3)人 (4)千米 【分析】本题考查了列代数式，理解题意是解题关键． （）根据长方形周长公式 “周长(长宽)”，直接代入长和宽，得到代数式； （）根据小强剩下的钱数开学爸爸给小强钱数小强买文具用的钱数，列出式子即可； （）先算出抽调的人数 (原有人的，即)，再用“原有人数抽调人数”，得到； （）根据“路程速度时间”，分别算出甲、乙小时走的路程，反向行走时总距离为两人路程之和是千米； 【详解】（1）解：∵长方形长为、宽为， ∴长方形的周长是； （2）∵剩余钱数总钱数花费钱数， ∴由题意得：小强还剩元； （3）∵原有工作人员人，被抽调下基层工作， ∴留在该机关工作的还有人； （4）∵甲每小时走千米，乙每小时走千米， ∴小时后，甲走的路程千米，乙走的路程千米， ∵两人同时同地出发反向行走， ∴甲、乙之间的距离是千米， 即千米. 18．（8分）当时，求下列代数式的值． (1) (2)． 【答案】(1)49 (2)49 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，正确计算是解题的关键． （1）先计算得，则，即可作答． （2）先计算得，而．即可作答． 【详解】（1）解： （2）解： 19．（8分）规定一种新运算“”，即，例如，根据规定完成下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的加减法，解题的关键是找准对应的值． （1）根据计算即可，相当于，； （2）先计算为，再计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 20．（10分）某市的 地和 地秋季育苗，急需化肥分别为 吨和 吨，该市的 地和 地分别储存化肥 吨和 吨，全部调给 地和 地，已知从 、 两地运化肥到 、 两地的运费（元/吨）如下表所示 出发地 目的地 元/吨 元/吨 元/吨 元/吨 （1）设 地运到 地化肥为 吨，则 地运到 地的化肥为　 　吨， 地运到 地的化肥为　 　吨， 地运到 地的化肥为　 　吨； （2）用含 （吨）代数式表示表示总运费 （元），并写出 时的总运费. 【答案】（1）；； （2）解：根据题意可知： ， 当 时， ， ∴当 时，总费用为3750元. 【解析】解：（1）∵C地储存化肥100吨，且C地运到A地化肥为x吨， ∴C地运到B地化肥为(100-x)吨， 又∵A地急需化肥分别为80吨， ∴D地运到A地化肥为 (80-x) 吨， 又∵B地急需化肥70吨， ∴D地运到B地化肥为 吨， 故答案为：(100-x)， (80-x) ， (x-30) ； 21．（10分）如图，沿长方形纸片上的虚线剪下的阴影部分，恰好能围成一圆柱，设圆半径为，高为 (1)用含的代数式表示圆柱的体积； (2)当，，求圆柱的体积和表面积（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)体积为，表面积为 【分析】本题考查了圆柱的表面积公式和体积公式． （1）根据圆柱的体积公式作答即可； （2）分别根据圆柱的体积公式和圆柱的表面积公式作答即可． 【详解】（1）圆柱体积公式为底面积乘高，底面积是，高是，所以体积是． （2）当，时，体积：； 表面积：． 22．（10分）我们自从有了用字母表示数，发现表达有关的数和数量关系更加的简洁明了，从而更助于我们发现更多有趣的结论，请你按要求试一试： （1）填空：用代数式表示： ①a与b的差的平方是 　 　； ②a与b两数的平方和与a，b两数积的2倍的差是 　 　． （2）当a＝4，b＝﹣3时，求第（1）题中①②所列的代数式的值． （3）观察第（2）题两个代数式的值，你发现两个代数式之间有什么关系，请用式子表示出来． （4）利用（3）中的关系式计算：108.52﹣2×108.5×58.5+58.52． 【答案】（1）①(a－b)2 ②a2－2ab+b2（或a2+b2－2ab） （2）当a＝4，b＝－3时，a2－2ab+b2＝42－2×4×（－3）+（－3）2＝49， （a－b）2＝（4+3）2＝49； （3）由（2）得：a2－2ab+b2=（a－b）2； （4）由（3）得：108.52－2×108.5×58.5+58.52＝（108.5－58.5）2＝2500 23．（10分）某校组织七年级学生在暑假去游乐场游玩，采取线上问卷的方式征求家长和学生的意见自愿报名．每张门票原价是30元，暑假期间有优惠促销，预计有n人报名． 方案一：30人以上（含30人）可购团体票，每张按九折出售． 方案二：每买9张送1张，不满9张不赠送． 方案三：每满500元返还50元． (1)请你用含n的代数式表示方案一的费用． (2)最后一共有61名学生报名参加．请你算一算，哪种购票方案最划算？ 【答案】(1)当时，费用为元，当时，费用为元， (2)方案一购票方案最划算． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，列代数式，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）分两种情况列代数式即可； （2）根据题意，运用有理数的混合运算法则计算每种方案的钱数，比较即可． 【详解】（1）解：当时，费用为元， 当时，费用为元， （2）方案一：人以上可购团体票，每张按九折出售， （元）； 方案二每买9张送1张，即花9张票的钱可得10张票， 61人需61张票，可认为需要6组10张票和1张单票， 因此需买6组“9送1”的票并单买1张， 共需付费的票数为 （张），费用为 （元）； 方案三：每满元返还元， （元），， ∴（元）； ∵， ∴第一种购票方案最划算． 24．（12分）如图是一个三角形点阵，从上到下有无数多行，其中第一行、第二行、第三行、第四行、第五行分别有1，3，5，7，9个点，……，如此，按上述规律排列： (1)第6行有 个点，第10行有 个点；第行有 个点； (2)猜想三角形点阵前行的点数的和是多少？（用含的式子表示） 三角形点阵前行的点数的和能否为75？请简要说明理由． 【答案】(1)11，19， (2)个；不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了数字变化的规律问题，用代数式表示， （1）根据点阵的变化特点得出规律，即可解答； （2）①根据排列得出规律，进而得出代数式；②将数值代入计算即可． 【详解】（1）第一行有1个点； 第二行有个点； 第三行有个点； 第四行有个点； 第6行有个点； 第10行有个点； 第n行有个点； 故答案为：11，19，； （2）前一行有1个点； 前二行点数和是个点； 前三行点数和是个点； 前四行点数和是个点； 前n行的点数和是； ②不能，理由如下： 根据题意可知， 解：n不是整数，所以不能． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上学期单元测试卷 第三章 代数式 数学 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各式中，书写格式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．当a=-3时，下列代数式的值为正数的是（　　） A．-a-3 B．a3-1 C．-|a| D．-8+a2 3．“4与x的平方的积”可表示为（    ） A． B． C． D． 4．给代数式赋予实际意义，下列四个例子中错误的是（　　） A．若土豆的价格是3元/，则表示买土豆的金额 B．若 表示一个等边三角形的边长，则表示这个等边三角形的周长 C．若一个两位数十位上的数字为3，个位上的数字为，则这个两位数可表示为 D．某文具的进价为元，已知销售这种文具能盈利50%，则销售两件这种文具的销售额为 元 5．若，则的值为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 6．“△”表示一种运算符号，其意义是：，那么等于（　　） A．1 B． C．5 D． 7．一个两位数，十位上的数字是a（为的整数），个位上的数字是6，能表示这个两位数的式子是（    ） A． B． C． D． 8．观察下列算式：…，则第n个算式的结果为（    ） A． B． C． D． 9．已知a、b互为相反数，互为倒数，x是最大的负整数，则的值为（    ） A．0 B．2 C． D．1 10．等边在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为和．若绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转一次后点所对应的数为，则连续翻转次后点所对应的数是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若，则 ． 12．用含有字母的式子填空，草莓的亩产量由增长，就达到 ． 13．“三天打鱼，两天晒网”，是古代渔民的耕作规律，那么第天渔民在 ． 14．根据如图所示的运算程序，若输入x，y的值分别为，，则输出的值为 ． 15．《孙子算经》是中国古代时期重要的数学专著，其中包含了“鸡兔同笼”“物不知数”等许多有趣的数学问题．《孙子算经》中记载：“今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”其译文为：“有一个正整数，除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的正整数．”请用含k (k为自然数）的代数式表示满足条件的所有正整数　 　. 16．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有个正方形，第个图案中有个正方形，第个图案中有个正方形……按此规律排列下去，则第个图案中正方形的个数为 个． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）用代数式表示： (1)长为cm、宽为cm的长方形的周长是多少？ (2)开学时爸爸给小强元，小强买文具用去了元，还剩多少元？ (3)某机关原有工作人员人，被抽调下基层工作后，留在该机关工作的还有多少人？ (4)甲每小时走千米，乙每小时走千米，两人同时同地出发反向行走，小时后，他们之间的距离是多少？ 18．（8分）当时，求下列代数式的值． (1) (2)． 19．（8分）规定一种新运算“”，即，例如，根据规定完成下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 20．（10分）某市的 地和 地秋季育苗，急需化肥分别为 吨和 吨，该市的 地和 地分别储存化肥 吨和 吨，全部调给 地和 地，已知从 、 两地运化肥到 、 两地的运费（元/吨）如下表所示 出发地 目的地 元/吨 元/吨 元/吨 元/吨 （1）设 地运到 地化肥为 吨，则 地运到 地的化肥为　 　吨， 地运到 地的化肥为　 　吨， 地运到 地的化肥为　 　吨； （2）用含 （吨）代数式表示表示总运费 （元），并写出 时的总运费. 21．（10分）如图，沿长方形纸片上的虚线剪下的阴影部分，恰好能围成一圆柱，设圆半径为，高为 (1)用含的代数式表示圆柱的体积； (2)当，，求圆柱的体积和表面积（用含的式子表示）． 22．（10分）我们自从有了用字母表示数，发现表达有关的数和数量关系更加的简洁明了，从而更助于我们发现更多有趣的结论，请你按要求试一试： （1）填空：用代数式表示： ①a与b的差的平方是 　 　； ②a与b两数的平方和与a，b两数积的2倍的差是 　 　． （2）当a＝4，b＝﹣3时，求第（1）题中①②所列的代数式的值． （3）观察第（2）题两个代数式的值，你发现两个代数式之间有什么关系，请用式子表示出来． （4）利用（3）中的关系式计算：108.52﹣2×108.5×58.5+58.52． 23．（10分）某校组织七年级学生在暑假去游乐场游玩，采取线上问卷的方式征求家长和学生的意见自愿报名．每张门票原价是30元，暑假期间有优惠促销，预计有n人报名． 方案一：30人以上（含30人）可购团体票，每张按九折出售． 方案二：每买9张送1张，不满9张不赠送． 方案三：每满500元返还50元． (1)请你用含n的代数式表示方案一的费用． (2)最后一共有61名学生报名参加．请你算一算，哪种购票方案最划算？ 24．（12分）如图是一个三角形点阵，从上到下有无数多行，其中第一行、第二行、第三行、第四行、第五行分别有1，3，5，7，9个点，……，如此，按上述规律排列： (1)第6行有 个点，第10行有 个点；第行有 个点； (2)猜想三角形点阵前行的点数的和是多少？（用含的式子表示） 三角形点阵前行的点数的和能否为75？请简要说明理由． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $