5.4 “四心”与奔驰定理专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角形“四心”向量表示与奔驰定理应用，通过分层题型构建从概念判定到综合应用的逻辑训练体系，培养数学抽象与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |“四心”判定|8单选+3填空|以向量关系式判定重心、外心等，结合欧拉线定理|从“四心”定义到向量表示，形成概念-符号-应用链条| |性质综合|3多选|多选项辨析“四心”性质及奔驰定理关联|整合“四心”向量条件与三角形几何特征，强化逻辑推理| |定理应用|5解答题|证明“四心”向量式、计算面积比及参数范围|以奔驰定理为核心，联结面积关系与向量运算，提升数学表达|

5.4 “四心”与奔驰定理（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·福建宁德·期中）著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心､重心､垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，垂心为，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据重心的性质，结合欧拉定理即可求解. 【详解】因为是的重心，所以有， 故， 由欧拉线定理可得，即，故： 2．（25-26高三上·广东湛江·期末）已知点为所在平面内一动点，满足：，，则点的运动轨迹一定过的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】令中点为，结合正弦定理与向量运算可得点在直线上，即可得解. 【详解】由正弦定理可得，故， 故， 令中点为，则， 故点在直线上，故点的运动轨迹一定过的重心. 3．（25-26高三上·海南海口·期中）已知O为锐角内一点满足，且，则为（ ） A．底边和腰不相等的等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】分析可知O为三角形外心，根据数量积可得，进而可得结果. 【详解】因为，可得O为三角形外心， 又因为，即， 又角为锐角，可得， 所以，故为等边三角形. 4．（25-26高三上·上海·期中）O是在所在平面上一点，存在实数x、y、z满足，，，则点O是的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【详解】因为分别表示与同方向的单位向量，如图，不妨分别记为， 故以为两邻边的平行四边形为菱形，则平分， 因，可知O点落在的平分线上； 同理由，可知O点也落在的平分线上， 故点O是三条角平分线的交点，即三角形的内心. 5．（2026·四川南充·三模）点为所在平面内一点，若，则点为的（    ） A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心 【答案】A 【分析】分别在边上取同方向的单位向量和，由条件推得，进而得到平分，同理平分，即得结论. 【详解】如图，向量，分别表示在边和上取同方向的单位向量和， 则， 由可得， 因，则平分， 同理由，可知平分， 故为的内心. 6．（25-26高三上·全国·专题训练）已知是所在平面内的一定点，平面内动点满足，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【分析】令的中点，利用向量的线性运算及数量积的运算律、数量积的定义计算判断. 【详解】令的中点，则，由， 得，即， 因此 ，则，点在的垂直平分线上， 所以动点的轨迹一定经过的外心. 故选：B 7．（2026·湖南张家界·模拟预测）奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则.设是内一点，的三个内角分别为，，，若，且为的垂心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奔驰定理得三小三角形面积比为 3：4：5，垂心下面积比对应内角正切之比，结合三角形正切恒等式即可求出. 【详解】 延长交于，延长交于， 根据奔驰定理 结合题设，可得面积比，其中 ，，， 是 的垂心， 所以，所以， 所以，所以，因此 ， 同理 ，， ，， ，， 在 中由正弦定理得， 代入 ，，得，得 同理 ，即 ， 由三角形面积公式：，同理得，， 所以： 因为， 所以 ， 在三角形内，故为锐角三角形，设 ，，（）， 在中，因为， 得， 所以，，解得， 所以. 8．（25-26高三上·甘肃·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据和得，从而可以得出，设，，得，，再结合垂心和直角三角形余弦值即可求解. 【详解】    如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 由为的垂心，，且， 得，所以， 又，则，同理可得，所以， 设，，则，， 所以，即，， 所以， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用“奔驰定理”得到，从而利用对顶角相等得到，由此得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·全国·专题训练）已知点、、在所在平面内，则（     ） A．若，则点是的外心 B．若，则点是的重心 C．若，则点是的内心 D．若，则是等腰三角形 【答案】ABD 【分析】对于选项A，根据，由外心定义判断；对于选项B，由重心的向量形式判断；对于选项C，由变形，根据垂心的向量形式判断；对于选项D，由，得到为的平分线，再由判断. 【详解】对于选项A，已知，由外心定义可得：点是的外心，故正确； 对于选项B，设是中点，由，得，故点是的重心，正确； 对于选项C，由，得，即，同理，，故点是的垂心，故错误； 对于选项D，设，则所在直线为的角平分线，又，则，则，则三角形为等腰三角形，故正确； 故选：ABD． 10．（25-26高三上·重庆·阶段检测）点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若，则点为的垂心 C．在中，向量与满足，且，则为等边三角形 D．若，，分别表示，的面积，则 【答案】AC 【分析】根据三角形的重心、垂心、等边三角形、三角形面积以及向量运算对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，如图，取边中点，连接边上的中线，则， 又∵由，∴，∴， ∴为的重心，故选项A正确； 对于B，如图，取边中点，边中点，连接，， 则，， ∵，∴， ∴，∴，，∴，， ∴，分别是，边上的垂直平分线， ∴，为的外心，故选项B错误； 对于C，，， ∵，且，∴， ∴为等边三角形，故选项C正确； 对于D，设，，由得， 则由选项A可知，为的重心，设的面积， ∴， 又∵，， ∴，，， ∴， ∴，故选项D错误. 11．（25-26高三·全国·一轮复习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且．设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有（   ） A．若，则 B．若，，，则 C．若为的内心，，则 D．若为的垂心，，则 【答案】ACD 【分析】利用“奔驰定理”可判断A选项；求出，结合“奔驰定理”可判断B选项；利用“奔驰定理”可得出的值，结合勾股定理可判断C选项；对D，结合“奔驰定理”可得，如图所示分别为垂足，设，由得到，设，则，结合在直角三角形中求解即可. 【详解】对于A，由奔驰定理可知，若，则，故A正确； 对于B，在中，由，可知， 又，所以，所以，， 所以，故B错误； 对于C，由奔驰定理可知，为的内心，，则. 设内切圆半径为，故，，，所以， 由勾股定理得为直角三角形，，故C正确； 对于D，延长交于点，延长交于点，延长交于点， 因为为三角形的垂心，所以，.    由奔驰定理可知，. 又，所以，设，则，， 同理，设，则，， ，可得， 所以，，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·吉林四平·阶段检测）已知为的外心，为所在平面内一点，且，则点为的__________心.（填“重”“垂”“内”或“外”） 【答案】垂 【分析】先将转化为，通过计算，证得，同理证得、，从而判定为的垂心. 【详解】因为， 所以， 因为为的外心，所以， 所以，同理， 则点为的垂心. 13．（25-26高三上·全国·专题训练）已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则__________． 【答案】3 【分析】连接AG并延长，交BC于F，结合已知有，再由三点共线即可得. 【详解】连接AG并延长，交BC于F，如图所示， 由题意得，F为BC中点，所以，又G为重心，所以， 所以，即， 因为D、G、E三点共线，所以，即. 故答案为：3 14．（25-26高二上·四川广安·开学考试）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedes-Benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理）．“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是______（填序号）    ①是的垂心；②； ③；④ 【答案】①③④ 【分析】将移项，并结合平面向量的减法和数量积的运算法则，可得，同理推出，，即可判断①；根据①可知，，，再由三角形内角和定理即可判断②；延长交于点，结合诱导公式与余弦函数的定义，可证，进而求解③；利用三角形面积公式和奔驰定理即可证明④. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 同理可得，，，所以为的垂心，故①正确； 因为，，所以，， 所以， 又， 所以，又， 所以，故②不正确； 由②知，， 延长交于点，    所以 ， 同理可得， 所以， 所以，故③正确； 由，， 则 ， 同理， 所以， 又， 则，故④正确. 故答案为：①③④. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·广东深圳·期中）是所在平面内一点，分别为的外心和重心，且． (1)用，来表示和； (2)若的面积为3，求的面积； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）由已知， 为重心，所以. . （2）由（1），所以， 所以. （3）为的外心，设中点，则， . 16．（25-26高三上·全国·专题训练）如图，已知，分别是，上的动点，且满足，求证：在三点运动过程中，的重心不动． 【答案】证明见解析 【分析】证法1：由条件与向量的线性运算证明的重心同时也是的重心； 证法2：设是的重心，利用向量的线性运算把用表示出来，可得到，可以证明是的重心. 【详解】证法1：因为， 所以． 又因为，所以． 设是的重心，可得， 两式相减可得，所以也是的重心． 证法2：因为， 设是的重心，且，所以， 同理可得，， 所以， 即也是的重心． 17．（25-26高三上·江西上饶·阶段检测）已知在中，点满足与交于点． (1)若，求的值； (2)判断能否为的外心，并证明你的结论； (3)若为钝角，过作直线的垂线，垂足为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)不可能为的外心，证明见解析 (3) 【分析】（1）通过已知条件得到关于的两种不同表达式，再利用向量基本定理列出方程组求解未知数，进而得出的值. （2）通过对已知向量等式进行整理、平方等操作，结合外接圆半径以及向量夹角余弦值的相关知识来得出矛盾，从而证明不可能为的外心. （3）依据向量的运算法则进行向量的线性运算，再利用向量垂直的性质得到关于的等式，最后结合角的范围求解的取值范围. 【详解】（1）由，得， 又三点共线， 可设， 由，得， 又三点共线， 可设， 因为不共线， 所以解得 所以， 所以． （2）假设是的外心，设的外接圆半径为， 由（1）得， 整理得， 两边平方得， 所以，矛盾， 所以不可能为的外心． （3）由（1）知，， 所以， 因为， 所以 ， 所以， 因为为钝角，所以，所以， 解得，即的取值范围是． 18．（25-26高三上·重庆·期末）阅读下列材料： 如图，已知点在锐角的内部，，，的面积记为，，，则．该结论因图像神似奔驰车标，因此称它为“奔驰定理”． 根据你对材料的理解请完成以下问题． (1)若为锐角的外心，请证明：； (2)若为锐角的内心，，，，且，求的值； (3)若为锐角的外心，且，求的值． 【答案】(1)设锐角的外接圆半径为，外心为，则,根据圆心角与圆周角的关系：，， 三个小三角形的面积分别为： , , , 由奔驰定理：，代入面积表达式： 两边同除以（），得： 证毕. (2) (3) 【分析】（1）求出三块三角形的面积，转化为 ，约去可得； （2）为的内心，则，再利用奔驰定理求解； （3）利用（1）的结论，得出,,,利用二倍角公式求出 ，，，从而得出. 【详解】（1）略. （2）为的内心，内切圆半径为， 则三个小三角形面积是，，， 因此， 由奔驰定理得。 将向量用表示：,, , 代入奔驰定理等式： 整理得： 则 对比，得： ，所以 因此 （3）由（1）的结论，外心满足； 又，所以 设（）， 由三角形内角和，得， 因此, 所以，所以① 同理可得另外两个方程：② ③ 联立①②③解得：,,, 因为A,为锐角，所以，，， 由正弦定理. 19．（25-26高三上·山东淄博·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心(重心、内心、外心、垂心)有着太多关联．它的具体内容是：如图，若点是内一点，，，的面积分别为，，，则有 (1)若点为锐角的外心， ①证明：； ②若，求的取值范围. (2)若点为的内心， ①证明：(分别为角的对边)； ②若，求的最大值. 【答案】(1)①因为点为锐角的外心，所以（外接圆半径）， 由三角形面积公式及圆周角定理可知：， 因为和对应的弧相同， 所以，即， 同理可得： ， ， 因此，， 根据题设给出的“奔驰定理”：， 将比例代入即可得：. ② (2)①因为点为的内心，设内切圆半径为， 则，，， 因此，， 根据奔驰定理， 将比例代入可得：. ② 【分析】（1）①利用外心到三顶点距离相等（均为外接圆半径），由三角形面积公式及圆周角定理（圆心角为对应圆周角的2倍），得出面积之比，代入奔驰定理直接得证；②由①式对比已知条件的系数，得到，代入并利用两角和正弦公式，二倍角公式化简，再由锐角三角形的限制解得，结合二次函数性质得出范围. （2）①利用内心到三边距离相等（均为内切圆半径），由三角形的面积公式，得出面积之比，代入奔驰定理即可得证；②由①式的向量关系，将向量起点统一转化为点，可得，从而得出，利用余弦定理与基本不等式，构造出，代入的表达式即可求出最大值. 【详解】（1）①略 ②由①的结论可知：， 移项得：， 对比已知条件，得到： ，， 所以， 已知，且，则， 代入得： ，， 所以， 因为， ， 再化简得， 令，因为为锐角三角形，故， 由得；由得， 所以，则，得， 二次函数开口向上，对称轴， 故 即. （2）①略 ②由①的结论， 将其转化为以点为起点的向量，即，，， 代入得： 解得：， 对比，可知： ，， 所以， 已知，由余弦定理得： ， 将代入得： ， 由于，则， 所以， 即（当且仅当时取等号）， 因此，， 所以的最大值为. 2 / 20 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4 “四心”与奔驰定理（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·福建宁德·期中）著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心､重心､垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，垂心为，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·广东湛江·期末）已知点为所在平面内一动点，满足：，，则点的运动轨迹一定过的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 3．（25-26高三上·海南海口·期中）已知O为锐角内一点满足，且，则为（ ） A．底边和腰不相等的等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 4．（25-26高三上·上海·期中）O是在所在平面上一点，存在实数x、y、z满足，，，则点O是的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 5．（2026·四川南充·三模）点为所在平面内一点，若，则点为的（    ） A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心 6．（25-26高三上·全国·专题训练）已知是所在平面内的一定点，平面内动点满足，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 7．（2026·湖南张家界·模拟预测）奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则.设是内一点，的三个内角分别为，，，若，且为的垂心，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·甘肃·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（    ）    A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·全国·专题训练）已知点、、在所在平面内，则（     ） A．若，则点是的外心 B．若，则点是的重心 C．若，则点是的内心 D．若，则是等腰三角形 10．（25-26高三上·重庆·阶段检测）点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若，则点为的垂心 C．在中，向量与满足，且，则为等边三角形 D．若，，分别表示，的面积，则 11．（25-26高三·全国·一轮复习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且．设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有（   ） A．若，则 B．若，，，则 C．若为的内心，，则 D．若为的垂心，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·吉林四平·阶段检测）已知为的外心，为所在平面内一点，且，则点为的__________心.（填“重”“垂”“内”或“外”） 13．（25-26高三上·全国·专题训练）已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则__________． 14．（25-26高二上·四川广安·开学考试）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedes-Benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理）．“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是______（填序号）    ①是的垂心；②； ③；④ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·广东深圳·期中）是所在平面内一点，分别为的外心和重心，且． (1)用，来表示和； (2)若的面积为3，求的面积； (3)若，求的值． 16．（25-26高三上·全国·专题训练）如图，已知，分别是，上的动点，且满足，求证：在三点运动过程中，的重心不动． 17．（25-26高三上·江西上饶·阶段检测）已知在中，点满足与交于点． (1)若，求的值； (2)判断能否为的外心，并证明你的结论； (3)若为钝角，过作直线的垂线，垂足为，求的取值范围． 18．（25-26高三上·重庆·期末）阅读下列材料： 如图，已知点在锐角的内部，，，的面积记为，，，则．该结论因图像神似奔驰车标，因此称它为“奔驰定理”． 根据你对材料的理解请完成以下问题． (1)若为锐角的外心，请证明：； (2)若为锐角的内心，，，，且，求的值； (3)若为锐角的外心，且，求的值． 19．（25-26高三上·山东淄博·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心(重心、内心、外心、垂心)有着太多关联．它的具体内容是：如图，若点是内一点，，，的面积分别为，，，则有 (1)若点为锐角的外心， ①证明：； ②若，求的取值范围. (2)若点为的内心， ①证明：(分别为角的对边)； ②若，求的最大值. 2 / 20 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $