第33讲　平面向量的数量积专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以“定义-性质-应用”为逻辑主线，通过17道题构建数量积解题体系，融合坐标法、基底法等技巧，培养数学思维的推理能力与数学语言的模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|7题（如第1-7题）|定义法、投影公式、垂直转化|从数量积定义到模、夹角公式推导| |几何应用|5题（如第4、10、11、15题）|坐标建系、基底分解、几何意义|图形中向量关系转化为数量积运算| |综合拓展|5题（如第14、17题）|方程思想、参数范围分析|结合三角函数、动态问题深化应用|

第33讲　平面向量的数量积 (时间:45分钟) 1. [2025·八省联考] 已知向量a=(0,1),b=(1,0),则a·(a-b)= (　 ) A.2 B.1 C.0 D.-1 2.已知向量a=(4,3),b=(1,0),则a在b上的投影向量为 (　 ) A.(1,0) B.(3,0) C.(4,0) D.(5,0) 3.[2025·南京一调] 已知|a|=,|b|=1,若(a+2b)⊥a,则cos<a,b>= (　 ) A.- B.- C. D. 4.[2024·贵州遵义质检] 在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,M是BC的中点,且=2,则·的值为 (　 ) A.32 B.24 C.16 D.8 5.(多选题)已知向量a=(1,3),b=(2,-4),则 (　 ) A.a·b=10 B.向量a,b的夹角为 C.= D.向量c=(-6,2)与a垂直 6.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=　　　　.  7.[2025·武汉调研] 已知平面向量a=(5,1),b=(1,-1),c=(1,k),若(a-b)⊥c,则k=　　　　.  8.[2024·杭州质检] 已知a,b是两个单位向量,若向量a在向量b上的投影向量为b,则向量a与向量a-b的夹角为 (　 ) A. B. C. D. 9.[2025·安徽皖江名校联盟联考] 已知平面向量a,b满足a=(1,),|a-b|=4,则|b|的取值范围是 (　 ) A.[2,6] B.[2,2] C.[2,6] D.[1,2] 10.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则·的取值范围是 (　 ) A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6) 11.(多选题)如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=1,若点E,F分别为边BC,CD的中点,则下列说法正确的是 (　 ) A.||= B.⊥ C.·= D.cos<,>= 12.已知力F1,F2,F3满足|F1|=|F2|=|F3|=1 N,且F1+F2+F3=0,则|F1-F2|=　　　　N.  13.[2024·天津卷] 在边长为1的正方形ABCD中,点E为线段CD的三等分点,满足CE=DE,=λ+μ,则λ+μ=　　　　;若F为线段BE上的动点,G为AF的中点,则·的最小值为　　　　.  14.已知向量a=(4,3cos α),b=(1,2tan α). (1)若a∥b,求sin α的值; (2)若a⊥b,且α∈,求cos的值. 15.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AB=2AD=2DC=4,点F是BC边的中点. (1)若点E满足=2,且=λ+μ,求λ+μ的值; (2)若点P是线段AF上的动点(含端点),求·的取值范围. 16.[2024·石家庄二模] 在平行四边形ABCD中,+=,λ∈[,3],则cos∠BAD的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 17.(多选题)已知向量a,b,c满足|a|=2|b-a|=2|b-c|=2|c|=2,则下列结论可能成立的有 (　 ) A.|b|= B.|b|= C.b·c= D.b·c= 参考答案 第33讲　平面向量的数量积 1..B　[解析] ∵a=(0,1),b=(1,0),∴a-b=(-1,1),∴a·(a-b)=0×(-1)+1×1=1.故选B 2.C　[解析] a在b上的投影向量为·=·=4(1,0)=(4,0).故选C. 3.A　[解析] 因为(a+2b)⊥a,所以(a+2b)·a=a2+2a·b=0,又|a|=,所以a·b=-,所以cos<a,b>==-.故选A. 4.A　[解析] 由题知=+=+,=+=+, 且·=0,则·=·=||2+||2=×36+×16=32.故选A. 5.BD　[解析] 对于A,∵a=(1,3),b=(2,-4),∴a·b=1×2+3×(-4)=-10,故A错误;对于B,cos<a,b>===-,又∵0≤<a,b>≤π,∴向量a,b的夹角为,故B正确;对于C,∵a+b=(1,3)+(2,-4)=(2,1),∴==,故C错误;对于D,∵c·a=-6×1+2×3=0,∴c⊥a,故D正确.故选BD. 6.-2　[解析] 由已知条件,得a·b=0,即m+2=0,即m=-2. 7.-2　[解析] a-b=(4,2),因为(a-b)⊥c,所以(a-b)·c=0,即4+2k=0,解得k=-2. 8.B　[解析] 因为向量a在向量b上的投影向量为b,a,b是两个单位向量,所以|a|cos<a,b>·=b,所以cos<a,b>=,又<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=,所以a·(a-b)=a2-a·b=1-1×1×=.又|a|=1,|a-b|===1,所以cos<a,a-b>==,又<a,a-b>∈[0,π],所以向量a与向量a-b的夹角为.故选B. 9.A　[解析] 设b=(x,y),又a=(1,),所以a-b=(1-x,-y),因为|a-b|=4,所以|a-b|==4,所以点(x,y)在以C(1,)为圆心,4为半径的圆上,又|OC|=2,所以|b|=∈[4-2,4+2],即|b|∈[2,6].故选A. 10.A　[解析] 方法一:以A为原点,的方向为x轴的正方向,建立如图①所示的平面直角坐标系,设P(x,y),则=(2,0),=(x,y),∵-1<x<3,∴·=2x∈(-2,6). 方法二:如图②,以{,}为基底,则<,>=,且||=2,||=2.∵P为正六边形内一点,∴=x+y,-<x<,则·=(x+y)·=x=4x.∵-<x<,∴-2<·<6. 方法三:作出正六边形ABCDEF,如图③所示,P是正六边形内一点,·=||||cos<,>,||=2.由图可得,当P位于C处时,||cos<,>最大,又BC=2,∠CAB=30°,故此时||cos<,>=2×=3,则·=||||cos<,>=2×3=6;当P位于F处时,||cos<,>最小,又AF=2,∠FAB=120°,故此时||cos<,>=2×=-1,则·=||||cos<,>=2×(-1)=-2.∵P在正六边形内,∴·的取值范围为(-2,6).故选A. 11.AC　[解析] ∵四边形ABCD为矩形,∴以A为原点,分别以,的方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),E,F(1,1),∴=,=(1,1),=.对于A,||==,故A正确;对于B,∵·=-1+=-≠0,∴与不垂直,故B不正确;对于C,·=2+=,故C正确;对于D,cos<,>===,故D不正确.故选AC. 12.　[解析] 由F1+F2+F3=0,可得F1+F2=-F3,所以(-F3)2=(F1+F2)2,化简可得=++2F1·F2,因为|F1|=|F2|=|F3|=1 N,所以2F1·F2=-1,所以|F1-F2|====(N). 13.　-　[解析] 方法一:因为CE=DE,所以=,则=+=+,可得λ=,μ=1,所以λ+μ=.由题意可知||=||=1,·=0,因为F为线段BE上的动点,所以设=k=k+k,k∈[0,1],则=+=+k,又因为G为AF的中点,所以=+=-+=+,可得·=·=+k=-.因为k∈[0,1],所以当k=1时,·取得最小值-. 方法二:以B为坐标原点,BA所在直线为x轴,BC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则A(-1,0),B(0,0),C(0,1),D(-1,1),E,可得=(-1,0),=(0,1),=,因为=λ+μ=(-λ,μ),所以解得 所以λ+μ=.因为点F在线段BE:y=-3x,x∈上,所以设F(a,-3a),a∈,又G为AF的中点,所以G,可得=(a+1,-3a),=,则·=+(-3a)=5-.因为a∈,所以当a=-时,·取得最小值-. 14.解:(1)∵a=(4,3cos α),b=(1,2tan α),且a∥b,∴8tan α-3cos α=0,∴8sin α=3cos2α=3-3sin2α,∴3sin2α+8sin α-3=0,即(3sin α-1)(sin α+3)=0,可得sin α=. (2)∵a⊥b,∴a·b=4+6cos αtan α=0,∴sin α=-,又α∈, ∴cos α=,∴sin 2α=2sin αcos α=-,cos 2α=2cos2α-1=, ∴cos=×+×=. 15.解:(1)如图所示.由=2可得=,所以=+=+=+=-, 又=λ+μ,所以λ=,μ=-,所以λ+μ=-. (2)方法一:以点A为坐标原点,以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,0),D(0,2),B(4,0),C(2,2),F(3,1).由点P是线段AF上的动点(含端点),可令=t,t∈[0,1],所以=t=(3t,t),又=(0,2),则=-=(3t,t-2),所以·=10t2-2t,t∈[0,1],由二次函数的性质可得,当t=时,·取得最小值-;当t=1时,·取得最大值8.综上得·∈. 方法二:取AD的中点M,作MG⊥AF,垂足为G,如图所示,连接PM,则·=·=(+)·(+)=+·(+)+·=-=-1,显然当点P位于点F时,PM取得最大值3,当点P位于点G时,PM取得最小值,可得·∈. 16.A　[解析] 设与同方向的单位向量=e1,与同方向的单位向量=e2,与同方向的单位向量=e3,由题意知e1+3e2=λe3,所以(e1+3e2)2=λ2,即+6e1·e2+9=λ2,所以1+6×1×1×cos∠BAD+9=λ2,所以cos∠BAD=,因为λ∈[,3],所以λ2∈[7,9],所以∈,即cos∠BAD∈.故选A. 17.BCD　[解析] 由题意知|a|=2,|c|=1,|a-b|=|b-c|=1,设=a,=b,=c,不妨设C(1,0),如图,动点A在以O为圆心,2为半径的圆上,动点B在以C为圆心,1为半径的圆上,且满足||=1,圆C的方程是(x-1)2+y2=1.当点B在圆C上运动时,由|AB|+|OB|≥|OA|,得|OB|≥1,当且仅当O,A,B三点共线且B在O,A之间时取等号.由图易知|OB|≤2,即1≤|b|≤2,故选项A不可能成立,选项B可能成立.设B(x,y),则b·c=(x,y)·(1,0)=x,由解得∴x≥,又x≤2,∴≤x≤2,∴b·c∈,故选项C,D均可能成立.故选BCD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $