14.3角的平分线（9大题型一题三变专项讲义）2026-2027学年数学人教版八年级上册

本讲义聚焦初中数学“角的平分线”核心知识点，系统梳理尺规作图步骤、性质定理（角平分线上的点到两边距离相等）、判定定理（角内部到两边距离相等的点在角平分线上）及三角形内心拓展，构建从基础概念到辅助线技巧（作垂直、截长补短等）再到实际应用的递进式学习支架。 资料以9大题型覆盖从基础到综合应用，结合易错点分析与解题策略，通过实际问题（如凉亭位置选址）培养数学眼光，辅助线推理（如截长补短证线段关系）发展推理意识，规范几何语言表达提升数学语言能力。课中助力教师分层教学，课后通过例题变式帮助学生巩固知识、查漏补缺。

14.3 角的平分线 【新人教版】 【题型1 角平分线的性质定理】............................................................................................................................2 【题型2 角平分线的判定定理】............................................................................................................................5 【题型3 尺规作图——作角平分线】....................................................................................................................8 【题型4 角平分线有关的辅助线问题——作垂直】..........................................................................................13 【题型5 角平分线有关的辅助线问题——截长补短】......................................................................................19 【题型6 角平分线有关的辅助线问题——延长】..............................................................................................24 【题型7 角平分线+平行线模型】........................................................................................................................29 【题型8 角平分线中的面积问题】......................................................................................................................33 【题型9 角平分线性质的实际应用】..................................................................................................................37 1. 角平分线的尺规作图 作法： · 以角顶点为圆心，适当长为半径画弧，与角两边交于两点； · 分别以两个交点为圆心，大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧在角内部交于一点； · 连接顶点与交点，所得射线即为角平分线。 2. 角平分线的性质定理 文字：角平分线上的点，到角两边的距离相等。 几何语言：若OP平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，则PM=PN。 关键点：距离特指垂线段长度。 3. 角平分线的判定定理 文字：在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 几何语言： 若PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，则OP平分∠AOB。 4. 三角形内心拓展 三角形三条角平分线交于一点，该点叫做内心；内心到三角形三边距离相等。 1. 使用性质时缺少垂直条件，直接判定线段相等； 2. 混淆“垂线段距离”与普通斜线段； 3. 判定定理忽略“点在角内部”前提； 4. 作图半径取值过小，两弧无法相交 1. 证线段相等：有角平分线 + 垂直，优先用性质，避开全等繁琐证明； 2. 证角相等：已知两边垂线段相等，用判定定理快速证角平分； 3. 内心题型：直接利用“到三边距离相等”列等量关系； 4. 几何辅助线：遇角平分线，常作两边垂线构造相等线段。 题型一 角平分线的性质定理 【例1】（23-24八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，是的平分线，，垂足为E，若，则的长度为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质定理得到即可． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴． 【变式1-1】（24-25八年级上·云南德宏·期末）如图，在中，为的平分线，于E，于F，，，则的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握该性质是解题的关键．由已知结合角平分线的性质可得，，再根据三角形面积计算公式可求出的面积． 【详解】解：∵为的平分线，于E，于F， ∴， ∵，，， ∴． 【变式1-2】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，是的平分线，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； (2)5 【分析】（1）由是的平分线，利用角的平分线的性质定理得到，再由得到，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）利用得到，利用全等三角形对应边相等得到，由，及（1）中等量代换即可求的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故的长为5． 【变式1-3】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，在与中，满足，． (1)求证：； (2)若是线段上一点，，，垂足分别是点，试判断 与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：在和中， ∵， ∴． (2) 解：， 理由如下： ∵，     ∴． ∵，，   ∴． 【分析】（1）根据证明即可； （2）证明，结合，可得结论. 【详解】（1）略 （2）略 题型二 角平分线的判定定理 【例2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，于点C，于点D，，若，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题考查角平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用角平分线的判定定理证明是角平分线即可解决问题． 【详解】解：于点，于点，且， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，，，垂足分别为点和点，，与相交于点．求证：平分． 【答案】 证明：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质以及角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据易证，由全等三角形的对应角相等可得，又因，，根据角平分线的性质即可得平分． 【详解】证明：略． 【变式2-2】（25-26八年级上·广西贺州·期末）已知：如图，点在上，，，点，为垂足，，．求证：平分． 【答案】证明：∵，， ∴平分 ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴平分． 【分析】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的性质与判定，根据题意得出平分，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】略 【变式2-3】（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，、两点分别在射线，上，点在的内部，且，，，垂足分别为，，且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：，， ， 在和中， ， ， ， 平分； (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据到角两边距离相等的点在角平分线上可证结论成立； （2）根据全等三角形的性质可知，根据线段之间的关系可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可知，根据线段之间的关系可得的长度． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 题型三 尺规作图——作角平分线 【例3】（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，在中，，按下列步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径画圆弧，分别与，交于点D，E，连接；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点F；③作射线交于点G．若，，则的面积为（　　） A．16 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】如图，过点G作于点H．先由作图得平分，再根据角平分线的性质得，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作于点H． 由作图可知平分， ∵，， ∴， ∴的面积． 【变式3-1】（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）完成下面题目： (1)请用直尺和圆规作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)已知在中，的平分线也是边上的高，请判断是不是等腰三角形，并说明理由． 【答案】(1) 如图，射线即为所求， (2) 是等腰三角形， 理由如下：是的平分线， ， 是边上的高， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形． 【分析】（1）利用角平分线的作图方法作图即可； （2）根据条件证明，可得到的形状． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3-2】（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，中， 点D在边AB上， 且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若(1)中所作的角平分线交于M，连接，当，时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图的基本作图平分已知角的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． （1）利用角平分线的作图步骤作图即可； （2）证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图； （2）解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴． 【变式3-3】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）【实践操作】如图，是四边形的边上的一点，且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，与边交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接求证：． 【答案】(1) 射线即为所求； (2) 证明：如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ 【分析】本题考查了尺规作图---作角平分线，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）根据尺规作角平分线的步骤即可作图； （2）证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 题型四 角平分线有关的辅助线问题——作垂直 【例4】（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，那么，又，进而求出长． 【详解】解：过点作于，如图， ∵，， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， ． 【变式4-1】（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为________． 【答案】12 【分析】利用角平分线的性质，得出点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解的面积． 【详解】解：如图所示，过点作于点． 平分，，， （角平分线上的点到角两边的距离相等）． ∵， ． 又∵， ． 【变式4-2】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点E，F分别在的边，的延长线上，，的角平分线，交于点P，，，垂足分别为M，．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】①过点P作于点H，根据角平分线性质得，再根据点P在的内部得点P在的平分线上，据此可对结论①进行判断；②依据“”判定和全等，和全等得，，由此得，进而得，据此可对结论②进行判断；③根据和全等，和全等得，，由此得，据此可对结论③进行判断；④设，则，，，由此可得，进而得当时，，依题意可知不一定等于，据此可结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①过点P作于点H，如图所示： 是的平分线，，， ， 是的平分线，，， ， ， 又点P在的内部， 点P在的平分线上， 平分，故结论①正确； ②，， 和都是直角三角形， 在和中， ， ， ， 同理：， ， ， ， ，故结论②不正确； ③，， ，， ， 又， ，故结论③正确； ④设， 在中，， ，， ， 当时，，即当时，， 依题意可知：不一定等于， 不一定等于，故结论④不正确， 综上所述：正确结论的序号是①③，共2个． 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【变式4-3】（25-26八年级上·山东临沂·阶段检测）如图，平分，为上的一点，的两边分别与、相交于点、． (1)如图1，若，，判断与的数量关系，并说明理由； 小明是这样思考的：过点作于点，作于点，四边形中两对角为90°，则另外两对角互补，则可证明，从而得证，即可得证结论．请你根据小明的思路完成证明过程； (2)若，，请直接写出与的数量关系． (3)若将条件变为，猜想和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) ， 理由：∵平分，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； (2) (3) ， 证明：如图，作于点E，作于点F， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平分，，结合角平分线的性质可以得到，再根据四边形的内角和结合等角互换得到，即可证明进而得到； （2）（3）首先均构造辅助线形成直角三角形，进而同（1）的步骤结合已知条件证明进而得到即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作于点E，作于点F， ∵平分，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴； （3）略 题型五 角平分线有关的辅助线问题——截长补短 【例5】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，中，再分别作的两条角平分线和，和相交于点P，连接，有以下结论：①；②平分；③；④；其中正确的个数是（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分别分析四个结论的正确性，利用三角形内角和、角平分线性质、全等三角形判定等知识逐一验证即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵的两条角平分线和相交于点P， ∴，， ∴， ∴，故①正确； 如图，作于点Q，于点F，于点H， ∵平分，平分，与交于点P， ∴，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分，故②正确； 如图，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，故③错误； ∵，且， ∴，故④正确， 综上所述，正确的结论有①②④，共3个． 【变式5-1】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，四边形中，平分，于点E，，则的长为_________． 【答案】2 【分析】过点作交的延长线于点，证明，则，证明，则，得到，即可得到的长． 【详解】如图，过点作交的延长线于点， 平分，于点，于， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【变式5-2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，，平分，点、分别是、上不与端点重合的动点，连接、，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】在上截取线段，作，垂足为，容易证明，则．由垂线段最短可得，点、、都在垂线段上时，最小，利用三角形的面积公式求出的值即可． 【详解】解：如图，在上截取线段，作，垂足为， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，， ∴当点、、都在垂线段上时，最小，即最小， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段和最值问题，三角形的面积公式，掌握好相关知识是关键． 【变式5-3】（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，在四边形ABCD中，AC平分，，于点E． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1) 证明：过点作于点F， 平分，， ． ， ， ， ， ； (2)4 【分析】（1）过点作于点F，先通过角平分线的性质定理证明，然后通过定理证明，由此即可得到结论； （2）通过定理证明，得到，通过（1）中的得到，最后通过线段和差关系即可求出的值． 【详解】（1）略 （2）解：在和中， ， ， 又， ， ． 题型六 角平分线有关的辅助线问题——延长 【例6】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图所示，垂直于的平分线于点，的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线定义，三角形中线的性质，延长交于点，由为的角平分线，则，又，所以，然后证明，所以，可得，，从而有，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为， 故选：． 【变式6-1】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，的面积为，垂直的平分线于点P，则的面积为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）是解题的关键． 通过延长交于点，利用角平分线和垂直的条件证明三角形全等，进而得出线段和面积的关系来求解． 【详解】解：延长交于点 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， 和等底等高， ， ， ， ， 故选：B． 【变式6-2】（25-26八年级上·广东揭阳·期末）如图，D是内一点，且平分，，连接，若的面积为16，那么的面积是 _______ ． 【答案】32 【分析】本题考查了角平分线定义，垂直定义，全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，根据三角形中线的性质得出三角形面积相等是解题的关键．延长交于， 先证明，再证，，最后根据求解． 【详解】解：延长交于，如图所示： 平分， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ． 故答案为：32． 【变式6-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，是角平分线，过点作于点． （1）当时， ______； （2）若，，，则 ______． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握三角形面积与线段的比例关系是解题关键． （1）先根据已知比例求出，再用三角形内角和算出，最后由角平分线定义得出； （2）延长交于，根据“同高三角形面积比等于底边比”和角平分线的性质推出 ，然后构造全等三角形得，，再通过角度关系推出，结合线段比例关系求得． 【详解】（1）解：， ， ， 平分， ． 故答案为：． （2）解：如图，延长交于点，则， 与是同高三角形， ， 设点到的距离为，到的距离为， 平分， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 题型七 角平分线+平行线模型 【例7】（25-26八年级上·浙江·期末）如图，在中，，，平分交于点D，交于点E，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和算出,再根据角平分线和平行线即可求解． 本题考查了三角形内角和，角平分线，平行线的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】在中， ，， ， 平分， ， ， ． 故选：B． 【变式7-1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点．下列结论不一定成立的是（   ） A． B．点在的平分线上 C． D．若，点到的距离为，则 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和，角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 结合平行线的性质以及角平分线的定义得，则，故；连接，过点分别作，结合角平线定理可得，进而可证，得到即可；运用三角形内角和得；结合角平分线的性质以及三角形面积公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵和的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故A是正确的，不符合题意； 连接，过点分别作，如图所示： ∵中，和的平分线交于点D， ， ， 又， ， ， ∴平分， 故B是正确的，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故C是错误的，符合题意； ∵点D到的距离为n， ∴， 则 故D是正确的，不符合题意； 故选：C ． 【变式7-2】（25-26八年级上·辽宁鞍山·期末）如图，中，以为圆心，任意长为半径作弧，分别交延长线，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查尺规作一个角的平分线以及平行线的性质，根据题意可知平分，结合，即可求得答案． 【详解】根据题意可知平分． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 故选：D 【变式7-3】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，C是的角平分线上一点，，，垂足分别为E，F．过点C作，交于点D，在射线上取一点B，使． (1)求证：； (2)若，，则的长为________． 【答案】(1) 证明：∵C是的角平分线上一点，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)4 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，再结合运用可证明，根据全等三角形的性质和平行线的性质即可证明结论； （2）证明得到，由可得， 再根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：4． 题型八 角平分线中的面积问题 【例8】（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，已知是的角平分线，，点E是边上的中点，连接，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的中位线平分面积，得到，根据角平分线的性质得到，综合可得结果． 【详解】解：点是边上的中点， ， 是的角平分线， 点到、的距离相等，设点到、的距离为， 则， 又， ． 【变式8-1】（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，，为的平分线，，则的面积为（   ） A．8 B．20 C．28 D．34 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，解决本题的关键是在边与边的高线． 作边与边的高线，由角平分线的性质可得高线相等，再根据，可求解边的垂线的长度，由此可得边的垂线的长度，再由三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点D作交于点E，交于点F，如图， ∵为的平分线，且，， ∴， ∵， 即，解得， ∴， ∴， 则． 故选：B ． 【变式8-2】（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，是的角平分线，已知cm，cm，则_________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质并表示出是解题的关键； 过点分别作，，垂足分别为点，，根据角平分线的性质得到，表示面积，，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点分别作，，垂足分别为点，， ∵是的角平分线， ∴， ∴，， ∵cm，cm， ∴， 故答案为：． 【变式8-3】（25-26八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，是的角平分线，是的中线，若的面积是，则的面积是___________． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线，角平分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等． 过点D作，，垂足分别为、，根据角平分线的性质和三角形的面积先求出点D到、的距离，然后再根据三角形的中线的性质即可得结论． 【详解】解：如图，过点D作，，垂足分别为、， ∵是角平分线， ∴， 设， ∵，即 ∴， 解得， ∴， ∵是中的中线， ∴． 故答案为：8． 题型九 角平分线性质的实际应用 【例9】（25-26七年级下·贵州毕节·阶段检测）如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（     ） A． 三条中线的交点处 B． 三条角平分线的交点处 C． 三条高所在直线的交点处 D． 三边的垂直平分线的交点处 【答案】B 【详解】解：由角平分线上的点到角两边距离相等，可知凉亭应该在三角形三个内角的角平分线上，因为三角形三条角平分线交于一点，故此点即为凉亭的位置． 【变式9-1】（25-26八年级上·河北邢台·期末）计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．角平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可判断． 【详解】解：甲方案：O在的垂直平分线上，O到A、B的距离相等，O不一定到和的距离相等， 乙方案：平分，由角平分线的性质定理得到O到小路，的距离相等． ∴甲、乙两个方案，只有乙对． 故选：B． 【变式9-2】（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 【变式9-3】（25-26八年级上·上海·期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等． (1)符合要求的位置有__________个； (2)请你找出所有加油站的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (3)你的作图依据是__________． 【答案】(1)4 (2) 如图所示，、、、即为加油站的位置， (3)角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的性质，尺规作图-作角平分线等知识，掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）利用角平分线的性质即可得出结论； （2）利用角平分线的性质作出图形即可； （3）利用角平分线的判定解答即可． 【详解】（1）解：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，三角形相邻两个外角（共三组）的平分线交点到三角形三边的距离相等， 故符合要求的位置有4个， 故答案为：4； （2）略 （3）解：作图的依据是角平分线的判定定理， 故答案为：角平分线的判定定理． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.3 角的平分线 【新人教版】 【题型1 角平分线的性质定理】............................................................................................................................2 【题型2 角平分线的判定定理】............................................................................................................................3【题型3 尺规作图——作角平分线】....................................................................................................................4 【题型4 角平分线有关的辅助线问题——作垂直】............................................................................................5 【题型5 角平分线有关的辅助线问题——截长补短】........................................................................................6 【题型6 角平分线有关的辅助线问题——延长】................................................................................................7 【题型7 角平分线+平行线模型】..........................................................................................................................8 【题型8 角平分线中的面积问题】......................................................................................................................10 【题型9 角平分线性质的实际应用】..................................................................................................................11 1. 角平分线的尺规作图 作法： · 以角顶点为圆心，适当长为半径画弧，与角两边交于两点； · 分别以两个交点为圆心，大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧在角内部交于一点； · 连接顶点与交点，所得射线即为角平分线。 2. 角平分线的性质定理 文字：角平分线上的点，到角两边的距离相等。 几何语言：若OP平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，则PM=PN。 关键点：距离特指垂线段长度。 3. 角平分线的判定定理 文字：在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 几何语言： 若PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，则OP平分∠AOB。 4. 三角形内心拓展 三角形三条角平分线交于一点，该点叫做内心；内心到三角形三边距离相等。 1. 使用性质时缺少垂直条件，直接判定线段相等； 2. 混淆“垂线段距离”与普通斜线段； 3. 判定定理忽略“点在角内部”前提； 4. 作图半径取值过小，两弧无法相交 1. 证线段相等：有角平分线 + 垂直，优先用性质，避开全等繁琐证明； 2. 证角相等：已知两边垂线段相等，用判定定理快速证角平分； 3. 内心题型：直接利用“到三边距离相等”列等量关系； 4. 几何辅助线：遇角平分线，常作两边垂线构造相等线段。 题型一 角平分线的性质定理 【例1】（23-24八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，是的平分线，，垂足为E，若，则的长度为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式1-1】（24-25八年级上·云南德宏·期末）如图，在中，为的平分线，于E，于F，，，则的面积是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式1-3】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，在与中，满足，． (1)求证：； (2)若是线段上一点，，，垂足分别是点，试判断 与的数量关系，并说明理由． 题型二 角平分线的判定定理 【例2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，于点C，于点D，，若，则的度数为______． 【变式2-1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，，，垂足分别为点和点，，与相交于点．求证：平分． 【变式2-2】（25-26八年级上·广西贺州·期末）已知：如图，点在上，，，点，为垂足，，．求证：平分． 【变式2-3】（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，、两点分别在射线，上，点在的内部，且，，，垂足分别为，，且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 题型三 尺规作图——作角平分线 【例3】（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，在中，，按下列步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径画圆弧，分别与，交于点D，E，连接；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点F；③作射线交于点G．若，，则的面积为（　　） A．16 B．24 C．36 D．48 【变式3-1】（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）完成下面题目： (1)请用直尺和圆规作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)已知在中，的平分线也是边上的高，请判断是不是等腰三角形，并说明理由． 【变式3-2】（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，中， 点D在边AB上， 且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若(1)中所作的角平分线交于M，连接，当，时，求的值． 【变式3-3】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）【实践操作】如图，是四边形的边上的一点，且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，与边交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接求证：． 题型四 角平分线有关的辅助线问题——作垂直 【例4】（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 （     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为________． 【变式4-2】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点E，F分别在的边，的延长线上，，的角平分线，交于点P，，，垂足分别为M，．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式4-3】（25-26八年级上·山东临沂·阶段检测）如图，平分，为上的一点，的两边分别与、相交于点、． (1)如图1，若，，判断与的数量关系，并说明理由； 小明是这样思考的：过点作于点，作于点，四边形中两对角为90°，则另外两对角互补，则可证明，从而得证，即可得证结论．请你根据小明的思路完成证明过程； (2)若，，请直接写出与的数量关系． (3)若将条件变为，猜想和的数量关系，并证明你的结论． 题型五 角平分线有关的辅助线问题——截长补短 【例5】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，中，再分别作的两条角平分线和，和相交于点P，连接，有以下结论：①；②平分；③；④；其中正确的个数是（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-1】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，四边形中，平分，于点E，，则的长为_________． 【变式5-2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，，平分，点、分别是、上不与端点重合的动点，连接、，则的最小值为______． 【变式5-3】（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，在四边形ABCD中，AC平分，，于点E． (1)求证：； (2)若，求的值． 题型六 角平分线有关的辅助线问题——延长 【例6】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图所示，垂直于的平分线于点，的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，的面积为，垂直的平分线于点P，则的面积为（      ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26八年级上·广东揭阳·期末）如图，D是内一点，且平分，，连接，若的面积为16，那么的面积是 _______ ． 【变式6-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，是角平分线，过点作于点． （1）当时， ______； （2）若，，，则 ______． 题型七 角平分线+平行线模型 【例7】（25-26八年级上·浙江·期末）如图，在中，，，平分交于点D，交于点E，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点．下列结论不一定成立的是（   ） A． B．点在的平分线上 C． D．若，点到的距离为，则 【变式7-2】（25-26八年级上·辽宁鞍山·期末）如图，中，以为圆心，任意长为半径作弧，分别交延长线，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，C是的角平分线上一点，，，垂足分别为E，F．过点C作，交于点D，在射线上取一点B，使． (1)求证：； (2)若，，则的长为________． 题型八 角平分线中的面积问题 【例8】（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，已知是的角平分线，，点E是边上的中点，连接，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，，为的平分线，，则的面积为（   ） A．8 B．20 C．28 D．34 【变式8-2】（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，是的角平分线，已知cm，cm，则_________． 【变式8-3】（25-26八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，是的角平分线，是的中线，若的面积是，则的面积是___________． 题型九 角平分线性质的实际应用 【例9】（25-26七年级下·贵州毕节·阶段检测）如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（     ） A． 三条中线的交点处 B． 三条角平分线的交点处 C． 三条高所在直线的交点处 D． 三边的垂直平分线的交点处 【变式9-1】（25-26八年级上·河北邢台·期末）计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【变式9-2】（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26八年级上·上海·期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等． (1)符合要求的位置有__________个； (2)请你找出所有加油站的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (3)你的作图依据是__________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $