15.1.2线段的垂直平分线（9大题型·一题三变专项讲义）2026-2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦线段垂直平分线核心知识点，系统梳理定义、性质与判定定理，延伸至三角形外心、尺规作图及对称轴内容，形成从概念到应用的递进式学习支架。 资料通过9大题型及例题变式，覆盖性质应用、判定证明等，培养几何直观与推理能力。指出常见错误与解题技巧，课中辅助教学，课后助力查漏补缺，提升数学应用意识。

15.1.2 线段的垂直平分线 【新人教版】 【题型1 线段垂直平分线的性质】.......................................................................................................................2 【题型2 线段垂直平分线的判定】.......................................................................................................................5 【题型3 写出命题的逆命题】...............................................................................................................................9 【题型4 判断逆命题的真假】.............................................................................................................................10 【题型5 互逆定理】.............................................................................................................................................12 【题型6 尺规作图——作已知线段的垂直平分线】.........................................................................................15 【题型7 尺规作图——作垂直】.........................................................................................................................18 【题型8 画对称轴】.............................................................................................................................................22 【题型9 求对称轴条数】.....................................................................................................................................26 1. 定义 经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。 2. 线段垂直平分线性质定理 文字：线段垂直平分线上的点，与这条线段两个端点的距离相等。 几何语言： 直线l垂直平分AB，点P在l上，则PA=PB。 3. 线段垂直平分线判定定理 文字：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言： 若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 4. 三角形外心 三角形三边垂直平分线交于一点，该点称为外心； 外心到三角形三个顶点距离相等。 · 锐角三角形：外心在三角形内部； · 直角三角形：外心在斜边中点； · 钝角三角形：外心在三角形外部。 5. 尺规作图：作已知线段的垂直平分线 · 分别以线段两端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧； · 两段弧在线段两侧各交出一个交点； · 连接两个交点，所得直线即为线段垂直平分线。 1. 混淆垂直平分线（直线）、垂线（直线）、垂线段； 2. 判定定理使用时，单点等距直接认定整条直线为中垂线； 3. 忽略外心位置随三角形形状变化； 4. 作图半径过小，两弧无法相交。 1. 证线段相等：已知中垂线，直接用性质，省略全等证明； 2. 证直线为中垂线：找两个到端点等距的点，两点确定一条直线； 3. 最短路径题型：定点对称转化，依托中垂线等量替换线段； 4. 外接圆题目：直接利用外心到三顶点距离相等解题。 题型一 线段垂直平分线的性质 【例1】（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，中，，的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E，则的周长为（   ） A．8 B．4 C．12 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．利用线段垂直平分线的性质，将的长度转化为的周长来求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E， ∴ ∵的周长为. 【变式1-1】（25-26八年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．的周长为23，，则的周长为（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，再由的周长为23，求出，由此即可得解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∵的周长为23， ∴， ∴， ∴的周长． 【变式1-2】（25-26八年级上·安徽淮南·期末）如图，在锐角中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线．若为边上的一个动点，为直线上的一个动点，则的最小值是（     ） A．7 B．9 C．12 D．14 【答案】A 【分析】连接、，由作图得垂直平分，则，从而可得，由垂线段最短可得，当时，的值最小，此时的值也最小，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， 由作图得垂直平分， ∴， ∴， 由垂线段最短可得，当时，的值最小，此时的值也最小， ∵在锐角中，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． 【变式1-3】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线分别交，于点E，F，点D为直线上一点，则的周长最小值是________． 【答案】 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质可得，从而得出的周长，再结合三角形三边关系得出当点、、在同一直线上时，的值最小为，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ， ∵垂直平分， ∴， ∴的周长， ∵， ∴当点、、在同一直线上时，的值最小为， ∴的周长最小值是． 题型二 线段垂直平分线的判定 【例2】（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，，则有（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．是等腰三角形 D．与互相垂直平分 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，根据垂直平分线的判定定理，逐一分析即可解题． 【详解】解：，， A、B在的垂直平分线上， 即垂直平分（但不一定垂直平分）． ∴不一定是等腰三角形， ∴A，C，D错误，B正确， 故选：B． 【变式2-1】（25-26八年级上·山西大同·期末）如图，中，平分交于D，点E为边上一点，． (1)求证：； (2)根据要求画出图形并证明：连接，交于点，并证明． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵在和中， ， ∴． (2)所求图形如图所示． 证明：∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴点D在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴． 【分析】（1）由角平分线的定义得到，再运用“”证明即可． （2）根据垂直平分线的判定定理证明是的垂直平分线，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式2-2】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，四边形的对角线，相交于点，，点在上，． (1)求证：； (2)连接，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴． (2) 证明：∵， ∴， ∴点A在的垂直平分线上．     ∵， ∴点E在的垂直平分线上， ∴所在直线为的垂直平分线， ∴．     ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴． 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，垂直平分线；等腰三角形； （1）根据角边角判定三角形全等即可； （2）连接，结合三角形全等的性质证出所在直线为的垂直平分线，再证，即可证明，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式2-3】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，为的角平分线，，垂足分别为点，连接交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：为的角平分线， ， 又、，垂足分别为点， ， 在和中， ， ； (2) 证明：由（1）知， ， 垂直平分， 则． 【分析】本题考查几何证明综合，涉及角平分线定义、三角形全等的判定与性质、垂直平分线的判定与性质，熟记相关几何性质与判定定理是解决问题的关键． （1）先由角平分线定义得到，再由两个三角形全等的判定定理求证即可得到答案； （2）由（1）知，从而得到，从而确定垂直平分，最后由垂直平分线的性质即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 题型三 写出命题的逆命题 【例3】（2026·江苏盐城·三模）已知命题“等腰三角形的两个底角相等”，其逆命题是_____． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】将原命题的条件与结论互换，即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：由题意得，原命题的逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 【变式3-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知命题“若，则”，写出这个命题的逆命题________． 【答案】若，则 【分析】本题考查的是写出命题的逆命题，通过互换原命题的条件和结论，即可解题． 【详解】解：原命题是“若，则”，根据逆命题的定义，将条件“”和结论“”互换，得到逆命题“若 ，则”． 故答案为：若，则． 【变式3-2】（25-26八年级上·浙江台州·期末）写出命题“如果，那么”的逆命题：_____． 【答案】如果，那么 【分析】本题考查根据原命题写逆命题，根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换即可得到逆命题． 【详解】解：原命题的条件是“”，结论是“”，因此逆命题是“如果，那么”． 故答案为：如果，那么． 【变式3-3】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）命题“若，则的逆命题是 _________________ ，它是一个 _______ 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 若，则 假 【分析】根据逆命题的定义，交换原命题的条件与结论得到逆命题，再通过举反例判断逆命题的真假即可． 【详解】解：原命题若，则中，条件为，结论为． 交换原命题的条件和结论，可得逆命题为：若，则． 取反例，当，时，满足，但，说明逆命题不成立，因此逆命题是假命题． 题型四 判断逆命题的真假 【例4】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若，则 C．两直线平行，内错角相等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】C 【分析】本题考查了判断命题的真假，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等，分别写出各命题的逆命题，再判断真假即可 【详解】解：A、如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，该命题为假命题，不符合题意； B、若，则的逆命题为：若，则；，但，该命题为假命题，不符合题意； C、两直线平行，内错角相等的逆命题为：内错角相等，两直线平行；该命题为真命题，符合题意； D、全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，该命题为假命题，不符合题意； 故选：C 【变式4-1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列四个命题的逆命题是假命题的是（    ） A．如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 B．全等三角形的对应角相等 C．等边三角形的每个角都等于 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查命题的定义，熟练根据直角三角形判定、全等三角形定义、等边三角形判定及立方的性质判断逆命题的真假是解题的关键． 先写出各命题的逆命题，再根据直角三角形判定、全等三角形定义、等边三角形判定及立方的性质逐一判断逆命题的真假即可． 【详解】解：选项A：原命题的逆命题为如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形，由于三角形内角和为，两个锐角互余即和为，则第三个角为，该三角形是直角三角形，逆命题为真命题； 选项B：原命题的逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形，由于对应角相等的三角形是相似三角形，不一定满足对应边相等，则该逆命题为假命题； 选项C：原命题的逆命题为每个角都等于的三角形是等边三角形，由于三个角都相等的三角形是等边三角形，每个角满足此条件，则逆命题为真命题 选项D：原命题的逆命题为如果a³=b³，那么，由于实数的立方具有一一对应性，若，则，则逆命题为真命题； 故选：B． 【变式4-2】（25-26八年级上·湖南益阳·期末）下列命题中逆命题成立的是（    ） A．对顶角相等 B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】C 【分析】本题考查逆命题的真假性，首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．解题的关键是掌握逆命题的概念和命题真假的判断以及相关知识． 【详解】A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角， ∵相等的角不一定是对顶角（如两直线平行时的同位角相等，但不是对顶角） ∴该逆命题是假命题，故本选项不符合题意； B、如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题是如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等， ∵绝对值相等的两个实数可能互为相反数（如2和） ∴该逆命题是假命题，故本选项不符合题意； C、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的逆命题是到线段两端点的距离相等的点在线段垂直平分线上， ∵这是线段垂直平分线的判定定理，是真命题，故本选项符合题意； D、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等， ∵对应角相等的三角形可能只是相似，不一定全等（如边长不同的等边三角形） ∴该逆命题是假命题，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式4-3】（25-26八年级上·河北衡水·期末）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．全等三角形的对应角相等 B．对顶角相等 C．等边三角形的三个内角都等于 D．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 【答案】C 【分析】本题考查命题与逆命题的概念，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，准确写出逆命题是解题关键． 先写出各选项命题的逆命题，再依据全等三角形、对顶角、等边三角形的判定及有理数的性质，判断逆命题的真假，进而选出正确选项． 【详解】解：选项：原命题的逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形， ∵对应角相等的三角形可能是相似三角形，不一定全等， ∴该逆命题是假命题； 选项：原命题的逆命题为相等的角是对顶角， ∵相等的角可能是同位角、内错角等，不一定是对顶角， ∴该逆命题是假命题； 选项：原命题的逆命题为如果一个三角形的三个内角都等于，那么它是等边三角形， ∵三个内角都相等的三角形是等边三角形， ∴该逆命题是真命题； 选项：原命题的逆命题为如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等， ∵互为相反数的两个有理数平方相等，但本身不相等， ∴该逆命题是假命题． 综上，逆命题为真命题的是选项． 故选：． 题型五 互逆定理 【例5】（25-26八年级上·山西临汾·期末）下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．等边对等角 D．全等三角形对应边相等 【答案】A 【分析】本题考查逆定理的概念．一个定理的逆命题不一定为真命题，若其逆命题为假命题，则称该定理没有逆定理．解题时，需写出各选项的逆命题，并判断其真假． 【详解】解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，假命题，故该选项符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是真命题，故该选项不符合题意； C、等边对等角的逆命题是等角对等边，是真命题，故该选项不符合题意； D、全等三角形的对应边相等的逆命题是三边对应相等的三角形是全等三角形，是真命题，故该选项不符合题意； 故选∶A． 【变式5-1】（25-26八年级上·陕西商洛·阶段检测）下列定理中，有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．两个全等三角形的面积相等 D．平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查逆定理的定义；判断每个定理的逆命题是否成立，若成立则有逆定理. 【详解】解：A、其逆命题为“相等的角是对顶角”，可举“等腰三角形的两个底角相等，但不是对顶角”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故A不符合题意； B、其逆命题为“对应角相等的两个三角形是全等三角形”，可举“大小不一样的等边三角形所有的角都相等，但不是全等三角形”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故B不符合题意； C、其逆命题为“面积相等的两个三角形是全等三角形”，可举“面积相同，但形状不一样的两个三角形”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故C不符合题意； D、其逆命题为“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，逆命题成立，有逆定理，故D符合题意. 故选：D. 【变式5-2】（25-26八年级上·贵州·期末）下列说法正确的是（    ） A．任何定理都有逆定理 B．只有定理的逆命题是真命题时，它才有逆定理 C．只有原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题 D．定理的逆命题都是真命题 【答案】B 【分析】本题考查定理与逆定理的概念．定理的逆命题不一定是真命题，只有当逆命题为真时，才能称为逆定理．选项A错误，因为并非所有定理都有逆定理；选项C错误，因为原命题与逆命题的真假无必然联系；选项D错误，因为定理的逆命题不一定为真． 【详解】解：∵定理的逆命题不一定是真命题， ∴只有当逆命题为真时，才有逆定理， ∴选项B正确． ∵选项A任何定理都有逆定理，但如定理“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”为假命题，故无逆定理， ∴A错误． ∵选项C原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题，但原命题是真命题时逆命题可能是假命题（如“对顶角相等”）， ∴C错误． ∵选项D定理的逆命题都是真命题，但如上例逆命题为假命题， ∴D错误． 故选B． 【变式5-3】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（ ） A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题 B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题 C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行” D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理 【答案】B 【分析】本题考查了逆命题与逆定理，根据已知，把各选项条件与结论互换写出逆命题，再判定结果是否是真命题即可． 【详解】解：A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题为“两锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题，故该选项正确，不符合题意； B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形全等”，是假命题，故该选项不正确，符合题意； C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行”，故该选项正确，不符合题意； D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 题型六 尺规作图——作已知线段的垂直平分线 【例6】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线分别交、于点．若，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了作已知线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形的周长等知识，由作图可知，是的垂直平分线，可得，，由的周长为，可得，所以，然后通过的周长，从而求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长， 【变式6-1】（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，已知，，请用尺规作图法，在边上求作一点D，使，（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】作线段的垂直平分线交于点D，点D即为所求． 【详解】解：如图，点D即为所求． 【变式6-2】（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在数学活动课中，嘉嘉剪了一张的纸片，他将折叠压平使点落在点处，折痕分别交、于点、．请用尺规作图法，求作折痕．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，折痕即为所求. 【分析】先根据折叠的性质可得折痕是的线段垂直平分线，再利用尺规作图作的线段垂直平分线，分别交于点D，交于点E，则即为所求。 【详解】略 【变式6-3】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求的长． 【答案】(1) 解：如图所示，直线即为所作； (2) 【分析】（1）根据尺规作图—垂直平分线的作图步骤，逐步作图即可； （2）延长到点E，使，连接，先推导出，得到，进而推导出，得到，可证明，得到，则，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：如图，延长到点E，使，连接， ∵直线为的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型七 尺规作图——作垂直 【例7】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，依据尺规作图的作图痕迹，若，，可知的度数为________． 【答案】 【分析】由三角形外角的性质可以求出，由尺规作图可知是的平分线，根据角平分线的定义可知，由作图可知是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可证，根据三角形内角和定理可以求出的度数． 【详解】解：是的外角， ， ，， ， ， 由作图可知是的平分线， ， 由作图可知是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ． 【变式7-1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）按要求完成下列尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图1，作的平分线； (2)如图2，过点作直线的垂线． 【答案】(1) 作的平分线，如图所示： (2) 过点作直线的垂线，如图所示： 【分析】本题考查了作一个角的平分线，过直线外一点作已知直线的垂线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合角平分线的尺规作图步骤进行作答即可． （2）结合过直线外一点作已知直线的垂线作图步骤进行作答即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式7-2】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，已知，，点在上，连接． (1)尺规作图：在线段的延长线上求作一点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图，直角三角形性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）以点为圆心，长为半径作弧，交延长线于点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，交于点，连接，交延长线于点，点即为所求，由，再利用直角三角形两锐角互余及对顶角相等，可证； （2）过点作，证明得，再由，代入解得． 【详解】（1）解：如图即为点， 的延长线于点， ， ， ， ． （2）解：如图，连接，过点作于点， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， 解得． 答：． 【变式7-3】（25-26八年级上·广东云浮·期末）在中，．请用无刻度的直尺和圆规作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图1，在上取一点，连接，使得． (2)如图2，在上取一点，连接，使得． 【答案】(1) 即为所求： (2) 即为所求： 【分析】本题考查了尺规作图，关键是熟练应用作图方法作图； （1）过点作的垂线即可； （2）作的角平分线即可． 【详解】（1）解：过点作于点， ∴， ∴， （2）解：作的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 题型八 画对称轴 【例8】（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，在平面直角坐标系中有，，三点的坐标分别为，，． (1)在平面直角坐标系中描出，，三点； (2)点与点关于直线成轴对称，请在平面直角坐标系中画出直线l． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了点的坐标、画对称轴； （1）根据三点的坐标描点； （2）利用网格的特点，作直线的垂直平分线即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，直线即为所求． 【变式8-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列图形中，哪些是轴对称图形？请画出轴对称图形的对称轴． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了轴对称图形，对称轴的确定，根据轴对称图形的定义，画出对称轴即可，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：是轴对称的为： ， 画对称轴如下： ． 【变式8-2】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，和关于直线对称，和关于直线对称． (1)画出直线； (2)直线与相交于点O，试探究与直线所夹锐角的数量关系． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的性质，是解题的关键： （1）连接，画出线段的垂直平分线即可； （2）根据角的和差关系和轴对称图形的性质，进行推导即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：连接， 则， ∵和关于直线对称，和关于直线对称， ∴， ∴， ∴． 【变式8-3】（25-26八年级上·江西赣州·期末）与关于直线对称，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图中，作出直线． (2)在图中，是中点，在对称轴上作出一点，使得周长最小． 【答案】(1) 如图所示，直线即为所求； (2) 如图所示，点即为所求． 【分析】本题考查作图一复杂作图，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （）根据轴对称的性质即可求解； （）根据轴对称的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 题型九 求对称轴条数 【例9】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）下列图形中是轴对称图形且对称轴条数最多的是（    ） A．等腰三角形 B．正方形 C．正五边形 D．圆 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形的对称轴条数，需明确各选项图形的对称轴数量，再通过比较得出结果． 【详解】解：∵等腰三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，圆有无数条对称轴． 又∵无数条5条4条3条， ∴对称轴条数最多的是圆， 故选：D． 【变式9-1】（25-26八年级上·山东滨州·期末）古有诗云“刺绣五纹添弱线，吹葭六琯动浮灰”，描述的便是我国民间传统艺术—刺绣，如图所示的刺绣图案的对称轴有（    ） A．1条 B．2条 C．4条 D．6条 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的概念． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此即可判断． 【详解】解：如图所示，共有4条对称轴， 故选：C． 【变式9-2】（25-26八年级上·辽宁鞍山·期末）如图，下列轴对称图形，对称轴最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了对称轴，熟练掌握对称轴的定义是解题的关键． 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．根据概念逐个分析几何图形的对称轴条数并判断，即可解题． 【详解】 解：有1条对称轴，有2条对称轴，有2条对称轴，有5条对称轴，， 对称轴最多的是； 故选：D． 【变式9-3】（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）下列四个图形，其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2条的图形的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别和轴对称图形的对称轴条数问题，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此逐一判断即可． 【详解】解：从左边起，第一幅图是轴对称图形，对称轴有2条； 第二幅图是轴对称图形，对称轴有2条； 第三幅图是轴对称图形，对称轴有2条； 第四幅图是轴对称图形，对称轴有3条． 故选：D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.1.2 线段的垂直平分线 【新人教版】 【题型1 线段垂直平分线的性质】.......................................................................................................................2 【题型2 线段垂直平分线的判定】.......................................................................................................................3 【题型3 写出命题的逆命题】...............................................................................................................................4 【题型4 判断逆命题的真假】...............................................................................................................................4 【题型5 互逆定理】...............................................................................................................................................5 【题型6 尺规作图——作已知线段的垂直平分线】...........................................................................................6 【题型7 尺规作图——作垂直】...........................................................................................................................7 【题型8 画对称轴】...............................................................................................................................................8 【题型9 求对称轴条数】.......................................................................................................................................9 1. 定义 经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。 2. 线段垂直平分线性质定理 文字：线段垂直平分线上的点，与这条线段两个端点的距离相等。 几何语言： 直线l垂直平分AB，点P在l上，则PA=PB。 3. 线段垂直平分线判定定理 文字：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言： 若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 4. 三角形外心 三角形三边垂直平分线交于一点，该点称为外心； 外心到三角形三个顶点距离相等。 · 锐角三角形：外心在三角形内部； · 直角三角形：外心在斜边中点； · 钝角三角形：外心在三角形外部。 5. 尺规作图：作已知线段的垂直平分线 · 分别以线段两端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧； · 两段弧在线段两侧各交出一个交点； · 连接两个交点，所得直线即为线段垂直平分线。 1. 混淆垂直平分线（直线）、垂线（直线）、垂线段； 2. 判定定理使用时，单点等距直接认定整条直线为中垂线； 3. 忽略外心位置随三角形形状变化； 4. 作图半径过小，两弧无法相交。 1. 证线段相等：已知中垂线，直接用性质，省略全等证明； 2. 证直线为中垂线：找两个到端点等距的点，两点确定一条直线； 3. 最短路径题型：定点对称转化，依托中垂线等量替换线段； 4. 外接圆题目：直接利用外心到三顶点距离相等解题。 题型一 线段垂直平分线的性质 【例1】（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，中，，的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E，则的周长为（   ） A．8 B．4 C．12 D．16 【变式1-1】（25-26八年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．的周长为23，，则的周长为（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 【变式1-2】（25-26八年级上·安徽淮南·期末）如图，在锐角中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线．若为边上的一个动点，为直线上的一个动点，则的最小值是（     ） A．7 B．9 C．12 D．14 【变式1-3】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线分别交，于点E，F，点D为直线上一点，则的周长最小值是________． 题型二 线段垂直平分线的判定 【例2】（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，，则有（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．是等腰三角形 D．与互相垂直平分 【变式2-1】（25-26八年级上·山西大同·期末）如图，中，平分交于D，点E为边上一点，． (1)求证：； (2)根据要求画出图形并证明：连接，交于点，并证明． 【变式2-2】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，四边形的对角线，相交于点，，点在上，． (1)求证：； (2)连接，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【变式2-3】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，为的角平分线，，垂足分别为点，连接交于点． (1)求证：； (2)求证：． 题型三 写出命题的逆命题 【例3】（2026·江苏盐城·三模）已知命题“等腰三角形的两个底角相等”，其逆命题是_____． 【变式3-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知命题“若，则”，写出这个命题的逆命题________． 【变式3-2】（25-26八年级上·浙江台州·期末）写出命题“如果，那么”的逆命题：_____． 【变式3-3】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）命题“若，则的逆命题是 _________________ ，它是一个 _______ 命题（填“真”或“假”）． 题型四 判断逆命题的真假 【例4】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若，则 C．两直线平行，内错角相等 D．全等三角形的对应角相等 【变式4-1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列四个命题的逆命题是假命题的是（    ） A．如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 B．全等三角形的对应角相等 C．等边三角形的每个角都等于 D．如果，那么 【变式4-2】（25-26八年级上·湖南益阳·期末）下列命题中逆命题成立的是（    ） A．对顶角相等 B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 D．全等三角形的对应角相等 【变式4-3】（25-26八年级上·河北衡水·期末）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．全等三角形的对应角相等 B．对顶角相等 C．等边三角形的三个内角都等于 D．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 题型五 互逆定理 【例5】（25-26八年级上·山西临汾·期末）下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．等边对等角 D．全等三角形对应边相等 【变式5-1】（25-26八年级上·陕西商洛·阶段检测）下列定理中，有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．两个全等三角形的面积相等 D．平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【变式5-2】（25-26八年级上·贵州·期末）下列说法正确的是（    ） A．任何定理都有逆定理 B．只有定理的逆命题是真命题时，它才有逆定理 C．只有原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题 D．定理的逆命题都是真命题 【变式5-3】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（ ） A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题 B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题 C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行” D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理 题型六 尺规作图——作已知线段的垂直平分线 【例6】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线分别交、于点．若，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，已知，，请用尺规作图法，在边上求作一点D，使，（保留作图痕迹，不写作法） 【变式6-2】（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在数学活动课中，嘉嘉剪了一张的纸片，他将折叠压平使点落在点处，折痕分别交、于点、．请用尺规作图法，求作折痕．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式6-3】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求的长． 题型七 尺规作图——作垂直 【例7】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，依据尺规作图的作图痕迹，若，，可知的度数为________． 【变式7-1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）按要求完成下列尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图1，作的平分线； (2)如图2，过点作直线的垂线． 【变式7-2】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，已知，，点在上，连接． (1)尺规作图：在线段的延长线上求作一点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，，求的长． 【变式7-3】（25-26八年级上·广东云浮·期末）在中，．请用无刻度的直尺和圆规作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图1，在上取一点，连接，使得． (2)如图2，在上取一点，连接，使得． 题型八 画对称轴 【例8】（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，在平面直角坐标系中有，，三点的坐标分别为，，． (1)在平面直角坐标系中描出，，三点； (2)点与点关于直线成轴对称，请在平面直角坐标系中画出直线l． 【变式8-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列图形中，哪些是轴对称图形？请画出轴对称图形的对称轴． 【变式8-2】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，和关于直线对称，和关于直线对称． (1)画出直线； (2)直线与相交于点O，试探究与直线所夹锐角的数量关系． 【变式8-3】（25-26八年级上·江西赣州·期末）与关于直线对称，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图中，作出直线． (2)在图中，是中点，在对称轴上作出一点，使得周长最小． 题型九 求对称轴条数 【例9】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）下列图形中是轴对称图形且对称轴条数最多的是（    ） A．等腰三角形 B．正方形 C．正五边形 D．圆 【变式9-1】（25-26八年级上·山东滨州·期末）古有诗云“刺绣五纹添弱线，吹葭六琯动浮灰”，描述的便是我国民间传统艺术—刺绣，如图所示的刺绣图案的对称轴有（    ） A．1条 B．2条 C．4条 D．6条 【变式9-2】（25-26八年级上·辽宁鞍山·期末）如图，下列轴对称图形，对称轴最多的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）下列四个图形，其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2条的图形的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 1 学科网（北京）股份有限公司 $