5.5 极化恒等式、等和线与向量其他问题专题训练【6大考点】-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦向量核心工具与综合应用，以极化恒等式、等和线为突破点，构建从基础运算到几何应用的递进式训练体系，培养数学眼光与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |极化恒等式的应用|6题|正方形、矩形、圆中数量积最值|从工具应用到几何情境| |等和线的应用|6题|三角形、扇形中线性表示系数范围|工具拓展至复杂图形| |线段的定比分点|4题|坐标计算与比例关系|线性运算基础| |用向量解决夹角问题|6题|中线、交点的夹角计算|数量积的几何意义| |由向量线性运算解决几何问题|6题|四边形、梯形中的几何证明|线性运算的几何转化| |由向量线性运算解决最值和范围问题|6题|向量模、系数的最值|综合应用提升|

5.5 极化恒等式、等和线与向量其他问题 6大考点汇总 考点01 极化恒等式的应用 考点02 等和线的应用 考点03 线段的定比分点 考点04 用向量解决夹角问题 考点05 由向量线性运算解决几何问题 考点06 由向量线性运算解决最值和范围问题 题型专练 考点01 极化恒等式的应用 1．（25-26高三上·安徽芜湖·期中）在边长为的正方形中，，分别为边，上的点，且满足，是正方形边上的任意一点，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】根据数量积的运算可得，再由正方形的性质可得最大值. 【详解】连接，取的中点，连接，由题意知，所以， 则． 易知当点与点重合时，取得最大值，且， 故由正方形的性质知， 所以的最大值为． 2．（25-26高三下·江西·阶段检测）如图，在矩形ABCD，中，E，F分别是BC和CD的中点，若P是矩形ABCD内一点（含边界），满足且，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】取，利用平面向量三点共线的性质得到三点共线，从而得到点在直线上，且，且位于矩形内部（含端点），则利用向量的基本定理和数量积得到，又长是定值，求的最小值就是求的最小值，而的最小值为当时最小且最小值为，从而得到的最小值. 【详解】，，， 取,则, 则三点共线，即点在直线上且位于矩形内部（含端点）， 取的中点，连接，则， 因为， ,所以， 因为，所以，所以， 因为，所以， 设的中点为, 则 ， 因为，分别为的中点， 所以，， 求的最小值转化为求的最小值， 又为的中点，则为定点， 因为点在直线上且位于矩形内部（含端点）， 所以当时，最小，且最小值为, 所以的最小值为. 3．（25-26高三上·江苏扬州·期中）在边长为1的正方形中，，为线段上的动点，且，则的最小值为_____；若是正方形的内切圆的一条弦，当弦的长度最大时，则的最大值为_____. 【答案】 16 /0.25 【分析】根据平面向量共线的性质以及基本不等式即可求得的最小值；结合平面向量的线性运算和数量积化简，求的范围可得的范围. 【详解】根据题意由为线段上的动点，可知，，三点共线， 又，可得， 因此，且，， 所以 ； 当且仅当时，等号成立，即的最小值为16； 取内切圆的圆心为，连接，如图所示： 易知弦的长度最大时，为直径，此时； 又 ； 显然当最大时，即在点处时，此时，取得最大值， 即. 4．（25-26高三上·上海·期中）如图，已知等边三角形的边长为4，以顶点为圆心，4为半径作圆弧，设是弧上的动点（包括端点）. (1)求阴影部分的面积； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过扇形面积减去等边三角形面积，直接计算阴影部分的面积； （2）法一，建立平面直角坐标系，用参数表示点的坐标，将向量数量积转化为三角函数，利用三角函数的单调性求取值范围；法二，利用向量中点公式和极化恒等式，将数量积转化为点到定点距离的平方形式，通过几何对称性求距离最值，进而得到取值范围. 【详解】（1）设阴影部分面积为，则. （2）法一：以为坐标原点，为轴，过与垂直的直线为轴，建立直角坐标系. 设，则， 则， 所以， ， 因为，所以， 所以的取值范围为. 法二：取中点，再取中点，则， 则， 由对称性可知，当点位于弧中点时， 当点与点或重合时， 所以的取值范围为. 5．（25-26高三上·宁夏·期中）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇拜的图腾．如图，是圆的一条直径，且．，是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据数量积的运算律得到，根据点在线段上，即可求出的取值范围，即可得解 【详解】如图，连接, 则 因为点在线段上且，则圆心 到直线的距离， 所以，所以， 所以的取值范围是． 6．（25-26高三上·上海·期中）已知直角三角形，，斜边，是它的内切圆的一条弦，点为三角形三边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是________. 【答案】 【分析】先求出内切圆的半径，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据条件，将问题转化成，再求出的最大值和最小值，即可求解. 【详解】由题知，设内切圆的半径为， 则，得到，解得， 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系， 则内切圆的圆心为，又是它的内切圆的一条弦，当弦的长度最大时，是内切圆的直径， 则， 又，圆与三角形各边均相切， 所以，又，且点为三角形三边上的动点， 所以，则，所以的取值范围是. 考点02 等和线的应用 7．（2026·吉林白山·模拟预测）如图，是边长为2的等边三角形，以为直径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，若，则的最大值为______________. 【答案】 【分析】建立坐标系，写出各点坐标，利用三角函数参数表示点，推导出的表达式，再利用三角函数的性质求最大值. 【详解】取中点（圆心）为原点，在轴上，由△ABC是边长为2的等边三角形，三线合一得，， 因此各点坐标为：，，，， 设（为与轴夹角），由在上半圆，得。 ，，， 由，对应坐标相等得：， 则， 因为，的最大值为， 所以. 8．（25-26高三上·辽宁大连·期末）在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，然后列出的坐标，进而根据已知条件列出方程组，从而求得结果. 【详解】以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 设，则. 则，因为， 所以，设， 则. 所以，所以. 因为，所以，即的取值范围是. 故答案为：.    9．（25-26高三上·全国·专题训练）如图，正与正组成“六芒星”，为“六芒星”的中心，为“六芒星”上一点（边界上），且，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】作出辅助线，得到，结合图形确定取最值的点的位置，根据平行关系求出，从而求出结果. 【详解】连结，并记它们的交点为，记的中点为，如图． 由等和线知当点在直线上时，有． 作一系列与平行的直线与“六芒星”相交，记任意与平行的直线与线段相交于点，则的绝对值为与长度的比值，从而当点与点重合时，分别取到最大值与最小值．下面计算的值． 一方面，，所以； 另一方面，，所以． 从而得到． 故答案为：. 10．（25-26高三上·全国·专题训练）如图，已知一个扇形，半径，，点在圆弧上运动，若，求的最大值．    【答案】2 【分析】利用三点共线的判定条件和同向向量转化公式可得，把的最大值转化为的最小值即可． 【详解】设与相交于点，可得． 因为三点共线，所以． 因为的最小值为点到直线的距离，因为半径，, 所以,此时， 所以的最大值为2． 11．（25-26高三上·山东济南·阶段检测）如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可得当P在线段BC上运动时，B、P、C三点共线，此时有最小值，分别延迟AB、AC至，使，连接，根据三角形相似，分析可得当P位于D点时，有最大值，即可得答案. 【详解】当点P在线段BC上运动时，此时B、P、C三点共线， 因为，所以，此时为的最小值； 分别延迟AB、AC至，使，连接，如图所示， 因为， 所以与相似，且相比为， 因为与的面积之比为2，且， 所以与的高之比为， 即与高之比为， 所以三点共线， 当P位于D点时，， 此时，即，此时为的最大值， 所以当点在内（含边界）运动时，的取值范围为 故选：A 12．（25-26高三上·江西宜春·期末）已知等边三角形△ABC的边长为2，点P为△ABC内切圆上一动点，若，则3x＋3y的最小值为（   ） A．2 B．1 C． D．－1 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，利用圆的方程，向量的坐标运算及三角函数的最值求解. 【详解】如图， 以△ABC内切圆的圆心为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立如图所示平面直角坐标系， 则， 所以三角形内切圆的方程为， 可设， 则， 由，可得， 可得 则， 所以3x＋3y的最小值为1. 故选：B 考点03 线段的定比分点 13．（25-26高三上·新疆喀什·阶段检测）设，则线段 的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意和中点坐标公式直接得出结果. 【详解】因为， 所以线段AB的中点坐标为. 故选：A. 14．（25-26高三上·全国·专题训练）已知点和．直线与线段的交点M分有向线段的比为，则m的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】首先设点的坐标，再根据条件列出，利用向量的坐标相等，即可求解点的坐标，代入直线方程求. 【详解】设，且， 则，得，解得：, 代入直线，，得. 故选：D 15．（25-26高三上·贵州·阶段检测）已知，，点分所成的比为，则与的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量数乘的坐标运算求解即可. 【详解】∵，，， ∴，， ∵分所成的比为，∴，即， ∴有，解得. 故选：D. 16．（25-26高三上·山东枣庄·阶段检测）（多选）已知，，点P在直线AB上，且，求点P的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由向量的坐标表示分类讨论后计算即可. 【详解】设，因为，，且点P在直线AB上，故由可得以下两种情况： ，此时有，解得； 或，此时有，解得； 故选：AB 考点04 用向量解决夹角问题 17．（25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）已知直角三角形的斜边，点是边上的两个三等分点，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设点的坐标，进一步表示出点、的坐标，计算和，利用数量积公式，将问题转化为求三角函数在给定区间上的值域. 【详解】如图所示，    以直角三角形的边所在直线为轴，中点为坐标原点， 建立平面直角坐标系，得、、、， 则动点是在以原点为圆心，半径为的圆上（不含点、）. 设. ，. ， ， ， . . 因为，所以， 得，， 所以，的取值范围为. 【点睛】方法归纳：1.数形结合思想：在遇到直角三角形斜边相关问题时，优先考虑“直径所对圆周角为直角”，将点的轨迹转化为圆，便于建系，利用坐标简化运算. 2.向量法求角：涉及三角形内角的余弦值，优先考虑用向量的数量积公式，避免复杂的几何辅助线. 易错归纳：1.忽略点的限制条件：点与、不能重合，不然就无法构成三角形，因此设参数方程时，变量的范围是开区间，容易误写成闭区间. 2.值域方向错误：在求的范围时，未注意分母的单调性，导致最终结果写错. 18．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，已知，，，边上的中线为，为边上靠近的四等分点，连接交于点．则 的余弦值为________． 【答案】 【分析】建立直角坐标系，根据向量夹角的余弦值求解即可. 【详解】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系. 则，，是中点，故； 由，，得； 是上靠近的四等分点， 由定比分点公式得 . 为向量与的夹角，所以. 因为，， 所以， ，. 进而． 19．（25-26高二上·浙江衢州·期中）在中，角的对边分别为．已知 (1)求角的正弦值； (2)若、边上的两条中线、相交于点，求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，结合余弦定理，求得，根据同角三角函数的平方关系求得； （2）利用向量表示中线，根据向量的数量积求向量夹角的余弦值，从而得到的余弦值． 【详解】（1），由正弦定理，得. . 又由. 因为，所以. 即角的正弦值为. （2）. . . 所以. 由图可知的夹角等于的夹角，即. 所以的余弦值为. 20．（25-26高三上·江苏连云港·阶段检测）已知坐标平面内，，，O为坐标原点，是线段上的一个动点（P可以和O、M重合）当取最大值时，则的值为__________． 【答案】 【分析】由点在线段上，设，再计算出的坐标，由数量积的坐标运算求出的最大值时的的值，即可求出的坐标，再根据向量的夹角公式可求出的值 【详解】点在线段上，设， 则， ， 当时，取得最大值为， 此时， . 故答案为： 21．（25-26高三上·广东汕头·期末）如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法1以A为原点，建立平面直角坐标系，求坐标，利用夹角公式即可求解； 法2以为基底，利用平面向量基本定理将向量用表示，利用数量积的夹角公式即可求解. 【详解】法1：以A为原点，建立平面直角坐标系如图：    依题意可知：，，， 则：， ∴ ，， ∴． 故选：D. 法2：∵M，N分别是BC，AC的中点， ∴，． ∵与的夹角等于∠MPN，∴． ∵ ， ， ， ∴． 故选：D. 22．（25-26高三上·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值． 【详解】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 故选：D． 考点05 由向量线性运算解决几何问题 23．（25-26高三上·陕西渭南·期末）根据勾股定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形（其中，）按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则______. 【答案】/ 【分析】依题意，建立平面直角坐标系，设，求得的坐标，再由列式求解即可. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系： 设，则， 则，， 所以，即， 所以， 因为， 所以，则， 所以， 则， 故答案为：. 24．（2026·江苏南京·二模）在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立坐标系，表示出的坐标，根据是线段上的动点用参数表示点的函数，从而题目可转换为关于的二次函数在闭区间上的最小值问题. 【详解】由题以点为坐标原点，为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 因为，E是线段中点， 所以， 而是线段上的动点， 从而可设， 所以点的坐标是， 所以， ， 所以当时，的最小值是. 故选：C. 25．（25-26高三上·江苏无锡·期中）如图，已知是直角边长为2的等腰所在平面内一点，是的中点，是的中点.    (1)当时，求的值； (2)当时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为坐标原点，建立平面直角坐标系，求出，由数量积的坐标表示即可得出答案; （2）由向量的线性运算求出，由点的轨迹求出的最大值和最小值即可得出答案. 【详解】（1）由题意，以为坐标原点，建立平面直角坐标系， 所以， 由，可得，所以， 所以.    （2） ， 当时，点的轨迹表示以为圆心，为半径的圆， 所以， ， 所以的取值范围为：. 26．（25-26高三上·全国·专题训练）已知边长为2的正方形ABCD，点P在正方形内（含边界），满足，现有下列结论： ①当点P在线段BD上时，； ②的取值范围为； ③当点P在线段BD上时，的最小值为； 则正确结论的是____________.（填序号） 【答案】①③ 【分析】①，设，变形得到，从而，所以；②，建立平面直角坐标系，设，得到，根据求出；③，在①基础上，得到，，从而得到，求出最小值为. 【详解】对于①，当点P在线段BD上时，P，B，D三点共线， 设，故，即， 则，所以，故①正确； 对于②，如图，建立平面直角坐标系， ，，，， 设，，因为， 所以，所以 所以，所以， 又因为a，，所以，所以，故②错误； 对于③，由①知，，， 则， 当时，取得最小值，故③正确. 故答案为：①③. 27．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）已知平面四边形，，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】构建以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，应用坐标表示，结合平面向量基本定理求，，得到两个关系式，即可求值； 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 因为， ， 化简，即 化简得，即 所以，即, 故选：B. 28．（25-26高三上·河南郑州·期中）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，由，利用向量相等求解. 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系： 则， 所以， 因为， 所以， 则，解得， 所以， 故选：B 考点06 由向量线性运算解决最值和范围问题 29．（25-26高三下·天津·阶段检测）已知，，是非零向量，，与的夹角为，的最小值为________.若，设为任意实数，的最小值为________． 【答案】 2； ./0.5 【分析】利用数量积公式以及，可得到的表达式，结合二次函数性质可得最小值；利用整理化简可得，由此得到向量终点的轨迹，从而可求的最小值. 【详解】由已知 ，且与的夹角为，得，又，故， 代入 ，得 ，所以 ，最小值为； 设，则，取中点，记，所以，， ，， 所以 ，所以， 即. 则点在以点为圆心，半径的圆上，的终点在与成的直线上，记， 因此的最小值为的最小值，过点作，与圆交于点,如图所示，此时最小， 最小值为． 30．（25-26高三上·重庆·期中）（多选）已知向量，满足：，则（   ） A． B．与夹角的余弦值为 C．在上的投影向量坐标为 D．（）的最小值为1 【答案】AD 【详解】选项A：由，知， 平方可得 ，则成立； 选项B：，故不成立； 选项C：在上的投影向量为，故不成立； 选项D： 所以当时，取得最小值，正确. 31．（25-26高三上·全国·专题训练）（多选）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．若P在线段BC上，且，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】易得及的大小关系，即可判断A；易得当取得最小值时，点在上时，进而可判断B；根据数量积的几何意义可得当点在边上时，取得最大值，即可判断C；设，再根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理即可判断D. 【详解】对于A，由正八边形的结构特征可知：， 则，所以， 所以，故A正确； 对于B，由正八边形的结构特征可知，当点在边上时（不包含两点）， 的夹角为锐角，此时； 当点在上时，设，则， 则， 当时，取得最小值， 综上所述，的最小值为，故B正确； 对于C，由题意可知，当点在边上时，在方向上的投影最大， 最大值为， 根据数量积的几何意义可得的最大值为，故C错误； 对于D，设，则，因， 所以 ， 所以， 于是，故D正确. 32．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）（1）平面内一组不共线的向量，，对任意点，有.求证：三点共线的充要条件是； （2）如图，在平行四边形中，，，.动点在以点为圆心且与相切的圆上.若，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）根据共线向量基本定理结合充要条件的概念证明即可. （2）将求转化为点积，利用圆的半径为定值，将动点问题转化为三角函数范围问题即可得解. 【详解】（1）必要性证明， 因为三点共线，设， 则有，整理得， 又，所以，因此，故必要性得证； 充分性证明， 因为，，即， 所以，即， 所以，又与有公共点， 所以三点共线，故充分性得证. 综上，三点共线的充要条件是. （2）根据题意，四边形是平行四边形，，，， 所以在中，有， 所以，所以是直角三角形，则， 即，故圆与相切于点，所以为圆的半径，且. 又，所以， 则， 又，所以， 又，所以， 而点在圆上运动，所以，则，所以， 综上，的取值范围为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.5 极化恒等式、等和线与向量其他问题 6大考点汇总 考点01 极化恒等式的应用 考点02 等和线的应用 考点03 线段的定比分点 考点04 用向量解决夹角问题 考点05 由向量线性运算解决几何问题 考点06 由向量线性运算解决最值和范围问题 题型专练 考点01 极化恒等式的应用 1．（25-26高三上·安徽芜湖·期中）在边长为的正方形中，，分别为边，上的点，且满足，是正方形边上的任意一点，则的最大值为__________． 2．（25-26高三下·江西·阶段检测）如图，在矩形ABCD，中，E，F分别是BC和CD的中点，若P是矩形ABCD内一点（含边界），满足且，则的最小值为_________． 3．（25-26高三上·江苏扬州·期中）在边长为1的正方形中，，为线段上的动点，且，则的最小值为_____；若是正方形的内切圆的一条弦，当弦的长度最大时，则的最大值为_____. 4．（25-26高三上·上海·期中）如图，已知等边三角形的边长为4，以顶点为圆心，4为半径作圆弧，设是弧上的动点（包括端点）. (1)求阴影部分的面积； (2)求的取值范围. 5．（25-26高三上·宁夏·期中）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇拜的图腾．如图，是圆的一条直径，且．，是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·上海·期中）已知直角三角形，，斜边，是它的内切圆的一条弦，点为三角形三边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是________. 考点02 等和线的应用 7．（2026·吉林白山·模拟预测）如图，是边长为2的等边三角形，以为直径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，若，则的最大值为______________. 8．（25-26高三上·辽宁大连·期末）在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是_____. 9．（25-26高三上·全国·专题训练）如图，正与正组成“六芒星”，为“六芒星”的中心，为“六芒星”上一点（边界上），且，则的取值范围是______． 10．（25-26高三上·全国·专题训练）如图，已知一个扇形，半径，，点在圆弧上运动，若，求的最大值．    11．（25-26高三上·山东济南·阶段检测）如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·江西宜春·期末）已知等边三角形△ABC的边长为2，点P为△ABC内切圆上一动点，若，则3x＋3y的最小值为（   ） A．2 B．1 C． D．－1 考点03 线段的定比分点 13．（25-26高三上·新疆喀什·阶段检测）设，则线段 的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高三上·全国·专题训练）已知点和．直线与线段的交点M分有向线段的比为，则m的值为（    ） A． B． C． D．4 15．（25-26高三上·贵州·阶段检测）已知，，点分所成的比为，则与的值分别为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高三上·山东枣庄·阶段检测）（多选）已知，，点P在直线AB上，且，求点P的坐标（    ） A． B． C． D． 考点04 用向量解决夹角问题 17．（25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）已知直角三角形的斜边，点是边上的两个三等分点，则的取值范围是______. 18．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，已知，，，边上的中线为，为边上靠近的四等分点，连接交于点．则 的余弦值为________． 19．（25-26高二上·浙江衢州·期中）在中，角的对边分别为．已知 (1)求角的正弦值； (2)若、边上的两条中线、相交于点，求的余弦值． 20．（25-26高三上·江苏连云港·阶段检测）已知坐标平面内，，，O为坐标原点，是线段上的一个动点（P可以和O、M重合）当取最大值时，则的值为__________． 21．（25-26高三上·广东汕头·期末）如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 22．（25-26高三上·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 考点05 由向量线性运算解决几何问题 23．（25-26高三上·陕西渭南·期末）根据勾股定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形（其中，）按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则______. 24．（2026·江苏南京·二模）在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 25．（25-26高三上·江苏无锡·期中）如图，已知是直角边长为2的等腰所在平面内一点，是的中点，是的中点.    (1)当时，求的值； (2)当时，求的取值范围. 26．（25-26高三上·全国·专题训练）已知边长为2的正方形ABCD，点P在正方形内（含边界），满足，现有下列结论： ①当点P在线段BD上时，； ②的取值范围为； ③当点P在线段BD上时，的最小值为； 则正确结论的是____________.（填序号） 27．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）已知平面四边形，，若，则（    ） A． B．1 C． D． 28．（25-26高三上·河南郑州·期中）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 考点06 由向量线性运算解决最值和范围问题 29．（25-26高三下·天津·阶段检测）已知，，是非零向量，，与的夹角为，的最小值为________.若，设为任意实数，的最小值为________． 30．（25-26高三上·重庆·期中）（多选）已知向量，满足：，则（   ） A． B．与夹角的余弦值为 C．在上的投影向量坐标为 D．（）的最小值为1 31．（25-26高三上·全国·专题训练）（多选）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．若P在线段BC上，且，则的取值范围为 32．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）（1）平面内一组不共线的向量，，对任意点，有.求证：三点共线的充要条件是； （2）如图，在平行四边形中，，，.动点在以点为圆心且与相切的圆上.若，求的取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $