5.3 平面向量的数量积及其应用专题训练【6大考点】-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以数量积定义为核心，系统覆盖投影、夹角、模长等6大考点，通过各地模拟题构建从概念到应用的逻辑链条，强化推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义及几何意义|4题|结合三角形、正方形等几何图形|数量积概念生成基础| |求投影问题|6题|投影向量计算及模长|数量积几何意义应用| |求夹角问题|6题|直接求夹角及参数范围|数量积与夹角公式推导| |求模长问题|6题|结合线性运算求模|模长公式与数量积关系| |平行与垂直|4题|利用数量积性质求参数|数量积性质延伸| |应用举例|4题|物理情境与实际问题|数量积模型意识培养|

5.3 平面向量的数量积及其应用 6大考点汇总 考点01 平面向量数量积的定义及其几何意义 考点02 平面向量求投影的问题 考点03 平面向量求夹角的问题 考点04 平面向量求模长的问题 考点05 利用向量解决平行与垂直问题 考点06 平面向量的应用举例 题型专练 考点01 平面向量数量积的定义及其几何意义 1．（2026高三下·江苏苏州·竞赛）在中，已知，的面积为，则的大小为_____. 【答案】 【详解】因为，则，所以为钝角， 又的面积为，则，又， 所以，则. 2．（2026·吉林延边·三模）设满足：，，，则（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据题意，利用向量数量积的定义和运算律，证得为等腰直角三角形，结合勾股定理，列出方程，即可求解. 【详解】由，可得，所以，即为直角三角形， 又由， 所以，可得，所以为等腰直角三角形， 设，且，可得，解得，即. 3．（25-26高三上·辽宁·期末）在中，，点H为垂心，，，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】根据题意，结合向量投影的定义，由，得到，求得，再利用余弦定理，即可求解. 【详解】如图所示，因为为的垂心，可得点落在边的垂线上，    则向量在方向上的投影，恰好等于在方向上的投影，即， 因为，可得，即， 又因为，且，可得，解得，即， 又由余弦定理得， 所以. 4．（25-26高三上·广东中山·阶段检测）如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的几何意义结合已知图形得出的最值，再利用数量积即可求出. 【详解】， 由投影的定义知，结合图形得， 当过P的直线与半圆弧相切于P点且平行于BC时，最大为， 此时； 当P与C或B点重合时，最小为， 此时， ∴. 考点02 平面向量求投影的问题 5．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）已知点，，．则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出、的坐标，再结合投影向量的计算公式求解即可． 【详解】由题可知，， 则在上的投影向量为 ． 6．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的坐标计算，然后利用在上的投影向量公式求解即可. 【详解】由题， 根据投影向量公式可得. 7．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）若单位向量的夹角为，向量，则在上的投影向量为________．（结果用表示） 【答案】 【详解】在上的投影向量为. 8．（2026高三·全国·专题练习）已知，且满足，则向量在方向上的投影等于________． 【答案】/ 【分析】根据向量的数量积求得，再结合向量投影的公式即可求解. 【详解】已知，且满足，则，展开并化简得， 则向量在方向上的投影等于. 9．（第03讲平面向量的数量积及其应用（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量的模为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用投影向量的定义，结合向量的坐标运算即可求解. 【详解】因为向量，向量，所以 向量在向量上的投影向量的模为. 10．（25-26高三上·黑龙江大庆·期末）已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是，，，那么在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由可得坐标，然后由投影向量计算公式可得答案. 【详解】平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是，，， 设，由题可得. 则，， 在上的投影向量为. 考点03 平面向量求夹角的问题 11．（25-26高三上·吉林长春·期末）已知，，且与夹角为120°，求： (1)； (2)在上的投影向量； (3)与的夹角. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量数量积运算律计算即可； （2）根据投影向量公式计算即可； （3）根据夹角和向量数量积的关系计算即可. 【详解】（1）已知， 所以， 所以. （2）由（1）知， 则在上的投影向量为. （3）设与的夹角为，， ， 又，故. 12．（25-26高三上·湖北荆门·期末）已知，． (1)若且，求在方向上的投影向量； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由向量的坐标运算可得和向量的坐标，再由和向量的模的值得，再由数量积计算投影向量可得； （2）先由向量夹角为钝角得数量积小于零得的范围，再排除向量共线的值可得. 【详解】（1）因为，，所以，， 即，解得或，又因为，故． 此时，，，， 所以在方向上的投影向量为. 因此在方向上的投影向量为. （2）因为与夹角为钝角等价于且与不反向共线． 所以，解得． 若，则，即，解得或． 当时，，，，与同向，与的夹角为，舍去； 当时，，，，与反向，与的夹角为，非钝角，舍去． 综上，实数的取值范围为. 13．（25-26高三上·全国·专题训练）若，是夹角为60°的两个单位向量，则与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【详解】， ， ， . 设向量与向量的夹角为，则. 又，所以. 14．（25-26高三上·海南海口·期末）已知向量，，满足．若，则与夹角的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用，两边平方可得，从而可得，即可计算. 【详解】由得. 所以，即. 又因为，所以. 因为，所以. 15．（25-26高三上·北京东城·期末）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由向量，，得， 故， 由于，故. 16．（25-26高三上·北京·期末）已知向量，，，且. (1)证明：向量； (2)求与夹角的大小； 【答案】(1)由，得到，即， 所以， 所以，故向量. (2) 【分析】（1）由向量垂直性质，先求出x的值，得到即可证明； （2）先计算，再用向量夹角公式求出夹角. 【详解】（1）略 （2）由题得， 则，， 设与的夹角为， 则， 因为，所以. 考点04 平面向量求模长的问题 17．（25-26高三上·辽宁辽阳·期末）已知向量，满足，，，则（     ） A． B． C．8 D．12 【答案】A 【详解】，， ， 又，， ，A正确. 18．（25-26高三上·上海·期末）已知向量，，，且； (1)求与的夹角； (2)若，求实数k的值； 【答案】(1)/ (2)或 【分析】（1）计算目标向量坐标后用向量夹角公式求夹角； （2）利用向量模长公式列方程求解. 【详解】（1）由向量垂直则两向量点积为0，即， 解得，即，因此，， 代入向量夹角公式得， 又，因此（或）； （2）依题意， 由两边平方得：， ， ，即， 解得或. 19．（25-26高三上·河南·期中）已知，为不共线的单位向量，，． (1)若且，求，的夹角的余弦值； (2)若，的夹角为，且，求实数的值． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用向量垂直的数量积为零，求出，的夹角的余弦值即可； （2）利用的模长，以及向量的夹角为列出关于的方程求解即可. 【详解】（1） 则 则 , 则 , 则 , 则 . （2）, , , , , , 解得： 当时，，成立， 当时， 成立， 或. 20．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知向量，，，则____________ 【答案】 【分析】由向量数量积的坐标运算可得，进而可得，即可得模长. 【详解】因为，所以，解得， 即，可得， 所以 21．（25-26高二下·河北·期末）已知向量，，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【详解】. 因为，解得， 所以. 22．（25-26高三上·辽宁大连·期末）已知向量，向量与的夹角为 且 ，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出向量的模，再将两边平方，结合向量数量积的定义列方程求解，舍去负的模长即可得到结果. 【详解】由，根据向量模长公式可得. 将两边平方，得， 展开得，已知两向量夹角为，即， 代入上式得，整理为. 解得或，由于向量模长为非负数，舍去，故. 考点05 利用向量解决平行与垂直问题 23．（25-26高三上·陕西榆林·期末）已知向量，满足，，与的夹角为． (1)求； (2)若，求实数k的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，，， 则 （2）因为， 所以， 解得. 24．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，，与垂直，则实数______． 【答案】 【分析】利用向量的数乘的坐标表示及数量积的坐标运算即可解决. 【详解】，， 因为与垂直，所以，解得． 25．（25-26高三上·陕西咸阳·期末）已知平面向量． (1)若向量满足，且，求； (2)若向量，且与互相垂直，求λ． 【答案】(1)或. (2). 【分析】（1）两个非零向量平行时，一个向量可以表示为另一个向量的实数倍，再由向量的模确定倍数的绝对值. （2）两个向量互相垂直的充要条件是它们的数量积为零，先写出两个向量的坐标，再列方程求解. 【详解】（1）因为 ，所以存在实数 ，使得 于是 因为，得，所以，即或， 因此. （2）由，，得，， 因为与互相垂直，所以， 解得，即，即. 26．（25-26高三上·辽宁辽阳·期末）已知向量，，，． (1)求向量在上的投影的数量． (2)求向量与的夹角． (3)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用投影向量的公式求解即可； （2）求出，利用向量夹角的坐标运算公式求解即可； （3）由向量垂直公式即可求解. 【详解】（1）向量在上的投影的数量为； （2）由，， 则， ， 所以， ， ； （3）由，，可得， 由（2）得， 所以，解得． 考点06 平面向量的应用举例 27．（25-26高三上·青海西宁·期末）在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，，且，与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（   ） A． B．当角越大时，用力越省 C．当时， D．当时， 【答案】C 【详解】由题意可知，行李包处于平衡状态，则 ， 所以， 故A错误； 又 ,所以其中， 当角越大时，越小，越大，越费力，故B错误； 当时， ，故 C 正确； 时，，故D错误. 28．（25-26高三上·全国·专题训练）如图，支座受，两个力的作用，已知与水平线成角，，沿水平方向，，与的合力的大小为100N，求以及与的夹角的余弦值. 【答案】， 【分析】结合力的合成构建等式，通过对向量等式平方，利用数量积定义和运算律展开即可求得结果. 【详解】， ，即. ，解得. 又， ，即， ，解得. 29．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸头A出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向．当________时，游船能到达处，需要航行的时间为________h．    【答案】 / / 【分析】根据游船抵达正对岸的条件，令船速沿水流反方向的分速度抵消水流速度求出，再算出垂直河岸分速度，最后用河宽除以垂直分速度得到渡河用时. 【详解】要能到达处，则在反方向上的分速度为， 解得，即，而，则， 因此垂直河岸方向上的速度为， 所以当时，游船能到达处，用时． 30．（25-26高三上·河北邯郸·期中）如图，一条东西方向的河流两岸平行，河宽600 m，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河岸边地出发，航行到河对岸的处，（与河的方向垂直），已知船的速度为，过河需要的时间为，船的行驶方向与水流方向的夹角为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】设船速为，水速为，船的合速度为， 则，即，解得， 因为，所以， 则船的合速度为， 则过河需要的时间为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3 平面向量的数量积及其应用 6大考点汇总 考点01 平面向量数量积的定义及其几何意义 考点02 平面向量求投影的问题 考点03 平面向量求夹角的问题 考点04 平面向量求模长的问题 考点05 利用向量解决平行与垂直问题 考点06 平面向量的应用举例 题型专练 考点01 平面向量数量积的定义及其几何意义 1．（2026高三下·江苏苏州·竞赛）在中，已知，的面积为，则的大小为_____. 2．（2026·吉林延边·三模）设满足：，，，则（    ） A．2 B． C． D．1 3．（25-26高三上·辽宁·期末）在中，，点H为垂心，，，则（    ） A． B．2 C． D．4 4．（25-26高三上·广东中山·阶段检测）如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点02 平面向量求投影的问题 5．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）已知点，，．则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）若单位向量的夹角为，向量，则在上的投影向量为________．（结果用表示） 8．（2026高三·全国·专题练习）已知，且满足，则向量在方向上的投影等于________． 9．（第03讲平面向量的数量积及其应用（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量的模为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·黑龙江大庆·期末）已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是，，，那么在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 考点03 平面向量求夹角的问题 11．（25-26高三上·吉林长春·期末）已知，，且与夹角为120°，求： (1)； (2)在上的投影向量； (3)与的夹角. 12．（25-26高三上·湖北荆门·期末）已知，． (1)若且，求在方向上的投影向量； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 13．（25-26高三上·全国·专题训练）若，是夹角为60°的两个单位向量，则与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 14．（25-26高三上·海南海口·期末）已知向量，，满足．若，则与夹角的大小是（     ） A． B． C． D． 15．（25-26高三上·北京东城·期末）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高三上·北京·期末）已知向量，，，且. (1)证明：向量； (2)求与夹角的大小； 考点04 平面向量求模长的问题 17．（25-26高三上·辽宁辽阳·期末）已知向量，满足，，，则（     ） A． B． C．8 D．12 18．（25-26高三上·上海·期末）已知向量，，，且； (1)求与的夹角； (2)若，求实数k的值； 19．（25-26高三上·河南·期中）已知，为不共线的单位向量，，． (1)若且，求，的夹角的余弦值； (2)若，的夹角为，且，求实数的值． 20．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知向量，，，则____________ 21．（25-26高二下·河北·期末）已知向量，，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 22．（25-26高三上·辽宁大连·期末）已知向量，向量与的夹角为 且 ，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点05 利用向量解决平行与垂直问题 23．（25-26高三上·陕西榆林·期末）已知向量，满足，，与的夹角为． (1)求； (2)若，求实数k的值． 24．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，，与垂直，则实数______． 25．（25-26高三上·陕西咸阳·期末）已知平面向量． (1)若向量满足，且，求； (2)若向量，且与互相垂直，求λ． 26．（25-26高三上·辽宁辽阳·期末）已知向量，，，． (1)求向量在上的投影的数量． (2)求向量与的夹角． (3)若，求实数的值． 考点06 平面向量的应用举例 27．（25-26高三上·青海西宁·期末）在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，，且，与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（   ） A． B．当角越大时，用力越省 C．当时， D．当时， 28．（25-26高三上·全国·专题训练）如图，支座受，两个力的作用，已知与水平线成角，，沿水平方向，，与的合力的大小为100N，求以及与的夹角的余弦值. 29．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸头A出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向．当________时，游船能到达处，需要航行的时间为________h．    30．（25-26高三上·河北邯郸·期中）如图，一条东西方向的河流两岸平行，河宽600 m，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河岸边地出发，航行到河对岸的处，（与河的方向垂直），已知船的速度为，过河需要的时间为，船的行驶方向与水流方向的夹角为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $