13.3.1三角形的内角（6大题型·一题三变专项讲义）2026-2027学年数学人教版八年级上册

本讲义聚焦三角形内角和定理这一核心知识点，系统梳理定理内容（三角形内角和180°）、推导思路（剪拼法、平行线平移角）及两大推论（直角三角形两锐角互余、两角互余的三角形是直角三角形），构建从原理到应用的学习支架。 资料以六大题型（平行线、角平分线、折叠等相关问题）为主线，例题与变式题结合，培养学生几何直观与推理能力，课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过针对性练习查漏补缺，强化知识应用。

13.3.1 三角形的内角 【新人教版】 【题型1 与平行线有关的三角形内角和问题】....................................................................................................2 【题型2 与角平分线有关的三角形内角和问题】................................................................................................4 【题型3 三角形折叠中的角度问题】....................................................................................................................7 【题型4 三角形内角和定理的应用】..................................................................................................................10 【题型5 直角三角形的两个锐角互余】..............................................................................................................12 【题型6 有两个角互余的三角形是直角三角形】..............................................................................................16 1. 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°。 几何语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。 2. 定理常用推导思路 剪拼法、平行线平移角证明。 3. 两大常用推论 · 推论1：直角三角形的两个锐角互余。 几何语言：Rt△ABC，∠C=90°，则∠A+∠B=90°。 · 推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形。 4. 角度常规变形∠A=180°-∠B-∠C；∠A+∠B=180°-∠C。 1. 忽略直角三角形锐角互余的逆向判定用法； 2. 多三角形拼接题型，混用不同三角形内角； 3. 方程求解角度时计算出错，等量关系列错。 1. 角度计算优先设未知数，结合内角和列方程求解； 2. 出现直角直接用两角和为90°简化计算； 3. 折叠、倒角题型，抓住重合角相等，结合内角和换算。 题型一 与平行线有关的三角形内角和问题 【例1】（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，直线，若，，则的度数为（   ） A．45° B．65° C．70° D．110° 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故选B． 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 先由平行线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【变式1-2】（25-26八年级上·四川绵阳·期中）如图，直线，的直角顶点C在直线上，顶点B在直线上，交于点D，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理，利用平行线的性质及三角形内角和定理，求出的度数是解题的关键． 由，利用“两直线平行，内错角相等”可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，再在中，利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：， ， 在中，， ， 在中，， ． 【变式1-3】（25-26八年级上·河南许昌·期中）在探索三角形内角和定理时，王老师启发同学们讨论． 如图，已知，，是的内角，求证： 小颖、小星、小红三位同学分别作出以下三种辅助线如图①②③，进而给予证明． 请从中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． 【答案】各方法证明见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线之间的角度数量关系是解题的关键． 对于①，作，可得，，结合平角度数为，可证出． 对于②，作，可得，，结合平角度数为，可证出． 对于③，作，可得，结合角度之和为的等量关系，可证出． 【详解】证明： 对于①，作， 可得，，， ∵平角度数为，所以 即． 对于②，作， 可得，，， ∵平角度数为，所以 即． 对于③：作， 则， ， ， ， 题型二 与角平分线线有关的三角形内角和问题 【例2】（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，是角平分线，且，相交于点，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形内角和定理得，进而由三角形角平分线的定义得，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，，是角平分线，且，相交于点， ∴， ∴． 【变式2-1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，、分别平分，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，先由三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义推出，则可由三角形内角和定理得到． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2-2】（25-26八年级上·广东中山·阶段检测）如图，中，为的角平分线，为的高，，，求的度数 ． 【答案】 【分析】根据，得，根据为的角平分线得，根据为的高得，可得，根据对顶角相等即可得． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵为的高， ∴， ∴， ∴． 【变式2-3】（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，，分别是，的平分线，且，相交于点． (1)若，若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和、角平分线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答； （1）根据，，可以得到和的度数，然后根据三角形内角和，即可求得的度数； （2）根据的度数，可以求得的度数，然后根据角平分线的定义和三角形内角和可以计算出的度数． 【详解】（1）解：，，，分别是，的平分线， ，， ； （2）解：， ， ，分别是，的平分线， ， ． 题型三 三角形折叠中的角度问题 【例3】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，将沿着折叠，使点与点重合，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿着折叠，使点与点重合， ∴， ∴． 故选：A． 【变式3-1】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为（    ） A． B．110° C．80° D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得，，，， ， ， ， ， 故选：B． 【变式3-2】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，点A落在点F处，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据翻折的性质得出相等角，再根据平角定义表示出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得，，， ∴，， ， ∴ ， ∴． 【变式3-3】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，中，，沿将此三角形折叠，点落在点处，又沿再一次折叠，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和折叠的性质，由折叠的性质得，，设，在中，根据三角形内角和定理得出①，在中，根据三角形内角和定理得出②，从而求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质得，，， ∴， 设， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 由折叠的性质得，， 在中，， ∴， 即， 得，， 故答案为：． 题型四 三角形内角和定理的应用 【例4】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，三角形内角和定理，需分两种情况讨论，即已知的内角为顶角或底角，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为的性质求解顶角的度数． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和为， ①当的角为等腰三角形的顶角时， ∴该等腰三角形的顶角为， ②当的角为等腰三角形的底角时， ∴顶角 ， 综上，这个等腰三角形的顶角为或， 故选：D． 【变式4-1】（25-26八年级上·河南许昌·期末）将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组直角边．已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用三角形内角和定理进行求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式4-2】（23-24八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，两面镜子的夹角为，当光线经过镜子反射后，，，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形的内角和定理得出，再利用平角的定义得出，最后根据，得出即可解答． 【详解】解：如图， ， ， ． ，， ， ， ， 故选：C． 【变式4-3】（25-26八年级上·山东青岛·期末）单车骑行在年轻人中广泛流行，某品牌自行车如图所示，其中，．平分，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用． 根据和的度数分别求出的度数，结合，求出，再由角平分线定理得到，结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵，平分， ∴， ∴． 故答案为：． 题型五 直角三角形的两个锐角互余 【例5】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，，点在上，交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，得到，根据直角三角形的性质，得，解答即可． 本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式5-1】（25-26八年级上·广西贵港·期末）在中，，，则的度数等于________． 【答案】/度 【分析】本题考查直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余，即可求得答案． 【详解】根据直角三角形两锐角互余，可得 ． 故答案为： 【变式5-2】（25-26八年级上·广东广州·期末）中，，，则______． 【答案】60 【分析】直角三角形两锐角互余，即，结合条件，通过等量代换建立方程即可求出． 【详解】解：是直角三角形，， ， 又，即， 将代入得：， 解得：． 【变式5-3】（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）在三角形中，是角平分线，． (1)如图（1），是高，，求的度数； (2)如图（2），点E在上，于F，试探究与的大小关系，并说明理由； (3)如图（3），点E在的延长线上，于F，则与的大小关系是_________（直接写出结论，不需说明理由）． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到，，进而得出，由此即可解决问题； （2）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到； （3）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到不变． 【详解】（1）解：如图1所示： 平分， ， ， ， ， ，， ； （2）解：结论． 理由如下：过作于，如图2所示： ， ， ， 由（1）可得， ； （3）解：结论仍成立． 过作于，如图3所示： ， ， ， 由（1）可得， ． 题型六 锐角互余的三角形是直角三角形 【例6】（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的判定，解题的关键是求出三角形中有一个角是． 根据三角形的内角和定理，结合有一个角是的三角形时是直角三角形，进行判断即可． 【详解】解：三角形内角和为， A、，，故是直角三角形，此选项不符合题意； B、设，则，， ，无角，故不是直角三角形，此选项符合题意； C、设，则， ， ，故是直角三角形，此选项不符合题意； D、，又， ，即，，故是直角三角形，此选项不符合题意； 故选：B． 【变式6-1】（25-26八年级上·福建厦门·期中）在中， ， ， 则这个三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形判定，根据已知条件求出和的度数，再根据角度判断三角形的形状，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ 又∵三角形内角和为， ∴， ∴是直角三角形， 故选：． 【变式6-2】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理及直角三角形的判定．根据每个条件，利用内角和为推导角的大小，判断是否有角． 【详解】解：①，且， ， 是直角三角形． ②，且， ， 代入得 ， ，且， 是钝角三角形，不是直角三角形． ③，设，，， 则 ， ， 是直角三角形． ④，设， 则，， ， ， 是直角三角形． 能确定是直角三角形的条件有①、③、④，共3个． 故选：C． 【变式6-3】（25-26八年级上·河南新乡·期末）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了轴对称变换，直角三角形两锐角互余，正确的作出图形是解题的关键．因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析求解即可． 【详解】解：将纸片沿折叠，点A落在处，将纸片沿折叠，点D落在处， ． 分两种情况讨论∶如图，当点恰好落在边上时， 则． ， ． 如图，当点恰好落在边上时， 根据轴对称的性质知， ， ． ， ． ， ． ， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.3.1 三角形的内角 【新人教版】 【题型1 与平行线有关的三角形内角和问题】....................................................................................................2 【题型2 与角平分线有关的三角形内角和问题】................................................................................................3 【题型3 三角形折叠中的角度问题】....................................................................................................................4 【题型4 三角形内角和定理的应用】....................................................................................................................5 【题型5 直角三角形的两个锐角互余】................................................................................................................6 【题型6 有两个角互余的三角形是直角三角形】................................................................................................6 1. 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°。 几何语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。 2. 定理常用推导思路 剪拼法、平行线平移角证明。 3. 两大常用推论 · 推论1：直角三角形的两个锐角互余。 几何语言：Rt△ABC，∠C=90°，则∠A+∠B=90°。 · 推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形。 4. 角度常规变形∠A=180°-∠B-∠C；∠A+∠B=180°-∠C。 1. 忽略直角三角形锐角互余的逆向判定用法； 2. 多三角形拼接题型，混用不同三角形内角； 3. 方程求解角度时计算出错，等量关系列错。 1. 角度计算优先设未知数，结合内角和列方程求解； 2. 出现直角直接用两角和为90°简化计算； 3. 折叠、倒角题型，抓住重合角相等，结合内角和换算。 题型一 与平行线有关的三角形内角和问题 【例1】（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，直线，若，，则的度数为（   ） A．45° B．65° C．70° D．110° 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【变式1-2】（25-26八年级上·四川绵阳·期中）如图，直线，的直角顶点C在直线上，顶点B在直线上，交于点D，，，求的度数． 【变式1-3】（25-26八年级上·河南许昌·期中）在探索三角形内角和定理时，王老师启发同学们讨论． 如图，已知，，是的内角，求证： 小颖、小星、小红三位同学分别作出以下三种辅助线如图①②③，进而给予证明． 请从中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． 题型二 与角平分线线有关的三角形内角和问题 【例2】（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，是角平分线，且，相交于点，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，、分别平分，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级上·广东中山·阶段检测）如图，中，为的角平分线，为的高，，，求的度数 ． 【变式2-3】（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，，分别是，的平分线，且，相交于点． (1)若，若，求的度数； (2)若，求的度数． 题型三 三角形折叠中的角度问题 【例3】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，将沿着折叠，使点与点重合，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为（    ） A． B．110° C．80° D． 【变式3-2】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，点A落在点F处，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，中，，沿将此三角形折叠，点落在点处，又沿再一次折叠，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为________． 题型四 三角形内角和定理的应用 【例4】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式4-1】（25-26八年级上·河南许昌·期末）将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组直角边．已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，两面镜子的夹角为，当光线经过镜子反射后，，，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26八年级上·山东青岛·期末）单车骑行在年轻人中广泛流行，某品牌自行车如图所示，其中，．平分，，则__________． 题型五 直角三角形的两个锐角互余 【例5】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，，点在上，交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26八年级上·广西贵港·期末）在中，，，则的度数等于________． 【变式5-2】（25-26八年级上·广东广州·期末）中，，，则______． 【变式5-3】（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）在三角形中，是角平分线，． (1)如图（1），是高，，求的度数； (2)如图（2），点E在上，于F，试探究与的大小关系，并说明理由； (3)如图（3），点E在的延长线上，于F，则与的大小关系是_________（直接写出结论，不需说明理由）． 题型六 锐角互余的三角形是直角三角形 【例6】（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26八年级上·福建厦门·期中）在中， ， ， 则这个三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式6-2】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-3】（25-26八年级上·河南新乡·期末）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $