2.11 函数模型及其应用【6大考点】专题训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数模型应用，以6大考点为框架，通过35道题构建从单一函数到综合应用的递进训练体系，强化数学建模与实际问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数模型|6题|利润成本、供求关系等最值问题|从二次函数单调性到实际问题中的定义域限制，体现数学抽象与模型思想| |分段函数模型|7题|含不同区间成本函数的综合应用|通过分段函数刻画复杂现实情境，培养数据分析与逻辑推理能力| |分式型函数模型|6题|成本效益、增长率等优化问题|结合分式函数性质解决资源配置，强化数学应用意识| |对数函数模型|5题|衰减问题、性能增长等拟合问题|利用对数函数特征描述变化规律，发展数学建模素养| |幂函数模型|6题|投资利润、流量关系等比例问题|通过幂函数刻画非线性关系，提升数学抽象能力| |综合应用实例|5题|跨模型实际问题（如医学、环境）|整合多种函数模型，培养综合运用数学知识解决复杂问题的能力|

2.11 函数模型及其应用 6大考点汇总 考点01 利用二次函数模型解决实际问题 考点02 分段函数模型的应用 考点03 分式型函数模型的应用 考点04 对数函数模型的应用 考点05 幂函数模型的应用 考点06 函数模型的应用实例 题型专练 考点01 利用二次函数模型解决实际问题 1．某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出投入成本，出厂价，年销售量，利用年利润公式求解即可. （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加得到，计算得解. 【详解】（1）投入成本为，出厂价为，年销售量为， 则， 整理得． （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有， 即，解得， 所以投入成本增加的比例应在范围内． 2．经市场调查，某商品每吨的价格为百元时，该商品的月供给量为万吨，；月需求量为万吨，.当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量.该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积. (1)已知，若某月该商品的价格为，求商品在该月的销售额（以百元作为单位）； (2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格.若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数的取值范围. 【答案】(1)百元 (2) 【分析】（1）比较与的大小后可确定销售量，即可计算得到该月的销售额； （2）均衡价格即为时的价格，设，因为该商品均衡价格不低于每吨6百元，并且每吨的价格为百元，结合函数单调性，故有，，解不等式即得. 【详解】（1）若时，， ，由可得， 所以该月销售额为：（百元）； （2）设， 因为，所以在区间上是增函数， 若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，即函数在区间上有零点， 所以，即，解得. 3．某企业生产某种大型工业设备，全年需投入固定成本万元，每生产台该产品，需另投入成本万元；当年产量不足台时，，当年产量不小于台时，．已知每台设备售价万元，且生产的设备能全部销售完． (1)求出年产量分别为台和台时的年利润； (2)求出年利润（万元）关于年产量（台）的函数解析式； (3)当年产量为多少台时，该厂所获年利润最大，最大利润是多少万元？ 【答案】(1)万元；万元； (2) (3)当年产量为台时，该厂所获年利润最大，年利润最大为万元 【分析】（1）根据函数关系式可求得总成本，利用总收入减去总成本即可得到年利润； （2）分别在和的情况下，利用总收入减去总成本可得； （3）根据二次函数最值、基本不等式求最值的方法可求得和情况下年利润的最大值，比较两值可得最终结论. 【详解】（1）当年产量为台时，总成本为（万元）， 年利润为（万元）； 当年产量为台时，总成本为（万元）， 年利润为（万元）. （2）当时，总成本为， 则年利润； 当时，总成本为， 则年利润； 综上所述：. （3）当时，， 则当时，； 当时，（当且仅当，即时取等号）， 即； ，当年产量为台时，该厂所获年利润最大，年利润最大为万元. 4．某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） (2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 【答案】(1) (2)9万件 【分析】（1）分和两种情况，分别求出函数解析式； （2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解. 【详解】（1）根据题意得，当时，， 当时，， 故 （2）当时，， 且当时，单调递增，当时，单调递减， 此时. 当时，，当且仅当时，等号成立. 因为，故当时，取得最大值24， 即为使公司获得的年利润最大，每年应生产万件该芯片. 5．国内某知名玩偶公司出售一款2025年特别款纪念玩偶产品．某连锁特大商场购买此产品，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，每件产品的最高售价为80元．若按最高售价销售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件．若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费，若购进30万件以上，则直接与玩偶公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为 (1)当购进产品数量为10万件、25万件、40万件时，利润分别是多少？ (2)该连锁特大商场购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】(1)万元，万元，万元 (2)当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是810万元 【分析】（1）根据给定条件，按、、分段求出函数关系即可； （2）由（1）分段，结合函数单调性、二次函数及基本不等式求出最大值并比较大小即得． 【详解】（1）设利润为 当时，； 当时，不妨设降价元，则，得到， 所以； 当时，， 所以 当， 当， 当． （2）由（1）知，当时，， 当时，利润最大，此时利润是450万元； 当时，， 当时，利润最大，此时利润是500万元； 当时，当时， ， 当且仅当，即时，利润最大，此时利润是810万元． 因为，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是810万元． 6．某公司为了提高生产效率，决定投入72万元购进一套生产设备．预计使用该设备后，每年因该设备额外产生收益50万元，该设备前年的维修、保养等费用共万元．设使用年后该设备的盈利额为万元（设备的盈利额＝因设备额外产生的收益－设备的购进成本-设备维修保养费），其中． (1)写出关于的函数关系式，并求出从第几年开始，该设备开始盈利． (2)使用若干年后，对该套设备的处理方案有以下两种： 方案①：当年平均盈利额达到最大值时，以52万元价格处理该设备； 方案②：当盈利额达到最大值时，以20万元价格处理该设备． 请你研究哪种方案处理较为合理，并说明理由． 【答案】(1)；3 (2)两方案盈利相同，但方案①使用时间更短，设备更新更快，更有利于提高生产效率，所以方案①更合理. 【分析】（1）先求出前年的盈利额，利用求解即可. （2）由(1)分别利用基本不等式和一元二次函数性质分别计算两方案的盈利情况进行比较. 【详解】（1）由题意得使用年后：， 令，即，解得 因为，所以， 即从第3年开始，该设备开始盈利 （2）方案①：平均盈利额为， 当且仅当“”即时等号成立 第6年平均盈利额达到最大值，以52万元价格处理该设备，共盈利万元 方案②：盈利额为，当时，盈利额达到最大值，为128万元 第10年盈利额达到最大值，以20万元价格处理该设备，共盈利万元， 两方案盈利相同，但方案①使用时间更短，设备更新更快，更有利于提高生产效率，所以方案①更合理. 考点02 分段函数模型的应用 7．一校办服装厂花费2万元购买某品牌运动装的生产与销售权.根据以往经验，每生产1百套这种品牌运动装的成本为1万元，每生产（百套）的销售额（万元）满足： (1)求出该服装厂生产1000套此种品牌运动装可获得利润多少万元？ (2)该服装厂生产多少套此种品牌运动装利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)3.1万元 (2)生产700套此种品牌运动装利润最大，最大利润为4万元. 【分析】（1）根据已知条件及关系式即可求解； （2）根据二次函数及基本不等式分段求函数的最值即可求解. 【详解】（1）每生产（百套）的销售额（万元）满足： ， 生产1000套此种品牌运动装即，代入，可得（万元）， 已知购买生产与销售权花费为2万元，每生产1百套这种品牌运动装的成本为1万元， 生产1000套，成本为（万元），故利润为（万元）， 因此生产1000套此种品牌运动装可获得利润3.1万元. （2）当时，利润， 对于二次函数，图像开口向下，对称轴为， 当时，（万元）， 当时，利润， 根据基本不等式可知（万元） 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以当，即生产700套时，利润最大，最大利润为4万元. 因此，生产700套此种品牌运动装利润最大，最大利润为4万元. 8．2025年某家具厂准备生产一种大办公桌，经市场分析，全月需投入固定成本3万元，每生产（张）（，）办公桌需另投入成本（元），且.由市场调研知，每张办公桌售价元，且每月生产的办公桌当月能全部销售完. (1)求出每月销售这种办公桌的利润（元）关于月产量（张）的函数关系式（利润销售额成本）； (2)当这种办公桌月产量为多少张时，家具厂因此所获利润最大？ 【答案】(1)； (2)当这种办公桌月产量为74张时，家具厂因此所获利润最大. 【分析】（1）分且和且两种情况，求出函数解析式； （2）在（1）基础上，利用函数单调性和基本不等式求出最值，比较后得到答案. 【详解】（1）当且时， ， 当且时， ， 综上，； （2）当且时， ， 当时，取得最大值，最大值为； 当且时，， 当且仅当，即时，等号成立， 由于，故当这种办公桌月产量为74张时，家具厂因此所获利润最大. 9．为激发当地市场活力，政府决定为某小微企业提供（万元）的专项补贴.该企业在收到政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时该企业生产（万件）产品需要投入成本（万元）关于政府补贴（万元）满足函数：现以每件元的价格将其生产的产品全部售出.（注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本） (1)求该企业收到补贴后生产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的函数关系式； (2)当政府的专项补贴为多少万元时，该企业所获收益最大？ 【答案】(1) (2)15 【分析】（1）根据实际意义表示出收益即可； （2）利用二次函数性质和基本不等式求出分段函数各段的最大值，然后可解. 【详解】（1）由题意， （2）由（1）知，当时，， 则当万元时，最大，其最大值为16万元； 当时，， 当且仅当，即：万元时，最大，其最大值为万元. 所以当（万元）时，该企业收益最大，为万元. 10．（多选）漳州市龙海区港尾镇和浮宫镇盛产杨梅，杨梅果味酸甜适中，有开胃健脾、生津止渴、消暑除烦，抑菌止泻，降血脂血压等功效．杨梅的保鲜时间很短，当地技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后的时间t（单位：小时）与失去的新鲜度y满足函数关系，其中m，a为常数．已知采用该种保鲜方法后，杨梅采摘10小时之后失去的新鲜度，采摘40小时之后失去的新鲜度．如今我国物流行业蓬勃发展，为了保证港尾镇的杨梅运输到北方某城市销售时的新鲜度不低于，则物流时间（从杨梅采摘的时刻算起）可以是（参考数据：）（   ） A．20小时 B．25小时 C．28小时 D．35小时 【答案】ABC 【详解】由题意可知，所以即，. 由题意可知当时，失去的新鲜度小于，没有超过. 当时，则有即，所以， 所以，解得． 11．某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）合计元．已知这种水果的市场售价大约为21元/千克，且销售畅通，供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． (1)写出单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式． (2)若施用肥料千克，当取何值时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)，540元 【分析】（1）分与两种情况，求解出利润y（单位：元）表示为施用肥料x的函数； （2）利用基本不等式求解出利润的最大值即可． 【详解】（1）由题意可知，当时， ； 当时，， 综上，. （2）当时， ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，该水果树的单株利润最大，最大利润是540元． 12．已知函数. (1)若的最大值为4，求实数a的值； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别求和时的取值范围，结合反比例函数和一次函数，比较两段的最值，结合最大值为4建立关于的方程求解； （2）根据分段函数在上单调递增，可得各段函数分别单调递增，且左段函数在处的函数值不大于右段函数在处的函数值，再根据单调性条件建立关于的不等式求解； （3）判断和与0的大小关系，分情况讨论，分别利用单调性、函数值大小建立不等式求解. 【详解】（1）当时，，取不到4， 所以时，的最大值为4，                 因为在上单调递增， 所以，则. （2）当时，单调递增；                 当时，单调递增，                 因为在上单调递增，只需，则，                 所以实数a的取值范围为. （3）易知， 当，即， 因为在上单调递增，所以成立；                 当，即， 因为在上单调递增，所以成立；                 当时，，， 所以，， 所以，不符合题意. 综上所述，实数a的取值范围为. 13．习近平总书记在相关重要会议中强调了“加快建设科技强国，推动人工智能等前沿技术创新”的发展方向.某企业为响应这一战略，计划在2026年布局人工智能大模型应用开发，生产智能终端配套的算法服务包.通过市场分析，全年需投入固定成本260万元（含研发､服务器部署等），每生产千个算法服务包，需另投入成本万元，且已知每个算法服务包的售价为0.6万元，假设年内生产的服务包当年能全部销售完. (1)试写出2026年利润（万元）关于年产量（千个）的函数解析式； (2)当2026年产量为多少千个时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据利润、成本、售价之间的关系进行求解即可； （2）利用配方法和基本不等式分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由题意可知： . 当时， ； 当时， ， 所以2026年利润（万元）关于年产量（千个）的函数解析式： （2）当时， ， 当时，函数有最大值； 当时， ， 当且仅当时取等号，即有， 所以当时，函数有最大值， 综上所述： 2026年产量为千个算法服务包，企业所获利润最大，最大利润为万元. 考点03 分式型函数模型的应用 14．现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】先求出的报价，根据的报价低于的报价列式，分离参数，可得，再设，利用函数的单调性求其最小值，进而可得的取值范围. 【详解】若有窗墙体的长为米，则左右宽度为， 则A的报价为（元）， B给出的总价为元. 由 . 因为，所以函数在上单调递增， 且当时，， 故， 由，所以实数的取值范围是. 故答案为： 15．某地为了改善中小型企业经营困难的情况，特推进中小型企业加快产业升级，着力从政府专项基金补贴扶持，产量升级和政府指导价三个方向助力中小型企业．某企业A在产业升级前后的数据如下表： A企业 产量万件 投入成本万元 销售单价元/件 产业升级前 2 45 30 完成产业升级后， 获补贴x万元， 产量 为升级后产量 若该企业在政府指导价下出售产品，能将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本． (1)当该企业没有政府补贴时，收益是多少万元？ (2)企业向政府申请多少专项基金补贴时，所获收益最大，最大收益是多少万元？ 【答案】(1)万元 (2)当政府补贴为万元时，所获收益最大，最大收益为33万元 【分析】（1）根据题意补贴为0，再结合收益销售金额成本，列出算式，即可求解； （2）设获政府补贴万元时，收益为万元，求得，结合基本不等式，得到的最大值，及其相应的值，即可得到答案. 【详解】（1）解：由题意得，当该企业没有政府补贴时，收益销售金额成本， 即：万元； （2）解：设获政府补贴万元时，收益为万元， 则，其中， 所以， 当且仅当，即，即时等号成立， 所以不是申请的政府补贴越多，收益越大，当政府补贴为万元时，所获收益最大，最大收益为33万元． 16．某科技企业为增加产能，第1年年初投入560万元购买了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，该台设备可使该企业每年的销售收入为360万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元. (1)写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； (2)若第3年年初企业再投入560万元购买了一台该设备，该设备使用第年与第1台设备使用第年的材料费、维修费、人工工资等一样，且该台设备同样可使该企业每年的销售收入为360万元，若，求这两台设备的年平均盈利额最大时的值. 【答案】(1)，从第3年开始盈利 (2)7 【分析】（1）根据利润=销售收入-总成本求出，再解一元二次不等式可得答案； （2）先求出前年的总盈利再求出，结合双勾函数的性质即可得结果. 【详解】（1）由题意得， 令，得，而， 所以该设备从第3年开始使企业盈利. （2）当时，第 1 台设备使用了年，第 2 台设备使用了年， 前年的总盈利为 ， 则年平均盈利额， 由双勾函数的性质可得在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，，而， 所以当时，取得最大值， 这两台设备的年平均盈利额最大时. 17．人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为I的声音对应的等级为LdB，则有．已知某品牌笔记本电脑工作时产生的噪音强度的等级约为52dB，如果通过改善相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪音强度的等级约为（    ） （参考数据：） A．49dB B．46dB C．26dB D．13dB 【答案】A 【分析】设原强度、新强度,代入分贝公式拆分对数，利用已知和计算,得结果. 【详解】设原来的噪音强度为，对应的等级. 改善后的噪音强度为，对应的等级为. 根据公式，代入得：. 计算：. 将，代入： . 18．在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数与训练数据量（单位：）的关系式为，其中为常数.当训练数据量为时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍数达到135时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设条件，将代入关系式可求出的值，再利用对数的运算即可求解. 【详解】当时，，即. 当时，，即， 则，即. 因为， 所以.令，则， 所以，则. 19．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2023年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（参考数据：，，）（   ） A．2023年 B．2024年 C．2025年 D．2027年 【答案】D 【分析】若2024年是第1年，根据题意得第n年该高校全年投入的科研经费，根据条件列出不等式，解得n的范围即可． 【详解】不妨取2024年是第1年， 根据题意得第n年该高校全年投入的科研经费为， 令，即，即， 两边取对数可得：，即， 则，则第4年符合题意， 即2027年该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元． 考点04 对数函数模型的应用 20．在深度学习模型训练中，模型的训练损失值会随训练轮次增加而逐渐下降．当损失值低于初始损失值的时就要对模型进行调整，假设某深度学习模型的训练损失值（为初始损失值，t为训练轮次，k为衰减系数），已知训练到第10轮时（当时），训练损失值降至初始损失值的，则训练到第几轮就要对模型调整（参考数据）（   ） A．24 B．35 C．47 D．100 【答案】C 【分析】由题意可得，将代入，解得，再将代入，由求解即可. 【详解】因为，所以当时，， 即，解得，即， 所以，所以， 所以，解得， 所以训练到第47轮就要对模型调整. 21．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.假设甲鲑鱼和乙鲑鱼都做匀速直线运动，乙在甲正前方18m处，9s后甲正好追上乙，则甲鲑鱼与乙鲑鱼耗氧量的单位数的比值为（   ） A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】D 【分析】由题意列出方程，根据对数的运算性质，计算即可得答案. 【详解】设甲的速度为，耗氧量的单位数为，乙的速度为，耗氧量的单位数为， 由题意得，则， 所以，解得. 故选：D 22．近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月，中国航天硕果累累，令国人倍感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（单位：），是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：），是火箭起飞时的总质量（单位：kg），是火箭自身的质量（单位：kg）.小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为，火箭自身的质量为，燃料的质量为，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，至燃料燃尽时，该试验火箭的理想速度大约为（，）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将数据代入理想速度方程，再结合对数的运算性质即可求解. 【详解】由，代入数据可得 ， 故选：C 23．某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发.在对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润（单位：万元），乙产品的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）之间的关系如下表所示. 万元) 4 9 16 25 万元) 28 33 40 49 万元) 30 42 54 66 (1)根据以上表格中的数据判断：①；②；③；④，上述四个模型哪两个更适宜分别作为与关于的函数模型？（不需要说明理由） (2)根据表格数据求出所选两个模型的函数解析式； (3)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大？ 【答案】(1)选①作为，选③作为； (2)， (3)甲、乙两种产品的研发投入分别为64万元和36万元，可使总利润最大，最大为166万元 【分析】（1）根据表格数据判断函数类型即可； （2）直接代入前两个值求解表达式系数即可； （3）设乙产品的研发投入为x万元，列出总利润和x的关系，利用换元法转化为二次函数即可求解． 【详解】（1）因为关于成线性关系，关于成线性关系，所以选①作为，选③作为； （2），代入得， 代入得，解得， 验证时，，符合，时，，符合； 所以. ，代入得， 代入得，解得， 验证时，，符合，时，，符合； 所以. （3）设乙产品的研发投入为万元（），则甲产品的研发投入为万元， 总利润， 当且仅当，即时取等号，则甲产品的研发投入为（万元）， 所以甲、乙两种产品的研发投入分别为64万元和36万元，可使总利润最大，最大为166万元. 24．某科技公司设立了两个研发实验室，分别探索不同技术路线来提升人工智能芯片的性能．两个实验室的研发起点相同（月时，芯片基础性能得分均为0），记录了研发时间t（月）与芯片性能得分P（得分越高，性能越好）的关系如下： 实验室A（技术路线甲）：早期数据增长迅猛，如下表所示： t（月） 1 2 3 4 P（得分） 3 12 27 48 实验室B（技术路线乙）：增长平稳，符合对数函数特点，已知其性能增长模型为，，且当时，；当时，． (1)根据实验室A的数据，判断性能得分P与时间t更符合哪一种函数模型：指数函数还是幂函数?说明理由，并写出函数解析式； (2)根据实验室B的数据，求出常数a，b的值，并写出P关于t的函数解析式； (3)若两个实验室均研发至第6个月． （i）用实验室A的模型预测性能得分； （ⅱ）用实验室B的模型预测性能得分； （ⅲ）从从技术发展的长期可持续性角度，哪一种技术路线能获得更高的性能得分？请结合函数增长特性说明理由．（，） 【答案】(1)； (2)； (3)甲,理由见解析. 【分析】（1）利用函数过原点，可确定幂函数模型，再用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法直接可求出函数解析式； （3）利用两函数的解析式分别求第6个月的函数值，即可得到预测性能分，然后根据二次函数和对数型函数模型的增长率作出比较即可得到答案． 【详解】（1）由时，，若，则，此时，不满足题意， 故，又当时，，所以， 当时，，所以， 此时，当时，，当时，，满足题意， 故； （2）由于用实验室的数据来求参数， 所以当时，，代入得：， 当时，，代入得：， 两式相减得：，代入可得：， 所以； （3）（i）实验室研发至第6个月，用实验室A的模型预测性能得分： 则，所以用实验室A的模型预测性能得分为分； （ⅱ）实验室研发至第6个月，用实验室B的模型预测性能得分： 则， 所以实验室B的模型预测性能得分约为分； 从技术发展的长期可持续性角度，我认为甲技术路线更优，因为尽管在第1个月时乙路线得分更高，但从第2个月起，甲路线的得分就反超并持续大幅领先，且二次函数的增长速度远快于对数函数，因此甲路线更优. 考点05 幂函数模型的应用 25．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 【答案】C 【分析】根据已知代入求解得出解析式，再计算求解. 【详解】由已知投入广告费用为3万元，药品利润为27万元，代入中，得，解得， 故函数解析式为，所以当时，． 故选：C. 26．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比．若气体在半径为的管道中，流量为，气体在半径为的管道中，流量大于且小于，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，当，时，求出的值，再由可求出的取值范围. 【详解】根据题意，设，由题意可得，解得，故， 当时，，解得， 故选：D. 27．党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）. (1)分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元 【分析】（1）利用待定系数法求得，根据图②的数据代入的解析式后可求参数的值，从而可求. （2）列出企业利润的函数解析式，结合换元法可求利润最大值. 【详解】（1）由题设，由图知，故，故. 又，，所以，， 所以，故，故，故． （2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元 则， 令，则， 所以当时，，此时. 故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元. 28．某体育用品商店开展促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润（单位：万元）随销售收入（单位：万元）的变化情况如下表所示： (万元) 2 3 5 (万元) (1)根据表中数据，分别用模型（且）与建立关于的函数解析式； (2)已知当时，，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由.（参考数据：） 【答案】(1)，； (2)模型（且）更合适，理由见解析； 【分析】（1）将表格中的数据代入两模型解方程组可求得函数解析式； （2）将自变量代入两模型计算求得，得出与更接近的模型即可. 【详解】（1）对于模型（且）， 将表格中数据代入可得， 解得； 所以； 对于模型， 将表格中数据代入可得， 解得； 所以； （2）当时，模型对应的； 模型对应的， 当时，显然， 所以模型更合理. 29．风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（ ）（注：，） A．9级 B．11级 C．13级 D．15级 【答案】B 【分析】根据给定方程计算瞬时风速对应的风力等级，结合对数运算及指对互化运算即可求解． 【详解】将轮毂高度瞬时风速代入，得， 由知，，则， 所以， 又，所以， 所以． 30．部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，则（    ） A．随着时间的增加，臭氧含量在增加 B．当从1变化到2时，臭氧含量减少 C．当从0变化到2时，臭氧含量的平均变化率为 D．当时，臭氧含量的瞬时变化率为 【答案】D 【详解】臭氧含量与时间之间满足关系式为， 因为是臭氧的初始含量，所以，所以是减函数，所以A错误； 当从1变化到2时，臭氧含量减少，所以B错误； 当从0变化到2时，臭氧含量的平均变化率为，所以C错误； 对于，， 所以当时，臭氧含量的瞬时变化率为，所以D正确. 考点06 函数模型的应用实例 31．医学规定：服用某药物后，100mL血液中药物浓度不超过14mg时，可正常驾驶机动车.某患者服药后，血液中药物浓度瞬间升至2.1mg/mL；停止服药后，血液中药物含量每小时以剩余量的30%匀速衰减.则该患者至少经过多少小时后可正常驾驶.（   ） 参考数据：，， A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由题意建立不等式，结合对数的运算法则，代入参考数据后即可求解. 【详解】由题意得，血液中药物浓度不超过时，可正常驾驶机动车， 设患者服药后经过小时可正常驾驶，由题意得， 即，两边同时取对数得， 即，， ，代入参考数据得， 整理得，故至少经过小时后可正常驾驶. 32．2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温 95 88 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求模型，求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．（参考数据：，） 【答案】(1)选择模型② ，解析式为 ； (2)约6.5分钟。 【分析】（1）首先由表格数据确定函数的单调性和递减速度，从而判断模型，再利用待定系数法，列方程组求解； （2）根据（1）的结果，解方程. 【详解】（1）由表格可知，函数单调递减，且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增 函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得：，，， 所以； （2），得， ， 刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间约为分钟. 33．中华人民共和国道路交通安全法判定酒驾的标准为：驾驶员血液中酒精含量大于或等于，但小于；判定醉驾的标准为：驾驶员血液中酒精含量大于或等于.某驾驶员饮酒后血液中酒精含量为，若停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时的速度减少，则该驾驶员至少需经过（    ）小时才能合法驾驶（酒精含量需小于）.参考数据：. A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【详解】设至少需要小时，则有 . 所以至少需要经过小时才能合法驾驶. 34．（多选）一款运动APP测得某运动员百米赛跑后半小时内心率y（单位：次/分钟）与停止运动后的时间t（单位：分钟）之间的关系满足，其中为正整数，表示不超过的最大整数.当时，心率为120次/分钟，当心率不低于90次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”.该运动员的静息心率（休息时的心率）为60次/分钟，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为124 C．该运动员第9分钟时恢复到静息心率 D．该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟 【答案】ABD 【分析】对于A，根据分段函数定义可得当时，，，结合函数单调性即可判断；对于B，对每段函数分别求最大值即可判断；对于C，将代入函数计算函数值即可判断；对于D根据“运动后活跃期”定义求得满足的值即可判断. 【详解】对于A，当时，，则，其中，为正整数， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意， 因为单调递减，且为正整数，所以，故A正确； 对于B，当且时，， 所以当时，取得最大值：， 当且时，，， 因为在上单调递减，所以， 所以当时，取得最大值：， 综上，的最大值为124，故B正确； 对于C，当时，， 所以该运动员第9分钟时没有恢复到静息心率，故C错误； 对于D，当且时，， 当时，取得最小值，，所以此阶段该运动员身体一直处于“运动后活跃期”， 当且时，， ，即， 所以，即，解得，所以有，， 综上，当且时，， 因此该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟，故D正确. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.11 函数模型及其应用 6大考点汇总 考点01 利用二次函数模型解决实际问题 考点02 分段函数模型的应用 考点03 分式型函数模型的应用 考点04 对数函数模型的应用 考点05 幂函数模型的应用 考点06 函数模型的应用实例 题型专练 考点01 利用二次函数模型解决实际问题 1．某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 2．经市场调查，某商品每吨的价格为百元时，该商品的月供给量为万吨，；月需求量为万吨，.当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量.该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积. (1)已知，若某月该商品的价格为，求商品在该月的销售额（以百元作为单位）； (2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格.若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数的取值范围. 3．某企业生产某种大型工业设备，全年需投入固定成本万元，每生产台该产品，需另投入成本万元；当年产量不足台时，，当年产量不小于台时，．已知每台设备售价万元，且生产的设备能全部销售完． (1)求出年产量分别为台和台时的年利润； (2)求出年利润（万元）关于年产量（台）的函数解析式； (3)当年产量为多少台时，该厂所获年利润最大，最大利润是多少万元？ 4．某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） (2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 5．国内某知名玩偶公司出售一款2025年特别款纪念玩偶产品．某连锁特大商场购买此产品，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，每件产品的最高售价为80元．若按最高售价销售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件．若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费，若购进30万件以上，则直接与玩偶公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为 (1)当购进产品数量为10万件、25万件、40万件时，利润分别是多少？ (2)该连锁特大商场购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 6．某公司为了提高生产效率，决定投入72万元购进一套生产设备．预计使用该设备后，每年因该设备额外产生收益50万元，该设备前年的维修、保养等费用共万元．设使用年后该设备的盈利额为万元（设备的盈利额＝因设备额外产生的收益－设备的购进成本-设备维修保养费），其中． (1)写出关于的函数关系式，并求出从第几年开始，该设备开始盈利． (2)使用若干年后，对该套设备的处理方案有以下两种： 方案①：当年平均盈利额达到最大值时，以52万元价格处理该设备； 方案②：当盈利额达到最大值时，以20万元价格处理该设备． 请你研究哪种方案处理较为合理，并说明理由． 考点02 分段函数模型的应用 7．一校办服装厂花费2万元购买某品牌运动装的生产与销售权.根据以往经验，每生产1百套这种品牌运动装的成本为1万元，每生产（百套）的销售额（万元）满足： (1)求出该服装厂生产1000套此种品牌运动装可获得利润多少万元？ (2)该服装厂生产多少套此种品牌运动装利润最大？最大利润是多少万元？ 8．2025年某家具厂准备生产一种大办公桌，经市场分析，全月需投入固定成本3万元，每生产（张）（，）办公桌需另投入成本（元），且.由市场调研知，每张办公桌售价元，且每月生产的办公桌当月能全部销售完. (1)求出每月销售这种办公桌的利润（元）关于月产量（张）的函数关系式（利润销售额成本）； (2)当这种办公桌月产量为多少张时，家具厂因此所获利润最大？ 9．为激发当地市场活力，政府决定为某小微企业提供（万元）的专项补贴.该企业在收到政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时该企业生产（万件）产品需要投入成本（万元）关于政府补贴（万元）满足函数：现以每件元的价格将其生产的产品全部售出.（注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本） (1)求该企业收到补贴后生产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的函数关系式； (2)当政府的专项补贴为多少万元时，该企业所获收益最大？ 10．（多选）漳州市龙海区港尾镇和浮宫镇盛产杨梅，杨梅果味酸甜适中，有开胃健脾、生津止渴、消暑除烦，抑菌止泻，降血脂血压等功效．杨梅的保鲜时间很短，当地技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后的时间t（单位：小时）与失去的新鲜度y满足函数关系，其中m，a为常数．已知采用该种保鲜方法后，杨梅采摘10小时之后失去的新鲜度，采摘40小时之后失去的新鲜度．如今我国物流行业蓬勃发展，为了保证港尾镇的杨梅运输到北方某城市销售时的新鲜度不低于，则物流时间（从杨梅采摘的时刻算起）可以是（参考数据：）（   ） A．20小时 B．25小时 C．28小时 D．35小时 11．某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）合计元．已知这种水果的市场售价大约为21元/千克，且销售畅通，供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． (1)写出单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式． (2)若施用肥料千克，当取何值时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 12．已知函数. (1)若的最大值为4，求实数a的值； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围. 13．习近平总书记在相关重要会议中强调了“加快建设科技强国，推动人工智能等前沿技术创新”的发展方向.某企业为响应这一战略，计划在2026年布局人工智能大模型应用开发，生产智能终端配套的算法服务包.通过市场分析，全年需投入固定成本260万元（含研发､服务器部署等），每生产千个算法服务包，需另投入成本万元，且已知每个算法服务包的售价为0.6万元，假设年内生产的服务包当年能全部销售完. (1)试写出2026年利润（万元）关于年产量（千个）的函数解析式； (2)当2026年产量为多少千个时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 考点03 分式型函数模型的应用 14．现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______. 15．某地为了改善中小型企业经营困难的情况，特推进中小型企业加快产业升级，着力从政府专项基金补贴扶持，产量升级和政府指导价三个方向助力中小型企业．某企业A在产业升级前后的数据如下表： A企业 产量万件 投入成本万元 销售单价元/件 产业升级前 2 45 30 完成产业升级后， 获补贴x万元， 产量 为升级后产量 若该企业在政府指导价下出售产品，能将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本． (1)当该企业没有政府补贴时，收益是多少万元？ (2)企业向政府申请多少专项基金补贴时，所获收益最大，最大收益是多少万元？ 16．某科技企业为增加产能，第1年年初投入560万元购买了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，该台设备可使该企业每年的销售收入为360万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元. (1)写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； (2)若第3年年初企业再投入560万元购买了一台该设备，该设备使用第年与第1台设备使用第年的材料费、维修费、人工工资等一样，且该台设备同样可使该企业每年的销售收入为360万元，若，求这两台设备的年平均盈利额最大时的值. 17．人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为I的声音对应的等级为LdB，则有．已知某品牌笔记本电脑工作时产生的噪音强度的等级约为52dB，如果通过改善相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪音强度的等级约为（    ） （参考数据：） A．49dB B．46dB C．26dB D．13dB 18．在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数与训练数据量（单位：）的关系式为，其中为常数.当训练数据量为时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍数达到135时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 19．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2023年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（参考数据：，，）（   ） A．2023年 B．2024年 C．2025年 D．2027年 考点04 对数函数模型的应用 20．在深度学习模型训练中，模型的训练损失值会随训练轮次增加而逐渐下降．当损失值低于初始损失值的时就要对模型进行调整，假设某深度学习模型的训练损失值（为初始损失值，t为训练轮次，k为衰减系数），已知训练到第10轮时（当时），训练损失值降至初始损失值的，则训练到第几轮就要对模型调整（参考数据）（   ） A．24 B．35 C．47 D．100 21．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.假设甲鲑鱼和乙鲑鱼都做匀速直线运动，乙在甲正前方18m处，9s后甲正好追上乙，则甲鲑鱼与乙鲑鱼耗氧量的单位数的比值为（   ） A．3 B．9 C．27 D．81 22．近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月，中国航天硕果累累，令国人倍感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（单位：），是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：），是火箭起飞时的总质量（单位：kg），是火箭自身的质量（单位：kg）.小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为，火箭自身的质量为，燃料的质量为，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，至燃料燃尽时，该试验火箭的理想速度大约为（，）（    ） A． B． C． D． 23．某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发.在对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润（单位：万元），乙产品的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）之间的关系如下表所示. 万元) 4 9 16 25 万元) 28 33 40 49 万元) 30 42 54 66 (1)根据以上表格中的数据判断：①；②；③；④，上述四个模型哪两个更适宜分别作为与关于的函数模型？（不需要说明理由） (2)根据表格数据求出所选两个模型的函数解析式； (3)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大？ 24．某科技公司设立了两个研发实验室，分别探索不同技术路线来提升人工智能芯片的性能．两个实验室的研发起点相同（月时，芯片基础性能得分均为0），记录了研发时间t（月）与芯片性能得分P（得分越高，性能越好）的关系如下： 实验室A（技术路线甲）：早期数据增长迅猛，如下表所示： t（月） 1 2 3 4 P（得分） 3 12 27 48 实验室B（技术路线乙）：增长平稳，符合对数函数特点，已知其性能增长模型为，，且当时，；当时，． (1)根据实验室A的数据，判断性能得分P与时间t更符合哪一种函数模型：指数函数还是幂函数?说明理由，并写出函数解析式； (2)根据实验室B的数据，求出常数a，b的值，并写出P关于t的函数解析式； (3)若两个实验室均研发至第6个月． （i）用实验室A的模型预测性能得分； （ⅱ）用实验室B的模型预测性能得分； （ⅲ）从从技术发展的长期可持续性角度，哪一种技术路线能获得更高的性能得分？请结合函数增长特性说明理由．（，） 考点05 幂函数模型的应用 25．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 26．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比．若气体在半径为的管道中，流量为，气体在半径为的管道中，流量大于且小于，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 27．党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）. (1)分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 28．某体育用品商店开展促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润（单位：万元）随销售收入（单位：万元）的变化情况如下表所示： (万元) 2 3 5 (万元) (1)根据表中数据，分别用模型（且）与建立关于的函数解析式； (2)已知当时，，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由.（参考数据：） 29．风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（ ）（注：，） A．9级 B．11级 C．13级 D．15级 30．部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，则（    ） A．随着时间的增加，臭氧含量在增加 B．当从1变化到2时，臭氧含量减少 C．当从0变化到2时，臭氧含量的平均变化率为 D．当时，臭氧含量的瞬时变化率为 考点06 函数模型的应用实例 31．医学规定：服用某药物后，100mL血液中药物浓度不超过14mg时，可正常驾驶机动车.某患者服药后，血液中药物浓度瞬间升至2.1mg/mL；停止服药后，血液中药物含量每小时以剩余量的30%匀速衰减.则该患者至少经过多少小时后可正常驾驶.（   ） 参考数据：，， A．7 B．8 C．9 D．10 32．2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温 95 88 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求模型，求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．（参考数据：，） 33．中华人民共和国道路交通安全法判定酒驾的标准为：驾驶员血液中酒精含量大于或等于，但小于；判定醉驾的标准为：驾驶员血液中酒精含量大于或等于.某驾驶员饮酒后血液中酒精含量为，若停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时的速度减少，则该驾驶员至少需经过（    ）小时才能合法驾驶（酒精含量需小于）.参考数据：. A．10 B．11 C．12 D．13 34．（多选）一款运动APP测得某运动员百米赛跑后半小时内心率y（单位：次/分钟）与停止运动后的时间t（单位：分钟）之间的关系满足，其中为正整数，表示不超过的最大整数.当时，心率为120次/分钟，当心率不低于90次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”.该运动员的静息心率（休息时的心率）为60次/分钟，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为124 C．该运动员第9分钟时恢复到静息心率 D．该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $