15.3.2等边三角形（7大题型·一题三变专项讲义）2026-2027学年人教版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦“等边三角形”核心知识点，作为特殊等腰三角形，系统梳理定义、性质（三边相等、三角均60°、三线合一、3条对称轴）、判定（三边/三角相等、等腰+60°）及含30°直角三角形性质，构建从基础到综合应用的学习支架。 该资料亮点在于题型分层设计，从基础应用到综合拓展再到最值问题，结合各地期末真题，培养学生几何直观与推理能力。易错点与解题技巧总结，帮助学生形成严谨思维，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识。

15.3.2 等边三角形 【新人教版】 【题型1 等边三角形的性质——基础简单应用】...............................................................................................2 【题型2 等边三角形的判定】...............................................................................................................................5 【题型3 等边三角形的性质与判定综合】...........................................................................................................9 【题型4 大（小）边对大（小）角】.................................................................................................................16 【题型5 等边三角形的性质——综合拓展应用】.............................................................................................19 【题型6 最值问题1——垂线段最短】..............................................................................................................28 【题型7 最值问题2——两点之间线段最短】..................................................................................................33 1. 定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 2. 等边三角形性质 · 三边全部相等； · 三个内角相等，每一个内角都等于60°； · 具备等腰三角形全部性质，三线合一适用于任意一条边、任意一个内角； · 轴对称图形，共有3条对称轴，分别为三条边上的垂直平分线。 3. 等边三角形判定 判定1：三边对应相等的三角形是等边三角形； 判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形； 判定3：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（常考）。 4. 重要推论：含30°角的直角三角形性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言：Rt△ABC，∠C=90°，∠A=30°，则BC=1/2AB。 逆用：直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则该直角边所对锐角为30°。 1.混淆判定条件，认为任意等腰三角形都是等边三角形； 2.三线合一乱用：等边三角形腰与底边无区别，但普通等腰三角形不可套用； 3.30°直角边结论只适用于直角三角形，普通三角形不可使用； 4.角度计算默认单角60°，忽略分类讨论。 1.判定提速：优先使用“等腰+60°”判定等边三角形； 2.线段倍半题型：出现30°直角，直接用直角边与斜边数量关系； 3.几何构造：遇60°、等边条件，常截取线段构造新等边三角形； 4.角度计算：等边内角固定60°，结合外角、内角和快速倒角。 题型一 等边三角形的性质——基础简单应用 【例1】（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，已知是等边三角形，点，分别在边，上，若，的周长为，，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相关知识是关键． 由等边三角形的性质可得，，结合可证明也是等边三角形，则． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：B． 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，等边三角形中，，与相交于点P，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得到，，结合，证明，得到，结合，可得，即得答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ． 【变式1-2】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，点P是等边三角形边上一点，于点M，于点N，若，，则______． 【答案】4 【分析】先利用等边三角形的性质可得：，，再根据垂直定义可得：，从而可得，然后分别在和中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，，从而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：是等边三角形， ，， ，， ， ，， ，， ，， ， ． 【变式1-3】（25-26八年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，在等边中，点分别在边上，且，与相交于点，于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴； (2)3 【分析】（1）根据全等三角形的性质，，然后根据全等三角形的判定定理即可得证． （2）根据全等三角形的性质得到，进一步得到，再根据含角的直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ， ， ． ∴， ∵， ∴． 题型二 等边三角形的判定 【例2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，是线段上一点，分别以、为边在同侧画等边和等边，连接交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) 证明：和为等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ； (2) 证明：连接， 由（1）知，   ， ，， 在和中 ， ， ， 是等边三角形． 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定． (1)根据等边三角形的性质可以得到，从而可得，利用可证，根据全等三角形的性质可证； (2)根据可知，利用可证，根据全等三角形的性质可知，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可证结论成立． 【详解】（1）略 （2）略 【变式2-1】（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，在中，，D是上一点，且，且，连接、、． (1)求的度数； (2)证明：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等角对等边、三角形内角和定理和两直线平行同位角相等，求得和利用“”证得，然后根据全等三角形对应角相等即可解答； （2）根据全等三角形对应边和对应角相等，求得，再根据有一个内角是的等腰三角形为等边三角形即可证得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 【变式2-2】（25-26八年级上·广西玉林·期末）如图，已知点是内的一点，，分别是点关于的对称点，连接，与分别相交于点，已知． (1)求的周长； (2)连接，若，判定的形状，并说明理由． 【答案】(1)10cm (2) 等边三角形，理由如下： 连接 分别是点关于的对称点， 垂直平分垂直平分， ， ，， ， ， ， 又， ， 是等边三角形. 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键． （1）根据轴对称的性质可得，，再结合三角形的周长公式可得答案； （2）根据轴对称的性质可得，，再结合角的和差运算可得，进而可结论． 【详解】（1）解：分别是点关于的对称点， 垂直平分，垂直平分 的周长为 （2）略 【变式2-3】（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，平分，，． (1)求证：； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) 证明：平分，，， ∴， ∴； (2) 解：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 由（）可知， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【分析】本题考查了角平分线的性质，等边三角形的判定，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由角平分线性质可得，然后通过等边对等角即可求证； （）由，，可得，所以，由（）可知，从而可得，则有，最后由等边三角形的判定方法即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 题型三 等边三角形的性质与判定综合 【例3】（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点N，连接、，以下说法：①，②，③，④中，正确的说法个数是（     ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】只要证明，是等边三角形，垂直平分线段即可一一判断． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ，， 线段沿翻折，得到线段， ，，，故②正确， ，，故①，③正确， ，， ， ， 是等边三角形， ，故④正确， 综上所述，正确的个数有4个． 【变式3-1】（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，已知，，，，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；③．其中正确的有（   ） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】结合等边三角形和的性质，利用可证，由全等三角形的性质可知①正确；由三角形内角和为易求的度数，可知②正确；连接，过分别作于，于，由可知，利用角平分线的判定可证平分，所以③正确；在上截取，利用可证，由全等三角形对应边相等易得，故④正确． 【详解】解：∵，，，， ∴和是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在与中，， ∴， ∴， 故①正确； 又∵，，， ∴， ∴， 故②正确； 连接，过分别作于，于，如图1， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴平分， 所以③正确； 如图2，在上截取， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 故④正确． 故选：C． 【变式3-2】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，是内部一点，关于、的对称点分别是点、点，连接分别与，交于点，点，连接，，下列结论：①若，则是等边三角形；②的周长等于线段的长；③平分；④．正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质及等边三角形的判定与性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质，依次对所给结论进行判断即可． 【详解】解：∵点关于、的对称点分别是点、点， ，，，． ，． 是等边三角形，故①正确． 由轴对称可知，，， ，故②正确． 由轴对称可知，，， ，． ， ． ． 平分，故③正确． ，， ． ， ． ，故④正确． 【变式3-3】（25-26八年级上·广西来宾·期末）（1）如图①，在中，，，是过点A的直线，于点D，于点E，且．求证：． （2）如图②，在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，且，请问是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线l上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，．若，试判断的形状． 【答案】 （1）证明：直线l，直线l， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）解：成立，证明如下： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）为等边三角形 【分析】（1）只需要证明，根据已知条件，结合全等三角形的判定定理即可解答； （2）运用类比的方法，同样可以证明； （3）结合（2）及已知条件，利用可以证明； 接下来根据全等三角形的性质可以得到，，至此问题即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）可知，， ，， 和均为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． 【点睛】根据“一线三等角”模型，准确证明三角形全等是正确解答此题的关键． 题型四 大（小）边对大（小）角 【例4】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查三角形的边角关系，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的边角关系定理：在一个三角形中，较大的角对较大的边． 【详解】解：在中， ∵，边的对角为，边的对角为， ∴， 即 ． 故选A． 【变式4-1】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在中，、、所对的边分别是a、b、c，若，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中“大角对大边”的性质．根据三角形中“大角对大边”的性质，由可直接得出其对边的大小关系． 【详解】解：∵在中，（已知）， 又∵三角形中大角对大边， ∴， 故选：D． 【变式4-2】（25-26八年级上·河北邯郸·期中）“在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大”，根据上述结论，判断下列说法： ①在中，如果，那么 ②在中，如果，且，那么是锐角三角形 ③在中，如果，那么 ④在中，如果，那么是锐角三角形 其中正确的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查三角形的边角关系，三角形的分类，等边三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． 根据“大边对大角”的性质及三角形内角和定理判断各说法；①③④正确，②错误． 【详解】解：∵在中，， ∴根据大边对大角，对，对，对， ∴，故①正确． ∵且， ∴且， 又∵， ∴， 若，则为钝角三角形，故②错误． ∵， ∴， 又∵最小，对应对角最小， ∴，故③正确． ∵， ∴为等边三角形，所有角均为，为锐角三角形，故④正确． ∴正确的个数为3． 故选C． 【变式4-3】（25-26八年级上·河南南阳·期末）学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来等角所对的边也相等．类比以上内容，小明同学探究了不相等的边（或角）所对的角（或边）之间存在的关系．如图1和图2，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点落在上的点，折痕交于点． (1)证明：由折叠可得，___________． ___________（理由：___________）， ． 可得结论：在一个三角形中，如果两条边不等，那么所对的角也不等，大边所对的角较大． 请把上面的证明过程补充完整． (2)【拓展结论】 类似地，用下面的方法，证明此命题的逆命题：“在一个三角形中，如果两角不等，那么所对的边也不等，大角所对的边较大”已知：在中，．求证：． 小聪的思路是：在内部作 请你根据小聪的思路，在图1中添上辅助线并写出完整的证明过程； (3)【应用结论】如图3，在三角形中，平分，点为边上任意一点（不与点，点重合），连接，交于点．求证：． 【答案】(1)；；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 (2) 证明：如图所示， ， ． ， ， ； (3) 证明：如图所示，在上截取，连接． 平分， ． 又， ． ， ∴， ． ， ． ， ． 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，等角对等边，全等三角形的性质与判定，折叠的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）由折叠可得，，根据三角形外角的性质可得，则可证明 （2）根据题意作图，由等角对等边得到，根据三角形的三边的关系可得，据此可证明； （3）在上截取，连接．证明．得到，可证明．根据，得到，据此可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型五 等边三角形的性质——综合拓展应用 【例5】（25-26八年级上·安徽池州·期末）如图，和是等边三角形，，连接、，交于点D． (1)求的度数． (2)连接，求证：平分． (3)连接，求证：． 【答案】(1) (2) 证明：过点A作于点M，于点N，如图所示： ∵， ∴， 即， 在和中， ，，， ∴， ∴，， ∴， ∴点A在的平分线上， ∴平分． (3) 证明：在上截取，连接，，设与交于点H，如图所示： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得，，，再根据得，由此可得的度数； （2）过点A作于点M，于点N，先证明和全等得，，再根据三角形的面积公式得，然后根据角平分线的性质可得结论； （3）在上截取，连接，设与交于点H，先证明和全等得，进而再证明是等边三角形得，进一步即可得出答案． 【详解】（1）解：∵和是等边三角形， ∴，，， 又∵， ∴， ． （2）略 （3）略 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【变式5-1】（25-26八年级上·湖南怀化·阶段检测）如图，点P，Q分别是边长为的等边边上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，下面结论：①；②的度数不变，始终等于；③当第秒或第2秒时，为直角三角形；④当第2秒时，．其中结论正确的有（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质和点P、Q的运动情况，利用全等三角形的判定和性质，以及直角三角形的性质，来验证题目中的各个结论是否正确． 【详解】解：设点P、Q运动时间为t秒，根据题意得：， ∵为等边三角形， ∴， 在和中， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 在中，， ∴，故②正确； 若，由，得到， ∴，即， 解得：； 若，由，得到， ∴，即， 解得：， 综上，当第秒或第秒时，为直角三角形，故③错误； 当时，则，， ∵， ∴P、Q是边的中点，即是的中线， ∵为等边三角形， ∴，， ∴．故④正确， ∴正确的有①②④． 【变式5-2】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图1，在等边中，点，分别是，上的点，，与交于点． (1)求证：； (2)如图2，以为边作等边，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，若点是的中点，连接，，判断与有什么数量关系？并说明理由． 【答案】(1) 证明：如图1中，    ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 证明：如图2中，    ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3) 解：结论：． 理由：延长到R，使得，连接．    ∵等边， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）根据等边三角形的性质，由即可证明； （2）证明，可得结论． （3）延长到R，使得，连接．先证明，进而证明，推出，可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式5-3】（25-26八年级上·安徽六安·期末）等边中，点E、F分别在BC、AC上，且，与交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作，垂足为，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作，交的延长线于，若为中点，求证：． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形 ∴，， ∵， ∴， (2) 证明：由（1）得， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； (3) 如图所示，连接， 由（2）得 ∴， ∵点D为中点， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）首先由等边三角形得到，，然后证明出即可； （2）由得到，然后等量代换得到，求出，即可得到； （3）连接，证明出，得到，，然后证明出是等边三角形，得到，即可得证． 【详解】（1） 略 （2） 略 （3） 略 题型六 最值问题1——垂线段最短 【例6】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点为的中点，连接，则长的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等，以为边作等边，过点作于，连接，可证，得到，可知当有最小值时，有最小值，根据垂线段最短知当轴时，有最小值，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，以为边作等边，过点作于，连接， ∵点的坐标为， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当有最小值时，有最小值， 当轴时，有最小值， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式6-1】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在等边三角形中，M和N分别是线段和上的动点，且，，则的最小值是________． 【答案】2 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识，作交于点E，连接，由等边三角形的性质得，，可证明，则，而，所以，则，由，求得，当时，的值最小，此时的值最小，，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交于点E，连接，则， ∵是等边三角形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E在射线上运动， ∴当，即时，的值最小，此时的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为2， 故答案为：2． 【变式6-2】（25-26八年级上·福建莆田·期中）在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值是________． 【答案】2 【分析】本题考查了垂线段最短，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识．在的下方作等边，证明，推出，从而算出，发现点在射线上运动，当时，的值最小． 【详解】解：如图，在的下方作等边，   ，， ， 在和中， ，   ， ， ， ， ∵点是边的中点，是等边三角形， ∴是定点，是定值， ∴点在射线上运动， 当时，的值最小， 最小值， 故答案为：2． 【变式6-3】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为___________． 【答案】12 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，含直角三角形的性质，确定出点的轨迹是解题的关键． 先确定点F在的角平分线上，当时，最小，且点D在上，再根据勾股定理求出，进而得出，然后根据勾股定理求出，可得答案． 【详解】解：连接， ∵是等边三角形，F是的中点， ∴，平分， 即点F在的角平分线上． 当时，最小，且点D在上， 在中，， ∴， 根据勾股定理，得． ∵平分，等边中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴． 根据勾股定理，得， 即， 解得（舍负）， 所以等边的周长为． 故答案为：12． 题型七 最值问题2——两点之间线段最短 【例7】（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，在等边三角形中，D是的中点，点E，F分别在，上，且，，在上有一动点G，则的最小值为（    ） A．3 B．7 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质、等边三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 作E点关于的对称点，连接交于点G，结合等边三角形的性质得到，进而得到是等边三角形，从而得到的最小值． 【详解】解：如图，作E点关于的对称点，连接交于点G， 在等边三角形中，，， 、， 、， ， ， 是等边三角形， 的最小值为， 故选：C． 【变式7-1】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，点P位于内部，点M，N分别在射线，上．若，，则周长的最小值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等边三角形的判定和性质．将三角形的周长利用轴对称转化为线段的长，构造等边三角形是解题的关键．设点关于的对称点为，关于的对称点为，根据当点、在上时，的周长最小，再结合等边三角形的判定和性质即可解答． 【详解】解：如图，分别作点P关于，的对称点C，D，连接，，，，． 点P关于的对称点为点C， ，，， 点P关于的对称点为点D， ，，， ，， 是等边三角形， ， 的周长， 即周长的最小值是7． 故选：A． 【变式7-2】（25-26八年级上·广西贵港·期末）如图，等腰中，，是等边三角形，点P是的角平分线上一个动点，连接，则的最小值为________． 【答案】12 【分析】本题主要考查了最短路线问题，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，连接，证明，即可得到，得，再根据当，，在同一直线上时，的最小值为线段长，即可得出的最小值为12．添加辅助线，构造，再利用两点之间线段最短找到最短位置是解决问题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵点是的角平分线上一动点，则 ， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当，，在同一直线上时，的最小值为线段长， 又∵是等边三角形，， ∴的最小值为12， 故答案为：12． 【变式7-3】（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在等腰中，，，则____，若点D，E分别为边上的动点，且，连接，当的值最小时，的大小是 _________ ． 【答案】 32 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．将拼接到，连接交于点G，推出，当点E与点G重合时，的值最小，据此求解即可． 【详解】解：等腰中，，， ． 如图，将拼接到，连接交于点G， 则， ，，， ， 当点E与点G重合时，的值最小， ， ， ， ， ， 即当的值最小时，的大小是， 故答案为：32，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3.2 等边三角形 【新人教版】 【题型1 等边三角形的性质——基础简单应用】...............................................................................................2 【题型2 等边三角形的判定】...............................................................................................................................3 【题型3 等边三角形的性质与判定综合】...........................................................................................................4 【题型4 大（小）边对大（小）角】...................................................................................................................6 【题型5 等边三角形的性质——综合拓展应用】...............................................................................................7 【题型6 最值问题1——垂线段最短】................................................................................................................8 【题型7 最值问题2——两点之间线段最短】....................................................................................................9 1. 定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 2. 等边三角形性质 · 三边全部相等； · 三个内角相等，每一个内角都等于60°； · 具备等腰三角形全部性质，三线合一适用于任意一条边、任意一个内角； · 轴对称图形，共有3条对称轴，分别为三条边上的垂直平分线。 3. 等边三角形判定 判定1：三边对应相等的三角形是等边三角形； 判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形； 判定3：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（常考）。 4. 重要推论：含30°角的直角三角形性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言：Rt△ABC，∠C=90°，∠A=30°，则BC=1/2AB。 逆用：直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则该直角边所对锐角为30°。 1.混淆判定条件，认为任意等腰三角形都是等边三角形； 2.三线合一乱用：等边三角形腰与底边无区别，但普通等腰三角形不可套用； 3.30°直角边结论只适用于直角三角形，普通三角形不可使用； 4.角度计算默认单角60°，忽略分类讨论。 1.判定提速：优先使用“等腰+60°”判定等边三角形； 2.线段倍半题型：出现30°直角，直接用直角边与斜边数量关系； 3.几何构造：遇60°、等边条件，常截取线段构造新等边三角形； 4.角度计算：等边内角固定60°，结合外角、内角和快速倒角。 题型一 等边三角形的性质——基础简单应用 【例1】（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，已知是等边三角形，点，分别在边，上，若，的周长为，，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，等边三角形中，，与相交于点P，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，点P是等边三角形边上一点，于点M，于点N，若，，则______． 【变式1-3】（25-26八年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，在等边中，点分别在边上，且，与相交于点，于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型二 等边三角形的判定 【例2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，是线段上一点，分别以、为边在同侧画等边和等边，连接交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 【变式2-1】（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，在中，，D是上一点，且，且，连接、、． (1)求的度数； (2)证明：是等边三角形． 【变式2-2】（25-26八年级上·广西玉林·期末）如图，已知点是内的一点，，分别是点关于的对称点，连接，与分别相交于点，已知． (1)求的周长； (2)连接，若，判定的形状，并说明理由． 【变式2-3】（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，平分，，． (1)求证：； (2)若，判断的形状，并说明理由． 题型三 等边三角形的性质与判定综合 【例3】（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点N，连接、，以下说法：①，②，③，④中，正确的说法个数是（     ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-1】（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，已知，，，，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；③．其中正确的有（   ） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④ 【变式3-2】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，是内部一点，关于、的对称点分别是点、点，连接分别与，交于点，点，连接，，下列结论：①若，则是等边三角形；②的周长等于线段的长；③平分；④．正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式3-3】（25-26八年级上·广西来宾·期末）（1）如图①，在中，，，是过点A的直线，于点D，于点E，且．求证：． （2）如图②，在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，且，请问是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线l上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，．若，试判断的形状． 题型四 大（小）边对大（小）角 【例4】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式4-1】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在中，、、所对的边分别是a、b、c，若，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26八年级上·河北邯郸·期中）“在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大”，根据上述结论，判断下列说法： ①在中，如果，那么 ②在中，如果，且，那么是锐角三角形 ③在中，如果，那么 ④在中，如果，那么是锐角三角形 其中正确的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-3】（25-26八年级上·河南南阳·期末）学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来等角所对的边也相等．类比以上内容，小明同学探究了不相等的边（或角）所对的角（或边）之间存在的关系．如图1和图2，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点落在上的点，折痕交于点． (1)证明：由折叠可得，___________． ___________（理由：___________）， ． 可得结论：在一个三角形中，如果两条边不等，那么所对的角也不等，大边所对的角较大． 请把上面的证明过程补充完整． (2)【拓展结论】 类似地，用下面的方法，证明此命题的逆命题：“在一个三角形中，如果两角不等，那么所对的边也不等，大角所对的边较大”已知：在中，．求证：． 小聪的思路是：在内部作 请你根据小聪的思路，在图1中添上辅助线并写出完整的证明过程； (3)【应用结论】如图3，在三角形中，平分，点为边上任意一点（不与点，点重合），连接，交于点．求证：． 题型五 等边三角形的性质——综合拓展应用 【例5】（25-26八年级上·安徽池州·期末）如图，和是等边三角形，，连接、，交于点D． (1)求的度数． (2)连接，求证：平分． (3)连接，求证：． 【变式5-1】（25-26八年级上·湖南怀化·阶段检测）如图，点P，Q分别是边长为的等边边上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，下面结论：①；②的度数不变，始终等于；③当第秒或第2秒时，为直角三角形；④当第2秒时，．其中结论正确的有（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【变式5-2】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图1，在等边中，点，分别是，上的点，，与交于点． (1)求证：； (2)如图2，以为边作等边，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，若点是的中点，连接，，判断与有什么数量关系？并说明理由． 【变式5-3】（25-26八年级上·安徽六安·期末）等边中，点E、F分别在BC、AC上，且，与交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作，垂足为，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作，交的延长线于，若为中点，求证：． 题型六 最值问题1——垂线段最短 【例6】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点为的中点，连接，则长的最小值为______． 【变式6-1】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在等边三角形中，M和N分别是线段和上的动点，且，，则的最小值是________． 【变式6-2】（25-26八年级上·福建莆田·期中）在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值是________． 【变式6-3】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为___________． 题型七 最值问题2——两点之间线段最短 【例7】（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，在等边三角形中，D是的中点，点E，F分别在，上，且，，在上有一动点G，则的最小值为（    ） A．3 B．7 C．9 D．12 【变式7-1】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，点P位于内部，点M，N分别在射线，上．若，，则周长的最小值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式7-2】（25-26八年级上·广西贵港·期末）如图，等腰中，，是等边三角形，点P是的角平分线上一个动点，连接，则的最小值为________． 【变式7-3】（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在等腰中，，，则____，若点D，E分别为边上的动点，且，连接，当的值最小时，的大小是 _________ ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $