5.6 复数专题训练【8大考点】-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 复数专项训练以8大考点为框架，构建从概念到应用的递进逻辑，题型涵盖选择、填空、解答及多选题，结合多地真题强化基础与应试能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数的四则运算|4题|选择、填空|运算基础| |复数的有关概念|6题|选择、填空、多选|概念辨析| |复数的分类|6题|选择、填空、多选|概念应用| |复数相等的问题|4题|选择、填空|性质应用| |共轭复数的问题|6题|选择、填空|性质深化| |复数的几何意义|4题|选择、解答|几何直观| |复数的模长|6题|选择、填空、解答|运算与几何结合| |复数的三角表示|4题|解答、多选|拓展应用|

5.6 复数 8大考点汇总 考点01 复数的四则运算 考点02 复数的有关概念 考点03 复数的分类 考点04 复数相等的问题 考点05 共轭复数的问题 考点06 复数的几何意义 考点07 复数的模长 考点08 复数的三角表示 题型专练 考点01 复数的四则运算 1．（25-26高二下·广东深圳·期末）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数运算以及共轭复数定义即可求解. 【详解】由题得，， 所以，故. 2．（25-26高三上·上海·期中）若复数满足（是虚数单位），则___________. 【答案】 【详解】因为复数满足，则，故. 3．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以的虚部为1. 4．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）复数满足，则（ ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】利用复数的分母实数化进行化简求得，利用公式求解模长即可. 【详解】， 所以1. 考点02 复数的有关概念 5．（25-26高三上·陕西咸阳·期末）已知，复数，若的虚部为，则________________． 【答案】 【详解】因为，复数的虚部为， 所以，解得. 6．（25-26高三上·山西大同·期中）复数，则z的虚部为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】， 所以虚部为． 7．（2026高二上·安徽·竞赛）已知i为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设， 则，解得. 所以复数的虚部为. 8．（25-26高三上·江西吉安·期末）（多选）已知复数（为虚数单位），则（     ） A．的实部是 B．的共轭复数为 C． D． 【答案】AD 【详解】. 选项A，实部为，选项A正确； 选项B，，选项B错误； 选项C，，选项C错误； 选项D，，选项D正确. 9．（2026·湖北·模拟预测）已知复数z的实部与虚部互为相反数，且，则_______． 【答案】或 【分析】根据给定条件，设出复数的代数形式，再由模的结果计算即得. 【详解】由题可设， 则. 因为，所以，所以. 所以或. 10．（2026·河南许昌·模拟预测）若复数的实部与虚部互为相反数，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】复数， 因为复数的实部与虚部互为相反数， 所以. 考点03 复数的分类 11．（25-26高三上·陕西榆林·期末）若复数为纯虚数，则复数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】为纯虚数,则且，得，所以. 12．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）若复数为纯虚数，则___________． 【答案】 【详解】因为复数为纯虚数， 所以，解得． 13．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为（   ） A．2 B．0 C．-2 D． 【答案】C 【详解】因为， 所以若为实数，则， 所以. 14．（2026高三·全国·专题练习）若复数为纯虚数，则的值为（    ） A． B．1 C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】由复数的除法运算和纯虚数的概念，求得，再由复数的乘方运算即可求解. 【详解】由题意得，​ 因为该复数是纯虚数， 所以​，解得，即， 又 ，代入，得， 因为，所以， 所以 . 15．（2026高三·全国·专题练习）为实数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查复数的乘法运算及复数为实数的条件.将复数展开，令虚部为0，解方程即可得到的值. 【详解】因为复数是实数， 所以，所以. 16．（25-26高三上·辽宁朝阳·期末）（多选）已知为复数，为的共轭复数，则下列命题中正确的是（     ） A．若，则为纯虚数 B．若，则为纯虚数 C．若，则为实数 D．若，则 【答案】ACD 【分析】设，，根据复数四则运算法则，模的公式，纯虚数等概念一一判断，得到答案 【详解】设，，则 A选项，则， 因为，所以且， 若，则，无解，舍去；若，则，故只需即可， 所以为纯虚数，则也为纯虚数，A正确； B选项，，， 若，则，故， 但若，此时，则不是纯虚数，也不是纯虚数，B错误； C选项，若，则，故，故为实数，也是实数，C正确； D选项， ， 因为，所以且， 由得或， 若，则，故； 若，则，解得，故， 其中， 若，则，； 若，则，； 若，则，； 综上，，D正确. 考点04 复数相等的问题 17．（25-26高三上·湖南娄底·期末）已知复数，且，则的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且， 所以，所以，，所以，. 18．（25-26高三上·辽宁大连·期末）已知复数满足，则_____． 【答案】 【分析】设复数的代数形式，利用复数相等的条件求出的实部和虚部，再计算其模长. 【详解】设，则，， 所以，根据复数相等的定义，得，即. 所以，，因此. 19．（25-26高三上·山西长治·期末）已知，，（为虚数单位），则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】因为， 所以，，故. 20．（25-26高三上·陕西安康·期末）已知，，，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据复数的乘法和除法运算，结合复数相等求解即可. 【详解】因为， 所以， 解得， 所以. 考点05 共轭复数的问题 21．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知，则复数的虚部为（    ） A．－1 B．2 C．i D．1 【答案】D 【详解】因为，可得， 则，所以复数的虚部为1. 22．（25-26高三上·陕西榆林·期末）若，则______． 【答案】 【详解】，所以． 23．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，则， ， 所以. 24．（25-26高三上·湖北荆门·期末）已知，则在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】由于，所以，则， 所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限. 25．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的乘法及共轭复数的定义求解即可. 【详解】因为， 所以其共轭复数为4−2i. 26．（2026高三·全国·专题练习）若复数（i为虚数单位），则________． 【答案】 【详解】，，， ． 考点06 复数的几何意义 27．（25-26高三上·陕西咸阳·期末）已知i为虚数单位，复数，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则，， ， 则复数z在复平面内对应的点的坐标为． 28．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）若，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的除法算出，确定实部与虚部，即可知其在复平面内对应的点和对应的点所在象限. 【详解】，则复平面内对应的点为， 该点位于第一象限. 29．（25-26高三上·青海西宁·期末）完成下列各题： (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)在复数集中解方程：； (3)若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用纯虚数实部为、虚部不为列方程组求解； （2）计算判别式，负数开方引入虚数单位，套用求根公式得复数根； （3）根据复平面第二象限横纵坐标符号列不等式组，解出参数范围． 【详解】（1）由，得或， 又，所以； （2）方程的判别式， 所以． （3）由复数在复平面上对应的点位于第二象限， 得，解得， 所以的取值范围是． 30．（25-26高三上·河南周口·期末）已知是虚数单位，复数 (1)若z是实数，求a的值； (2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围． 【答案】(1) 或 (2) 【详解】（1）为实数，则虚部为零，即 ，解得 或 . （2）z在复平面内对应的点位于第二象限，则实部小于零且虚部大于零， 即 所以 考点07 复数的模长 31．（25-26高三上·山西大同·期末）已知复数满足（其中为虚数单位），则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据给定的复数等式求解出复数，再利用复数模的计算公式计算的值即可. 【详解】由可知，且. 展开得，化简得. 则， . 32．（25-26高三上·河北承德·期末）（多选）已知复数，则（   ） A．的虚部为1 B． C． D．的共轭复数为 【答案】ABD 【详解】，的虚部为1，A正确； ，B正确； ，C错误； 的共轭复数为，D正确． 33．（25-26高三上·湖北荆州·期末）已知，都是实数，方程的一个根为（为虚数单位）． (1)求，的值； (2)求． 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）根据复数相等的条件求解即可； （2）根据复数模的定义求解. 【详解】（1）将代入方程整理得：， 因为，，所以， 所以，. （2）由（1)知，， 所以， 所以. 34．（25-26高三上·福建福州·期末）若复数z满足，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】首先设复数，,再根据复数模的公式，即可求解. 【详解】设复数，则， ， 由可知，，当时，的最大值为. 35．（25-26高三上·广东茂名·期末）已知复数，满足，，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】法1：由复数模的平方展开关系求 ；法2：也可利用复数的几何意义，将 ， 及 分别表示为平行四边形的两条邻边和一条对角线． 【详解】法1：由题意， 由平行四边形恒等式，所以从而 ，B正确． 法2：在复平面内，设复数 ， 对应的点分别为 ，，以 ， 为邻边作平行四边形 ． 由 可得 ． 因此四边形 为菱形． 又且 ，所以 ，该菱形为正方形． 因此B正确． 36．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知复数满足，则的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】设，利用题设等式推得，利用复数的模的公式表示，结合二次函数的性质即可求其最小值. 【详解】设，则，即， 整理得，化简得. 因， 则当时，的最小值为. 考点08 复数的三角表示 37．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）著名数学家欧拉发现并证明了欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位），从而建立了三角函数和指数函数的关系，已知复数． (1)若，将复数表示成（）的形式； (2)若是关于的实系数方程的一个根，求，的值； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）代入给定角度，利用欧拉公式将其展开为三角函数形式，合并实部与虚部完成化简； （2）法一：将复数的三角形式转换回，结合复数的运算即可求解，法二：利用实系数一元二次方程“虚数根成对共轭出现”的性质找出另一根，随后通过韦达定理即可求解； （3）法一：将复数的三角形式转换回，结合正弦函数的取值范围即可求解，法二：将复数模长的最值问题转化为复平面内单位圆上的动点到定点的几何距离求最大值即可. 【详解】（1）； （2）法一 ，则， 即，故且， 所以，； 法二 为虚数根，所以方程还有另一个根为， 根据韦达定理：， 所以，； （3）法一 ， ， 故． 法二 ，令，， 则可视为单位圆上的点到点的距离， 到圆心的距离，即在单位圆外， 所以，其中为单位圆的半径. 38．（2026·湖南长沙·三模）（多选）设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，其在复平面内对应的点为，，．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．根据上面知识，下列选项中正确的有（    ） A．当，，且为偶数时，复数为纯虚数 B．若，则 C．复平面中，点绕原点逆时针旋转得到 D．复平面中，将直线：绕点顺时针旋转得到直线： 【答案】BCD 【分析】根据题意结合复数的三角表示以及几何意义依次判断即可. 【详解】对于A，已知，则复数可以表示为， 根据题意，，其中为偶数， 当时，，这是实数，不是纯虚数，故A错误； 对于B，已知，则模长，辐角满足，所以， 因此，则，故B正确； 对于C，点对应的复数为，模长，设辐角为，则， 将点绕原点逆时针旋转，相当于将复数乘以， 设旋转后的点为，对应的复数为，则， 对应的点的坐标为，故C正确； 对于D，设直线上任意一点为，对应的复数为，旋转后的点为，对应的复数为， 根据题意，是由顺时针旋转得到的，即是由逆时针旋转得到的， 因此，所以，， 将代入直线方程：，得，化简得， 因此旋转后得直线方程为，故D正确. 39．（25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）任意一个复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，为复数的辐角.若复数的三角形式分别为，，则乘积为:，即两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.其几何意义为:将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋角（当时，就把绕原点按顺时针方向旋转角），再将其模变为原来的倍，得到向量表示的复数就是积. (1)已知复数，请将改写为三角形式，将改写为代数形式； (2)对于复平面内任意两个复数，证明； (3)已知的三个内角为，且满足，已知该三角形的顶点在复平面内对应的复数分别为，其外心为原点，外接圆半径为.若动点在该外接圆上，对应复数为，求的取值范围.（结果用表示） 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据复数三角形式和代数形式的定义求解； （2）根据复数的模、共轭复数及复数的乘法运算即可证明； （3）求得，取，动点P对应，令，整理得到，令，利用导数求函数的值域即可. 【详解】（1）解：复数 的模为， 辐角满足，故， 复数的三角形式为； 复数的代数形式为. （2）证明：对于任意复数有 . 而 故 （3）解：由已知，的三个内角为，且满足，则， 外心为原点，外接圆的半径为R， 取（辐角为0，对应点为），（辐角为，对应点为）， （辐角为，对应点为），则. 动点P对应（辐角为），令， 所以， 则 ， ，即 所以， 令，则表达式可化为， 则， 令得，解得（负根舍去）. 此时， 又 ， 因此所求取值范围为. 40．（2026高三·全国·专题练习）任何一个复数（其中，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若，时，则________；对于，，________． 【答案】 【详解】当，时，， 所以； ，令， 则，， ， 而， 则，， 所以． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.6 复数 8大考点汇总 考点01 复数的四则运算 考点02 复数的有关概念 考点03 复数的分类 考点04 复数相等的问题 考点05 共轭复数的问题 考点06 复数的几何意义 考点07 复数的模长 考点08 复数的三角表示 题型专练 考点01 复数的四则运算 1．（25-26高二下·广东深圳·期末）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·上海·期中）若复数满足（是虚数单位），则___________. 3．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）复数满足，则（ ） A．1 B．2 C． D．3 考点02 复数的有关概念 5．（25-26高三上·陕西咸阳·期末）已知，复数，若的虚部为，则________________． 6．（25-26高三上·山西大同·期中）复数，则z的虚部为（    ） A．3 B． C． D． 7．（2026高二上·安徽·竞赛）已知i为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·江西吉安·期末）（多选）已知复数（为虚数单位），则（     ） A．的实部是 B．的共轭复数为 C． D． 9．（2026·湖北·模拟预测）已知复数z的实部与虚部互为相反数，且，则_______． 10．（2026·河南许昌·模拟预测）若复数的实部与虚部互为相反数，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 考点03 复数的分类 11．（25-26高三上·陕西榆林·期末）若复数为纯虚数，则复数为（     ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）若复数为纯虚数，则___________． 13．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为（   ） A．2 B．0 C．-2 D． 14．（2026高三·全国·专题练习）若复数为纯虚数，则的值为（    ） A． B．1 C． D．以上都不对 15．（2026高三·全国·专题练习）为实数，则为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高三上·辽宁朝阳·期末）（多选）已知为复数，为的共轭复数，则下列命题中正确的是（     ） A．若，则为纯虚数 B．若，则为纯虚数 C．若，则为实数 D．若，则 考点04 复数相等的问题 17．（25-26高三上·湖南娄底·期末）已知复数，且，则的值分别是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高三上·辽宁大连·期末）已知复数满足，则_____． 19．（25-26高三上·山西长治·期末）已知，，（为虚数单位），则（   ） A． B． C．1 D．3 20．（25-26高三上·陕西安康·期末）已知，，，则（    ） A． B． C．2 D．4 考点05 共轭复数的问题 21．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知，则复数的虚部为（    ） A．－1 B．2 C．i D．1 22．（25-26高三上·陕西榆林·期末）若，则______． 23．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高三上·湖北荆门·期末）已知，则在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 25．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 26．（2026高三·全国·专题练习）若复数（i为虚数单位），则________． 考点06 复数的几何意义 27．（25-26高三上·陕西咸阳·期末）已知i为虚数单位，复数，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）若，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 29．（25-26高三上·青海西宁·期末）完成下列各题： (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)在复数集中解方程：； (3)若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求的取值范围． 30．（25-26高三上·河南周口·期末）已知是虚数单位，复数 (1)若z是实数，求a的值； (2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围． 考点07 复数的模长 31．（25-26高三上·山西大同·期末）已知复数满足（其中为虚数单位），则（     ） A． B． C． D． 32．（25-26高三上·河北承德·期末）（多选）已知复数，则（   ） A．的虚部为1 B． C． D．的共轭复数为 33．（25-26高三上·湖北荆州·期末）已知，都是实数，方程的一个根为（为虚数单位）． (1)求，的值； (2)求． 34．（25-26高三上·福建福州·期末）若复数z满足，则的最大值为__________． 35．（25-26高三上·广东茂名·期末）已知复数，满足，，则（    ） A．2 B． C． D． 36．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知复数满足，则的最小值为__________． 考点08 复数的三角表示 37．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）著名数学家欧拉发现并证明了欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位），从而建立了三角函数和指数函数的关系，已知复数． (1)若，将复数表示成（）的形式； (2)若是关于的实系数方程的一个根，求，的值； (3)求的最大值． 38．（2026·湖南长沙·三模）（多选）设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，其在复平面内对应的点为，，．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．根据上面知识，下列选项中正确的有（    ） A．当，，且为偶数时，复数为纯虚数 B．若，则 C．复平面中，点绕原点逆时针旋转得到 D．复平面中，将直线：绕点顺时针旋转得到直线： 39．（25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）任意一个复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，为复数的辐角.若复数的三角形式分别为，，则乘积为:，即两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.其几何意义为:将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋角（当时，就把绕原点按顺时针方向旋转角），再将其模变为原来的倍，得到向量表示的复数就是积. (1)已知复数，请将改写为三角形式，将改写为代数形式； (2)对于复平面内任意两个复数，证明； (3)已知的三个内角为，且满足，已知该三角形的顶点在复平面内对应的复数分别为，其外心为原点，外接圆半径为.若动点在该外接圆上，对应复数为，求的取值范围.（结果用表示） 40．（2026高三·全国·专题练习）任何一个复数（其中，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若，时，则________；对于，，________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $