2026年中考数学真题完全解读（江苏省无锡卷）真题解读

该初中数学中考复习讲义覆盖数与式、函数、几何等中考核心考点，按模块占比构建知识体系，设计“考点梳理-方法归纳-真题训练”教学环节，通过考点细目表和专题突破帮助学生突破函数几何综合等难点，体现复习的系统性和针对性。 特色在于融合科技与传统文化情境，强化真实情境应用题（如丢沙包二次函数建模）和新定义题训练，培养模型观念与推理能力。设三级分层练习配合限时测试，保障复习效果，助力学生提升应考能力，为教师提供精准复习节奏指导。

2026年江苏省无锡市中考数学真题完全解读 试卷总评·考情分析·复习策略·真题解读 试题分析 2026年江苏省无锡市中考数学试卷总分150分，考试时间120分钟，共设28题，题型包括选择题（10题，30分）、填空题（8题，24分）和解答题（10题，8+8+10×8=96分）。全卷立足课标、回归教材，注重基础性与综合性并重，在保持稳定结构的同时，突出了对数学核心素养和关键能力的考查。试卷覆盖了数与式、方程与不等式、函数、图形的性质、图形的变化、统计与概率等全部主干知识模块，其中函数与几何综合题占据较大分值，体现了无锡卷‘重基础、强综合、显应用’的命题导向。选择题第1至7题侧重基础概念和基本运算，第8至10题开始融入几何直观与数形结合；填空题第11至15题考查基本技能，第16题以弹簧长度与物体质量的一次函数关系为载体，渗透了模型思想；第17、18题在正方形和四边形中设置探究性问题，思维含量明显提升。解答题第19、20题分别考查方程不等式、整式运算与化简求值，难度适中；第21题以矩形为背景考查全等三角形的证明，第22题以摸球游戏为背景考查概率与公平性判断，第23题以家务劳动时长统计为背景考查数据分析观念，第24题融合尺规作图与菱形性质，第25题考查圆的切线性质与阴影面积计算，第26题以丢沙包游戏为背景考查二次函数的实际应用，第27题在反比例函数图象中设置坐标探究，第28题定义‘等截线’考查几何新定义探究。整体而言，本卷注重思维过程考查，强调在真实情境中运用数学知识分析和解决问题的能力，压轴题延续了新定义探究的传统，区分度明显。 试题亮点 科技成就与传统文化双线并进，彰显无锡卷的育人底色：第3题以我国生成式人工智能用户规模达6.02亿人为背景，用科学记数法表示国家科技成就数据，将时事热点与数与式知识有机结合；第8题引入《九章算术》中的‘浓酒淡酒’问题，以二元一次方程组求解中国古代数学经典问题，让学生在传统文化情境中体会数学建模思想；第13题以中国传统建筑窗棂图案中的正六边形外框为素材，考查多边形外角和知识，将传统建筑之美与几何直观相结合。这些题目不仅考查了学生的运算能力和空间观念，也增强了试卷的文化厚度和时代气息。 真实情境贯穿全卷，应用意识与模型观念考查常态化：第16题以弹簧在弹性限度内长度与所挂物体质量的一次函数关系为背景，考查待定系数法与实际应用；第22题以甲、乙两人摸球游戏为情境，要求学生通过列表或画树状图判断游戏规则是否公平；第23题以本校八年级学生一周参加家务劳动时间抽样调查为情境，考查频数分布表、扇形统计图与用样本估计总体；第26题以‘丢沙包’游戏为项目背景，建立抛物线模型研究沙包运动轨迹，考查二次函数在实际问题中的应用。这些题目均来源于学生熟悉的生活场景，要求学生从具体情境中提取数学信息、建立数学模型并求解，体现了‘数学源于生活、服务于生活’的课程理念。 压轴题思维含量提升，几何探究与新定义仍是区分核心：第18题在四边形中设置面积等分与存在性问题，通过梯形面积公式和临界情况分析考查分类讨论思想；第27题在反比例函数图象中设置平行线交点，要求表示点的坐标、探究线段数量关系并证明定值，对数形结合和代数推理能力提出了较高要求；第28题定义‘等截线’，在三角形中研究线段比例关系，第(3)问结合波利亚作图步骤说明等截线的构造原理，将几何直观、相似三角形与探究性证明融为一体。三道题均注重思维过程而非机械计算，有效区分了不同层次学生的数学素养。 命题趋势 科技成就与传统文化情境将持续入题，学科育人导向更加鲜明：无锡卷近年持续将国家重大科技成就、传统文化元素融入数学试题，如2026年第3题生成式人工智能用户规模、第8题《九章算术》浓酒淡酒问题、第13题传统建筑窗棂图案。预计未来几年，以国家科技进展、中国传统数学文化、地方特色建筑为背景的试题将继续保持，且情境与知识点的结合将更加紧密，不仅考查知识本身，更考查学生在文化情境中理解和应用数学的能力。 真实情境应用题占比稳中有升，模型观念和应用意识考查将进一步强化：本卷第16、22、23、26题均设置了生活化情境，从弹簧长度到摸球游戏，从家务劳动时间调查到丢沙包抛物线，涵盖了函数、概率、统计、二次函数等多个知识领域。未来命题将继续从学生熟悉的生活场景、社会热点和地方产业中选取素材，引导学生经历‘发现问题—建立模型—求解验证—反思优化’的完整过程，强化数学建模和应用意识的核心素养考查。 基础题‘送分到位’但概念理解要求更深，拒绝机械刷题：本卷选择题前7题和填空题前5题总体难度不高，但第2题分式有意义需要准确确定分母不为零的取值范围，第4题众数与中位数需要区分两个统计量的概念，第14题判断命题真假需要构造反例，第15题写出一个到原点距离为1的点的坐标需要理解圆的方程本质。未来命题将继续以基础题为基本盘，但通过概念辨析、反例构造和开放性问题设计，检验学生是否真正理解数学概念的本质。 函数与几何综合仍是压轴主流，动态探究和参数讨论要求更高：本卷第26题二次函数实际应用、第27题反比例函数综合、第28题几何新定义延续了无锡卷中高档题的传统风格，涉及抛物线建模、坐标表示、相似三角形、新定义理解和证明等高阶思维。预计未来无锡卷将继续以函数图像性质与几何变换综合为压轴方向，强化数形结合、分类讨论和从特殊到一般的探究路径，思维过程考查将继续成为顶尖区分度的重要载体。 考点细目表 题号 题型 分值 具体考点 关键能力 1 单选 3 数与式→有理数→正负数的意义 抽象能力 2 单选 3 数与式→分式→分式有意义的条件 运算能力 3 单选 3 数与式→科学记数法→用科学记数法表示较大的数 运算能力 4 单选 3 统计与概率→统计量→众数与中位数 数据观念 5 单选 3 方程与不等式→分式方程→解分式方程 运算能力 6 单选 3 函数→一次函数→一次函数图象的平移 几何直观 7 单选 3 图形的变化→图形的旋转→旋转角的计算 几何直观 8 单选 3 方程与不等式→二元一次方程组→二元一次方程组的应用（古代数学问题） 模型观念 9 单选 3 函数→二次函数→二次函数与不等式的关系 推理能力 10 单选 3 图形的变化→图形的翻折→翻折变换与面积计算 推理能力、几何直观 11 填空 3 数与式→二次根式→二次根式的运算 运算能力 12 填空 3 数与式→因式分解→提公因式法与公式法综合分解 运算能力 13 填空 3 图形的性质→多边形→正多边形的外角和 几何直观 14 填空 3 综合与实践→命题与推理→命题真假的判断（举反例） 推理能力 15 填空 3 图形的性质→平面直角坐标系→点到原点的距离 运算能力 16 填空 3 函数→一次函数→一次函数的实际应用（待定系数法） 模型观念 17 填空 3 图形的性质→正方形→正方形的性质与勾股定理 运算能力 18 填空 3 综合与实践→面积问题→四边形面积等分与存在性探究 推理能力、创新意识 19 解答 8 方程与不等式→一元二次方程→公式法解一元二次方程 运算能力 20 解答 8 数与式→分式的化简求值→分式的混合运算与代入求值 运算能力 21 解答 10 图形的性质→矩形→矩形的性质与全等三角形的判定 推理能力 22 解答 10 统计与概率→概率→列表法或树状图法求概率及游戏公平性 数据观念 23 解答 10 统计与概率→统计→频数分布表、扇形统计图与用样本估计总体 数据观念 24 解答 10 图形的性质→三角形→尺规作图与菱形的性质 推理能力、几何直观 25 解答 10 图形的性质→圆→圆的切线性质、勾股定理与扇形面积 推理能力、运算能力 26 解答 10 函数→二次函数→二次函数的实际应用（抛物线建模） 模型观念、应用意识 27 解答 10 函数→反比例函数→反比例函数图象与坐标特征、面积定值探究 推理能力、运算能力 28 解答 10 综合与实践→新定义探究→等截线的定义、相似三角形与尺规作图 推理能力、创新意识 考点模块占比分析 数与式模块（约23%，34分）：重点考查有理数、实数、整式、分式、二次根式的运算与化简，科学记数法、因式分解及分式方程等基础代数内容，对应第1、2、3、11、12、19（计算部分）、20题。 函数模块（约29%，43分）：重点考查一次函数的图象平移与实际应用、二次函数与不等式的关系、二次函数的实际应用及反比例函数综合，对应第6、9、16、26、27题。 图形的性质模块（约26%，39分）：重点考查多边形外角、点到原点距离、正方形与勾股定理、矩形全等证明、尺规作图与菱形、圆的切线性质及阴影面积计算，对应第13、15、17、21、24、25题。 图形的变化与综合实践模块（约12%，18分）：重点考查图形的旋转、翻折与面积、命题真假判断、四边形面积等分探究及新定义等截线，对应第7、10、14、18、28题。 统计与概率模块（约10%，16分）：重点考查众数与中位数、概率计算与游戏公平性、频数分布表与扇形统计图及用样本估计总体，对应第4、22、23题。 核心复习策略 1. 回归教材，夯实基础概念与运算技能 （1）优先巩固数与式、方程不等式、函数图象等核心概念，做到概念清晰、运算准确、表达规范。选择题和填空题的前半部分占分较多，基础扎实即可稳定得分。 （2）重视课本例题和课后习题的变式训练，尤其是二次根式运算、因式分解、解分式方程、分式化简求值等高频考点，确保基本计算不丢分。 2. 专题突破几何与函数综合，建立解题模型 （1）针对图形的变化（翻折、旋转、平移）和相似全等专题，归纳常见辅助线作法（如作高、作平行线、构造全等三角形），建立‘条件—模型—结论’的关联路径。 （2）对函数综合题（尤其是一次函数、二次函数、反比例函数），重点训练待定系数法、数形结合、分类讨论和最值分析，掌握参数问题的处理策略。 3. 强化真实情境与新定义题训练，提升应用与探究能力 （1）多关注以生活实际、传统文化、科技成就为背景的统计与概率、函数应用、方案设计题，培养从情境中提取信息、建立模型、求解验证的能力。 （2）注重规范表达和步骤完整性，尤其是几何证明题和新定义探究题要写出关键依据（如定理、定义、性质），避免因步骤缺失或表述不清而失分。 避坑提醒（考试最易踩的雷） ×分式方程忘记检验：解分式方程时，去分母后得到的整式方程解必须代入最简公分母检验，否则容易产生增根。 ×统计图表信息读取不全：频数分布表与扇形统计图结合题中，要注意先求样本容量，再补全缺失数据，避免直接用百分比相乘导致错误。 ×几何证明跳步漏条件：全等、相似三角形的判定条件要一一对应，圆中切线问题要牢记‘切线垂直于过切点的半径’这一关键性质。 ×新定义题未回归定义：第28题等截线问题要紧扣定义中的比例关系，将新定义转化为熟悉的全等或相似三角形问题，避免凭感觉作答。 一、单选题 1．如果一辆汽车加油记作，那么消耗油记作（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：正负数的意义 ►命题分析： （1）情境创设：以汽车加油和消耗油为背景，考查用正负数表示相反意义的量。 （2）问题设计：（1）情境创设：以汽车加油和消耗油为生活背景，体现正负数在实际生活中的应用；（2）问题设计：给出加油用正数表示，要求判断消耗油应如何表示，选项设计考查学生对相反意义量的理解；（3）考查目标：考查学生对正负数意义的理解和抽象能力。 （3）考查目标：考查抽象能力，要求学生能识别具有相反意义的量，并用正负数正确表示。 答案与解析 【答案】D 【详解】解：∵ 加油记作， ∴ 消耗油记作. 知识总结 ①核心概念：正数和负数可用来表示一对具有相反意义的量，通常规定其中一个为正，另一个则为负。②解题方法：若加油记作正数，则消耗油应记作负数。③拓展关联：正负数的学习是后续学习有理数运算、数轴、绝对值的基础。 2．使分式有意义的的取值范围是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：分式有意义的条件 ►命题分析： （1）情境创设：直接给出分式，考查分式有意义的取值范围。 （2）问题设计：（1）情境创设：纯代数运算情境，回归概念本质；（2）问题设计：求使分式有意义时字母的取值范围，选项设计考查学生对分母不为零的理解；（3）考查目标：考查分式概念和运算能力。 （3）考查目标：考查运算能力，要求学生掌握分式有意义的条件是分母不为零。 答案与解析 【答案】C 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴. 知识总结 ①核心概念：分式有意义的条件是分母不等于零。②解题方法：令分母等于零求出使分式无意义的值，取值范围为除这些值外的所有实数。③拓展关联：分式有意义、分式值为零、分式化简是分式学习中的三个核心问题。 3．随着科技的不断进步，生成式人工智能成为我国经济社会数字化、智能化转型的重要引擎．截至2025年12月，我国生成式人工智能用户达602000000人．数据602000000用科学记数法表示为（     ）． A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：科学记数法 ►命题分析： （1）情境创设：以我国生成式人工智能用户规模数据为背景，考查用科学记数法表示较大的数。 （2）问题设计：（1）情境创设：以国家科技成就数据为背景，体现数学的时代性；（2）问题设计：将602000000用科学记数法表示，选项设计考查学生对科学记数法形式a×10^n（1≤|a|<10）的掌握；（3）考查目标：考查科学记数法的表示方法和运算能力。 （3）考查目标：考查运算能力，要求学生能准确将大数表示为科学记数法的标准形式。 答案与解析 【答案】C 【分析】科学记数法的标准形式为，需要满足，为整数．题中数据的小数点向左移动位，可以得到，此时，即可求解． 【详解】解：． 知识总结 ①核心概念：科学记数法表示为a×10^n，其中1≤|a|<10，n为整数。②解题方法：将602000000写成6.02×10^8。③拓展关联：科学记数法常用于表示极大或极小的数，是物理、化学、地理等学科中的重要工具。 4．体育课上5名男生进行引体向上训练，他们的成绩（单位：个）为8，9，9，10，11．这组数据的众数和中位数分别是（     ） A．8，9 B．9，9 C．9，8 D．11，9 命题透视 ►核心考点：众数与中位数 ►命题分析： （1）情境创设：以体育课上5名男生引体向上成绩为背景，考查众数和中位数的概念。 （2）问题设计：（1）情境创设：以学生熟悉的体育测试成绩为背景，贴近生活；（2）问题设计：给定一组数据，要求分别求出众数和中位数，选项设计混淆了众数、中位数、平均数等概念；（3）考查目标：考查学生对众数和中位数概念的理解和数据观念。 （3）考查目标：考查数据观念，要求学生能准确找出一组数据中出现次数最多的数和按大小排列后位于中间位置的数。 答案与解析 【答案】B 【详解】解：∵数据，，，，中出现次数最多， ∴众数为． ∵将数据从小到大排列后，第个数据为， ∴中位数为． 知识总结 ①核心概念：众数是一组数据中出现次数最多的数据；中位数是将数据按大小顺序排列后位于中间位置的数（若数据个数为偶数，则取中间两个数的平均数）。②解题方法：数据8，9，9，10，11中，9出现2次最多，故众数为9；排序后第3个数为9，故中位数为9。③拓展关联：众数、中位数、平均数从不同角度刻画数据的集中趋势。 5．分式方程的解是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：解分式方程 ►命题分析： （1）情境创设：直接给出分式方程，考查分式方程的解法。 （2）问题设计：（1）情境创设：纯代数运算情境；（2）问题设计：通过去分母、解整式方程、检验三个步骤求解分式方程，选项设计考查学生对解分式方程完整过程的掌握；（3）考查目标：考查运算能力和解分式方程的基本技能。 （3）考查目标：考查运算能力，要求学生掌握分式方程的解法并会进行检验。 答案与解析 【答案】A 【详解】解：方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 知识总结 ①核心概念：解分式方程的基本思路是去分母，将其转化为整式方程求解，最后必须检验。②解题方法：方程两边同乘最简公分母，解整式方程，将解代入最简公分母检验是否为零。③拓展关联：分式方程在工程问题、行程问题等实际问题中有广泛应用。 6．将函数的图象向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：一次函数图象的平移 ►命题分析： （1）情境创设：直接给出一次函数，考查函数图象向上平移后的解析式。 （2）问题设计：（1）情境创设：纯函数图象变换情境；（2）问题设计：将函数图象向上平移2个单位，求新函数表达式，选项设计考查学生对平移规律的理解；（3）考查目标：考查函数图象变换和几何直观能力。 （3）考查目标：考查几何直观和运算能力，要求学生掌握一次函数图象上下平移的规律。 答案与解析 【答案】B 【详解】解：将函数的图象向上平移2个单位长度，得． 知识总结 ①核心概念：函数图象上下平移遵循‘上加下减’原则，即y=f(x)+k表示向上平移k个单位。②解题方法：将原函数向上平移2个单位，得到新函数表达式。③拓展关联：函数图象的平移、对称、翻折变换是研究函数性质的重要方法。 7．如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，若，，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：旋转角的计算 ►命题分析： （1）情境创设：以三角形绕点顺时针旋转得到新三角形为背景，考查旋转角的概念与计算。 （2）问题设计：（1）情境创设：以图形旋转为背景，直观形象；（2）问题设计：已知旋转前后的对应角大小，求旋转角的度数，选项设计考查学生对旋转角定义的理解；（3）考查目标：考查几何直观和推理能力。 （3）考查目标：考查几何直观和推理能力，要求学生能识别旋转角并利用已知角度计算。 答案与解析 【答案】D 【分析】绕点A旋转，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角，即或．因为已知和的度数，所以先计算的度数，即两个角的差．依据旋转角的定义，该差值即为所求旋转角． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转得到， ∴旋转角就是对应点与旋转中心连线的夹角，也就是． ∵， ∴． 即旋转角为． 知识总结 ①核心概念：旋转角是对应点与旋转中心连线所成的角。②解题方法：根据旋转性质，旋转角等于对应点与旋转中心连线的夹角，利用已知角的大小差求出旋转角。③拓展关联：旋转、平移、轴对称是初中几何的三大基本变换，常用于构造全等或相似图形。 8．《九章算术》中有如下问题：浓酒1斗值50钱，淡酒1斗值10钱．现有30钱，买酒2斗，问浓酒、淡酒各有多少？设浓酒斗，淡酒斗，则下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：二元一次方程组的应用 ►命题分析： （1）情境创设：以《九章算术》中浓酒淡酒问题为背景，考查列二元一次方程组解决古代数学问题。 （2）问题设计：（1）情境创设：引入中国古代数学经典《九章算术》，渗透数学文化；（2）问题设计：根据‘买酒总斗数为2斗，总钱数为30钱’两个等量关系列出方程组，选项设计考查学生提取信息和建模能力；（3）考查目标：考查模型观念和应用意识。 （3）考查目标：考查模型观念，要求学生能从古代数学问题中抽象出两个等量关系并列出方程组。 答案与解析 【答案】D 【分析】设浓酒斗，淡酒斗，根据“买酒总斗数为2斗，总钱数为30钱”列出方程组即可． 【详解】解：设浓酒斗，淡酒斗，根据题意，得 ． 知识总结 ①核心概念：列二元一次方程组解应用题的关键是找出两个等量关系。②解题方法：设浓酒x斗，淡酒y斗，根据斗数和钱数列出x+y=2和50x+10y=30。③拓展关联：方程组是解决多个未知量实际问题的重要工具，在古代数学和现实生活中均有广泛应用。 9．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 命题透视 ►核心考点：二次函数与不等式的关系 ►命题分析： （1）情境创设：以二次函数与一次函数图象交点为背景，利用图象解不等式。 （2）问题设计：（1）情境创设：以函数图象交点为情境，突出数形结合思想；（2）问题设计：根据两个函数图象的交点和与y轴交点，确定不等式的解集，选项设计考查学生对函数图象与不等式关系的理解；（3）考查目标：考查推理能力和数形结合思想。 （3）考查目标：考查推理能力和几何直观，要求学生能利用二次函数图象位置关系确定不等式解集。 答案与解析 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴有图象可得，它的解集是． 知识总结 ①核心概念：不等式f(x)>g(x)的解集对应函数y=f(x)图象在y=g(x)图象上方时x的取值范围。②解题方法：找出两函数图象的交点横坐标和y轴交点，结合图象判断解集。③拓展关联：函数与不等式的关系是数形结合思想的重要体现，也是高中学习导数、单调性的基础。 10．在直角三角形纸片中，，，．点在边上，将沿翻折，得到．当时，与重叠部分的面积是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：翻折变换与面积计算 ►命题分析： （1）情境创设：以直角三角形纸片翻折为背景，考查翻折性质与图形面积计算。 （2）问题设计：（1）情境创设：以纸片翻折操作为背景，直观形象；（2）问题设计：在已知直角三角形边长和翻折条件下，求重叠部分面积，选项设计考查学生对翻折性质、勾股定理、相似三角形和面积计算的综合运用；（3）考查目标：考查推理能力和几何直观能力。 （3）考查目标：考查推理能力和几何直观，要求学生能利用翻折性质和勾股定理建立线段关系，进而求面积。 答案与解析 【答案】C 【分析】先根据由勾股定理求出，再由翻折的性质得，然后说明 ，可得，进而得出，接下来求出，即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 由翻折的性质得，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ∵与同高（顶点为，底边在上）， ， 与同高（顶点为，底边在上）， ， 又， ， 由翻折得， ． 知识总结 ①核心概念：翻折变换保持图形的形状和大小不变，对应边相等、对应角相等。②解题方法：先利用勾股定理求出直角边，再由翻折性质得到等线段，通过相似三角形或面积比求出重叠部分面积。③拓展关联：翻折、旋转、平移等变换常与勾股定理、相似、全等结合，是中考几何综合题的重要载体。 二、填空题 11．计算：______． 命题透视 ►核心考点：二次根式的运算 ►命题分析： （1）情境创设：直接给出二次根式运算式，考查二次根式的化简与计算。 （2）问题设计：（1）情境创设：纯代数运算情境；（2）问题设计：计算二次根式的加减或乘除，选项设计考查学生对二次根式运算法则的掌握；（3）考查目标：考查运算能力。 （3）考查目标：考查运算能力，要求学生熟练运用二次根式的运算法则进行计算。 答案与解析 【答案】3 【详解】解： 原式． 知识总结 ①核心概念：二次根式加减需先将各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；乘除可分别运用√a·√b=√(ab)和√a/√b=√(a/b)。②解题方法：按照运算顺序，先化简再合并或计算。③拓展关联：二次根式运算在解直角三角形、二次函数求根公式等计算中频繁使用。 12．因式分解：___________． 命题透视 ►核心考点：提公因式法与公式法综合分解 ►命题分析： （1）情境创设：直接给出多项式，考查因式分解的综合运用。 （2）问题设计：（1）情境创设：纯代数运算情境；（2）问题设计：先提公因式，再利用平方差公式或完全平方公式继续分解，选项设计考查学生对因式分解步骤的掌握；（3）考查目标：考查运算能力和代数变形能力。 （3）考查目标：考查运算能力，要求学生掌握‘一提二套三检查’的因式分解步骤。 答案与解析 【答案】 【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式 【详解】解： 知识总结 ①核心概念：因式分解的基本步骤是先看能否提公因式，再看能否用公式法继续分解。②解题方法：先提取公因式，再对剩余多项式利用平方差公式或完全平方公式分解，直至不能分解为止。③拓展关联：因式分解是化简、求值、解方程、分式运算的重要基础。 13．窗棂是中国传统建筑的重要元素，既有吉祥寓意，又显几何之美．如图所示，某个窗棂图案的外框是正六边形，这个正六边形的每一个外角都等于______度． 命题透视 ►核心考点：正多边形的外角和 ►命题分析： （1）情境创设：以中国传统建筑窗棂图案中的正六边形外框为背景，考查正多边形外角计算。 （2）问题设计：（1）情境创设：以中国传统建筑窗棂图案为素材，渗透数学文化；（2）问题设计：求正六边形每一个外角的度数，选项设计考查学生对多边形外角和定理的理解；（3）考查目标：考查几何直观和文化理解能力。 （3）考查目标：考查几何直观，要求学生掌握任意多边形外角和恒为360°并会计算正多边形每个外角。 答案与解析 【答案】60 【分析】根据任意多边形外角和恒为，正多边形的所有外角都相等，用外角和除以边数即可得到单个外角的度数． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，正六边形的6个外角大小相等， ∴正六边形的每一个外角度数为 ． 知识总结 ①核心概念：任意多边形的外角和都等于360°；正n边形的每个外角等于360°/n。②解题方法：正六边形每个外角为360°/6=60°。③拓展关联：正多边形的外角与内角互补，这一关系常用于正多边形的相关计算。 14．命题：“若，则．”是______（填“真”或“假”）命题． 命题透视 ►核心考点：命题真假的判断（举反例） ►命题分析： （1）情境创设：直接给出命题，要求判断其真假并说明理由。 （2）问题设计：（1）情境创设：纯逻辑推理情境；（2）问题设计：判断命题真假，需要找到一个满足条件但结论不成立的反例，选项设计考查学生对反例法的理解；（3）考查目标：考查推理能力和逻辑思维能力。 （3）考查目标：考查推理能力，要求学生能通过举反例判断一个命题为假命题。 答案与解析 【答案】假 【分析】判断命题真假，只需找到满足题设条件但不满足结论的反例即可推出结果． 【详解】解：取， 满足， ， 不满足， 存在反例说明原命题不成立，原命题是假命题． 知识总结 ①核心概念：命题是判断一件事情的语句；要证明命题为假，只需举出一个反例。②解题方法：取特殊值满足题设但不满足结论，即可说明原命题为假。③拓展关联：命题与证明是数学推理的基础，反例法是反驳错误命题的重要手段。 15．在平面直角坐标系中，点到原点的距离等于1．请写出一个符合条件的点的坐标：______． 命题透视 ►核心考点：点到原点的距离 ►命题分析： （1）情境创设：在平面直角坐标系中，要求写出一个到原点距离等于1的点的坐标。 （2）问题设计：（1）情境创设：以平面直角坐标系为背景，开放性问题；（2）问题设计：写出满足条件的点的坐标，答案不唯一，考查学生对点到原点距离公式的理解；（3）考查目标：考查运算能力和开放思维。 （3）考查目标：考查运算能力，要求学生理解点到原点距离公式并能写出满足条件的一组坐标。 答案与解析 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据点到原点的距离条件，推导出点横纵坐标满足的关系式，任取一组满足关系式的值即可得到结果. 【详解】解：设点的坐标为， ∵点到原点的距离等于， ∴， 令，代入等式得，满足条件， 因此符合要求的点坐标可以为. 知识总结 ①核心概念：点P(x,y)到原点O的距离为√(x^2+y^2)。②解题方法：令x^2+y^2=1，任取一组满足等式的值即可，如(1,0)或(0,1)。③拓展关联：到原点距离等于1的点的集合构成以原点为圆心、半径为1的圆，即单位圆。 16．在弹性限度内，某弹簧最多可挂质量为的物体，弹簧长度（单位：）与所挂物体质量（单位：）之间的函数表达式为．若挂物体时弹簧的长度为，则挂物体时弹簧的长度为______． 命题透视 ►核心考点：一次函数的实际应用（待定系数法） ►命题分析： （1）情境创设：以弹簧在弹性限度内长度与所挂物体质量的一次函数关系为背景，考查待定系数法。 （2）问题设计：（1）情境创设：以弹簧长度与物体质量的物理关系为背景，贴近生活；（2）问题设计：已知挂1kg物体时弹簧长度，求函数解析式，再求挂3kg时的长度，选项设计考查学生建立一次函数模型和代入求值的能力；（3）考查目标：考查模型观念和应用意识。 （3）考查目标：考查模型观念，要求学生能根据已知条件用待定系数法求一次函数解析式并解决实际问题。 答案与解析 【答案】12 【分析】根据已知时，代入给定函数式求出系数，再代入计算对应的值即可． 【详解】解：∵挂物体时弹簧的长度为， ∴将，代入函数式，得， 解得， ∴函数表达式为． 将代入函数式，得， 即挂物体时弹簧长度为． 知识总结 ①核心概念：一次函数y=kx+b中，k和b可通过待定系数法确定。②解题方法：将已知的一组x、y值代入函数式求出k，再代入所求的x值计算y。③拓展关联：一次函数模型广泛应用于行程、利润、工程等实际问题，是初中函数学习的重点。 17．已知正方形的边长为2，是的中点，是的中点，则______． 命题透视 ►核心考点：正方形的性质与勾股定理 ►命题分析： （1）情境创设：以正方形边长为2，E、F分别为两边中点为背景，求两点间距离。 （2）问题设计：（1）情境创设：以正方形为背景的几何计算问题；（2）问题设计：通过建立坐标系或构造直角三角形，利用勾股定理求线段EF的长度，选项设计考查学生对正方形性质和勾股定理的综合运用；（3）考查目标：考查运算能力和几何直观能力。 （3）考查目标：考查运算能力和几何直观，要求学生能建立坐标系或构造直角三角形求线段长度。 答案与解析 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，写出各点坐标，得到中点的坐标，再利用勾股定理计算的长度. 【详解】解：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， ∵正方形边长为， ∴，，，； ∵是的中点， ∴的坐标为， ∵是的中点，，， ∴的横坐标为，纵坐标为，即， ∵， ∴. 知识总结 ①核心概念：正方形的四条边相等、四个角都是直角；勾股定理a^2+b^2=c^2用于直角三角形边长计算。②解题方法：建立坐标系，写出E、F两点坐标，再利用两点间距离公式或勾股定理计算EF。③拓展关联：坐标系与勾股定理是解决几何计算问题的重要工具，常用于求距离、判断位置关系。 18．在四边形中，，，，，，点在四边形内．如图1，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，，则______（填“存在”或“不存在”）点，使得；如图2，将点向右平移个单位长度，得到点（点仍在该四边形内）．，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，．若存在点，，使得，则的取值范围是____． 命题透视 ►核心考点：四边形面积等分与存在性探究 ►命题分析： （1）情境创设：以四边形ABCD为背景，设置点P将四边形分成面积相等的两部分，并研究平移后面积关系的问题。 （2）问题设计：（1）情境创设：以不规则四边形为背景的几何探究问题；（2）问题设计：第一问判断是否存在点使面积相等，第二问求平移参数m的取值范围，考查学生对梯形面积、等高三角形和临界情况分析的能力；（3）考查目标：考查推理能力、创新意识和几何直观能力。 （3）考查目标：考查推理能力和创新意识，要求学生能通过面积关系和临界情况分析解决存在性问题。 答案与解析 【答案】 存在 【分析】连接，过点作，分别交，于点，，求梯形的面积，可得三角形的面积，进而确定点的轨迹并算出点到的距离；通过分析临界情况利用梯形面积公式根据题意列方程，求解即可得出的取值范围． 【详解】解：如图，在图1中连接，过点作，分别交，于点，， ∵在四边形中，，， ∴四边形是直角梯形， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 当时， ， 在中， ， ∴点到的距离为， ∴存在点，使得， 此时点的轨迹为线段（不包括端点），且与间的距离为； 如图，在图2中考虑临界情况，当点在上的点处，点在上的点处时，设， 若，则， 解得， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 知识总结 ①核心概念：等底等高的三角形面积相等；梯形面积=(上底+下底)×高/2。②解题方法：连接对角线，作平行线，将四边形分成面积相等的两部分，分析点P的轨迹；对平移情况，利用临界位置列方程求参数范围。③拓展关联：面积等分问题是几何探究的常见题型，常与相似、梯形、临界分析结合。 三、解答题 19．按要求完成下列小题： (1)解方程：； (2)计算：． 命题透视 ►核心考点：公式法解一元二次方程及整式的混合运算 ►命题分析： （1）情境创设：第(1)小题解一元二次方程，第(2)小题计算整式混合运算。 （2）问题设计：（1）情境创设：纯代数运算情境；（2）问题设计：第(1)问利用公式法解一元二次方程，第(2)问按整式混合运算法则计算，考查学生对公式法和整式运算的掌握；（3）考查目标：考查运算能力和代数变形能力。 （3）考查目标：考查运算能力，要求学生能熟练运用公式法解一元二次方程并按运算顺序进行整式计算。 答案与解析 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）根据整式的混合运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． （2）解：原式 ． 知识总结 ①核心概念：一元二次方程ax^2+bx+c=0的求根公式为x=[-b±√(b^2-4ac)]/(2a)；整式混合运算要遵循先乘方、再乘除、最后加减的顺序。②解题方法：第(1)问确定a、b、c后代入公式求解；第(2)问按运算顺序化简。③拓展关联：一元二次方程是后续学习二次函数、圆中计算等知识的重要基础。 20．先化简，再求值：，其中，． 命题透视 ►核心考点：分式的化简求值 ►命题分析： （1）情境创设：先化简分式，再代入具体数值求值。 （2）问题设计：（1）情境创设：纯代数运算情境；（2）问题设计：通过因式分解、通分、约分将分式化简，再代入给定的x、y值计算，考查学生对分式运算的综合运用；（3）考查目标：考查运算能力和代数变形能力。 （3）考查目标：考查运算能力，要求学生能正确进行分式的化简并准确代入求值。 答案与解析 【答案】； 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 知识总结 ①核心概念：分式化简常涉及因式分解、通分、约分等步骤；代入求值时需注意字母的取值要使原分式有意义。②解题方法：先对分子分母因式分解，再约分化简，最后代入数值计算。③拓展关联：分式化简求值是中考常考题型，熟练掌握因式分解是解题关键。 21．如图，在矩形中，点，在上，，，的延长线相交于点． (1)求证：； (2)求证：是等腰三角形． 命题透视 ►核心考点：矩形的性质与全等三角形的判定 ►命题分析： （1）情境创设：以矩形ABCD为背景，点E、F在边上，证明三角形全等和等腰三角形。 （2）问题设计：（1）情境创设：以矩形为背景的几何证明问题；（2）问题设计：第(1)问证明两个三角形全等，第(2)问证明某三角形为等腰三角形，考查学生对矩形性质、全等判定和等腰三角形判定的综合运用；（3）考查目标：考查推理能力和几何直观能力。 （3）考查目标：考查推理能力，要求学生能熟练运用矩形性质、全等三角形判定和等腰三角形判定进行证明。 答案与解析 【答案】(1)证明：四边形是矩形， ，， 在和中， ，，， ； (2)证明：由（1）知，， ， 四边形是矩形， ， ，， ， 是等腰三角形． 【分析】（1）由矩形的性质，可证得和对应的边角边相等，即可得证； （2）由可证得对应角相等，再根据等角的余角相等，即可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 知识总结 ①核心概念：矩形对边相等、四个角都是直角；全等三角形判定有SSS、SAS、ASA、AAS、HL；等角对等边。②解题方法：利用矩形性质得到边相等和角相等，再用SAS等判定全等；由全等得到角相等，结合余角关系证明等角，进而证明等腰。③拓展关联：矩形、菱形、正方形等特殊四边形的性质常与全等、相似结合，是几何证明的重要载体。 22．一只不透明的袋子中装有2个红球1个白球，这些球除颜色外其他都相同．甲、乙两人玩摸球游戏，甲先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，乙再从中任意摸出1个球． (1)求甲摸到红球的概率（请直接写出答案）； (2)有人设计了如下游戏规则：两人摸出球的颜色相同则甲胜，两人摸出球的颜色不同则乙胜，请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）？ 命题透视 ►核心考点：列表法或树状图法求概率及游戏公平性 ►命题分析： （1）情境创设：以不透明袋子中摸球游戏为背景，考查概率计算与游戏规则公平性判断。 （2）问题设计：（1）情境创设：以摸球游戏为背景，贴近生活；（2）问题设计：第(1)问直接求概率，第(2)问用列表或树状图计算双方获胜概率并判断公平性，考查学生对概率计算和公平性判断的掌握；（3）考查目标：考查数据观念和应用意识。 （3）考查目标：考查数据观念，要求学生能用列表法或树状图法计算概率并判断游戏规则是否公平。 答案与解析 【答案】(1) (2)这个游戏规则对甲、乙双方不公平， 列表如下：            甲                     乙 红1 红2 白 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白） 白 （白，红1） （白，红2） （白，白） 由上表可知，共有9种等可能的结果，其中颜色相同的结果有5种，颜色不同的结果有4种． ∴P（甲胜），P（乙胜）． ∵（或）， ∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平． 【分析】（1）由概率公式即可得出答案； （2）列表得出共有9种等可能的结果，其中摸到颜色相同的结果有5种，摸到不同颜色的结果有4种，通过对两种情况的概率进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：在不透明的袋子中共有3个球，其中红球有2个， 由题意可知，甲摸到红球的概率为． （2）略 知识总结 ①核心概念：概率=所求事件发生的结果数除以所有可能结果数；游戏公平需双方获胜概率相等。②解题方法：第(1)问直接用概率公式；第(2)问列出所有可能结果，统计颜色相同和不同的结果数，比较概率大小。③拓展关联：概率与统计是研究随机现象的重要工具，在生活中有大量应用，如抽奖、风险评估等。 23．某校积极开展劳动教育，鼓励学生动手实践、磨炼意志．为了解本校学生参加家务劳动情况，现对八年级学生一周参加家务劳动时间（单位：，按整数计）进行抽样调查，并把所得数据进行整理和分析，部分信息如下： 一周参加家务劳动时间的频数分布表 组别 劳动时间 频数 A 3 B C D 18 E 9 一周参加家务劳动时间的扇形统计图 请根据以上信息，解答下列问题： (1)________；________； (2)学校建议八年级学生每周参加家务劳动时间不少于．已知该校八年级共有600名学生，请你估计该校八年级学生一周参加家务劳动时间不少于的人数； (3)请结合数据对该校八年级学生一周参加家务劳动时间的情况作出评价． 命题透视 ►核心考点：频数分布表、扇形统计图与用样本估计总体 ►命题分析： （1）情境创设：以八年级学生一周参加家务劳动时间抽样调查为背景，考查统计图表分析和用样本估计总体。 （2）问题设计：（1）情境创设：以家务劳动时间调查为背景，贴近学生生活；（2）问题设计：第(1)问补全频数分布表，第(2)问用样本估计总体人数，第(3)问结合数据作出评价，考查学生对统计图表的综合分析能力；（3）考查目标：考查数据观念和应用意识。 （3）考查目标：考查数据观念，要求学生能根据频数分布表和扇形统计图补全数据并用样本估计总体。 答案与解析 【答案】(1)； (2)510人 (3)该校八年级学生大多数能够积极地参加家务劳动 【分析】（1）先求出样本容量，再结合B组所占百分比得出，结合E组人数得出， （2）根据总人数和劳动时间不少于的人所占比例即可求出答案； （3）根据所得数据进行分析即可． 【详解】（1）解：∵样本容量为， ∴； ． （2）解：（人）． ∴估计该校八年级学生一周参加家务劳动时间不少于的人数为510． （3）解：∵该校八年级学生一周参加家务劳动时间不少于3小时的人数大约占总人数的，人数较多， ∴该校八年级学生大多数能够积极地参加家务劳动． 知识总结 ①核心概念：样本容量=某组频数÷该组频率；用样本估计总体时常用‘总体数量×样本中该部分频率’。②解题方法：先由已知组的频数和百分比求出样本容量，再补全其他组数据；用600乘以样本中劳动时间不少于3小时的频率即可估计总体人数。③拓展关联：统计调查与数据分析是现代社会决策的重要依据，学会用样本推断总体是统计思维的核心。 24．如图，在中，，． (1)尺规作图：在上确定点，使点到，两点的距离相等；在的下方确定点，使得四边形是菱形（不写作法，保留痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的周长（请直接写出答案）． 命题透视 ►核心考点：尺规作图与菱形的性质 ►命题分析： （1）情境创设：在三角形中尺规作图确定点D、E，使四边形为菱形，并求菱形周长。 （2）问题设计：（1）情境创设：以尺规作图为背景，考查几何作图与推理能力；（2）问题设计：第(1)问作出线段垂直平分线和截取等长线段，第(2)问利用菱形性质和勾股定理求周长，考查学生对尺规作图和菱形性质的综合运用；（3）考查目标：考查几何直观和推理能力。 （3）考查目标：考查推理能力和几何直观，要求学生能正确进行尺规作图并运用菱形性质和勾股定理计算。 答案与解析 【答案】(1)如图即为所求作图形： (2) 【分析】（1）根据题意可知作线段的垂直平分线，交于点D，交于点O，在下方截取即可； （2）设，则，根据菱形的性质可得，在中，根据勾股定理列方程得值，进而求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：设，则， 四边形是菱形 ， 在中，，， ， 即，解得（舍负）． ． 菱形的周长为． 知识总结 ①核心概念：到两点距离相等的点在线段的垂直平分线上；菱形四条边相等，对角线互相垂直平分。②解题方法：作AB的垂直平分线交AC于D，在下方截取DE=OD等构造菱形；利用菱形性质设未知数，用勾股定理列方程求解边长，进而求周长。③拓展关联：尺规作图是几何学习的基本技能，常与三角形、四边形、圆的性质结合考查。 25．如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 命题透视 ►核心考点：圆的切线性质、勾股定理与扇形面积 ►命题分析： （1）情境创设：以圆O的直径AB、弦AC和过点C的切线为背景，求线段长和阴影部分面积。 （2）问题设计：（1）情境创设：以圆和切线为背景的经典几何问题；（2）问题设计：第(1)问利用切线性质和直角三角形求AC长，第(2)问通过转化思想求阴影面积，考查学生对圆的性质、切线性质、勾股定理和扇形面积公式的综合运用；（3）考查目标：考查推理能力和运算能力。 （3）考查目标：考查推理能力和运算能力，要求学生能运用圆的切线性质、勾股定理和扇形面积公式解决几何计算问题。 答案与解析 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用切线的性质得到，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得，利用直径得，勾股定理计算． （2）通过转化思想，计算． 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，． （2）解：连接， ，， ∴，， ， ， ． 知识总结 ①核心概念：圆的切线垂直于过切点的半径；直径所对的圆周角是直角；扇形面积S=(nπr^2)/360。②解题方法：连接BC，利用直径性质和切线性质得到直角，用勾股定理求AC；将阴影面积转化为三角形或扇形面积差求解。③拓展关联：圆的切线、弦、直径性质常与三角形、四边形结合，是中考几何综合题的高频考点。 26．综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 命题透视 ►核心考点：二次函数的实际应用（抛物线建模） ►命题分析： （1）情境创设：以丢沙包游戏中沙包运动轨迹为抛物线背景，建立二次函数模型解决实际问题。 （2）问题设计：（1）情境创设：以‘丢沙包’综合实践活动为背景，体现数学建模思想；（2）问题设计：第(1)问建立坐标系，用顶点式求抛物线解析式，判断沙包能否命中靶心；第(2)问调整顶点横坐标，求最高点距离地面的高度，考查学生对二次函数实际应用的理解；（3）考查目标：考查模型观念和应用意识。 （3）考查目标：考查模型观念和应用意识，要求学生能建立二次函数模型并解决实际问题。 答案与解析 【答案】(1)解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点， 设抛物线的解析式为，其中， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴沙包不能正好命中靶心． (2)沙包达到最高点时距离地面米 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是，且经过点，再求出抛物线的解析式，求出时，的值，由此即可得； （2）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可． 【详解】（1）略． （2）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为，其中， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． 知识总结 ①核心概念：抛物线顶点式y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标；二次函数的最值在顶点处取得。②解题方法：建立合适的坐标系，根据顶点坐标和经过的点求出解析式，再代入关键点的横坐标求纵坐标，判断是否命中；或根据对称轴和过点求解析式，再求最大值。③拓展关联：二次函数模型广泛应用于抛体运动、拱桥、喷泉等实际问题，是函数应用的核心内容。 27．如图，点在反比例函数的图象上，过分别作轴、轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点，，过作轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点（其中，为常数，且）． (1)若点，，则______． (2)若点的横坐标为2，且，求与之间的数量关系． (3)延长，相交于点，当点在函数图象上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 命题透视 ►核心考点：反比例函数图象与坐标特征、面积定值探究 ►命题分析： （1）情境创设：以反比例函数图象上点的平行线为背景，探究线段数量关系和三角形面积定值。 （2）问题设计：（1）情境创设：以反比例函数图象为背景，突出数形结合思想；（2）问题设计：第(1)问求参数k，第(2)问表示线段长度并求数量关系，第(3)问证明三角形面积为定值，层层递进，考查学生对反比例函数性质和相似三角形性质的综合运用；（3）考查目标：考查推理能力和运算能力。 （3）考查目标：考查推理能力和运算能力，要求学生能利用反比例函数图象上点的坐标特征和相似三角形性质进行证明和计算。 答案与解析 【答案】(1)5 (2) (3)当点在函数图象上运动时，的面积为定值，定值是 【分析】（1）根据轴，结合点坐标，可设，再根据的长列出方程，解出即可得的坐标，再把的坐标代入，即可解得的值． （2）把点的横坐标代入，即可得点的坐标，再根据轴，轴，轴，即可得点与点的纵坐标相等，点与点的横坐标相等，点与点的纵坐标相等，进一步表示出点、、的坐标，即可求出、、，最后根据得，代入数据计算即可得的值． （3）设点的坐标为，根据平行线的坐标特点，即可求出点、、的坐标，进一步求出、、，可得，根据梯形面积公式求出，根据题目得，根据平行线性质得，，可证明，根据相似三角形性质得，再根据，即可得，代入数据解出即可得的面积为定值，定值是． 【详解】（1）解：∵轴，， ∴设 ， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵在的图象上， ∴，解得：， ∴的值为5． （2）解：点的横坐标为2，且点在反比例函数的图象上， ∴点的坐标为， ∵轴，轴， ∴点与点的纵坐标相等，点与点的横坐标相等， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为2， ∵点、在的图象上， ∴即：，， ∴，， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相等， ∴点的纵坐标为， ∵点在的图象上， ∴，解得：， ∴， ∴，，， , ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图1， 设点的坐标为， ∵轴，轴， ∴点与点的纵坐标相等，点与点的横坐标相等， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∵点、在的图象上， ∴即：，， ∴，， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相等， ∴点的纵坐标为， ∵点在的图象上， ∴，解得：， ∴， ∴，，， ∴，， 根据题目条件得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴当点在函数图象上运动时，的面积为定值，定值是． 知识总结 ①核心概念：反比例函数y=k/x图象上任意一点横纵坐标之积等于k；平行线间坐标关系常用于表示点的坐标。②解题方法：利用平行于坐标轴的直线特征，用参数表示各点坐标，再代入反比例函数求k、表示线段长度、计算面积。③拓展关联：反比例函数与一次函数、几何图形的综合问题是中考压轴题的常见类型，重点考查数形结合和代数推理。 28．在中，点，分别在，上．若，则称线段是中所对的“等截线”． (1)如图1，已知是中所对的“等截线”，，，求的值（请直接写出答案）． 【概念应用】 (2)如图2，在等腰中，，，，求所对的“等截线”的长度． 【深入探究】 (3)小明探究发现：任意三角形都存在某个角所对的“等截线”，且这条“等截线”唯一存在．如何画出“等截线”？他从阅读著名数学家波利亚的名著中受到启发：以为例，画出所对的“等截线”的部分步骤如下． 画法 图形 ①在上适当的位置取点，作直线，交于点 ②在上截取，连接并延长，交于点 ③在上取点，使得 ④作，交于点 … 请你根据以上信息，说明步骤④中的的长度即为所对的“等截线”的长度． 命题透视 ►核心考点：等截线的定义、相似三角形与尺规作图 ►命题分析： （1）情境创设：在三角形中定义‘等截线’，研究与三角形某角相关的线段比例关系。 （2）问题设计：（1）情境创设：以新定义‘等截线’为背景，结合波利亚名著中的作图步骤，考查学生的探究能力；（2）问题设计：第(1)问直接求值，第(2)问在等腰三角形中求等截线长度，第(3)问说明作图步骤中等截线的构造原理，层层递进，考查学生对新定义的理解和几何推理能力；（3）考查目标：考查推理能力、创新意识和几何直观能力。 （3）考查目标：考查推理能力和创新意识，要求学生能理解新定义，将其转化为相似三角形或全等三角形问题进行证明和计算。 答案与解析 【答案】(1) (2) (3)解：如图，作交于点，过点作交于点， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是所对的“等截线”， ∴的长度即为所对的“等截线”的长度． 【分析】（1）先得出，，再设，求出，的长，进而可得，的长，然后根据正切的定义求解即可； （2）设是所对的“等截线”，连接，设，先得出，则，再证出，根据相似三角形的性质建立方程，解方程即可； （3）作交于点，作交于点，得出四边形是菱形，根据得出，根据菱形的性质即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，，， ∵是中所对的“等截线”， ∴， ∴，， ∴在中，． （2）解：如图，设是所对的“等截线”，连接． 设， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得（经检验，是所列方程的解）或（不符合题意，舍去）， ∴所对的“等截线”的长度是． （3）略． 知识总结 ①核心概念：若点D、E分别在AB、AC上，且满足特定比例关系，则称DE为∠A所对的‘等截线’；构造等截线常利用平行线分线段成比例和菱形性质。②解题方法：紧扣定义，利用相似三角形对应边成比例建立方程，或利用平行四边形、菱形性质证明线段相等。③拓展关联：新定义探究题是中考压轴题的重要形式，解题关键是将新定义翻译成熟悉的几何关系，再运用全等、相似、勾股定理等工具解决。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $