期中测试卷（13-15章） 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以中国载人航天工程、射击世界杯等现实情境为载体，融合三角形性质、全等判定、轴对称等核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度，全面考查八年级上册13-15章内容，体现几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|轴对称图形（第1题）、三角形三边关系（第2题）|结合航天科技情境考查轴对称（第1题）| |填空|6/18|三角形稳定性（第12题）、坐标对称（第11题）|射击世界杯背景体现三角形稳定性（第12题）| |解答|8/72|全等证明（第17题）、新定义“美好等腰三角形”证明（第24题）|以新定义探究培养创新意识，综合考查推理能力（第24题）|

2026-2027学年八年级数学上册期中测试卷（13-15章) 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1.据中国载人航天工程办公室消息，2026年，中国载人航天工程将深入贯彻落实“十五 五”规划部署，在新起点上深化推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，努力为 加快建设航天强国作出更大贡献.下列关于航天航空领域的图标，是轴对称图形的是( D 2.三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是() A.3 B.6 C.9 D.12 3.如图，要用“HL”证明RtABCS≌RtABD,则需要添加的一个条件是() D B A.∠C=∠D B.AB=BD C.BC=BD D.AD=BC 4.若等腰三角形的一个角是70°，则它的底角为() A.55° B.70 C.40°或70° D.55°或70° 5.工人师傅经常利用角尺平分一个任意角.如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA,OB 上分别取OD=OE，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点D,E重合，这时过角尺顶 点P的射线OP就是∠AOB的平分线.在验证结论时，判定△OPD≌aOPE的依据是() B E P D A.SAS B.AAS C.SSS D.ASA 6.将三角板ABC按如图位置摆放，顶点A落在直线上，项点B落在直线h上，若∥1， ∠1=35°，则∠2的度数是（ A 30 A.20° B.25° C.30 D.35 7.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,E是CD上一点，若△BDE≌aCDA,AB=7,AC=5, 则△BDE的周长为() D A.9 B.12 C.13 D.14 8.如图.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,BC=5,AD是高，BE是中线，CF是 角平分线，CF交AD于点G,交BE于点队，给出以下结论错误的是() A.SANBE=SABCE B.∠AFG=∠AGF C.AD=2.4 D.∠FAG=∠ACF 9.如图，在△ABC中，DM,EN分别垂直平分AB,AC,垂足分别为M,N,且分别交 BC于点D,E.若∠B=30°，∠C=35°，则∠DAE的度数为() M A.30° B.40° C.50° D.60° 10.如图，已知∠A0B=30°，点M、W分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、 OA上的动点，记∠MPO=a,∠P2N=B,当MP+P№+QN最小时，B-x=() 0 M 7? B A.90° B.60° C.45° D.30° 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分. 11.在平面直角坐标系xO中，点P(3,-5)关于y轴对称的点的坐标为 12.2026年射击世界杯德国慕尼黑站，张常鸿获得男子10米气步枪冠军.在瞄准目标时， 手、肘、肩构成托枪三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有 13.如图，已知△ABC≌△ECD,∠B=53°，∠E=27°，则∠EDC的度数为 14.如图，小丁和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量这个办公楼的高OM, AF⊥OM于E,BE⊥OM于E.小丁在自家阳台A处测得办公楼顶部O的视线与水平线的 夹角∠OAF=a,小华在自家阳台B处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角∠OBE=B, 已知C,M,D三点共线，a与B互余，且OA=OB,AF=8m,ME=3m.则办公楼的高度 OM= a F EBAB M D 15.如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB=5cm,AC=3cm,则△ABD的周 长比△ACD的周长多 cm. B D I6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,∠ABC=∠BCD=∠AOB=60°， ∠ADC=90°，AB=3,则BC的长为 D 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17.(6分)如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE.求证： BC=DE, 18.(8分)已知△ABC的三边长为a,b,C, (1)若a=2,b=6,求边长c的取值范围； (2)化简a+b-c-a-b-d, 19.(8分)尺规作图题（不写作法，保留作图痕迹）. 如图，已知OA和OB两条公路，C、D是两个村庄，在美好乡村建设中，为方便广大村民 出行方便，拟建立一个公交车站P,使车站到两个村庄距离相等即PC=PD,且P到OA、 OB两条公路的距离相等. A ●C ●D B 20.(8分)如图，已知∠BDC=∠FEC,∠DBE+∠AFE=180°. M A D (1)AF与BE平行吗？ (2)若BE平分∠FEC,FA⊥MC于点A,且∠BDC=64°，求∠C的度数. 21.(10分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为 A1,-2),B(2,-4),C(4,-1) y不 5 32 1 -5-4-3-2-10 12345x 1 3 B 5 (1)画出与△ABC关于y轴对称的图形△DEF.(点A与点D对应，点B与点E对应，点C与 点F对应) (2)在(1)的作图下，点F的坐标为 (3)在y轴上找一点P,使PB+PA的值最小.（在图中标出点P,保留作图痕迹） 22.(10分)如图，AD,AE分别是△ABC的高和角平分线. A B (1)若∠B=70°，∠C=30°，求∠AEC和∠DAE的度数； (2)若∠B=a,∠C=B,且a>PB,直接写出∠AEC和∠DAE的度数（用含a,B的代数式表 示). 23.(10分)已知，A0⊥BC于点O,CD平分∠ACB,交A0于点D. D B B O 图1 图2 (1)如图1，若AC=BC,∠CAO=50°，则∠DBC=°； (2)如图2，点E为AC上一点，连接DE,AC+CE=10,AD=DE,求CO的长， 24.(12分)【理解问题】 如图l,在△ABC和△DBC中，AB=AC,DB=DC,点A,D在底边BC的同侧.我们把具 有这种位置关系的两个等腰三角形.叫做美好等腰三角形，在美好等腰三角形中，两个三 角形中腰的夹角叫做腰角，连接顶角顶点的线段叫做轴线.如图1中∠ABD和∠ACD是腰 角，线段AD是轴线， D/E D G 图1 图2 (1)【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角 相等，轴线所在的直线垂直平分底边.小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完 成证明. 已知：如图I,△ABC和△DBC是美好等腰三角形，连接AD.求证：∠ABD=ACD,AD所 在直线是线段BC的垂直平分线. (2)【实施计划】 如图2，在△ABC中，AB=AC,点D在AB上，∠ACD=45°，AE⊥CD,垂足为E,AE的 延长线与BC交于点F,点G在线段DC上，且EG=EF,连接BG.求证：△ABC和△GBC 是美好等腰三角形， (③)【回顾反思】小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接DF,FG,若 DF=FG,请直接写出∠BAC的度数. 参考答案 一、单项选择题. 1.C 解：A.该图形不是轴对称图形，不符合题意； B.该图形不是轴对称图形，不符合题意； C.该图形是轴对称图形，符合题意； D.该图形不是轴对称图形，不符合题意. 2.A 解：设第三边长为x,根据三角形三边关系可得：3-2<x<2+3, 即1<x<5, 则只有选项A符合. 3.C 解：在Rt△ABC≌Rt△ABD中，AB=AB,∠C=∠D=90° A.添加∠C=∠D,无法证明RtABCS≌RtABD,故此选项不符合题意； B.添加AB=BD,无法证明RtAABCS≌RtABD,，故此选项不符合题意； C.添加BC=BD,可以用“HL”证明RtAABC≌RtAABD,故此选项符合题意； D.添加AD=BC，无法证明RtAABC≌RtAABD,故此选项不符合题意. 4.D 解：分两种情况讨论： 若70°的角是底角，则底角为70°， 此时项角为180°-70°-70°=40°，符合三角形内角和定理； 若70°的角是顶角， .等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°， 底角 180°-70°=55°， 2 ∴.该等腰三角形的底角为55°或70°， 5.C 解：角尺两边相同的刻度分别与点D,E重合， ∴.PE=PD, .OD=OE.OP=OP .△OPD≌AOPE(SSS). 6.B 解：在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°， ∴.∠CAB=60°； .4∥12，∠1=35°， ∴.∠CAB-∠2=∠1，即60°-∠2=35°， 解得∠2=25° 7.B 解：'△BDE≌△CDA, .DE=DA,BE=CA=5 ∴△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+DA+CA=AB+AC=7+5=12 8.D 解：A.BE是△ABC的中线， .AE=CE, .S△aE=S△CE(等底等高的两个三角形面积相等)，故A正确，不符合题意； B.CF是角平分线， .∠ACF=∠FCB, ,AD是△ABC的高， ∴.∠ADC=90°， .∠FCB+∠DGC=90°， .∠BAC=90°， ∴.∠ACF+∠AFG=90°， ..∠DGC=∠AFG, .∠DGC=∠AGF, ∴.∠AFG=∠AGF,即B选项正确； C.8c54B4C=ac40, ×3×4=2×5D,解得：AD=24,即C选项正确： .2 2 D..∠BAC=90°， ∴.∠ACF+∠AFC=90° .∠AGC≠90°， .∠ACF+∠FAG≠90°，即∠FAG≠∠ACF,故D选项，错误，符合题意. 9.C 解：：DM垂直平分AB,EN垂直平分AC, :DA=DB,EA=EC, ∠DAB=∠B=30°，∠EAC=∠C=35° .∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-35°=115° .∠DAE=∠BAC-∠DAB-∠EAC=115°-30°-35°=50°， 10.B 解：如图，作M关于OB的对称点M',V关于OA的对称点N',连接MN'交OA于Q,交 OB于P,则MP+PO+N最小， N M B ∴.∠OPM=∠OPM'=∠NPg,∠OP=∠AQN'=∠AQN, 2QPN=080P-a)=∠A0B+∠OP=30+号080°-)， .180°-a=60°+(180°-B). ∴.B-a=60° 二、填空题. 11.（-3,-5) 解：在平面直角坐标系xO中，点P(3,-5)关于y轴对称的点的坐标为(-3，-5). 12.稳定性 解：生活中利用三角形构造支撑结构，应用了三角形具有稳定性的原理，因此该应用的数 学原理是三角形具有稳定性. 13.100° 解：.'△ABC≌△ECD, ∴.∠DCE=∠B=53°， ∴.∠EDC=180°-∠E-∠DCE=180°-27°-53°=100°， 14.11m 解：，a与B互余， ∴.∠OAF+∠OBE=90° 又：AF⊥OM,BE⊥OM, ∴.∠AFO=∠OEB=90°， ∴.∠OAF+∠A0F=90°， ∴.∠AOF=∠OBE. 在△AFO和△OEB中， 「∠AOF=∠OBE ∠AFO=∠OEB 。。 AO=OB .△AFO≌aOEB(AAS), ∴.OE=AF=8m, .OM=OE+EM=AF+EM=8+3=11(m) 则办公楼的高度OM为11m. 15.2 解：：AD是△ABC中BC边上的中线， BD-CD-BC 2 .C.48D-C.4CD =(AB+BD+AD-(AC+CD+AD) =AB+BD+AD-AC-CD-AD =AB-AC =5-3 =2(cm). 16.9 解：如图，延长BA和CD交于点E, E B :∠ABC=∠BCD=60° ∠E=60°， “△EBC是等边三角形， ∴.EB=BC=EC, 设∠OBC=x,则∠AB0=∠ABC-∠OBC=60°-x, .∠BA0=180°-∠AB0-∠AOB=180°-(60°-x)-60°=60°+x :∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-(60°+x)=60°-x, ∴.∠ABO=∠ACB,即∠DBE=∠ACB, 在△DBE和△ACB中， [∠BED=∠CBA EB=BC ∠DBE=∠ACB ADBE≌△ACB(ASA), :.DE AB=3, 设EB=BC=EC=a,则AE=a-3, ∠ADC=90°， ∠ADE=90°， .∠EAD=30° 在ADe中，DE=方4证=-). a-3)=3,解得a=9, .BC=9」 三、解答题. 17.证明：∠BAD=∠CAE, .∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, ∴.∠BAC=∠DAE, 在△ABC和△ADE中， AB=AD ∠BAC=∠DAE AC=AE .△ABC≌△ADE(SAS), ∴.BC=DE 18.(1)解：a=2,b=6, 6-2<c<6+2,即4<c<8; (2)解：：aABC的三边长为a,b,c, ∴.a+b>c,a-b<c ∴.a+b-c>0,a-b-c<0 ..a+b-c=a+b-c,a-b-c=b+c-a, 原式=la+b--a-b-c =(a+b-c)-(b+c-a) =a+b-c-b-c+a =2a-2c. 19.解：如图，点P为所求. D B 20.（1)解：.∠BDC=∠FEC, ∴.BD∥EF, ∴.∠DBE=∠BEF, .∠DBE+∠AFE=180°， .∠BEF+∠AFE=180°， ∴.AF∥BE; (2)解：.FA⊥MC, .∠FAB=90°， 由(1)知AF∥BE, ∴.∠EBC=∠FAB=90°， ∴.∠C+∠BEC=180°-∠EBC=90°， .BE平分∠FEC,∠BDC=∠FEC=64°， :∠BEC=号∠FEC=32°， .∠C=90°-32°=58° 21.(1)解：如图，△DEF即为所求； 54321 10 2 45 2 3 4 B (2)解：点F的坐标为(-4，)， 故答案为：（4，)： (3)解：如图，点P即为所求 3 2 4 2 3 22.(1)解：在△ABC中，由三角形内角和定理得：LBAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-30°=80°， :AE是△ABC的角平分线， :∠CAE=∠BAC=1x80°=400 1 2 在△AEC中，由三角形内角和定理得：∠AEC=180°-∠C-∠CAE=180°-30°-40°=110°， :AD是△ABC的高， ∠ADC=90°， 在Rt△ADC中，∠DAC=90°-∠C=90°-30°=60°， .∠DAE=∠DAC-∠CAE=60°-40°=20°： (2)解：在△ABC中，由三角形内角和定理得：∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-a-B, :AE是△ABC的角平分线， .CAE-C 2 在△AEC中，由三角形内角和定理得： ∠AEC=180°-∠C-∠C4E=180°-B-90°-+P）=90°+a,E 2 2， :AD是△ABC的高， .∠ADC=90°， 在Rt△ADC中，∠DAC=90°-∠C=90°-B, 六∠D1E=∠D1C-∠C4E=90-B)-(90-a2）=&,E 2Γ2 23.（1)解：CD平分∠ACB, ∴.∠ACD=∠BCD, 在△ACD和△BCD中， AC=BC ∠ACD=∠BCD CD=CD AACD≌△BCD(SAS), .∠CAO=∠DBC, :∠CA0=50°， ∠DBC=50° (2)解：过点D作DN⊥AC于点N,如图2所示： E D B 图2 :AD=DE, :AN EN, .AE AN+EN =2EN. ∴.AC=CE+AE=CE+2EN, ∴.AC+CE=CE+2EN+CE=2(CE+EN）=2CN 又：AC+CE=10, .∴.2CW=10. .CN=5 :CD平分∠ACB,AO⊥BC于点O,DN⊥AC于点N, .∠COD=∠CND=90°，DO=DN, 在Rt△CDO和Rt△CDN中， DO=DN CD=CD .RtaCDNS≌RtACDO(HL). ∴.C0=CN=5 24.(1)证明：△ABC和△DBC是美好等腰三角形， ..AB=AC.DB=DC. ∴∠DBC=∠DCB,∠ABC=∠ACB ∴.∠ABC-∠DBC=∠ACB-∠DCB,即∠ACD=∠ABD AB=AC, ∴点A在线段BC的垂直平分线上. .'DB=DC, 点D在线段BC的垂直平分线上， :∠ABD=∠ACD,AD所在直线是线段BC的垂直平分线； (2)证明：如图，作射线AG交BC于点H, G F H .AE⊥CD, .∠AEG=∠CEF=90°， .∠GAE+∠AGE=90° ∠ACE=45° .∠CAE=90°-∠ACE=45° ∴.∠CAE=∠ACE .AE=CE EF EG ,:△AEG≌aCEF(SAS) .∠FCE=∠GAE .∠CGH=∠AGE ∴.∠FCE+∠CGH=90° :.∠GHC=180°-∠CGH-∠FCE=90° AH⊥BC :AB=AC, .BH=CH ..GB=GC ∴点G在线段DC上，且EG=EF,则△ABC和△GBC是美好等腰三角形 (3)解：如图3， G 图3 ,AE⊥CD, .FE⊥DG, .EG=EF ∴.∠EGF=∠EFG=45°.】 ,DF=FG,FE⊥DG, AF垂直平分DG, ∴.AD=AG, .∠DAE=∠GAE. 设∠DAE=∠GAE=a. .AB=AC,AH⊥BC, ∴.∠CAH=∠BAH=2a. .∠CAE=45° .a+2a=45°， ∴.a=15°， ∴.∠BAC=4×15°=60°