15.2 画轴对称的图形（10大题型·一题三变）专项讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“画轴对称的图形”核心知识点，系统梳理轴对称变换规律、对称点作图步骤、坐标系中对称坐标规律，搭建从基础作图到综合应用（线段/周长最值、面积、角度问题）再到实际镜面对称（车牌、钟表、电子钟）的学习支架。 该资料题型分层设计，从基础作图到综合问题再到生活应用，助力学生用数学眼光观察对称本质，通过“将军饮马”等问题培养推理能力，结合镜面对称实例发展应用意识。课中辅助教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识理解与应用。

15.2 画轴对称的图形 【新人教版】 【题型1 作轴对称图形】.......................................................................................................................................2 【题型2 坐标系中的对称】...................................................................................................................................7 【题型3 轴对称综合——线段最值问题（将军饮马）】.....................................................................................8 【题型4 轴对称综合——周长最值问题】.........................................................................................................12 【题型5 轴对称综合——面积问题】.................................................................................................................16 【题型6 轴对称综合——角度问题】.................................................................................................................20 【题型7 轴对称综合——其他问题】.................................................................................................................25 【题型8 车牌号码的镜面对称】.........................................................................................................................34 【题型9 钟表的镜面对称】.................................................................................................................................35 【题型10 电子钟示数的镜面对称】...................................................................................................................37 1. 轴对称变换规律 · 由一个平面图形得到它关于一条直线对称的图形，这个新图形与原图形形状、大小完全相同（全等）； · 新图形上每一点，都是原图形上某一点关于对称轴的对称点； · 任意一组对称点的连线被对称轴垂直平分。 2. 画已知点关于直线的对称点步骤 ①过已知点作对称轴的垂线； ②延长垂线，在对称轴另一侧截取一段线段，长度等于该点到垂足的距离； ③截取的端点即为所求对称点。 3. 画平面图形轴对称图形通用步骤（找点→描点→连线） · 找点：找出原图形所有关键点（顶点、拐点、端点）； · 描点：依次作出每个关键点关于对称轴的对称点； · 连线：按照原图顺序顺次连接各对称点，得到轴对称图形。 4. 平面直角坐标系中的轴对称坐标规律 设点坐标P(x,y) · 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标取相反数，P1(x,-y)； · 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标取相反数，P2(-x,y)； 拓展： · 关于直线x=a对称：对称点(2a-x,y)； · 关于直线y=b对称：对称点(x,2b-y)。 1. 对称点作图未作垂线，随意定点； 2. 坐标系轴对称坐标符号记混； 3. 画图时遗漏关键点、连线顺序错乱导致图形变形； 4. 误认为对称前后图形大小、形状会改变。 1. 复杂图形作图：只锁定顶点作图，不用描所有线条； 2. 坐标速记：x轴对称变y符号，y轴对称变x符号； 3. 折叠题型：折叠前后为轴对称，直接用坐标、线段等量替换； 4. 多步对称：分步找点，逐步换算坐标。 题型一 作轴对称图形 【例1】（25-26八年级上·广东·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出关于x轴对称的； (2)写出点、、的坐标． 【答案】(1)见详解 (2)、、 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据点关于x轴对称的规律“横坐标不变，纵坐标互为相反数”求解即可． 【详解】（1）解：如图，为所求作； （2）解：由题意得 、、． 【变式1-1】（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)画出与关于y轴对称的，且点A，B，C的对应点分别为D，E，F； (2)点E的坐标为 ． 【答案】(1)作图见解析 (2)点 【分析】本题主要考查了作轴对称图形，平面直角坐标系内点的坐标， 对于（1），作点A关于y轴对称的点D，点B关于y轴对称的点E，点C关于y轴对称的点F，再依次连接可得答案； 对于（2），在平面直角坐标系内可知点E在第一象限，且到两个坐标轴的距离都是3，可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作的三角形； （2）解：如上图，点． 故答案为：． 【变式1-2】（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， (1)求三个顶点关于x轴对称的点的坐标； (2)作出关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）的对称图形； (3)直接写出点关于直线轴对称的点的坐标____． 【答案】(1) (2)画图见解析 (3) 【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特点可得答案． （2）分别确定关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称的对称点，再顺次连接即可． （3）根据对称的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵三个顶点的坐标分别为，，， ∴三个顶点关于x轴对称的点的坐标为：，，． （2）解：如图，即为所求． （3）解：点关于直线的对称点的坐标为． 【变式1-3】（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知，，，． (1)与关于x轴对称，请直接写出、、的坐标； (2)在图中作出关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称的； (3)在平面直角坐标系中，是否存在点P，使得与全等，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) 解：如图，即为所求； (3)存在，，， 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （3）利用全等三角形的判定作出点P即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，，，； （2）略 （3）解：如图，点，，即为所求． 【点睛】本题考查坐标与图形--轴对称变换，网格中的全等三角形的判定，关键是掌握轴对称变换的性质． 题型二 坐标系中的对称 【例2】（25-26八年级上·广东中山·期中）点关于轴对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”进行求解即可． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标是． 【变式2-1】（25-26八年级上·山西运城·期末）点关于x轴对称的点N的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，直接按规律计算即可得到答案． 【详解】解：已知点坐标为， ∴点关于x轴对称的点的横坐标为，纵坐标为，即． 【变式2-2】（25-26八年级上·安徽宿州·期末）已知点与关于y轴对称，则x的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标特征，依据该特征即可求出x的值． 【详解】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数， 又点与关于y轴对称， ． 【变式2-3】（25-26八年级上·湖南株洲·期中）已知点和点关于轴对称，则___________． 【答案】 【分析】本题考查关于轴对称的两点的坐标特征，求代数式的值，关键是掌握两点关于轴对称的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数.根据特征求出与的值，再代入所求代数式计算即可. 【详解】解：关于轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数， ∵点和点关于轴对称， ∴，， ∴. 题型三 轴对称综合——线段最值问题（将军饮马） 【例3】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图， 在中，，，是的两条高线， P是上一个动点，连接，． 若，， 则的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题考查轴对称−最短问题、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质. 如图，连接，只要证明，即可推出，由，推出P、C、E共线时，的值最小，最小值为的长度． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴P、C、E共线时，的值最小，最小值为. 故答案为：． 【变式3-1】（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点、点分别为，上一点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质；作点关于的对称点，由于为的角平分线，则点落在上，连接交于点，当时，最小，再根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点， 由于为的角平分线，则点落在上，连接交于点， 当时，最小， ∵，则， 在中，， ∴ ， 的最小值为． 故答案为：． 【变式3-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，，P为线段上一动点，E是上一定点，F是线段上一动点，则当取最小值6时，的长为______． 【答案】24 【分析】本题考查垂线段最短，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质等知识，先根据等腰三角形的性质和垂直平分线的性质推导，再根据垂线段最短得出的最小值即为中边上的高，从而运用等面积法求出的长．推导“的最小值即为中边上的高”是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵，， ∴点D是的中点， ∴垂直平分， ∴，， 由垂线段最短可知，当点C、P、F三点共线，且所在直线垂直时，取最小值6， 此时，且垂直，即是中边上的高， ∴此时，， 即， 解得：． 【变式3-3】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）在边长为1的正方形网格中，点均在格点（网格线的交点）上，建立如图所示的平面直角坐标系，将向左平移4个单位，再向下平移3个单位，得到（点的对应点分别为）． (1)画出； (2)在轴上求作点，使的值最小． 【答案】(1) 如图所示，即为所求 (2) 如图所示，点即为所求． 【分析】本题考查了作图-平移变换，轴对称-最短路线问题，熟记平移变换的性质是解题的关键． （1）根据平移变换的性质找出对应点，顺次连接即可； （2）作点关于y轴的对称点，连接交y轴于点Q，则点Q即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 题型四 轴对称综合——周长最值问题 【例4】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，已知的三个顶点分别为，，． (1)画出关于轴对称的． (2)在轴上找一点，使得的周长最小（保留画图痕迹，不写作法），并求出点的坐标． 【答案】(1) 解：如图：即为所求， (2) 解：如图：点即为所求， 由图可得：； 【分析】本题考查了轴对称变换的性质，轴对称最短路线问题，解题关键是熟练掌握轴对称变换的性质． （1）根据轴对称变换的性质，找出的对应顶点，然后依次连接，即可求解； （2）将点关于轴的对称点与点连接交轴于点，则点即为所求．再根据图形直接得出点的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式4-1】（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，， (1)画出关于轴的对称图形，并写出各顶点的坐标； (2)在轴上确定一个点．使得的周长最小． 【答案】(1) 如图所示，即为所求， ，， (2)如图： 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，熟知相关知识是解题的关键． （1）关于轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）作点C关于y轴的对称点，连接，交轴于，则，可得，此时的周长最小． 【详解】（1）略 （2）解：作关于轴的对称点，连接，交轴于，则即为所求. 【变式4-2】（25-26八年级上·四川广元·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的长方形网格中，的三个顶点A、B、都在格点上． (1)在图1中画出与关于直线成轴对称的； (2)在直线上找一点，使得的周长最小．（不需要计算，在图2上直接标记出点的位置即可） 【答案】(1) 即为所求； (2) 点P即为所求： 【分析】本题主要考查了利用轴对称变换作图； （1）依据轴对称的性质，即可得到与关于直线成轴对称的； （2）点B关于直线l的对称点，连接交直线l于P，则的周长最小． 【详解】（1）略 （2）略 【变式4-3】（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出关于轴成轴对称的，并写出点的坐标为_________． (2)请在轴上标出点的位置，使得周长最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)如图所示，即为所求， (2)如图所示，点即为所求． 【分析】（）根据轴对称图形的性质画出图形，再根据图形写出点的坐标即可； （）连接交于点，连接，由轴对称的性质得，故，由两点之间线段最短，可知的值最小，即此时周长最小，故点即为所求； 本题考查了作轴对称图形，坐标与图形，轴对称最短线段问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，由图可得，点的坐标为， 故答案为：； （2）略 题型五 轴对称综合——面积问题 【例5】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)以x轴为对称轴，画出的轴对称图形，并写出的坐标； (2)连接，，求四边形的面积． 【答案】(1) 如图所示即为所求： 点的坐标为 (2)3 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于x轴的轴对称变换及在平面直角坐标系中求四边形面积． （1）利用轴对称的性质在平面直角坐标系图中作出关于x轴的轴对称图形即可，再根据图形得出点的坐标； （2）根据题意先连接，，将四边形分成和，分别求其面积再相加即可． 【详解】（1）解：由图可知，此时点的坐标为． （2）解：如图，连接，， ∴四边形由和组成， ∴， 即， ∴四边形的面积为3． 【变式5-1】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知网格上最小的正方形的边长为1． (1)作△ABC关于y轴对称的图形，并分别写出三点的坐标； (2)求A，，C，构成图形的面积． 【答案】(1)见解析， ， ， (2)12 【分析】本题主要考查了作轴对称图形、借助网格线计算图形的面积． （1）分别作出点、、关于轴的对称点、、，连接点、、，得到，借助平面直角坐标系中的网格线可以求出点、、的坐标； （2）根据梯形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如下图所示，分别作出点、、关于轴的对称点、、， 连接点、、，得到， 即为所求， 从网格图中可以看出：    ； （2）解：． 【变式5-2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的， (2)连接、，直接写出四边形的面积． 【答案】(1) 如图，即为所作图形； (2)35 【分析】本题考查平面直角坐标系中的轴对称变换及面积计算，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征以及利用割补法求面积． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，找到、、的对称点，再连接成三角形； （2）利用割补法求面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接、， 四边形的面积为：． 【变式5-3】（25-26八年级上·天津河东·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点都在格点上． (1)画出关于轴对称的（点，，的对称点分别是，，）． (2)点到轴的距离为 ；点的坐标为 ． (3)在（1）问的结果下，连接，，求四边形的面积 【答案】(1) 由题意作图可得： (2)； (3) 【分析】本题考查了轴对称作图，平面直角坐标系点的特征，梯形的面积，熟练掌握面积公式是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据图象作答即可； （3）根据梯形面积公式运算即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得：到轴的距离为，点的坐标为， 故答案为：；； （3）解：根据题意连接可得： ∴． 题型六 轴对称综合——角度问题 【例6】（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，，点P为内一定点，点分别在上．当周长最小时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用轴对称的性质解决线段和最小问题，线段垂直平分线的性质，四边形及三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上性质． 作点关于直线的对称点，为，连接，交于点，连接，根据线段垂直平分线的性质得出相等的边和直角，然后根据四边形及三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，为，连接，交于点，连接， ∴此时，周长最小，为线段的长度， 根据轴对称得，垂直平分线段，垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式6-1】（25-26八年级上·北京西城·期末）如图，在中，，，点D，E是边上的两个定点，点M，N分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是（    ）． A．45° B．90° C．75° D．135° 【答案】B 【分析】本题主要考查轴对称—最短路径的运用，掌握最短路径的计算方法，等腰三角形的性质，三角形的内角和、外角和的综合运用． 根据题意，分别作点的对称点，根据两点之间线段最短可确定点的位置为点，此时四边形的周长最小，根据对称的性质可得，，根据三角形的外角的性质可得，根据直角三角形中两锐角互余可得出，，运用等量待会即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点， ∴根据两点之间线段最短可得，的值最小， ∴四边形的周长最小值为：， ∵在中，，，即是等腰直角三角形， ∴， 在中， ∵， ∴， 根据对顶角的性质可得，，， 根据对称的性质可得，，，，， ∴，， 在，中， ∵，， ∴ ， ∴当四边形的周长最小时，的大小是， 故选：． 【变式6-2】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在四边形中，，，点M，N分别是，上两个动点，当的周长最小时，的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查利用成轴对称的特征进行求解，作点关于的对称点，关于的对称点，连接与的交点即为所求的点、，利用三角形的内角和定理和三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，关于的对称点，则：． ∵的周长， ∴当四点共线时，的周长最短， 连接与的交点即为所求的点、，如图： ∵， ∴三点共线，三点共线， ， 由轴对称的性质得： 故答案为：． 【变式6-3】（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知，点P，N分别是射线，上的定点，M为射线上的一动点，Q为射线上一动点，当的值最小时，的度数为______． 【答案】/40度 【分析】作N点关于的对称点D，P点关于的对称点E，连接与、分别交于点M、点Q，连接、，此时的值最小，由对称性可知，，，可求，最后在中根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：作N点关于的对称点D，P点关于的对称点E，连接与、分别交于点M、点Q，连接、， ∴，此时的值最小， 由对称性可知，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称、三角形的内角和定理、外角的性质等知识，通过作轴对称确定M、Q的位置，结合三角形外角的性质顺利解题的关键． 题型七 轴对称综合——其他问题 【例7】（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于y轴对称的，点A、B、C的对应点分别为点、、．并写出的各顶点的坐标； (2)若点P在x轴上，且满足最大，画出点P的位置（不写作法，保留作图痕迹），并写出点P的坐标． 【答案】(1) 解：如图，即为所求， 由图可得，，，； (2) 解：如图所示，点即为所求， 由图可得，点的坐标为 【分析】本题主要考查了网格作图，画轴对称图形，线段差的最大值，三角形的三边关系，解题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质找出对称点的坐标，然后连接对称点即可画出图形； （2）根据轴对称的性质以及三角形的三边关系即可求解． 【详解】（1）略 （2）点为点关于轴的对称点，连接，并延长交轴于点， 根据三角形的三边关系，两边之差小于第三边可得，， ∴当点在同一条直线上时，值最大， ∵， ∴此时，最大， 【变式7-1】（25-26八年级上·北京西城·阶段检测）在平面直角坐标系中，过点作直线轴，图形关于直线的对称图形为，图形上任一点到轴，轴的距离的最大值是，称是图形关于直线的倍镜像“接收距离”． 已知点，． (1)①线段关于直线的1倍镜像“接收距离”是________； ②线段关于直线的倍镜像“接收距离”是3，的取值范围是________； (2)点，关于直线的倍镜像“接收距离”的最小值是________； (3)点，，线段关于直线的倍镜像“接收距离”小于线段关于直线的倍镜像“接收距离”，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题在新定义的基础上，考查了轴对称的性质，解一元一次不等式等知识，解决问题的关键是数形结合． （1）①求出、关于直线的倍镜像的对应点坐标，进而根据定义判断； ②表示出、关于直线的倍镜像的对应点坐标，根据定义列出不等式组，进一步得出结果； （2）可推出、关于直线的倍镜像、的距离之差也是，从而得出关于直线的倍镜像“接收距离”的最小值； （3）表示出、、、于直线的倍镜像的对应点坐标，关于直线的倍镜像的线段是，根据当点，，线段关于直线的倍镜像“接收距离”等于线段关于直线的倍镜像“接收距离”时，得出，从而求得临界的值，进而得出结果． 【详解】（1）解：①设线段关于直线的倍镜像的线段为， ∵倍镜像即， ∴直线即为直线， 点，关于直线的对称点为，， 到轴最大距离为，到轴最大距离为， 故线段关于直线的倍镜像“接收距离”为； ②点，关于直线的对称点为，， ∵线段关于直线的倍镜像“接收距离”是3， ∴，得， 解得， 故答案为：①；②． （2）解：如下图： ∵，，， ∵、距离轴的距离之差是， ∴、关于直线的倍镜像、的距离之差也是， ∴，关于直线的m倍镜像“接收距离”的最小值是， 故答案为：． （3）解：如图： 点，关于直线的对称点为，， 点，关于直线的对称点为，， 当点，，线段关于直线的倍镜像“接收距离”等于线段关于直线的倍镜像“接收距离”时， ， 解得， 当点，，线段关于直线的倍镜像“接收距离”小于线段关于直线的倍镜像“接收距离”时， ∴． 【变式7-2】（22-23八年级上·福建福州·期中）如图，在等腰直角中，，，作点关于直线的对称点，连接，，，其中交直线于点，连接．设过点的直线和的夹角    (1)设，，的周长分别为，，，求的长；（用，，表示） (2)试探究的大小是否会随着的改变而改变？如果改变，请用含的式子表示其大小；如果不变，请求出的大小． (3)若，试说明的面积和的面积满足． 【答案】(1) (2) (3) 证明：过点作于点，设与交点为，    则， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 设，则， ． 【分析】（1）根据周长定义，将三角形周长表示出来，对等式变形即可； （2）由对称性可得，由可得，，，即可得； （3）过点作于点，设与交点为，证明，可得是等腰直角三角形，，设，则， 计算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，，， ∴ ， ∴； （2）解：当发生改变时，的大小不变，始终为 ∵点A、点D关于直线对称， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，    ∴，， ， ∴， ∴当发生改变时，的大小不变，始终为； （3）略 【点睛】本题考查轴对称的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，熟练运用轴对称的知识，得到相等线段，相等角是解题的关键． 【变式7-3】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，中，，点P在内部，且， (1)求证：； (2)如图2，延长至D，交于于点F，点与D关于对称，连接、、，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点E，，求的长． 【答案】(1) 证明：设， ， ， 又， 又， ， (2) 证明：连接，设，如图，   点与点D关于对称， ，， 又 ， ， ， 又， (3)8 【分析】（1）根据等边对等角、角度互余和等角对等边即可求证； （2）利用对称性质证明，再利用三角形性内角和定理即可证明； （3）过点B作的平行线，结合可证明，得到对应边相等，再证得，利用全等形性质的边相等即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点B作的平行线，交延长线于T，如图，   ， 又， ， ∵，，， ∴ ，则点E是的中点， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等角对等边、等边对等角及对称性质，解题要找到角度代换，作出辅助线是解题的关键． 题型八 车牌号码的镜面对称 【例8】（25-26八年级上·河南许昌·期中）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，解题的关键是正确将镜像号码进行水平翻转并转换对应字符．把镜子中的号码水平翻转（左右镜像），同时转换每个字符的镜像对应，得到实际号码． 【详解】 解：镜面对称为水平翻转（左右镜像），将镜子里的号码进行水平翻转后，字符的镜像对应为，即组合得到实际号码为3265． 故选：D． 【变式8-1】（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）某串数字，在镜子里显示为，则实际数字为______． 【答案】 【分析】本题考查镜面对称，认真观察，注意技巧是解题的关键． 利用镜面对称的性质，大小和形状保持不变，方向相反，求解即可． 【详解】解：根据镜面对称的性质，将“18502”按轴对称左右颠倒，即可得“50281”， 故答案为： ． 【变式8-2】（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）从镜子中看到的这个号码  ，实际上是______． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称，正确理解轴对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同．根据镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此解答即可得． 【详解】解：由镜面对称的性质可知，这个号码实际上是， 故答案为：． 【变式8-3】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）一个汽车牌照在水中的倒影为，则该汽车牌照号码为_____________． 【答案】 【分析】解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形．根据所求的牌照与看到的牌照关于水面成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】 解：作汽车牌照在水中的倒影关于水平方向的轴对称图形，如图所示： ∴该汽车牌照号码为． 故答案是：． 题型九 钟表的镜面对称 【例9】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查镜面对称，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称． 【详解】解：实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点， 那么8点的时钟在镜子中看来应该是4点的样子， 所以应该是A或D答案之一，这两个答案中更接近八点的应该是第四个图形． 故选：D． 【变式9-1】（25-26八年级上·重庆江津·期中）小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要明白镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右顺序颠倒，且关于镜面对称．把镜中的表针的时刻再还原到实际即可选择． 【详解】解：如图， 接近的有A、C，A是，C是，最接近的是C． 故选：C． 【变式9-2】（25-26八年级上·四川广元·期中）李明从镜子里看到自己身后的钟表上的时间是8点35分，请问钟表上显示的实际时间是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了镜面对称的知识，画出草图，根据镜面对称的性质，分析可得答案． 【详解】解：如图， 根据对称性可得：与时的指针指向成轴对称，故实际时间是， 故选：C． 【变式9-3】（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）墙面上镶嵌的钟面在镜子中看到的时间如图所示，则实际时间是____________． 【答案】 【分析】本题考查镜面对称，掌握镜面对称的性质是解题的关键． 图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好左右相反，据此作答即可． 【详解】根据轴对称性质得，实际钟表如下： ∴实际时间是． 故答案为：． 题型十 电子钟示数的镜面对称 【例10】（25-26八年级上·重庆江北·阶段检测）从镜子里看到位于镜子对面电子钟的像如图所示，则实际时间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意2的对称数字为5，5的对称数字是2． 关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字． 【详解】解：是从镜子中看， 对称轴为竖直方向的直线， 、0的对称数字为1、0，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， 这时的时刻应是． 故选：C． 【变式10-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）平面镜成像中，像和物成轴对称图形．小芳在梳妆镜中发现，放在梳妆镜台桌面上的手机中的时间如图所示，则这时的实际时间应该是_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了镜面对称图形的性质，解决此类问题要注意所学知识与实际情况的结合． 根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，的实际时间应该是． 故答案为： 【变式10-2】（25-26八年级上·福建福州·期中）墙上有一面镜子，镜子对面的墙上有一个数字式电子钟．如果在镜子里看到该电子钟的时间显示如图所示，那么它的实际时间是___________． 【答案】 【分析】本题考查镜面对称，根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与成轴对称，所以此时实际时刻为． 故答案为：． 【变式10-3】（25-26八年级上·福建福州·期中）小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称如图1，若从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间为如图2所示，则电子钟的实际时间应该是______． 【答案】15∶01 【分析】本题镜面对称的知识；得到相应的对称轴是解决本题的关键；难点是作出相应的对称图形；注意2，5的关于竖直的一条直线的轴对称图形是5，2． 实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，画出相关图形可得实际时间． 【详解】解：实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称， 电子钟的实际时间应该是， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.2 画轴对称的图形 【新人教版】 【题型1 作轴对称图形】.......................................................................................................................................2 【题型2 坐标系中的对称】...................................................................................................................................4 【题型3 轴对称综合——线段最值问题（将军饮马）】.....................................................................................4 【题型4 轴对称综合——周长最值问题】...........................................................................................................6 【题型5 轴对称综合——面积问题】...................................................................................................................7 【题型6 轴对称综合——角度问题】...................................................................................................................9 【题型7 轴对称综合——其他问题】.................................................................................................................10 【题型8 车牌号码的镜面对称】.........................................................................................................................11 【题型9 钟表的镜面对称】.................................................................................................................................12 【题型10 电子钟示数的镜面对称】...................................................................................................................12 1. 轴对称变换规律 · 由一个平面图形得到它关于一条直线对称的图形，这个新图形与原图形形状、大小完全相同（全等）； · 新图形上每一点，都是原图形上某一点关于对称轴的对称点； · 任意一组对称点的连线被对称轴垂直平分。 2. 画已知点关于直线的对称点步骤 ①过已知点作对称轴的垂线； ②延长垂线，在对称轴另一侧截取一段线段，长度等于该点到垂足的距离； ③截取的端点即为所求对称点。 3. 画平面图形轴对称图形通用步骤（找点→描点→连线） · 找点：找出原图形所有关键点（顶点、拐点、端点）； · 描点：依次作出每个关键点关于对称轴的对称点； · 连线：按照原图顺序顺次连接各对称点，得到轴对称图形。 4. 平面直角坐标系中的轴对称坐标规律 设点坐标P(x,y) · 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标取相反数，P1(x,-y)； · 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标取相反数，P2(-x,y)； 拓展： · 关于直线x=a对称：对称点(2a-x,y)； · 关于直线y=b对称：对称点(x,2b-y)。 1. 对称点作图未作垂线，随意定点； 2. 坐标系轴对称坐标符号记混； 3. 画图时遗漏关键点、连线顺序错乱导致图形变形； 4. 误认为对称前后图形大小、形状会改变。 1. 复杂图形作图：只锁定顶点作图，不用描所有线条； 2. 坐标速记：x轴对称变y符号，y轴对称变x符号； 3. 折叠题型：折叠前后为轴对称，直接用坐标、线段等量替换； 4. 多步对称：分步找点，逐步换算坐标。 题型一 作轴对称图形 【例1】（25-26八年级上·广东·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出关于x轴对称的； (2)写出点、、的坐标． 【变式1-1】（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)画出与关于y轴对称的，且点A，B，C的对应点分别为D，E，F； (2)点E的坐标为 ． 【变式1-2】（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， (1)求三个顶点关于x轴对称的点的坐标； (2)作出关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）的对称图形； (3)直接写出点关于直线轴对称的点的坐标____． 【变式1-3】（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知，，，． (1)与关于x轴对称，请直接写出、、的坐标； (2)在图中作出关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称的； (3)在平面直角坐标系中，是否存在点P，使得与全等，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 题型二 坐标系中的对称 【例2】（25-26八年级上·广东中山·期中）点关于轴对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·山西运城·期末）点关于x轴对称的点N的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级上·安徽宿州·期末）已知点与关于y轴对称，则x的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【变式2-3】（25-26八年级上·湖南株洲·期中）已知点和点关于轴对称，则___________． 题型三 轴对称综合——线段最值问题（将军饮马） 【例3】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图， 在中，，，是的两条高线， P是上一个动点，连接，． 若，， 则的最小值是_____． 【变式3-1】（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点、点分别为，上一点，则的最小值为______． 【变式3-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，，P为线段上一动点，E是上一定点，F是线段上一动点，则当取最小值6时，的长为______． 【变式3-3】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）在边长为1的正方形网格中，点均在格点（网格线的交点）上，建立如图所示的平面直角坐标系，将向左平移4个单位，再向下平移3个单位，得到（点的对应点分别为）． (1)画出； (2)在轴上求作点，使的值最小． 题型四 轴对称综合——周长最值问题 【例4】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，已知的三个顶点分别为，，． (1)画出关于轴对称的． (2)在轴上找一点，使得的周长最小（保留画图痕迹，不写作法），并求出点的坐标． 【变式4-1】（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，， (1)画出关于轴的对称图形，并写出各顶点的坐标； (2)在轴上确定一个点．使得的周长最小． 【变式4-2】（25-26八年级上·四川广元·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的长方形网格中，的三个顶点A、B、都在格点上． (1)在图1中画出与关于直线成轴对称的； (2)在直线上找一点，使得的周长最小．（不需要计算，在图2上直接标记出点的位置即可） 【变式4-3】（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出关于轴成轴对称的，并写出点的坐标为_________． (2)请在轴上标出点的位置，使得周长最小（保留作图痕迹）． 题型五 轴对称综合——面积问题 【例5】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)以x轴为对称轴，画出的轴对称图形，并写出的坐标； (2)连接，，求四边形的面积． 【变式5-1】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知网格上最小的正方形的边长为1． (1)作△ABC关于y轴对称的图形，并分别写出三点的坐标； (2)求A，，C，构成图形的面积． 【变式5-2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的， (2)连接、，直接写出四边形的面积． 【变式5-3】（25-26八年级上·天津河东·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点都在格点上． (1)画出关于轴对称的（点，，的对称点分别是，，）． (2)点到轴的距离为 ；点的坐标为 ． (3)在（1）问的结果下，连接，，求四边形的面积 题型六 轴对称综合——角度问题 【例6】（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，，点P为内一定点，点分别在上．当周长最小时，（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26八年级上·北京西城·期末）如图，在中，，，点D，E是边上的两个定点，点M，N分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是（    ）． A．45° B．90° C．75° D．135° 【变式6-2】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在四边形中，，，点M，N分别是，上两个动点，当的周长最小时，的度数为________． 【变式6-3】（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知，点P，N分别是射线，上的定点，M为射线上的一动点，Q为射线上一动点，当的值最小时，的度数为______． 题型七 轴对称综合——其他问题 【例7】（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于y轴对称的，点A、B、C的对应点分别为点、、．并写出的各顶点的坐标； (2)若点P在x轴上，且满足最大，画出点P的位置（不写作法，保留作图痕迹），并写出点P的坐标． 【变式7-1】（25-26八年级上·北京西城·阶段检测）在平面直角坐标系中，过点作直线轴，图形关于直线的对称图形为，图形上任一点到轴，轴的距离的最大值是，称是图形关于直线的倍镜像“接收距离”． 已知点，． (1)①线段关于直线的1倍镜像“接收距离”是________； ②线段关于直线的倍镜像“接收距离”是3，的取值范围是________； (2)点，关于直线的倍镜像“接收距离”的最小值是________； (3)点，，线段关于直线的倍镜像“接收距离”小于线段关于直线的倍镜像“接收距离”，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【变式7-2】（22-23八年级上·福建福州·期中）如图，在等腰直角中，，，作点关于直线的对称点，连接，，，其中交直线于点，连接．设过点的直线和的夹角    (1)设，，的周长分别为，，，求的长；（用，，表示） (2)试探究的大小是否会随着的改变而改变？如果改变，请用含的式子表示其大小；如果不变，请求出的大小． (3)若，试说明的面积和的面积满足． 【变式7-3】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，中，，点P在内部，且， (1)求证：； (2)如图2，延长至D，交于于点F，点与D关于对称，连接、、，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点E，，求的长． 题型八 车牌号码的镜面对称 【例8】（25-26八年级上·河南许昌·期中）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【变式8-1】（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）某串数字，在镜子里显示为，则实际数字为______． 【变式8-2】（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）从镜子中看到的这个号码  ，实际上是______． 【变式8-3】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）一个汽车牌照在水中的倒影为，则该汽车牌照号码为_____________． 题型九 钟表的镜面对称 【例9】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26八年级上·重庆江津·期中）小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A．B． C． D． 【变式9-2】（25-26八年级上·四川广元·期中）李明从镜子里看到自己身后的钟表上的时间是8点35分，请问钟表上显示的实际时间是(    ) A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）墙面上镶嵌的钟面在镜子中看到的时间如图所示，则实际时间是____________． 题型十 电子钟示数的镜面对称 【例10】（25-26八年级上·重庆江北·阶段检测）从镜子里看到位于镜子对面电子钟的像如图所示，则实际时间是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）平面镜成像中，像和物成轴对称图形．小芳在梳妆镜中发现，放在梳妆镜台桌面上的手机中的时间如图所示，则这时的实际时间应该是_____． 【变式10-2】（25-26八年级上·福建福州·期中）墙上有一面镜子，镜子对面的墙上有一个数字式电子钟．如果在镜子里看到该电子钟的时间显示如图所示，那么它的实际时间是___________． 【变式10-3】（25-26八年级上·福建福州·期中）小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称如图1，若从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间为如图2所示，则电子钟的实际时间应该是______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $