5.2 平面向量基本定理及坐标表示专题训练【6大考点】-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量基本定理及坐标表示，以“概念-定理-坐标-应用”为逻辑链条，覆盖6大核心考点，通过分层题型训练构建完整知识网络，培养抽象能力与运算推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基底的概念及辨析|4题|判断向量是否共线构成基底|概念基础，为定理应用铺垫| |平面向量基本定理的应用|6题|结合几何图形用基底表示向量|核心定理，体现几何直观与抽象能力| |线性运算的坐标表示|4题|坐标计算及参数求解|工具转化，实现向量运算代数化| |由线性运算结果求参数|6题|含共线、垂直等条件的参数问题|运算能力与推理意识的综合应用| |由向量共线求参数|4题|向量平行的坐标条件应用|共线性质的坐标表达，强化逻辑推理| |由坐标解决三点共线问题|4题|用坐标判断或求共线参数|坐标表示的实际应用，发展应用意识|

5.2 平面向量基本定理及坐标表示 6大考点汇总 考点01 基底的概念及辨析 考点02 平面向量基本定理的应用 考点03 平面向量线性运算的坐标表示 考点04 由向量线性运算结果求参数 考点05 由向量共线(平行)求参数 考点06 由坐标解决三点共线问题 题型专练 考点01 基底的概念及辨析 1．（25-26高三上·新疆伊犁·期中）若，是平面内不共线的两向量，则下列向量中不能作为一组基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】因为向量，为平面内不共线的向量，所以向量，是平面内的一组基底， 对于A中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底； 对于B中，设，可得，解得， 所以向量和为共线向量，不能作为平面的一组基底； 对于C中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底； 对于D中，设，可得，此时方程组无解. 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底. 则选项B不能作为一组基底. 2．（25-26高三上·安徽马鞍山·期末）若，是同一平面内两个不共线向量，则下列各组向量不能作为该平面的基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用平面向量的基本定理和基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A选项，因为不存在，使得，所以该组向量可以作为该平面的基底，故A错误； 对于B选项，不存在，使得，所以该组向量可以作为该平面的基底，故B错误； 对于C选项， 不存在，使得，所以该组向量可以作为该平面的基底，故C错误； 对于D选项，因为，所以该组向量不可以作为该平面的基底，故D正确. 3．（25-26高三上·浙江嘉兴·期末）已知向量和向量不共线，那么以下几组向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】选项A：因为， 所以和共线，不可以作为基底，故选项A错误； 选项B：因为， 所以和共线，不可以作为基底，故选项B错误； 选项C：设，则，无实数解， 即和不共线，可以作为基底，故选项C正确； 选项D：因为， 所以和共线，不可以作为基底，故选项D错误. 4．（25-26高三上·江苏淮安·阶段检测）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】两个向量若不共线即可作为一组基底，所以找出不共线的向量组即可. 【详解】对于A，因为，，所以，则，共线，故A错误； 对于B，因为，，所以，则，共线，故B错误； 对于C，因为，，所以，则，共线，故C错误； 对于D，因为，，所以，则，不共线，故D正确. 考点02 平面向量基本定理的应用 5．（25-26高三上·全国·阶段检测）如图，在中，，点E是CD的中点.设，，用,表示，.    【答案】； 【详解】， . 6．（25-26高二下·广东揭阳·期末）在中，，，.若于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过余弦定理求出AC长度，再利用共线向量定理设出的线性表达式，结合的垂直条件列方程求解系数即可. 【详解】在中，由余弦定理， 代入已知，，，得： ， 整理为，解得（舍去负根）. 因为在边上，由共线向量基本定理，存在实数使得，且. 由，得，其中. 由，得，故. 将和代入点积条件展开： ，代入，，， 得，联立，解得，，即. 7．（25-26高三上·山东临沂·期末）在中，点，分别在边，上，且，，若与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查平面向量的线性运算及共线向量基本定理的应用，将向量利用条件分别用与来表示，利用系数相等求解即可. 【详解】因，所以， 可设； 设，则，则，解得， 所以. 8．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知点P是的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理逐项验证判断即得. 【详解】取的中点，根据中线性质可得， 因为是的重心，所以,将上式代入，得，故A,B错误； 又因,故C错误； ，故D正确. 9．（25-26高三上·广东广州·期末）在中，点在边上，，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由化为，再整理，由题中条件，即可得出结果. 【详解】因为在中，点在边上，且， 所以， 即，又，，所以. 10．（25-26高三上·宁夏银川·期末）如图，在中，，设，，用与表示，则________． 【答案】 【详解】因为， 又， 所以， 即. 考点03 平面向量线性运算的坐标表示 11．（2026高三·全国·专题练习）已知，，，，且，则点的坐标是________． 【答案】 【详解】由，，得， ，得，而，所以点的坐标是. 12．（25-26高三上·广西南宁·期末）已知点，则的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，所以， 所以， 又因为，所以点的坐标为. 13．（25-26高三上·四川绵阳·期末）在平面直角坐标系中，已知，设． (1)若，求实数的值； (2)若M为线段靠近点C的三等分点，求点M的坐标． 【答案】(1)，． (2)点的坐标为． 【分析】（1）先计算的坐标表达式，因为两个向量相等则对应坐标相等，所以可以得到关于m、n的二元一次方程组，求解该方程组即可得到m、n的值; （2）根据三等分点的线段比例关系，得到与的数量关系，再利用向量的加法，代入对应坐标计算得到点的坐标. 【详解】（1）由已知得 ，,． 由得， 则 ，解得 ． （2）为线段靠近的三等分点，有． 故， 即点的坐标为． 14．（25-26高三上·山东济宁·期末）在平面直角坐标系中，已知，，． (1)求； (2)若四边形是等腰梯形，且，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过计算向量坐标，根据向量夹角的坐标表示求解即可； （2）利用共线向量性质设出D点坐标参数形式，结合等腰梯形腰长相等列方程求解即可. 【详解】（1）， 则，，. 所以， 因为向量夹角范围为，所以. （2）设，，， 由得，与共线， 故存在，使得，则，， 所以，，即. 又等腰梯形腰长相等，即，又，，， 所以，整理得，解得或. 当时，，与平行且相等，四边形为平行四边形，舍去； 当时，，，符合等腰梯形条件. 故的坐标为. 考点04 由向量线性运算结果求参数 15．（25-26高三上·甘肃庆阳·期末）已知向量． (1)若与共线，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面共线向量的坐标表示建立关于的方程进行求解； （2）根据平面向量的线性运算的坐标表示建立关于的方程组进行求解. 【详解】（1）由题得， 因为与共线，， 所以，解得． （2），即， 则， 解得． 16．（25-26高三上·广东湛江·期末）已知向量，，，． (1)若A，B，C三点共线，求实数m的值； (2)若四边形为矩形，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三点共线即向量平行求参数. （2）利用向量平行和垂直的坐标运算求解. 【详解】（1）向量，，， 所以，，                                     由A，B，C三点共线知， 即， 解得． （2）由，， ，，                 若四边形为矩形，则， 即，解得．                 由，得， 解得，，                                 所以． 17．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在四边形中，，，，且，则___________． 【答案】 【分析】建系标出点的坐标，根据向量的坐标运算可得，，结合模长关系运算求解即可. 【详解】因为，则， 以为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，可得， 则， 可得， ， 又因为，且， 则，整理得， 即，所以． 18．（25-26高三上·广东中山·阶段检测）已知向量. (1)求向量； (2)已知实数满足，求的值； (3)若与反向共线，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可得； （2）由题意可得， 若，则，解得； （3）由题意可得，， 若与共线，则，解得， 当时，，， 此时与方向相同，不符合题意，舍去； 当时，，， 此时与方向相反，符合题意，； 综上：实数. 19．（25-26高三上·福建福州·期中）已知四边形的顶点坐标为、、，且. (1)若点在第一象限，求实数的取值范围； (2)若点为直线外一点，为四边形对角线的交点，，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点的坐标为，，，由，可得出，结合，可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （2）化简得到，根据得到，再结合三角形相似可得到答案. 【详解】（1）因为、，所以. 设点的坐标为，，，则. 由，得，解得， 因为点在第一象限，所以，，则，解得. 故实数的取值范围是. （2）由得， 即，所以. 因为，所以， 又点恰为四边形对角线的交点， 所以，则， 又，所以. 20．（25-26高三上·河南驻马店·期中）已知向量，，. (1)求向量； (2)证明：向量与共线； (3)已知实数、满足，求、的值. 【答案】(1) (2)证明如下： ∵向量，， ∴， ∴向量与共线． (3)， 【分析】（1）利用平面向量加法的坐标表示可求得向量的坐标； （2）利用平面向量共线的坐标表示可证得结论成立； （3）利用平面向量线性运算的坐标表示可得出关于、的方程组，即可解出这两个未知数的值. 【详解】（1）由题意可得． （2）略 （3）因为，所以， 可得方程组，解得. 考点05 由向量共线(平行)求参数 21．（25-26高三上·北京顺义·期中）（多选）已知向量 ，则下列向量与 平行的是（     ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】先根据向量线性运算的坐标法则求出的坐标，再利用平面向量共线的充要条件逐一验证选项即可. 【详解】已知向量 ，则向量， 对于A，计算，因此向量与不平行，故A错误； 对于B，计算，因此向量与不平行，故B错误； 对于C，计算，因此向量与平行，故C正确； 对于D，计算，因此向量与平行，故D正确. 22．（25-26高二上·福建莆田·开学考试）已知向量，，若，则_________. 【答案】4 【分析】应用向量线性关系的坐标运算及平行的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】因为，， 所以，又， 所以，解得. 23．（25-26高三上·福建宁德·阶段检测）已知向量，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以， 因为，所以，解得. 24．（25-26高三上·湖南永州·阶段检测）已知，，三点的坐标分别为，，，且，． (1)求点，的坐标 (2)判断与是否共线． 【答案】(1)， (2)共线 【分析】（1）根据向量的坐标运算列方程组求出坐标； （2）根据向量的坐标表示判断向量的共线. 【详解】（1）依题意得，． 设， 由，可知， 即解得 点的坐标为 由，可知， 即解得 点的坐标为． （2）由（1）可知， 又， ， 故与共线． 考点06 由坐标解决三点共线问题 25．（25-26高三上·上海徐汇·期末）已知点，，，．若 ，， 三点共线，求 的值． 【答案】 【分析】设，根据题目条件得到方程组，求出答案 【详解】设，则， 其中， 因为，所以， 所以，故 因为三点共线，所以， 故，即， 故，解得. 26．（2026·上海·模拟预测）已知向量，，．若，，三点共线，则_________． 【答案】 【分析】求出，后，借助向量共线的坐标运算计算即可得. 【详解】由，，，则，， 由，，三点共线，则，解得. 27．（25-26高三上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，已知向量.（其中），为坐标平面内一点. (1)若三点共线，求的值； (2)若四边形为矩形，求点坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算求出、，利用，，三点共线列方程求出的值． （2）由平面向量的坐标运算和矩形的定义，列方程组求出、、的值即可得到的坐标． 【详解】（1）解：向量，，， 所以，， 由，，三点共线知，， 即，解得； 所以. （2）解：设， 由，， ，， 若四边形为矩形，则， 当时，，解得； 当时，得，解得， 将代入得， 所以点坐标为 28．（25-26高三上·天津·阶段检测）已知两点，，，，三点共线，且满足，则点的坐标为______. 【答案】或 【详解】令，且三点共线，，则， 所以， 则或， 所以或，故或. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2 平面向量基本定理及坐标表示 6大考点汇总 考点01 基底的概念及辨析 考点02 平面向量基本定理的应用 考点03 平面向量线性运算的坐标表示 考点04 由向量线性运算结果求参数 考点05 由向量共线(平行)求参数 考点06 由坐标解决三点共线问题 题型专练 考点01 基底的概念及辨析 1．（25-26高三上·新疆伊犁·期中）若，是平面内不共线的两向量，则下列向量中不能作为一组基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（25-26高三上·安徽马鞍山·期末）若，是同一平面内两个不共线向量，则下列各组向量不能作为该平面的基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（25-26高三上·浙江嘉兴·期末）已知向量和向量不共线，那么以下几组向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26高三上·江苏淮安·阶段检测）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 考点02 平面向量基本定理的应用 5．（25-26高三上·全国·阶段检测）如图，在中，，点E是CD的中点.设，，用,表示，.    6．（25-26高二下·广东揭阳·期末）在中，，，.若于，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·山东临沂·期末）在中，点，分别在边，上，且，，若与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知点P是的重心，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·广东广州·期末）在中，点在边上，，记，，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·宁夏银川·期末）如图，在中，，设，，用与表示，则________． 考点03 平面向量线性运算的坐标表示 11．（2026高三·全国·专题练习）已知，，，，且，则点的坐标是________． 12．（25-26高三上·广西南宁·期末）已知点，则的坐标为（     ） A． B． C． D． 13．（25-26高三上·四川绵阳·期末）在平面直角坐标系中，已知，设． (1)若，求实数的值； (2)若M为线段靠近点C的三等分点，求点M的坐标． 14．（25-26高三上·山东济宁·期末）在平面直角坐标系中，已知，，． (1)求； (2)若四边形是等腰梯形，且，求点D的坐标． 考点04 由向量线性运算结果求参数 15．（25-26高三上·甘肃庆阳·期末）已知向量． (1)若与共线，求； (2)若，求． 16．（25-26高三上·广东湛江·期末）已知向量，，，． (1)若A，B，C三点共线，求实数m的值； (2)若四边形为矩形，求的值． 17．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在四边形中，，，，且，则___________． 18．（25-26高三上·广东中山·阶段检测）已知向量. (1)求向量； (2)已知实数满足，求的值； (3)若与反向共线，求实数的值. 19．（25-26高三上·福建福州·期中）已知四边形的顶点坐标为、、，且. (1)若点在第一象限，求实数的取值范围； (2)若点为直线外一点，为四边形对角线的交点，，求实数的值. 20．（25-26高三上·河南驻马店·期中）已知向量，，. (1)求向量； (2)证明：向量与共线； (3)已知实数、满足，求、的值. 考点05 由向量共线(平行)求参数 21．（25-26高三上·北京顺义·期中）（多选）已知向量 ，则下列向量与 平行的是（     ） A． B． C． D． 22．（25-26高二上·福建莆田·开学考试）已知向量，，若，则_________. 23．（25-26高三上·福建宁德·阶段检测）已知向量，，若，则（     ） A． B． C． D． 24．（25-26高三上·湖南永州·阶段检测）已知，，三点的坐标分别为，，，且，． (1)求点，的坐标 (2)判断与是否共线． 考点06 由坐标解决三点共线问题 25．（25-26高三上·上海徐汇·期末）已知点，，，．若 ，， 三点共线，求 的值． 26．（2026·上海·模拟预测）已知向量，，．若，，三点共线，则_________． 27．（25-26高三上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，已知向量.（其中），为坐标平面内一点. (1)若三点共线，求的值； (2)若四边形为矩形，求点坐标. 28．（25-26高三上·天津·阶段检测）已知两点，，，，三点共线，且满足，则点的坐标为______. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $