第三章 代数式（暑假单元自测）新七年级数学新教材人教版

**基本信息** 人教版初中数学第三章代数式单元卷，覆盖代数式表示、求值、规律探究等核心知识点，结合生活情境、文化传承与程序设计，梯度分明，适合暑假巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|10/30|代数式书写规范、程序框图求值（第3题）、毕达哥拉斯形数规律（第6题）|基础巩固与抽象能力结合| |填空|6/18|售价计算（第11题）、火柴棍图案规律（第13题）、折叠面积探究（第16题）|生活应用与几何直观| |解答|8/72|新运算定义（第19题）、进位制转换（第23题，结合十二地支文化）、规律推导（第24题，三角形数阵求和）|创新应用与推理意识，体现数学语言表达|

第三章 代数式 单元自测卷 【新教材，人教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．某文具店笔记本单价为a元，圆珠笔单价为b元，购买3本笔记本、5支圆珠笔总费用为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列代数式，能够熟练掌握数学中常见的数量关系为解题的关键． 本题根据“总价=单价×数量”的关系，分别计算两种商品的总价，再求和得到总费用即可． 【详解】解：∵ 笔记本单价为元，购买本， ∴ 购买笔记本的总费用为元， ∵ 圆珠笔单价为元，购买支， ∴ 购买圆珠笔的总费用为元， ∴ 购买两种商品的总费用为（元）． 2．下列各式中：①；②；③人；④；⑤．其中符合代数式书写要求的个数有(    ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【详解】解：①带分数作字母系数时，必须化为假分数，因此不符合要求； ②代数式中除法运算需要写成分数形式，不能直接使用除号，因此不符合要求； ③加减形式的代数式带单位时，需要给整体代数式加括号，因此人不符合要求； ④数字与数字相乘不能使用点乘，必须用乘号连接，因此不符合要求； ⑤符合代数式的书写要求． ∴符合书写要求的式子共1个，故选C． 3．根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（　　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】解题思路是按照流程图的步骤，依次代入的值计算，直到结果大于0，再输出对应的值．本题考查流程图的逻辑运算，涉及的知识点是有理数的混合运算．解题中用到的方法是逐步代入法，按照流程步骤依次计算并判断．解题关键是准确执行每一步运算，注意循环代入的条件．易错点是遗漏循环步骤，直接输出第一次计算的结果． 【详解】输入： 平方：； 乘3：； 减5：，返回输入； 输入： 平方：； 乘3：； 减5：，输出． 故选A． 4．若，则的值是（     ） A．5 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ， ∴． 5．已知时，代数式的值为14，则时，代数式的值为（　　） A． B． C．12 D．7 【答案】A 【分析】将代入，得到a与b的关系式，再将代入并利用a与b的关系式求值即可． 【详解】解：当时，， 解得， 则当时， ． 6．古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“形数”的研究最为突出，有效印证了“凡物皆数”的观点．观察下图的点阵图形，依次排列下去，根据点数的变化规律，则第10幅图中的点数为（     ） A．37 B．33 C．20 D．29 【答案】A 【分析】先列举前三幅图中点的个数，以此类推即可解答． 【详解】解：第1幅图中的点数为1； 第2幅图中的点数为； 第3幅图中的点数为； …… 第10幅图中的点数为． 7．已知，当时，；当时，；当时，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先代入求得，再代入得到，最后将代入并整体代入，算出． 【详解】 解：把，代入， 得：， ∴， 把，代入， 得： ， 整理得， 把代入， 得：， 代入， 得：． 8．已知a，b互为倒数，x、y互为相反数，n的绝对值是2，m是最大的负整数，则代数式的值为（     ）． A． B． C．1 D．7 【答案】C 【分析】先求出，，，，再代入计算即可． 【详解】解：∵互为倒数，互为相反数， ∴，， ∵的绝对值是2， ∴， ∴， ∵是最大的负整数， ∴， ∴． 9．如图，学校计划用篱笆围成一个长方形花圃．为充分利用资源，该长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面用篱笆围成，中间再用两道篱笆分成3个长方形分别种植不同品种的花卉，所用篱笆总长为24米．设的长度为米，则长方形花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设的长度为米，则的长度为米， 则长方形花圃的面积为． 10．观察下列等式：； ； ； 根据以上规律计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知等式总结规律，再将所求式子变形，计算即可． 【详解】解：由已知等式可归纳出规律： 令，代入得： ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．一种商品的标价为元，按标价的七折出售，则这件商品的售价是__________元． 【答案】 【分析】明确打折的含义，七折出售即按标价的倍出售，据此列出代数式即可. 【详解】解：已知商品标价为元，按标价的七折出售， 因此售价为元. 12．呼和浩特市某景点的成人票价是每张元，儿童票价是每张元．某旅行团有名成人和名儿童，则该旅行团应付门票费用总和为________元． 【答案】 【分析】利用“总价单价数量”，分别求出成人总票价、儿童总票价，再相加得到门票总费用． 【详解】解：成人票单价30元，一共名成人， 成人门票费用：元； 儿童票单价18元，一共名儿童， 儿童门票费用：元； 总费用成人费用儿童费用， 应付门票费用总和为：元． 13．用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，……，若按此规律拼下去，则第26个图案需要火柴棍的根数为______． 【答案】162 【分析】观察图形，得出规律第个图案需要火柴棍的根数为根，再代入，计算即可得出结果． 【详解】解：第①个图案需要火柴棍的根数为根， 第②个图案需要火柴棍的根数为根， 第③个图案需要火柴棍的根数为根， …， ∴第个图案需要火柴棍的根数为根， 故第26个图案需要火柴棍的根数为根． 14．代数式的值为7，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】由已知条件可得的值，将所求代数式变形后，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ， ． 15．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，根据如图所示的计算程序，当输入时，输出的结果为__________． 【答案】1 【分析】利用程序图中的程序将代入计算即可． 【详解】解：当输入时，原式， 将代入得：． 故输出结果为1． 16．将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，…，第n次对折后得到的图形面积为，则________． 【答案】 【分析】根据翻折变换表示出所得图形的面积，再根据各部分图形的面积之和等于正方形的面积减去剩下部分的面积进行计算即可得解． 【详解】解：由题意知，，，，…，， 剩下部分面积为， ∴． 三、解答题（第17--第22题，每题8分；第23，24题，每题12分；共8小题，共72分） 17．（1）计算： （2）当时，求的值． 【答案】（1）1 （2） 【分析】本题主要考查有理数的乘除运算，代数式的代入求值． （1）先算乘除，再算加减即可求解； （2）代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ∴ 18．已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，m的绝对值是2，求式子的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了相反数，倒数，求一个数的绝对值，求代数式的值． 根据互为相反数的两个数和为零，倒数的定义，绝对值的定义，推出，进而分当时或当时，代入代数式求解，即可解题． 【详解】解： a和b互为相反数，c和d互为倒数，m的绝对值是2， ， 当时， ； 当时， ． 19．已知x，y为有理数，现规定一种新运算※，满足． (1)求的值； (2)求的值； (3)探究：和的关系；任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入和中，在运算后，你有什么发现？ 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查定义新运算和有理数的混合运算，正确掌握有理数的混合运算的法则是解题的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）根据，代入计算即可； （3）选择两个满足题意的有理数代入计算，观察结果即可． 【详解】（1）解：； （2）， ， 则原式； （3）选择和， 则，， ； 我发现在运算后，它们的值相等． 补充一般性结论，即的证明： 设这两个有理数分别为， 则，， ∴． 20．学校图书馆计划将一批图书搬运到新馆存放，每小时搬运的本数与搬运所需的小时数之间的关系如下表． 每小时搬运的本数 30 20 15 6 搬运所需的小时数 4 6 8 20 (1)用式子表示与的关系，并说明与成什么比例关系； (2)若，求的值． 【答案】(1)，反比例关系 (2) 【分析】此题考查了反比例关系解实际问题， （1）根据题意得到，求出，进而得到与成反比例关系； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴，与成反比例关系； （2）解：当时，． 21．七年级学生计划去某科技馆研学，科技馆有两种购票方案： 方案一：每人收费60元； 方案二：固定基础费用500元，然后再每人收费40元． (1)若学生人数为x，请分别用含x的代数式表示方案一和方案二的费用； (2)当学生人数为30时，哪种方案的费用更优惠？ 【答案】(1)方案一的费用为元；方案二的费用为元； (2)方案二更优惠 【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，结合学生人数为x，以及方案一和方案二的收费方式进行列式，即可作答． （2）分别算出当学生人数为30时，方案一和方案二的费用，再进行比较，即可作答． 【详解】（1）解：∵学生人数为x， ∴方案一的费用为元；方案二的费用为元； （2）解：由（1）得方案一的费用为元；方案二的费用为元； 当时，则（元）， （元）， ∵， ∴当学生人数为30时，方案二的费用更优惠． 22．如图是一种数值转换的运算程序： (1)若第1次输入的数为，则第2次输出的数为________； (2)若第1次输入的数为，则第5次输出的数为________； (3)若第1次输入的数为8，求第2019次输出的数是多少？ 【答案】(1)5 (2)1 (3)1 【分析】本题主要考查代数式的值及数字规律，解题的关键理解题中的数值转换的运算程序； （1）根据是奇数，然后代入数值转换运算即可； （2）根据是偶数，然后代入数值转换运算即可； （3）由题意易得第1次输出的数为，第2次输出的数为；第3次输出的数为；第4次输出的数为；第5次输出的数为；….；由上可知：规律为按照4、2、1每3次一循环出现，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由数值转换运算程序可知：把代入， ∴第2次输出的数为； 故答案为：5； （2）解：由数值转换运算程序可知：把代入， ∴第2次输出的数为；第3次输出的数为；第4次输出的数为；第5次输出的数为； 故答案为：1； （3）解：由题意得： 第1次输入的数为8，则第1次输出的数为， ∴第2次输出的数为；第3次输出的数为；第4次输出的数为；第5次输出的数为；….； 由上可知：规律为按照4、2、1每3次一循环出现， ∵， ∴第2019次输出的数为1． 23．综合与实践： 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制数一般不标注基数． 材料一：十进制数中的表示个千，表示个百，表示个十，表示个一，于是我们得到了下面的式子（规定当时，）：． 例如，二进制数，转换为十进制数为：． 材料二：将十进制数转化为二进制数可以用除取余法， 例如，将十进制数转换为二进制数的除法算式如图，将上式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得． 此方法可推广为把十进制数转换为进制数的算法（除取余法）． 根据上述材料解答下列问题： (1)【任务一】二进制数对应的十进制数是________，十进制数对应的二进制数为________． (2)【任务二】中国古代的十二地支，十二生辰，十二生肖等都属于十二进制的应用．十二进制使用，，，，，，，，，，，来记数，其中代表，代表．请结合以上材料计算十进制数对应的十二进制数为________． (3)【任务三】有一种密钥破解方式，先将二进制明码数转成十进制数后，再按以下规则获得密码：当为奇数时，破解公式为，当为偶数时，破解公式为．求出二进制明码破解后的密码． 【答案】(1)13， (2) (3)37 【分析】（1）根据二进制和十进制数的转换关系，即可获得答案； （2）理解题意，先模仿题干解题过程，即可作答； （3）先将转换成十进制数，再根据题意求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴二进制数对应的十进制数是13； ， ∴十进制数对应的二进制数为； （2）依题意，（最低位为10）， （次低位为3）， （最高位为3）， ∴， 即十进制数对应的十二进制数为； （3） ， ∵77是奇数， ∴破解公式为， 即二进制明码破解后的密码为37． 24．综合与实践． 【问题情境】 在小学我们学习过用图示法求的方法：如图①，从第层至第层，分别有，，，，个小圆圈；将图①旋转后拼成如图②． 【问题呈现】 (1)图②中，每层有小圆圈______个；共有小圆圈______个； (2) ______； (3)数学思考∶如何求？小明同学根据上面的启示设计了如图③所示三角形数阵型： 第行圆圈中的数为，即；第行两个圆圈中数的和为，即；；第行个圆圈中数的和为 (个)，即．这样，该三角形数阵中所有圆圈中的数的和为．为了求这个和，他将三角形数阵型经过如图④所示的两次旋转．观察旋转前后三个三角形数阵型，发现三个三角形数阵型中各行同一位置上三个圆圈里面的数的和均为______； (4)图③、④中三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为： ______； (5)求的值． 【答案】(1)； (2) (3)； (4) (5) 【分析】根据图形解答即可求解； 根据的结果即可求解； 根据图形解答即可求解； 根据的结果即可求解； 把原式转化为，再利用的结果解答即可求解． 【详解】（1）解：图②中，每层有小圆圈个； ∵每层有小圆圈个，共有层, ∴共有小圆圈个； （2）解：∵图②中共有小圆圈个， ∴图①中共有小圆圈个， 即； （3）解：由图可得，同一位置上三个圆圈里面的数的和均为； （4）解：∵每个位置上三个圆圈中数的和均为， ∴图③、④中三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：； （5）解：∵， ∴， ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三章代数式单元自测卷 【新教材，人教版】 (考试时间：90分钟试卷满分：120分) 考前须知： 1.本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2.本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.某文具店笔记本单价为a元，圆珠笔单价为b元，购买3本笔记本、5支圆珠笔总费用为() A.3a+5b B.5a+3b C.8ab D.3(a+5b) 2.下列各式中：①3号0：②(a-bc:③n-3人：④2.51⑤25ib:其中符合代数式书写要求的个数 有() A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 3.根据流程图中的程序，若输入x的值为-1，则输出y的值为( 输入x平方乘3一 减去5→<结果大于0 输出y 否 A.7 B.8 C.9 D.10 4.若a2-3b=1,则-3a2+9b+2的值是() A.5 B.1 C.-5 D.-1 5.已知x=1时，代数式ax3+bx+2的值为14，则x=-1时，代数式ax+bx-5的值为() A.-17 B.-15 C.12 D.7 6.古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“形数”的研究最为突出，有效印证了“凡物皆数”的观点.观察下 图的点阵图形，依次排列下去，根据点数的变化规律，则第10幅图中的点数为() 116 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1幅 第2幅 第3幅 第4幅 A.37 B.33 C.20 D.29 7.已知y=ax+bx+c,当x=0时，y=2;当x=1时，y=8;当x=-1时，y的值是() A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 8.已知a,b互为倒数，x、y互为相反数，的绝对值是2，m是最大的负整数，则代数式 6 x+y- 4b-2mm的值为(）. A.-7 B.-1 C.1 D.7 9.如图，学校计划用篱笆围成一个长方形花圃ABCD.为充分利用资源，该长方形花圃一面靠墙（墙足 够长)，另外三面用篱笆围成，中间再用两道篱笆分成3个长方形分别种植不同品种的花卉，所用篱笆总 长为24米.设BC的长度为X米，则长方形花圃ABCD的面积为() A A.x(24-4x） B.x(12-x) c24n.6 10.观察下列等式：(x-1)(x+1)=x2-1: (x-1(x2+x+1)=x3-1: (x-10(x3+x2+x+1)=x4-1; 根据以上规律计算3225+32024+325+3202+.+33+32+3+1的值是（) A 32026-1 32026 2 B.32026-1 C. 2 D.32026+1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.一种商品的标价为a元，按标价的七折出售，则这件商品的售价是 元 12.呼和浩特市某景点的成人票价是每张30元，儿童票价是每张18元.某旅行团有X名成人和y名儿童， 则该旅行团应付门票费用总和为 一元 216 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小 等边三角形围成2个小菱形，…，若按此规律拼下去，则第26个图案需要火柴棍的根数为 ② ③ 14.代数式x2+x+3的值为7，则代数式-2x2-2x+2026的值为， 15.程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，根据如图所示的计算程序，当输入x=1时， 输出的结果为 结果不为正数 结果为正数 输入x 计算x2-3 输出结果 16.将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为S,第2次对折 后得到的图形面积为S2,…,第n次对折后得到的图形面积为Sn,则S+S+S+…+S26= S2 S2 三、解答题（第17-第22题，每题8分：第23,24题，每题12分：共8小题，共72分） 17.(1)计算：（-5)×(-1)+8÷(-2) 1 (2)当a=2时，求a-a-2a的值. 18.已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，m的绝对值是2，求式子 a+b -cd+m的值 m 19.已知x,y为有理数，现规定一种新运算※，满足※y=y+1. (1)求2※4的值： (②)求(1※4)※(-2)的值； (3)探究：口※◆和◆※如的关系；任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入口和。中，在运算 后，你有什么发现？ 20.学校图书馆计划将一批图书搬运到新馆存放，每小时搬运的本数v与搬运所需的小时数h之间的关系如 下表 316 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 每小时搬运 30 20 15 6 的本数v 搬运所需的 4 8 20 小时数h (I)用式子表示h与v的关系，并说明h与v成什么比例关系； (2)若v=24,求h的值， 21.七年级学生计划去某科技馆研学，科技馆有两种购票方案： 方案一：每人收费60元： 方案二：固定基础费用500元，然后再每人收费40元. ()若学生人数为x,请分别用含x的代数式表示方案一和方案二的费用： (2)当学生人数为30时，哪种方案的费用更优惠？ 22.如图是一种数值转换的运算程序： x为奇数 x+3 输入x 输出 x为偶数 2 (1)若第1次输入的数为x=7,则第2次输出的数为 (2)若第1次输入的数为x=4,则第5次输出的数为 (3)若第1次输入的数为8，求第2019次输出的数是多少？ 23.综合与实践： 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几. 为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制数一般不标注基数 材料一：十进制数3721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到了下 面的式子（规定当a≠0时，a°=1）：3721=3×103+7×102+2×10+1×10°. 例如，二进制数(10112，转换为十进制数为：1×2+0×22+1×2+1×2°=11. 材料二：将十进制数转化为二进制数可以用除2取余法， 例如，将十进制数25转换为二进制数的除法算式如图，将上式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得 416 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25=(11001)2: 2 25 余数 低位 2 12 1 2 6 0 23 0 21 0 1 高位 此方法可推广为把十进制数转换为k进制数的算法（除k取余法）， 根据上述材料解答下列问题： ()【任务一】二进制数1101)2对应的十进制数是 一，十进制数17对应的二进制数为 (2)【任务二】中国古代的十二地支，十二生辰，十二生肖等都属于十二进制的应用.十二进制使用0,1， 2,3,4,5,6,7,8,9,X,Y来记数，其中X代表10，Y代表11.请结合以上材料计算十进制 数478对应的十二进制数为」 (③)【任务三】有一种密钥破解方式，先将二进制明码数转成十进制数X后，再按以下规则获得密码：当x为 3-x 奇数时，破解公式为2， 当x为偶数时，破解公式为2x+3·求出二进制明码(1001101)，破解后的密码。 24.综合与实践. 【问题情境】 在小学我们学习过用图示法求1+2+3+…+n的方法：如图①，从第1层至第n层，分别有1,2,3，…， n个小圆圈；将图①旋转后拼成如图②. ① ② 【问题呈现】 (1)图②中，每层有小圆圈个；共有小圆圈一个； (2)1+2+3+…+n= (3)数学思考：如何求1+2+32+…+n？小明同学根据上面的启示设计了如图③所示三角形数阵型： 516 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1行… 1) 旋转 第2行… 2)(2 n-1)(n 旋转， 第3行… 3)3)(3 3 3 第(0n-1)行… ⊙@ (n-)(n-)) (2)(3) a-1)(n m…③)② 第n行… (n)(n) (n)(n) 1(2)(3) -(n(n)a-) …(3)2)1 ③ ④ 第1行圆圈中的数为1，即12；第2行两个圆圈中数的和为2+2，即2：…；第n行n个圆圈中数的和为 n+n++n(们个m),即2.这样，该三角形数阵中所有圆圈中的数的和为1P+22+32++n2.为了求这 个和，他将三角形数阵型经过如图④所示的两次旋转.观察旋转前后三个三角形数阵型，发现三个三角形 数阵型中各行同一位置上三个圆圈里面的数的和均为 ； ④图③、④中三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3×(1+2+32++2)= (5)求212+222+232+…+30的值. 616