第34讲　平面向量的综合问题专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量与几何、三角的综合应用，通过典型问题系统整合线性运算、数量积及三角形四心等核心知识，强化几何直观与代数运算的转化能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础综合|1-5题|图形形状判断、重心向量表示|从向量线性运算到数量积几何意义的递进| |几何图形应用|4、8、14题|菱形、等腰三角形中向量关系|向量运算与平面图形性质的融合| |三角形四心|2、6、10、16题|重心、外心、内心的向量表示|四心定义与向量运算的逻辑关联| |最值与范围|5、9、13、14题|模长最值、数量积范围|函数思想与向量几何意义的结合|

第34讲　平面向量的综合问题 (时间:45分钟) 1.在四边形ABCD中,若=+,且·=0,则四边形ABCD一定是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.矩形 B.等腰梯形 C.正方形 D.菱形 2.[2024·西安一模] 已知点P是△ABC的重心,则 (　 ) A.=+ B.=+ C.=+ D.=+ 3.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设向量m=(b,sin B),n=(sin 2A,-a),若m⊥n,则A= (　 ) A. B. C. D. 4.[2024·福州质检] 在菱形ABCD中,若|-|=||,且在上的投影向量为λ,则λ= (　 ) A.- B. C.- D. 5.若非零平面向量a,b满足|a|=|b|,且当t=时,|a-tb|取得最小值,则<a,b>= (　 ) A.0 B. C. D. 6.已知点O为△ABC所在平面内一点,若-=2·,则点O的轨迹必经过△ABC的　　　　.(填内心、外心、垂心或重心)  7.在△ABC中,A=,AB=1,G为△ABC的重心,若·=·,则△ABC外接圆的半径为　　　　.  8.[2024·湖南雅礼中学二模] 在等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,AD平分∠BAC且与BC相交于点D,则向量在上的投影向量为 (　 ) A. B. C. D. 9.向量e1,e2,a满足e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,<a-e1,a-e2>=,则|a|的最大值为 (　 ) A. B. C.+ D. 10.(多选题)△ABC的内心为P,外心为O,重心为G,若AB=AC=5,BC=6,则下列结论正确的是 (　 ) A.△ABC的内切圆半径r= B.6+5+5=0 C.6+5+5=0 D.OG= 11.(多选题)[2024·云南师大附中月考] 已知平面向量a,b,c满足a·b=0,|c|=2,|a-c|=|b-c|=,则|a-b|的取值可能为 (　 ) A.5 B.6 C.7 D.8 12.如图,在△ABC中,D,E分别为BC,AC上的点,且满足=,=,则直线AD一定经过△ABC的　　　　(填重心、垂心、内心或外心),若线段BE和AD相交于点N,则的值为　　　　.  13.已知O是△ABC所在平面内一定点,P是△ABC所在平面内的动点,且满足=+λ(λ>0),射线AP与边BC交于点D,若∠BAC=,||=1,则||的最小值为　　　　.  14.如图,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=,D,E是边BC上的点,且=. (1)若=,M是边AB的中点,N是边AC靠近A的四等分点,用向量,表示,; (2)求·的取值范围. 15.[2024·湖北新高考协作体模拟] 向量a,b满足<a,b>=,|b|=,且∀t∈R,不等式|b+ta|≥|b-a|恒成立,则函数f(x)=|xb-a|+(x∈R)的最小值为(　 ) A. B.1 C. D. 16.(多选题)设锐角三角形ABC内部的一点O满足OA=OB=OC,且++=0,则∠BAC的大小可能为 (　 ) A. B. C. D. 参考答案 第34讲　平面向量的综合问题 1.D　[解析] 由=+,可得+=+,所以=,所以BC∥AD且BC=AD,所以四边形ABCD为平行四边形.由·=0,可得四边形ABCD的对角线互相垂直,所以四边形ABCD一定是菱形.故选D. 2.D　[解析] 如图,设BC的中点为D,连接AD,因为点P是△ABC的重心,所以P在AD上,且==×(+)=(2+)=+=(+)+=-,由此可知A,B,C错误,D正确,故选D. 3.A　[解析] 因为m⊥n,所以bsin 2A-asin B=0,即2bsin Acos A-asin B=0,由正弦定理可得2sin Bsin Acos A-sin Asin B=0,又因为A,B∈(0,π),所以2cos A-1=0,即cos A=,所以A=.故选A. 4.B　[解析] 由|-|=||,得||=||,又四边形ABCD是菱形,所以△ABD是正三角形,于是∠BAD=,·=||||cos=||2,因此在上的投影向量为·=,所以λ=.故选B. 5.B　[解析] 如图,设=a,=b,则|a-tb|为直线OB上的点C与点A之间的距离.当t=时,|a-tb|取得最小值,可知此时C为线段OB的中点且AC⊥OB,又|a|=|b|,所以<a,b>=∠AOC=.故选B. 6.外心　[解析] 设M为BC的中点,若-=2·,则-=(+)·(-)=2·=2·,则有(-)·=·=0,所以⊥,所以动点O在线段BC的中垂线上,则点O的轨迹必经过△ABC的外心. 7.1　[解析] 如图,延长AG交BC于D,∵G是△ABC的重心,∴AD为△ABC的中线.由·=·得·-·=0,即·(-)=0,故·=0,即AD⊥BC,故△ABC是等腰三角形,且AB=AC,则△ABC外接圆的圆心在AD的延长线上,设为O,连接OC,则OA=OC,∵∠OAC=,∴△OAC是等边三角形,∴OA=OC=AC=AB=1,即△ABC外接圆的半径为1. 8.B　[解析] 设AB=AC=1,由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=1+1+1=3,∴BC=,∠ABC=30°.∵ AD平分∠BAC且与BC相交于点D,△ABC是等腰三角形,∴D是BC的中点,BD=,如图,过点D作DE⊥AB,垂足为E.由图可知向量在上的投影向量为 ,又||=||cos 30°=,∴||=||,∴=,故选B. 9.B　[解析] 令=e1,=e2,=a,则a-e1=-=,a-e2=-=,因为e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,所以E1E2=.因为<a-e1,a-e2>=,所以∠E1AE2=,所以过E1,A,E2的圆C的半径r=E1C===,连接OC交E1E2于点D,则OD=DE1=E1E2=,CD===,所以OC=+,所以||的最大值为OC+r=,故选B. 10.ABD　[解析] 如图,取BC的中点E,连接AE,因为AB=AC=5,所以内心P,外心O,重心G都在中线AE上,且AE⊥BC,AE==4,设内切圆半径为r.对于A,由S△ABC=AE×BC=r(AB+AC+BC),得×4×6=r(5+5+6),解得r=,故A正确;对于B,因为PE=,所以AP=4-=,所以=-,所以6+5+5=6+5(+)=6+10=6-10××=0,故B正确;对于C,由余弦定理得cos∠BAC===,又0<∠BAC<π,所以sin∠BAC==,所以△ABC的外接圆半径为AO===,则OE=4-AO=4-=,所以=-,所以6+5+5=6+5(+)=6+10=6-10×=≠0,故C错误;对于D,△ABC的外接圆半径为AO=,因为AG=AE=,所以OG=AO-AG=-=,故D正确.故选ABD. 11.BCD　[解析] 如图,作=a,=b,=c,由|a-c|=|b-c|=,得||=||=,可知A,B均在以点C为圆心,为半径的圆上.由a·b=0,得OA⊥OB,以OA,OB为邻边作矩形OADB,由矩形的性质可知,||2+||2=||2+||2,可得||==8,即点D在以点C为圆心,8为半径的圆上,所以|a-b|=||=||∈[8-2,8+2],即|a-b|∈[6,10].故选BCD. 12.重心　4　[解析] 由=,可得D为BC的中点,所以直线AD一定经过△ABC的重心.由A,N,D三点共线,可设=x,故=x(+),又=-+=+x,=-+,且,共线,所以=,解得x=,故=,所以=,故=4. 13.2　[解析] 表示与同向的单位向量,表示与同向的单位向量,∵=+λ,∴-==λ,∴点P在∠BAC的平分线上,即AD为∠BAC的平分线.在△ABD中,∠BAD=,AD=||=1,利用正弦定理知BD=×sin=.同理,在△ACD中,CD=×sin=,∴BC=BD+CD=+=,其中B+C=,分析可知当B=C=时,BC取得最小值,即BCmin=×2×=2,∴||min=2. 14.解:(1)=-=+=-+=-+(-)=--,=-=--=--(-)=-. (2)由题易知BC=2,设=λ,0≤λ≤,则=,所以·=(+)·(+)=+(+)·+·=2+·+λ=2+×2××cos+λ×4=4+,因为0≤λ≤,所以·的取值范围是. 15.C　[解析] 如图,作=a,=b,=-ta,因为∀t∈R,不等式|b+ta|≥|b-a|恒成立,所以|-|≥|-|,即||≥||恒成立,从而有AB⊥OA,故||=·cos=2.设=xb,=a,则f(x)=|xb-a|+=|-|+|-|=||+||.作点E关于直线OB的对称点F,则||=1,∠FOA=,所以f(x)=||+||=||+||≥||==,当且仅当F,D,A三点共线时取等号.故选C. 16.AD　[解析] 因为锐角三角形ABC内部的一点O满足OA=OB=OC,所以O为△ABC的外接圆的圆心,圆心O在△ABC内.设外接圆的半径为R,因为++=0,所以+(-)+(-)=0,所以+(·-)+(·-)=0,即R2 +(R2cos∠AOB-R2)+(R2cos∠AOC-R2)=0, 从而得+(cos 2∠ACB-1)+(cos 2∠ABC-1)=0,即+(-2sin2∠ACB) +(-2sin2∠ABC)=0,所以=2sin∠ACBcos∠ABC+ 2sin∠ABCcos∠ACB=2sin(∠ABC+∠ACB)=2sin∠BAC,即2sin∠BACcos∠BAC=,所以sin 2∠BAC=,因为0<∠BAC<,所以2∠BAC=或,所以∠BAC=或.故选AD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $