14.2三角形全等的判定（19大题型一题三变专项讲义）2026-2027学年数学人教版八年级上册

本讲义聚焦三角形全等的判定核心知识点，从基础前提（至少一组边相等，排除AAA、SSA）出发，系统梳理SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种判定定理，结合隐含条件与常见误区，构建从原理到应用的学习支架。 资料通过19个分层题型设计，涵盖基础应用、辅助线模型（倍长中线、手拉手等）、尺规作图及网格角度问题，培养几何直观与推理意识。课中助力教师系统教学，课后帮助学生强化练习，查漏补缺，提升解决综合问题的能力。

14.2 三角形全等的判定 【新人教版】 【题型1 用SAS证明三角形全等】......................................................................................................................2 【题型2 全等的性质和SAS综合】......................................................................................................................4 【题型3 用ASA（AAS）证明三角形全等】....................................................................................................10 【题型4 全等的性质和ASA（AAS）综合】....................................................................................................12 【题型5 用SSS证明三角形全等】....................................................................................................................15 【题型6 全等的性质和SSS综合】....................................................................................................................17 【题型7 用HL证明三角形全等】.....................................................................................................................20 【题型8 全等的性质和HL综合】.....................................................................................................................22 【题型9 添加条件使三角形全等】....................................................................................................................26 【题型10 灵活选择判定方法证全等】..............................................................................................................28 【题型11 辅助线问题——倍长中线模型】......................................................................................................32 【题型12 辅助线问题——手拉手模型】..........................................................................................................40 【题型13 辅助线问题——一线三等角模型（三垂直模型）】........................................................................49 【题型14 辅助线问题——截长补短模型】......................................................................................................56 【题型15 辅助线问题——对角互补、半角等其他模型】..............................................................................62 【题型16 全等三角形的综合问题】..................................................................................................................72 【题型17 尺规作图——作一个角等于已知角（作平行线）】........................................................................79 【题型18 尺规作图——作三角形】..................................................................................................................82 【题型19 利用全等求正方形网格中角度和差问题】......................................................................................85 1.基础前提 判定全等，至少需要一组边相等，仅用角（AAA）、两边一角中夹角不确定（SSA），均无法判定三角形全等。 2.五种判定定理 · SSS（边边边） 文字：三边对应相等的两个三角形全等。 · SAS（边角边） 文字：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 关键点：相等的角必须是两条已知边中间的夹角。 · ASA（角边角） 文字：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 · AAS（角角边） 文字：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 补充：AAS可由ASA+内角和推导得出。 · HL（斜边、直角边，仅限直角三角形） 文字：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 注意：HL 只用于直角三角形，普通三角形不可使用。 3.常用隐含相等条件 公共边、公共角、对顶角相等；平行线带来内错角/同位角相等；同角/等角的补角、余角相等。 1. 误用SSA、AAA判定普通三角形全等； 2. SAS错用两边非夹角； 3. 普通三角形乱用HL定理； 4. 证明书写条件罗列混乱，不对应判定定理； 5. 忽略公共边、对顶角等天然等量条件。 1. 判定选择口诀： 有三边选SSS，两边找夹角SAS，两角找夹边ASA、找对边AAS，直角优先HL； 2. 倒角常用：平行线、外角、内角和、同角等角互余互补； 3. 线段等量：公共边、线段和差、中点、中线转化边长； 4. 证明步骤：先找等量条件→锁定判定定理→规范书写格式。 题型一 用SAS证明三角形全等 【例1】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，已知，，则的依据是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，解题的关键是根据已知条件准确找出判定三角形全等所需的边和角． 已知，，且为与的公共边，因此满足两边及其夹角对应相等，可依据判定两三角形全等． 【详解】解：在和中， ∴ （）． 故选：． 【变式1-1】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知：如图，A、D是CF上的两点，且，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据线段的和差求出，根据平行线的性质求出，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【变式1-2】（25-26八年级上·北京·期末）如图，点A，E，B，F在同一直线上，与相交于点G，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． 【分析】本题考查了三角形全等的判定，关键是根据证明解答． 根据等式的性质得出，进而利用证明解答． 【详解】略 【变式1-3】（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：．    【答案】见详解 【分析】根据，得，结合，，证明，即可作答． 【详解】证明：∵， ∴， 则， ∵，， ∴． 题型二 全等的性质和SAS综合 【例2】（25-26八年级上·广东韶关·阶段检测）如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用判定，根据全等三角形对应角相等可得，从而可得，根据三角形内角和定理可以求出，再利用三角形内角和定理可求的度数． 【详解】解：在中，， ， 在和中， ， ， 又， ， ， 在中，． 【变式2-1】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：， 即， 在和中， ； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得，再结合，，证明，即可作答． （2）由（1）得，故，又结合，则，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ， 又， ． 【变式2-2】（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：和都是等腰直角三角形， ，， 又， ， 即， 在和中， ， ； (2) 理由： ， ，， 又，， ， ， 即． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，，，进一步利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，利用三角形内角和以及对顶角相等得到，可得，即可证明． 【详解】（1）略． （2）解：略． 【变式2-3】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在和中，，且点在边上，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据，推出，证明即可解答． （2）先证明，得到，再求出，，即可解答． （3）延长到，使得，连接，先证明，则．推导出，则，继而证明，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴． 在和中， ； ∴； （2）解：∵， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）证明：延长到，使得，连接，如图所示． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∴． 题型三 用ASA（AAS）证明三角形全等 【例3】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，点，，，在一条直线上，，连接，，．若要使，则需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键； 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角，根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 当添加， ∵，，，不能证明， ∴A选项不符合题意； 当添加，那么，即， ∵，，，不能证明， ∴B选项不符合题意； 当添加， ∵，，，满足， ∴可证， ∴C选项符合题意； 当添加，不能证明， ∴D选项不符合题意； ∴需要添加的条件可以是， 故选：C． 【变式3-1】（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，，，垂足分别为D，E，．下列选项中，可以直接作为判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由判定，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴可以直接作为判定的依据是． 【变式3-2】（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，点，，，在同一条直线上，且，，，根据以上条件判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定，根据三角形全等的判定方法即可求解，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴判定的依据是“”， 故选：． 【变式3-3】（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在和中，三点共线，三点共线，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据证明两个三角形全等即可． 【详解】证明：∵三点共线，三点共线， ∴与是对顶角， ∴． 在和中， ∴． 题型四 全等的性质和ASA（AAS）综合 【例4】（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，D是上一点，交于点E，，，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．1 【答案】A 【分析】先根据平行线的性质得，再根据“角角边”证明，可得，然后根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【变式4-1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知：如图，与交于点，点是线段的中点，，连接、．求证：． 【答案】 证明：点是线段的中点， ， 在和中， ， ． 【分析】先利用线段中点定义得到，然后根据“”判断即可． 【详解】略 【变式4-2】（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，试求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中线性质推出，利用平行线性质推出，再结合全等三角形判定定理证明即可； （2）根据全等三角形性质，以及线段的和差分析求解，即可解题． 熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：是边上的中线， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ，， ， ， 解得． 【变式4-3】（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，，，垂足分别是，，，． (1)请说明和的数量关系，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1) 解：，理由如下； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴； (2) 【分析】（1）根据条件可以得出，进而得出，即可解答； （2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质即可解决问题； 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型五 用SSS证明三角形全等 【例5】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，，，则证明的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理：、、、、是解题的关键．由，，又因为，即可由判定两三角形全等． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：D． 【变式5-1】（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图是作的尺规作图，其中三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三边对应相等的两三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意知，，， ． 【变式5-2】（25-26八年级上·吉林白山·期末）如图，点C、B、E、F在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ， ∴， 在和中， ∵ ∴． 【详解】略 【变式5-3】（25-26八年级上·河南漯河·阶段检测）如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先证明得出，再证明，即可证明． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型六 全等的性质和SSS综合 【例6】（25-26八年级上·山西临汾·期末）将和按如图方式放置，与交于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和，先证明，得到，再根据三角形内角和得到，最后根据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式6-1】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，点B、C、E三点在同一直线上，且，若，则的度数为____． 【答案】 【分析】根据条件，通过证明，得到，，之间的关系，再利用已知角度关系求解即可． 【详解】解：在和中， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴． 【变式6-2】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求度数． 【答案】(1) 证明：∵，即， 在与中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，，再由三角形内角和定理可得的度数，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴． 【变式6-3】（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用定理证明两三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 题型七 用HL证明三角形全等 【例7】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在和中，，．若用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形判定方法“”即可求解． 【详解】解：∵，， ∴用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是． 【变式7-1】（25-26八年级上·吉林·阶段检测）如图，，，垂足分别为E，F，，，求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴． 【分析】利用即可得证． 【详解】略 【变式7-2】（25-26八年级上·山东济南·期末）已知：如图，，点为线段上两点且．求证：． 【答案】 证明：∵，且， ∴， 即， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据可得到，可以得到． 【详解】略 【变式7-3】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，，，于点，于点，求证． 【答案】 证明：于点，于点， ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定和线段的和差关系． 根据、以及，，证，得到，再根据线段的和差关系即可得出结论． 【详解】略 题型八 全等的性质和HL综合 【例8】（25-26八年级上·河南漯河·期末）如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据直角边斜边判定，根据对应边相等得到，继而得到． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式8-1】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，在内引射线，作于点D，于点E，若，，下列选项不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等的性质和综合（），直角三角形的两个锐角互余等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用证明，即可判断A； 根据可得出，即可判断B； 根据可得出，，从而可求得，即可判断D； 再求得，即可判断C． 【详解】解：∵作于点D，于点E， ∴， 在与中， ， ∴， 故A正确，但不符合题意； ∵， ∴， 故B正确，但不符合题意； ∵， ∴，， ∴， 故D正确，但不符合题意； ∴， 故C错误，符合题意， 故选：C． 【变式8-2】（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，，，于，于，，求证：点是的中点． 【答案】 证明：， ∴在和中， ， ， ， 于，于， ， ∵在和中， ， ， ， 点是的中点． 【分析】先根据“”判定，根据全等三角形的性质得到，再由“”判定，即可得到结论． 【详解】略 【变式8-3】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用， （1）由题所给条件可得，即得，即可得证； （2）证明，结合（1）可得，则． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型九 添加条件使三角形全等 【例9】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，点在上，点在上，．下列条件中能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知，为公共角，根据全等三角形的判定，进行解答，即可． 【详解】解：已知，是公共角； A、，无法判定三角形全等，不符合题意； B、，无法判定三角形全等，不符合题意； C、， 则， ∴ ，符合题意； D、，无法判定三角形全等，不符合题意； 【变式9-1】（25-26八年级上·湖南怀化·阶段检测）如图，点A、D、C、F在同一直线上，，添加下列条件，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定方法逐一判定即可求解． 【详解】解：已知， 添加，运用边边角不能判定，故A选项符合题意； 添加，则，运用角角边可以判定，故B选项不符合题意； 添加，运用角边角可以判定，故C选项不符合题意； 添加，运用边角边可以判定，故D选项不符合题意； 故选：A ． 【变式9-2】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，点在同一条直线上，，，添加下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：∵， ∴， A、添加条件，结合条件，，可以由证明，不符合题意； B、添加条件，结合条件，，可以由证明，不符合题意； C、添加条件，则，即，结合条件，，可以由证明，不符合题意； D、添加条件，得，结合条件，，不可以由证明，符合题意． 【变式9-3】（25-26八年级上·甘肃临夏·阶段检测）如图，已知，需要条件（用图中的字母表示）______，可得，根据是______． 【答案】 或 或 【详解】解：已知，需要条件（用图中的字母表示）为，可得，根据是． 理由如下： ∵，，， ∴， 已知，需要条件（用图中的字母表示）为，可得，根据是． 理由如下： ∵，，， ∴， 题型十 灵活选择判定方法证全等 【例10】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）根据下列已知条件，能确定的形状和大小的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键：根据三角形全等的判定定理，只有选项C满足ASA条件，能唯一确定三角形的形状和大小． 【详解】解：A、不能确定唯一三角形，不符合题意； B、SSA不能确定唯一三角形，不符合题意； C、能确定唯一三角形，符合题意； D、SSA不能确定唯一三角形，不符合题意； 故选：C． 【变式10-1】（25-26八年级上·重庆·阶段检测）根据下列已知条件，能唯一画出的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．， 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系和确定三角形的条件是解题的关键，根据三角形的三边关系对各项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、，不能构成三角形，此项错误，不符合题意； B、已知两角夹边，三角形即可确定，此项正确，符合题意； C、边边角不能确定三角形，此项错误，不符合题意； D、两角不能确定三角形，此项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式10-2】（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，在和中，给出下列三个论断：①；②；③．请选择其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题．请写出你选择的一个真命题加以证明． 已知： 求证： 证明： 【答案】 若选择①③作为条件，②作为结论，则有： 已知：如图，在和中，，． 求证：． 证明：在和中， ， ∴， ∴． 若选择①②作为条件，③作为结论，是一个假命题，无法证明； 若选择②③作为条件，①作为结论，则有： 已知：如图，在和中，，． 求证：． 证明：在和中， ， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；根据全等三角形的性质与判定可进行求解． 【详解】解：略． 【变式10-3】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)；； (2) 解： 证明：在和中， ， ∴； ∴，，， ∴， ∴， 在与中， ； ∴，， ∴，即， 在与中， ， ； ∴． 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题关键是熟知全等三角形的判定定理，，，． （1）利用全等三角形的判定定理判定即可； （2）利用得到即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴； ∴，，， ∴， ∴， 在与中， ； ∴，， ∴，即， 在与中， ， ； 综上，全等三角形有；；； （2）略 题型十一 辅助线问题——倍长中线模型 【例11】（25-26八年级上·安徽滁州·期中）阅读并写出正确的证明过程． 如图，已知：为的中线，求证：． 证明：延长至使得，连接，则， 为的中线（已知）， ， 在和中， ， ∴（_______）， （______）， 在中，根据三角形的三边关系有： （_______________________________）， 而_____， 这种辅助线方法，我们称为“倍长中线法”， 【答案】；；；；；；三角形的两边之和大于第三边； 【分析】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握好全等三角形的判定定理和性质是解题关键． 将中线倍长后，用“”易证．根据全等三角形的性质，将转化为，此时．在中，运用三角形的基本性质来证明题干的不等式． 【详解】证明：延长至使得，连接，则， ∵为的中线已知， ， 在和中， ， ∴， ， 在中，根据三角形的三边关系有： （三角形的两边之和大于第三边）， 而，， ， 故答案为：；；；；；；三角形的两边之和大于第三边；． 【变式11-1】（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，是中边上的中线，若，，设，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形性质和判定，三角形中线性质，三角形三边关系，解题的关键在于倍长中线构造全等三角形． 延长至点，取，连接，结合三角形中线性质证明，得到，再利用三角形三边关系求解，即可解题． 【详解】解：延长至点，取，连接， 是中边上的中线， ， ， ， ，， ， ， ， ， 整理得， 故答案为：． 【变式11-2】（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，已知在中，是边上的中线，分别以为直角边作直角和，其中，连接． (1)若，求的取值范围； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质； （1）延长至点，使，连接，证明，可得，再根据三角形三边关系即可解答． （2）根据可得，推出，等量代换得到，再证明，得到，进而可得结论． 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使，连接， 因为是边的中线， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． （2）证明：因为， 所以， 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 【变式11-3】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： (1)【问题背景】 如图1，中，是中线，则的取值范围是______； (2)【变式思考】 如图2，中，是中线，分别以为腰在外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】 如图3，在四边形中，对角线相交于点E，，点F是的中点，，当时，求的长． 【答案】(1)； (2) 证明：延长至G，使，连接，则 ∵点是中线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． (3)12 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的内角和定理等知识． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解； （2）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到； （3）延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，先证可得，，再证明，得到，，最后证明，得到进而即可求解． 【详解】（1）解：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴，又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 故答案为：； （2）略 （3）如图，延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接， ∵点F是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型十二 辅助线问题——手拉手模型 【例12】（25-26八年级上·甘肃临夏·期末）综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【答案】（1）； （2），， 理由如下：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角． （1）证明，即可得到； （2）根据等腰三角形的性质，证明即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． （2）略 【变式12-1】（25-26八年级上·广西南宁·期中）【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，，，，．依据的是判定定理_________． A．    B．    C．    D． 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图（3），在四边形中，，，，连接，，，到直线的距离为7，请求出的面积．      【答案】（1）B；（2），；（3） 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）由条件可以看出是两边及夹角对应相等的两个三角形全等，据此求解即可； （2）先证明得到，，再延长与交于点O，证明即可得到； （3）过A作交延长线于M，作交于N，可证得，可得，再由求出和的长即可． 【详解】解：（1），，， ．依据的是判定定理， 故选：B； （2），，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 延长与交于点O，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）过A作交延长线于M，作交于N，如图3， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵A到直线的距离为7， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【变式12-2】（25-26八年级上·河南开封·期末）（1）问题发现： 如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、在同一条直线上，则的度数为__________，线段、之间的数量关系__________； （2）拓展探究： 如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、不在一条直线上，请判断线段、之间的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题： 如图3，和均为等腰三角形，，则直线和的夹角为__________．（请用含的式子表示） 【答案】（1）90°，AD=BE；（2）AD=BE，AD⊥BE；（3） 【分析】（1）由已知条件可得，，进而根据∠ACB−∠DCB＝∠DCE−∠DCB，可得∠ACD＝∠BCE，证明△ACD≌△BCE（SAS），即可求得AD=BE；∠BEC=∠CDA=135°； （2）延长交于点F，同理可得△ACD≌△BCE，设∠FAB=α，则∠CAD=∠CBE=45°-α，根据∠ABE=45°+45°-α=90°-α，进而根据∠AFB=180°-∠FAB-∠ABE=180°-α-(90°-α)=90°，即可求解； （3）延长BE交AD于点G，方法同（2）证明△ACD≌△BCE，进而根据三角形的内角和定理即可求得直线和的夹角． 【详解】（1）∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，∠CDE=45° ∴∠CDA=135° ∵∠ACB−∠DCB＝∠DCE−∠DCB， ∴∠ACD＝∠BCE． 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠BEC=∠ADC＝135°，AD＝BE ∴∠AEB=90° 故答案为：90°，AD＝BE （2）AD=BE，AD⊥BE，理由如下， 同理可得△ACD≌△BCE， 则AD=BE， 延长交于点F， 设∠FAB=α，则∠CAD=∠CBE=45°-α ∴∠ABE=45°+45°-α=90°-α ∴∠AFB=180°-∠FAB-∠ABE=180°-α-(90°-α)=90° ∴AD⊥BE （3）如图，延长BE交AD于点G， ∵和均为等腰三角形， ∴，， ∵∠ACB=∠DCE=α， ∵∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE， ∴∠ACD＝∠BCE． 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CBE=∠CAD ∵ ∴∠CBA=∠CAB = ∴∠GAB+∠GBA=， ， ∴∠AGB=180°-(∠GAB+∠GBA) ， 即直线和的夹角为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，掌握旋转模型证明三角形全等是解题的关键． 【变式12-3】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，等腰，，，等腰，，，点、分别在轴、轴的正半轴上． (1)如图1，若，直接写出点的坐标：___________； (2)如图1，点，、两点均在轴上，且，连接交轴于点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． (3)如图2，若，求证：． 【答案】(1) (2)不发生改变， (3) 证明：如图，连接、交于点H， 与为等腰直角三角形， ，，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ． 【分析】（1）过点C作，构造一线三垂直全等即可得出点C坐标； （2）过点E作，构造一线三垂直全等得出，从而可证，结合即可求解； （3）连接和，可证明，从而证明，利用八字型导角即可得证． 【详解】（1）解：如图，过点C作， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 故答案为： （2）解：长度不发生改变，，理由如下， 如图，过点C作，过点E作， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 在与中， ， ， ， ， ， ， ； （3）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握一线三垂直的辅助线构造是解决本题的关键． 题型十三 辅助线问题——一线三等角模型（三垂直模型） 【例13】（25-26八年级上·广东揭阳·期中）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系、全等三角形的判定及性质，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点，点分别作，垂直于轴，通过证明，得到，，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，过点，点分别作，垂直于轴， 则， ∴， ∵点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为， ∴，，， ∴， 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：A． 【变式13-1】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式13-2】（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过“一线三垂直”模型，证明，得． （2）同理证，得，再通过计算的长度． （3）作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型，证，结合A、C的坐标差得到线段长度，即可计算B点坐标． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ； （3）解：如图3过点作轴，过点作轴， 过点作轴，分别与交于点， 轴，轴，轴， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 点坐标为． 【点睛】考查 “一线三垂直”模型、全等三角形的判定（AAS）、等腰直角三角形的性质、平面直角坐标系中点的坐标计算．解题关键识别“一线三垂直”模型，准确找到全等三角形的对应边、对应角；坐标系中利用垂直辅助线将点的坐标差转化为线段长度． 【变式13-3】（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中） 【基础回顾】（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】（2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】（3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ； （2）证明：∵是的外角， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴； （3），大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 同理可证明： ． ∴． ∴． ∵，， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）证明得到，，则； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，先证明得到．同理可证明：得到．则，即可得到，，． 【详解】略 题型十四 辅助线问题——截长补短模型 【例14】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点D．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，在上截取，连接，利用已知条件求证，然后可得，，再利用三角形外角的性质求证，然后问题可解． 【详解】证明：如图，在上截取，连接． 的平分线交边于点， ， 在与中， ， ∴， ，， ，， ， ， ， ， ∵， ． 【变式14-1】（25-26八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到，，在上截取，连接，分别证明，，得到，即可证明结论． 【详解】证明：， ， 、分别平分、， ，， ， ， ， 如图，在上截取，连接，    在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键． 【变式14-2】（25-26八年级上·河南漯河·阶段检测）如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的定义、三角形的外角，全等三角形的判定和性质，证明线段的和差常用“截长或补短”的方法． （1）利用三角形的内角和求出的度数，再利用角平分线得到、的大小，最后求出外角的度数； （2）在上，构造，再利用条件证明，从而得到解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线，交于点 ∴,， ∵是的外角， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ，     ∴ ， ∴， ∵， ∴． 【变式14-3】（25-26八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】 （1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】（1）略 （2）略 题型十五 辅助线问题——对角互补、半角等其他模型 【例15】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 【变式15-1】（25-26八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1)证明：如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)不成立，， 理由：如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即：． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握利用半角模型去截长补短是解题的关键． （1）延长至点，使，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明； （2）在上截取，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【变式15-2】（25-26八年级上·广东广州·期中）已知中，，，点是上的一点，过点作于点． (1)如图1，______．（用含的式子表示） (2)如图2，是边上的高，点为的角平分线与的交点，交于点． ①求证：； ②连接，求的度数． 【答案】(1) (2) ①证明：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，，， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ② 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，再根据直角三角形的性质即可求解； （2）①根据三角形内角和定理推出，利用角的和差得到，根据角平分线的定义得到，得到，推出是等腰直角三角形，即可证明； ②在上截取，连接，先证明，得到，，进而证出是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①略 ②解：如图，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【变式15-3】（25-26八年级上·山西长治·期中）综合与探究 数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． (1)如图1，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请探究线段之间的数量关系．下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内容补充完整． 解：延长EB到G，使得，连接AG 在和中 ∴，∴ ∴ ∴，∴ ……    (2)班长李浩发现在如图2所示的四边形中，若，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由．    (3)如图3，在四边形中，，E，F分别是边延长线上的点，且，请判断线段之间的数量关系，并说明理由．    【答案】(1) 解：延长到G，使得，连接，    在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； (2) ；理由如下： 延长到点，使，则，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) ，理由如下： 在上取一点，使，    ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴．’ 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型十六 全等三角形的综合问题 【例16】（25-26八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，，，，垂足分别为E，F，与交于点D，有下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和得到，由全等三角形的判定定理得到，故①选项正确，由，得，于是得到，选项④正确；同时可证明，选项②正确，根据全等三角形的性质得到， 则，选项④正确连接，证得，根据全等三角形的性质得到，即点D在的平分线上，选项③正确， 【详解】解：∵， ， 在中，，在中， ， 在和中， ， ∴，故①选项正确； ， ， 得， ∴，选项④正确； 在和中， ， ∴，选项②正确； 连接， 在和中， ， ∴， ，即点D在的平分线上，选项③正确； 故正确的为①②③④． 【变式16-1】（25-26八年级上·广西来宾·期末）如图，中，，的角平分线、相交于点P，延长至F，沿着折叠与重合，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（  ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】由，得，因为，，所以，则．可判断①正确；由折叠得，，则，所以，可判断②正确；所以，推导出，可根据“”证明，可判断③正确；延长交于点，可证明，得，再证明，得，则，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：中，， ， 的角平分线、相交于点， ，， ， ， 故①正确； 延长至，沿着折叠与重合，交于点， ，， ， ， 故②正确； ， ，， ， 在和中， ， （）， 故③正确； 延长交于点，则， ， ， 在和中， ， （）， ， 在和中， ， （）， ， ， 故④正确． 故选：A． 【点睛】此题重点考查角平分线的定义、直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、同角的余角相等、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出是解题的关键． 【变式16-2】（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动_________s时，． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 由题意易得，则有，然后可分当点E在直线的上方时，当点E在直线的下方时，进而分类进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由题意可分：当点E在直线的上方时， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为； 当点E在直线的下方时， 同理可得：， ∴， ∴点E的运动时间为； 综上所述：当点E运动或时，有； 故答案为：或． 【变式16-3】（25-26八年级上·湖南·期末）如图，在△中，于，于，与相交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)连接，若，，求． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，从而可得，，进而可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质即可解答； （2）根据已知易得：，是的垂直平分线，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，再利用全等三角形的性质可得，即可解答； （3）设，利用全等三角形的性质可得，然后利用三角形的面积可得，从而进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， ， ， ； （2）解：，， ， ，， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ； （3）解：设， ， ， ，， ， ， ， ， ． 题型十七 尺规作图——作一个角等于已知角（作平行线） 【例17】（25-26八年级上·湖南常德·期末）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，用尺规作“一个角等于已知角”的过程中，作出的依据是（   ） A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边 【答案】A 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，全等三角形的判定．根据尺规作图的过程可知，，，再根据全等三角形的判定定理得出答案． 【详解】解：由作图过程可知，，， ∴ ∴的依据是边边边． 故选：A． 【变式17-1】（26-27八年级上·陕西西安·期末）如图所示，点C在射线上．请用尺规作图法，在外找一点D，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点D即为所求． 【分析】本题考查作一个角等于已知角，平行线的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 在的左侧作即可． 【详解】略 【变式17-2】（25-26八年级上·广西贵港·期末）如图，已知，点E是上一点． (1)尺规作图：在上找一点F，使得．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接．若，，且平分，求的度数． 【答案】(1) 解：如图，点F即为所求； (2) 【分析】本题考查了尺规作图---作一个角等于已知角，平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理的应用． （1）根据作一个角等于已知角的方法即可作图； （2）先由三角形内角和定理求出的度数，证明，然后根据平行线的性质以及角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）知， ∴， ∴ 【变式17-3】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，已知． (1)利用尺规作图，在的下方作，在射线上截取，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)延长与射线交于点E，若，，，求的周长． 【答案】(1) 如图：即为所求． (2)8 【分析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定与性质、线段的和差等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据要求运用尺规作图即可； （2）先证明可得，再根据线段的和差可得，再根据三角形周长公式以及等量代换即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：如图：延长BA与射线CM交于点E， ∵，，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴的周长为． 题型十八 尺规作图——作三角形 【例18】（25-26八年级上·河南南阳·期中）我们曾这样“做一做”：如图1，已知、和线段，试作，使，，．我们用尺规作图得到如图2所示的，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作三角形，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法． 【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即ASA． 故选C． 【变式18-1】（25-26八年级上·福建龙岩·期中）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a，c，． 求作：，使，，． 下面是作图示范： 正确作图顺序为（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图的顺序，根据已知的三角形的两边及其夹角，按照尺规作图的步骤来确定正确的作图顺序． 【详解】解：首先确定三角形的一条边，作线段，对应图①； 作一个角等于已知角α，以B点为顶点，作，对应图③； 在射线上截取线段，在已作的角的射线上，截取，对应图②； 连接，得到，对应图④， ∴正确作图顺序为：①③②④． 故选：B． 【变式18-2】（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，点D是外一点，连接，已知，． (1)在内求作一点M，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求的度数． 【答案】(1) 解：如图，点M即为所求； (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，尺规作图： （1）以点A为圆心，的长为半径画弧，再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，即可； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：，， ． ． ， ． ． 【变式18-3】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，已知线段b和． (1)请用无刻度的直尺和圆规作；使，；（保留作图痕迹，不写作法） (2)请作适当的辅助线证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握作图技能． （1）画射线，截取，利用画一个角等于已知角的方法作即可； （2）如图所示，过点B作，证明出，即可得到． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：如图所示，过点B作 ∴ ∵， ∴ ∴． 题型十九 利用全等求正方形网格中角度和差问题 【例19】（25-26八年级上·北京·期中）如图，点A，点B，点C，点D均在格点上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形的外角性质， 由题意可得：，，即可证明，从而得出，根据三角形的外角可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， , ， ， ． 故选：C． 【变式19-1】（25-26八年级上·广东肇庆·阶段检测）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由图可得，，进而得到，再利用等边对等角求出的度数，即可得出答案． 【详解】解：如图， 由图可得，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式19-2】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键． 根据网格特点，可得出，，，进而可求解． 【详解】解：如图，则，，， ∴， 故选：C． 【变式19-3】（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则____________ 【答案】/90度 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，先证明得出，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图， 在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.2 三角形全等的判定 【新人教版】 【题型1 用SAS证明三角形全等】......................................................................................................................2 【题型2 全等的性质和SAS综合】......................................................................................................................3 【题型3 用ASA（AAS）证明三角形全等】......................................................................................................5 【题型4 全等的性质和ASA（AAS）综合】......................................................................................................5 【题型5 用SSS证明三角形全等】......................................................................................................................6 【题型6 全等的性质和SSS综合】......................................................................................................................7 【题型7 用HL证明三角形全等】.......................................................................................................................8 【题型8 全等的性质和HL综合】.......................................................................................................................9 【题型9 添加条件使三角形全等】....................................................................................................................10 【题型10 灵活选择判定方法证全等】..............................................................................................................11 【题型11 辅助线问题——倍长中线模型】......................................................................................................12 【题型12 辅助线问题——手拉手模型】..........................................................................................................14 【题型13 辅助线问题——一线三等角模型（三垂直模型）】........................................................................16 【题型14 辅助线问题——截长补短模型】......................................................................................................18 【题型15 辅助线问题——对角互补、半角等其他模型】..............................................................................19 【题型16 全等三角形的综合问题】..................................................................................................................21 【题型17 尺规作图——作一个角等于已知角（作平行线）】........................................................................22 【题型18 尺规作图——作三角形】..................................................................................................................23 【题型19 利用全等求正方形网格中角度和差问题】......................................................................................25 1.基础前提 判定全等，至少需要一组边相等，仅用角（AAA）、两边一角中夹角不确定（SSA），均无法判定三角形全等。 2.五种判定定理 · SSS（边边边） 文字：三边对应相等的两个三角形全等。 · SAS（边角边） 文字：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 关键点：相等的角必须是两条已知边中间的夹角。 · ASA（角边角） 文字：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 · AAS（角角边） 文字：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 补充：AAS可由ASA+内角和推导得出。 · HL（斜边、直角边，仅限直角三角形） 文字：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 注意：HL 只用于直角三角形，普通三角形不可使用。 3.常用隐含相等条件 公共边、公共角、对顶角相等；平行线带来内错角/同位角相等；同角/等角的补角、余角相等。 1. 误用SSA、AAA判定普通三角形全等； 2. SAS错用两边非夹角； 3. 普通三角形乱用HL定理； 4. 证明书写条件罗列混乱，不对应判定定理； 5. 忽略公共边、对顶角等天然等量条件。 1. 判定选择口诀： 有三边选SSS，两边找夹角SAS，两角找夹边ASA、找对边AAS，直角优先HL； 2. 倒角常用：平行线、外角、内角和、同角等角互余互补； 3. 线段等量：公共边、线段和差、中点、中线转化边长； 4. 证明步骤：先找等量条件→锁定判定定理→规范书写格式。 题型一 用SAS证明三角形全等 【例1】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，已知，，则的依据是（  ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知：如图，A、D是CF上的两点，且，，．求证：． 【变式1-2】（25-26八年级上·北京·期末）如图，点A，E，B，F在同一直线上，与相交于点G，．求证：． 【变式1-3】（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：．    题型二 全等的性质和SAS综合 【例2】（25-26八年级上·广东韶关·阶段检测）如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式2-2】（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【变式2-3】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在和中，，且点在边上，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 题型三 用ASA（AAS）证明三角形全等 【例3】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，点，，，在一条直线上，，连接，，．若要使，则需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，，，垂足分别为D，E，．下列选项中，可以直接作为判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，点，，，在同一条直线上，且，，，根据以上条件判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在和中，三点共线，三点共线，，．求证：． 题型四 全等的性质和ASA（AAS）综合 【例4】（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，D是上一点，交于点E，，，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．1 【变式4-1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知：如图，与交于点，点是线段的中点，，连接、．求证：． 【变式4-2】（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，试求的长． 【变式4-3】（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，，，垂足分别是，，，． (1)请说明和的数量关系，并说明理由； (2)求的长． 题型五 用SSS证明三角形全等 【例5】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，，，则证明的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图是作的尺规作图，其中三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26八年级上·吉林白山·期末）如图，点C、B、E、F在同一条直线上，，，．求证：． 【变式5-3】（25-26八年级上·河南漯河·阶段检测）如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：． 题型六 全等的性质和SSS综合 【例6】（25-26八年级上·山西临汾·期末）将和按如图方式放置，与交于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，点B、C、E三点在同一直线上，且，若，则的度数为____． 【变式6-2】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求度数． 【变式6-3】（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 题型七 用HL证明三角形全等 【例7】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在和中，，．若用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26八年级上·吉林·阶段检测）如图，，，垂足分别为E，F，，，求证：． 【变式7-2】（25-26八年级上·山东济南·期末）已知：如图，，点为线段上两点且．求证：． 【变式7-3】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，，，于点，于点，求证． 题型八 全等的性质和HL综合 【例8】（25-26八年级上·河南漯河·期末）如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ）． A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，在内引射线，作于点D，于点E，若，，下列选项不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，，，于，于，，求证：点是的中点． 【变式8-3】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 题型九 添加条件使三角形全等 【例9】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，点在上，点在上，．下列条件中能判断的是（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26八年级上·湖南怀化·阶段检测）如图，点A、D、C、F在同一直线上，，添加下列条件，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，点在同一条直线上，，，添加下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26八年级上·甘肃临夏·阶段检测）如图，已知，需要条件（用图中的字母表示）______，可得，根据是______． 题型十 灵活选择判定方法证全等 【例10】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）根据下列已知条件，能确定的形状和大小的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式10-1】（25-26八年级上·重庆·阶段检测）根据下列已知条件，能唯一画出的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．， 【变式10-2】（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，在和中，给出下列三个论断：①；②；③．请选择其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题．请写出你选择的一个真命题加以证明． 已知： 求证： 证明： 【变式10-3】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 题型十一 辅助线问题——倍长中线模型 【例11】（25-26八年级上·安徽滁州·期中）阅读并写出正确的证明过程． 如图，已知：为的中线，求证：． 证明：延长至使得，连接，则， 为的中线（已知）， ， 在和中， ， ∴（_______）， （______）， 在中，根据三角形的三边关系有： （_______________________________）， 而_____， 这种辅助线方法，我们称为“倍长中线法”， 【变式11-1】（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，是中边上的中线，若，，设，则的取值范围是____________． 【变式11-2】（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，已知在中，是边上的中线，分别以为直角边作直角和，其中，连接． (1)若，求的取值范围； (2)求证：． 【变式11-3】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： (1)【问题背景】 如图1，中，是中线，则的取值范围是______； (2)【变式思考】 如图2，中，是中线，分别以为腰在外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】 如图3，在四边形中，对角线相交于点E，，点F是的中点，，当时，求的长． 题型十二 辅助线问题——手拉手模型 【例12】（25-26八年级上·甘肃临夏·期末）综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【变式12-1】（25-26八年级上·广西南宁·期中）【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，，，，．依据的是判定定理_________． A．    B．    C．    D． 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图（3），在四边形中，，，，连接，，，到直线的距离为7，请求出的面积．      【变式12-2】（25-26八年级上·河南开封·期末）（1）问题发现： 如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、在同一条直线上，则的度数为__________，线段、之间的数量关系__________； （2）拓展探究： 如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、不在一条直线上，请判断线段、之间的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题： 如图3，和均为等腰三角形，，则直线和的夹角为__________．（请用含的式子表示） 【变式12-3】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，等腰，，，等腰，，，点、分别在轴、轴的正半轴上． (1)如图1，若，直接写出点的坐标：___________； (2)如图1，点，、两点均在轴上，且，连接交轴于点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． (3)如图2，若，求证：． 题型十三 辅助线问题——一线三等角模型（三垂直模型） 【例13】（25-26八年级上·广东揭阳·期中）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【变式13-2】（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【变式13-3】（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中） 【基础回顾】（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】（2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】（3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 题型十四 辅助线问题——截长补短模型 【例14】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点D．求证：． 【变式14-1】（25-26八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    【变式14-2】（25-26八年级上·河南漯河·阶段检测）如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 【变式14-3】（25-26八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 题型十五 辅助线问题——对角互补、半角等其他模型 【例15】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式15-1】（25-26八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【变式15-2】（25-26八年级上·广东广州·期中）已知中，，，点是上的一点，过点作于点． (1)如图1，______．（用含的式子表示） (2)如图2，是边上的高，点为的角平分线与的交点，交于点． ①求证：； ②连接，求的度数． 【变式15-3】（25-26八年级上·山西长治·期中）综合与探究 数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． (1)如图1，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请探究线段之间的数量关系．下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内容补充完整． 解：延长EB到G，使得，连接AG 在和中 ∴，∴ ∴ ∴，∴ ……    (2)班长李浩发现在如图2所示的四边形中，若，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由．    (3)如图3，在四边形中，，E，F分别是边延长线上的点，且，请判断线段之间的数量关系，并说明理由．    题型十六 全等三角形的综合问题 【例16】（25-26八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，，，，垂足分别为E，F，与交于点D，有下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【变式16-1】（25-26八年级上·广西来宾·期末）如图，中，，的角平分线、相交于点P，延长至F，沿着折叠与重合，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（  ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【变式16-2】（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动_________s时，． 【变式16-3】（25-26八年级上·湖南·期末）如图，在△中，于，于，与相交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)连接，若，，求． 题型十七 尺规作图——作一个角等于已知角（作平行线） 【例17】（25-26八年级上·湖南常德·期末）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，用尺规作“一个角等于已知角”的过程中，作出的依据是（   ） A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边 【变式17-1】（26-27八年级上·陕西西安·期末）如图所示，点C在射线上．请用尺规作图法，在外找一点D，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式17-2】（25-26八年级上·广西贵港·期末）如图，已知，点E是上一点． (1)尺规作图：在上找一点F，使得．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接．若，，且平分，求的度数． 【变式17-3】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，已知． (1)利用尺规作图，在的下方作，在射线上截取，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)延长与射线交于点E，若，，，求的周长． 题型十八 尺规作图——作三角形 【例18】（25-26八年级上·河南南阳·期中）我们曾这样“做一做”：如图1，已知、和线段，试作，使，，．我们用尺规作图得到如图2所示的，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（    ） A． B． C． D． 【变式18-1】（25-26八年级上·福建龙岩·期中）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a，c，． 求作：，使，，． 下面是作图示范： 正确作图顺序为（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 【变式18-2】（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，点D是外一点，连接，已知，． (1)在内求作一点M，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求的度数． 【变式18-3】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，已知线段b和． (1)请用无刻度的直尺和圆规作；使，；（保留作图痕迹，不写作法） (2)请作适当的辅助线证明． 题型十九 利用全等求正方形网格中角度和差问题 【例19】（25-26八年级上·北京·期中）如图，点A，点B，点C，点D均在格点上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式19-1】（25-26八年级上·广东肇庆·阶段检测）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式19-2】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式19-3】（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则____________ 1 学科网（北京）股份有限公司 $