15.1.1 轴对称及其性质（9大题型·一题三变）专项讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦“轴对称及其性质”核心知识点，从轴对称图形与成轴对称的定义出发，明确二者区别与联系，通过对称点连线垂直平分线等核心性质、垂直平分线定义构建基础，结合易错点分析与解题方法指导，形成由概念到应用的学习支架。 资料设计9类题型，涵盖识别、折叠、最值等，例题选自各地期中期末真题，融入企业标志、剪纸等生活实例和台球、光线反射等跨学科情境。通过模拟折叠、对称点作图等方法，培养几何直观与空间观念，提升推理能力与应用意识，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

15.1.1 轴对称及其性质 【新人教版】 【题型1 轴对称图形识别】...................................................................................................................................2 【题型2 成轴对称的两个图形识别】...................................................................................................................3 【题型3 根据轴对称图形的特征判断】...............................................................................................................3 【题型4 根据轴对称图形的特征求解】...............................................................................................................5 【题型5 最值问题】...............................................................................................................................................6 【题型6 折叠问题】...............................................................................................................................................7 【题型7 点坐标规律探索】...................................................................................................................................8 【题型8 台球桌面上的轴对称问题】...................................................................................................................9 【题型9 轴对称中的光线反射问题】.................................................................................................................10 1. 轴对称图形 （1）定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴。 （2）常见图形：线段、角、等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形、圆等。 2. 两个图形成轴对称 （1）定义：把两个图形沿着某一条直线折叠，如果这两个图形能够重合，就说这两个图形关于这条直线对称（成轴对称），直线为对称轴，折叠后重合的点为对称点。 （2）二者区别与联系 · 区别：轴对称图形是一个图形自身对称；成轴对称是两个图形之间的对称关系。 · 联系：把成轴对称的两个图形看成整体，就是轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴拆分，两部分成轴对称。 3. 轴对称的核心性质 · 对称轴是任意一组对称点连线的垂直平分线； · 对称点所连线段被对称轴垂直平分； · 成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分割出的两部分全等； · 对应线段相等、对应角相等；对应线段交点在对称轴上。 4. 垂直平分线定义 经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线。 1. 对称轴是直线，误写成线段、射线； 2. 混淆“轴对称图形”与“两个图形成轴对称”； 3. 误以为全等图形一定成轴对称； 4. 数对称轴漏数、多数，判定对称点连线与对称轴不垂直。 1. 判断轴对称：模拟折叠，看两侧能否完全重合； 2. 找对称轴：连接两组对称点，作连线中点垂线即为对称轴； 3. 几何计算：利用对称等量代换边角、线段长度； 4. 作图找点：作定点关于对称轴垂线，截取等长确定对称点。 题型一 轴对称图形识别 【例1】（25-26八年级上·安徽淮南·期末）改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、科大讯飞和凤凰光学就是其中的杰出代表．以下是上述四个企业的标志，其中轴对称图形是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·湖南长沙·期中）剪纸是中国民间传统艺术，观察下列四幅剪纸作品，其中属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·福建福州·期末）下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级上·广东广州·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 题型二 成轴对称的两个图形识别 【例2】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印象深刻，下列选项中两个图形成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·云南曲靖·期中）下列各选项中的两个图形属于轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级上·河北邢台·期中）视力表中的字母“”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“”关于直线成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26八年级上·山东德州·期末）下列两图形成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 题型三 根据轴对称图形的特征判断 【例3】（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，与关于直线l对称，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．直线l垂直平分 【变式3-3】（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，与关于直线对称，交于点．有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中不正确的是（    ）． A．① B．② C．③ D．④ 题型四 根据轴对称图形的特征求解 【例4】（25-26八年级上·河北衡水·期末）木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，于，点关于直线的对称点是点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26八年级上·福建南平·阶段检测）如图，P是外一点，D，E分别是上的点，连接，点M，N在直线上，与关于对称，与关于对称．若，则线段的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5.5 D．6 【变式4-3】（25-26八年级上·江西上饶·期中）如图，与关于直线对称，其中，，，． (1)求的度数． (2)求的周长． 题型五 最值问题 【例5】（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，在四边形中，，，，分别是，上的动点，当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，点P是边上一动点，点D在边上，且，则当取最小值时，（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，，点、分别在射线上，，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，______，的面积最小值为______． 【变式5-3】（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，点，是 内部两点．利用尺规作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)作 的角平分线； (2)在角平分线上找一点，使最小． 题型六 折叠问题 【例6】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，点在边上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，把纸片沿折叠，点落在四边形的外部，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26八年级上·安徽池州·期末）把如图的三角形纸片，沿所在直线折叠，使点落在四边形内部的点处，折痕为，则、、之间满足的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，中，，以为边，将此三角形对折，其次，又以为边，再一次对折，C点落在上，此时，则原三角形的_______ 度． 题型七 点坐标规律探索 【例7】（25-26八年级上·全国·期中）如图，动点P从出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2024次碰到矩形的边时，点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图动点从出发，沿如图所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第2014次碰到长方形的边时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是______． 【变式7-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是____ 题型八 台球桌面上的抽对称问题 【例8】（25-26八年级上·全国·课后作业）下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（    ）次． A．6 B．7 C．8 D．9 【变式8-1】（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 __点． 【变式8-2】（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是____________号袋． 【变式8-3】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，长方形是台球台面，有白、黑两球分别位于点M，N处，试问：怎样撞击白球M，才能使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N？ 题型九 轴对称中的光线反射问题 【例9】（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔所处的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为（两束光线关于过点且垂直于的直线对称），且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________． 【变式9-2】（25-26八年级上·河南周口·期中）项目式学习 项目主题：探究入射光线和反射光线的夹角度数与两块平面镜的夹角度数之间的关系，原理：平面镜反射光线规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束光线m射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜所夹的锐角． 研究步骤：①将两块平面镜如图竖直放置在桌面上，并使它们镜面间夹角的度数为； ②在同一平面内，用一束激光射到平面镜上，分别经过平面镜反射后，入射光线m与反射光线n形成的夹角度数为（如图2）； ③多次调整两块平面镜的夹角，并进行测量，得到多组和的值 ④数据分析，形成结论． 问题解决： (1)根据表中信息，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (2)若，写出的值． 【变式9-3】（25-26八年级上·江西吉安·期末）【情景感知】在物理课上学习了光的反射定律后，数学老师结合光学现象提出了几何问题：光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等（如图中）．借助几何知识计算，我们能探究镜面夹角、入射光线与反射光线的位置和角度关系．已知镜子与的夹角，入射光线经镜面、反射后得到反射光线，请结合光的反射定律和几何知识解答问题． 【学以致用】（1）如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由． 【问题探究】（2）如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探究与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】（3）如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过（为正整数，且）次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数．（可用含的代数式表示）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.1.1 轴对称及其性质 【新人教版】 【题型1 轴对称图形识别】...................................................................................................................................2 【题型2 成轴对称的两个图形识别】...................................................................................................................4 【题型3 根据轴对称图形的特征判断】...............................................................................................................5 【题型4 根据轴对称图形的特征求解】...............................................................................................................8 【题型5 最值问题】.............................................................................................................................................11 【题型6 折叠问题】.............................................................................................................................................16 【题型7 点坐标规律探索】.................................................................................................................................19 【题型8 台球桌面上的轴对称问题】.................................................................................................................23 【题型9 轴对称中的光线反射问题】.................................................................................................................25 1. 轴对称图形 （1）定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴。 （2）常见图形：线段、角、等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形、圆等。 2. 两个图形成轴对称 （1）定义：把两个图形沿着某一条直线折叠，如果这两个图形能够重合，就说这两个图形关于这条直线对称（成轴对称），直线为对称轴，折叠后重合的点为对称点。 （2）二者区别与联系 · 区别：轴对称图形是一个图形自身对称；成轴对称是两个图形之间的对称关系。 · 联系：把成轴对称的两个图形看成整体，就是轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴拆分，两部分成轴对称。 3. 轴对称的核心性质 · 对称轴是任意一组对称点连线的垂直平分线； · 对称点所连线段被对称轴垂直平分； · 成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分割出的两部分全等； · 对应线段相等、对应角相等；对应线段交点在对称轴上。 4. 垂直平分线定义 经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线。 1. 对称轴是直线，误写成线段、射线； 2. 混淆“轴对称图形”与“两个图形成轴对称”； 3. 误以为全等图形一定成轴对称； 4. 数对称轴漏数、多数，判定对称点连线与对称轴不垂直。 1. 判断轴对称：模拟折叠，看两侧能否完全重合； 2. 找对称轴：连接两组对称点，作连线中点垂线即为对称轴； 3. 几何计算：利用对称等量代换边角、线段长度； 4. 作图找点：作定点关于对称轴垂线，截取等长确定对称点。 题型一 轴对称图形识别 【例1】（25-26八年级上·安徽淮南·期末）改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、科大讯飞和凤凰光学就是其中的杰出代表．以下是上述四个企业的标志，其中轴对称图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此即可判断． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，故不符合题意． 【变式1-1】（25-26八年级上·湖南长沙·期中）剪纸是中国民间传统艺术，观察下列四幅剪纸作品，其中属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 【变式1-2】（25-26八年级上·福建福州·期末）下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【详解】解：观察可知，只有D选项的图形能找到一条直线，使图形折叠后能够完全重合，是轴对称图形，其余图形都不是轴对称图形． 【变式1-3】（25-26八年级上·广东广州·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平面内，沿一条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，根据轴对称图形的定义逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】 解：A、C、D选项图形无法找到一条直线，使折叠后两旁的部分完全重合，故不是轴对称图形，故A、C、D均不符合题意； B选项图形可以找到直线折叠，使得直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，故B符合题意． 题型二 成轴对称的两个图形识别 【例2】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印象深刻，下列选项中两个图形成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；熟练掌握对称点与对称轴垂直等距是解题的关键． 【详解】解：A是轴对称图形，故本选项符合题意； B.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C.不是轴对称图形，故本选项不合题意； D.不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 【变式2-1】（25-26八年级上·云南曲靖·期中）下列各选项中的两个图形属于轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是成轴对称图形的识别．利用成轴对称图形的概念（两个图形沿某条直线折叠，能够完全重合，就是成轴对称图形）可得答案． 【详解】解：A、两个图形沿某条直线折叠，能够完全重合，两个图形属于轴对称，符合题意； B、找不到一条直线两个图形沿直线折叠，能够完全重合，两个图形不属于轴对称，不符合题意； C、找不到一条直线两个图形沿直线折叠，能够完全重合，两个图形不属于轴对称，不符合题意； D、找不到一条直线两个图形沿直线折叠，能够完全重合，两个图形不属于轴对称，不符合题意； 故选：A． 【变式2-2】（25-26八年级上·河北邢台·期中）视力表中的字母“”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“”关于直线成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了成轴对称图形的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键． 根据成轴对称的定义，看图中的两个字母沿直线对折后能否完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、两个字母沿直线对折后能够完全重合，所以组合中的两个字母关于直线成轴对称，符合题意； B、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意； C、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意； D、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意． 故选：A． 【变式2-3】（25-26八年级上·山东德州·期末）下列两图形成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是两图形成轴对称的定义，解题关键是熟练掌握某两个图形沿着一条直线对折，能够完全重合，则称这两个图形关于这条直线形成轴对称． 根据两图形成轴对称的定义对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，两图形大小不相等，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，能找到直线使两图形完全重合，符合定义，符合题意． 故选：． 题型三 根据轴对称图形的特征判断 【例3】（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解；轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【详解】解：与关于直线对称， ，，，故A、C、D选项正确， 不一定成立，故B选项错误， 所以，不一定正确的是B． 【变式3-1】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，由轴对称的性质不能得出非对应线段的关系．由轴对称的性质可以得到对应线段、对应点的连线与对称轴的位置关系，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，不能得出非对应线段的关系． 【详解】解：根据题意分析，由轴对称的性质可以得到：对应线段相等，即A选项成立；对应线段是平行，即C选项成立；对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，即D选项成立；与为非对应线段，无法得到与的关系， 故选：B． 【变式3-2】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，与关于直线l对称，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．直线l垂直平分 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 根据轴对称的性质，逐一判断即可解答求解． 【详解】解：A、与关于直线l对称，，选项A正确，不符合题意； B、，，选项B正确，不符合题意； C、和关于直线对称，，不一定等于，选项C错误，符合题意； D、和△关于直线对称，垂直平分，选项D正确，不符合题意． 故选：C． 【变式3-3】（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，与关于直线对称，交于点．有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中不正确的是（    ）． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，熟记轴对称的性质对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等是解题的关键． 根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点， ∴，，垂直平分， ∴，， 综上可知：①②④正确，③错误， 故选：C． 题型四 根据轴对称图形的特征求解 【例4】（25-26八年级上·河北衡水·期末）木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、角的和与差，根据轴对称可知，，因为，，，即可求出的度数． 【详解】解：由轴对称可知，， ，，， ， ． 故选：D． 【变式4-1】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，于，点关于直线的对称点是点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，轴对称的性质，由直角三角形两锐角互余可得，进而由轴对称的性质可得，最后根据角的和差关系即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点关于直线的对称点是点， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式4-2】（25-26八年级上·福建南平·阶段检测）如图，P是外一点，D，E分别是上的点，连接，点M，N在直线上，与关于对称，与关于对称．若，则线段的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5.5 D．6 【答案】D 【分析】本题需利用轴对称的性质，将所求线段转化为已知线段的和差形式，通过已知的、、长度来计算的长．关键是理解“关于某直线对称的两条线段相等”这一性质，进而推导各线段间的数量关系． 【详解】解：与关于对称， ； 同理，与关于对称， ． ∵，， ，． 点在直线上，且，， ． 点在直线上，且， ． 【变式4-3】（25-26八年级上·江西上饶·期中）如图，与关于直线对称，其中，，，． (1)求的度数． (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据成轴对称的两个图形对应角相等即可得答案； （2）根据成轴对称的两个图形对应边相等得出，进而求出的周长即可． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵与关于直线对称，， ∴， ∵，， ∴的周长． 题型五 最值问题 【例5】（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，在四边形中，，，，分别是，上的动点，当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质（等边对等角）、外角和邻补角的性质，通过作对称点将求周长最小的问题进行转化是解题关键． 要使的周长最小，作关于、的对称点、，可得，根据等腰三角形的性质和外角得，即可得出答案． 【详解】如图，作关于、的对称点、，连接，交于，交于，则是周长的最小值，作的延长线， ，， , ， ， 根据对称的性质可得：和都是等腰三角形， ，， ， ； 故选:． 【变式5-1】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，点P是边上一动点，点D在边上，且，则当取最小值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，角平分线的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，利用转化的思想求解． 过点A作的对称点，连接，交于点，过点作，，垂足分别为，过点B作，垂足为点，则由对称可得，因为，那么当点三点共线时，取得最小值，此时点即为点的位置，再证明，即可求解． 【详解】解：过点A作的对称点，连接，交于点，过点作，，垂足分别为，过点B作，垂足为点， 由对称可得， ∴， ∴当点三点共线时，取得最小值，此时点即为点的位置， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴当取最小值时， 故选：B． 【变式5-2】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，，点、分别在射线上，，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，______，的面积最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．分点在线段上，点的左侧和点的右侧，三种情况进行讨论，连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：当点在线段上，如图，连接，过点作交的延长线于，    ∵，且， ∴， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为， 当点在点的左侧时，如图：连接，过点作交的延长线于，      同理可得：， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为， 当点在点的右侧时，如图：连接，过点作交的延长线于，      同理可得：， 的面积的最小值为， 综上：，的面积的最小值为； 故答案为：90，． 【变式5-3】（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，点，是 内部两点．利用尺规作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)作 的角平分线； (2)在角平分线上找一点，使最小． 【答案】(1) 即为所求： (2) 点即为所求： 【分析】本题考查了尺规作图，关键是熟练运用作图方法解题， （1）以点为圆心，以任意长为半径画弧，与边、分别相交于两点，再以这两点为圆心，以大于两点间距离为半径画弧，在内部相交于点，作射线即为的平分线； （2）找到点关于的对称点，连接交于点，则此时的值最小． 【详解】（1）略 （2）略 题型六 折叠问题 【例6】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，点在边上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的外角定理以及折叠的性质，掌握三角形的外角定理是解题的关键．由折叠的性质可求得，，再利用外角可求得，则可求得答案． 【详解】解：由折叠可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式6-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，把纸片沿折叠，点落在四边形的外部，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换的性质，三角形外角的性质，理解折叠前后对应角相等是解题关键．根据翻折的性质可得，再利用三角形外角的性质表示出，然后根据角的和差整理即可解答． 【详解】解：如图， 由题意可得，， 在中，， ， ， ， ，， ， 故选：A． 【变式6-2】（25-26八年级上·安徽池州·期末）把如图的三角形纸片，沿所在直线折叠，使点落在四边形内部的点处，折痕为，则、、之间满足的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是三角形的外角性质和图形的翻折变换，理清图中角与角的关系是解决问题的关键． 连接，分别在、中，利用三角形的外角性质表示出；两者相加联立折叠的性质即可得到所求的结论． 【详解】解：如图，连接， ∵沿折叠后，点的对应点为， ∴，，， 在中，， 在中，， ， 即. 故选：B． 【变式6-3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，中，，以为边，将此三角形对折，其次，又以为边，再一次对折，C点落在上，此时，则原三角形的_______ 度． 【答案】81 【分析】 由两次折叠得，则，由，且，，得，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查翻折变换的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出是解题的关键． 【详解】 解：由两次折叠得， ∴， ∵，且，， ∴， ∴， 故答案为：81． 题型七 点坐标规律探索 【例7】（25-26八年级上·全国·期中）如图，动点P从出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2024次碰到矩形的边时，点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对点的坐标的规律变化的认识，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解决本题的关键． 首先，根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反射为一个循环组依次循环，然后再用2024除以6，根据商和余数的情况确定对应点的坐标即可． 【详解】解：如图所示， 经过6次反弹后动点回到出发点（0，3）， ∵， ∴当P点第2024次碰到矩形的边时的坐标与P点第2次反弹碰到矩形的边时的坐标相同． ∴点P的坐标为． 故答案是B． 【变式7-1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图动点从出发，沿如图所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第2014次碰到长方形的边时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反弹时反射角等于入射角作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2014除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，经过6次反弹后点回到出发点， ∵， ∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组第4次碰到矩形的边， ∴点P的坐标为． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了点坐标的规律探索，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 【变式7-2】（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了小球碰撞正方形边时的对称问题、点的坐标的规律．根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2026除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：∵弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角， ∴小球第1次碰到正方形的边时的点为， 小球第2次碰到正方形的边时的点为， 小球第3次碰到正方形的边时的点为， 小球第4次碰到正方形的边时的点为， 小球第5次碰到正方形的边时的点为， 小球第6次碰到正方形的边时的点为， 如此重复， ∴小球每6次碰撞是一个循环组， ∵， ∴的坐标与相同， ∴的坐标为． 故答案为：． 【变式7-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是____ 【答案】673 【分析】如图，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解． 【详解】解：如图， 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环， 经过6次反弹后动点回到出发点，且每次循环它与AB边的碰撞有2次， ∵2021÷6=336…5， 当点P第2021次碰到长方形的边时为第336个循环组后的第5次反弹， ∴它与AB边的碰撞次数是=336×2+1=673次， 故答案为：673． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 题型八 台球桌面上的抽对称问题 【例8】（25-26八年级上·全国·课后作业）下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（    ）次． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】本题考查轴对称的知识，根据题意画出图形，然后即可作出判断．难度不大，注意画出图形会使问题比较简单直观． 【分析】解：根据图形可得总共反射了7次． 故选：B． 【变式8-1】（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 __点． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【详解】解：如图， 可以瞄准点击球． 故答案为：． 【变式8-2】（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是____________号袋． 【答案】3 【分析】主要考查了轴对称的性质．根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴该球最后将落入的球袋是3号． 故答案为：3． 【变式8-3】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，长方形是台球台面，有白、黑两球分别位于点M，N处，试问：怎样撞击白球M，才能使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N？ 【答案】见解析 【分析】本题是日常生活中常见的台球问题，通过感知并描述台球的运动规律，想象出小球被撞击后的运动路线，可利用轴对称的性质作出图形，培养了空间观念和应用意识．要使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N，可画点M关于的对称点，连接交于点O，则沿方向撞击白球可满足要求． 【详解】解：如图所示，画点M关于的对称点；连接交于点O，则白球M沿碰撞台边，必沿反弹击中黑球N． 理由：由轴对称性质得． 又∵， ∴． ∴白球M沿碰撞台边，必沿反弹击中黑球N． 题型九 轴对称中的光线反射问题 【例9】（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔所处的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为（两束光线关于过点且垂直于的直线对称），且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，反射角等于入射角，由题意得，，然后通过三角形内角和定理即可求解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵，, ∴， ∴， 故选：． 【变式9-1】（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________． 【答案】/64度 【分析】本题主要考查轴对称，平行线的性质的应用，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质推出，由光的反射定律得到，求出，由直角三角形的性质求出，即可求出的度数． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由光的反射定律得到：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式9-2】（25-26八年级上·河南周口·期中）项目式学习 项目主题：探究入射光线和反射光线的夹角度数与两块平面镜的夹角度数之间的关系，原理：平面镜反射光线规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束光线m射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜所夹的锐角． 研究步骤：①将两块平面镜如图竖直放置在桌面上，并使它们镜面间夹角的度数为； ②在同一平面内，用一束激光射到平面镜上，分别经过平面镜反射后，入射光线m与反射光线n形成的夹角度数为（如图2）； ③多次调整两块平面镜的夹角，并进行测量，得到多组和的值 ④数据分析，形成结论． 问题解决： (1)根据表中信息，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (2)若，写出的值． 【答案】(1) ，理由如下：如图2，根据平面镜反射光线规律，知，， ∴， 又， ∴，即． (2) 【分析】本题考查了平面镜反射定律的应用，掌握平面镜反射定律中反射角等于入射角是解题的关键． （1）猜想：．　根据平面镜的反射定律及三角形内角和定理验证即可； （2）将代入（1）问中的结论，计算即可求解． 【详解】（1）解：（1）略 （2）由（1）知， 当，． 【变式9-3】（25-26八年级上·江西吉安·期末）【情景感知】在物理课上学习了光的反射定律后，数学老师结合光学现象提出了几何问题：光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等（如图中）．借助几何知识计算，我们能探究镜面夹角、入射光线与反射光线的位置和角度关系．已知镜子与的夹角，入射光线经镜面、反射后得到反射光线，请结合光的反射定律和几何知识解答问题． 【学以致用】（1）如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由． 【问题探究】（2）如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探究与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】（3）如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过（为正整数，且）次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数．（可用含的代数式表示）． 【答案】（1）解：，理由如下： 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， 在中，， ∴ ； （3）或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论的思想． （1）在中，，可得，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，进而可得； （2）在中，，可得，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，在中，，可得α与β的数量关系； （3）分两种情况画图讨论：①当时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及内角和，可得．②当时，如果在边反射后与平行，则，与题意不符；则只能在边反射后与平行，根据三角形外角定义，可得，由，且由（1）的结论可得，． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ②当时，如果在边反射后与平行，则，与题意不符； 则只能在边反射后与平行， 如图所示： 根据三角形外角性质得，， ∵， ∴， 由，且由（1）的结论可得，， 则． 综上所述：γ的度数为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $