5.1 平面向量的概念及线性运算专题训练【5大考点】-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以5大考点为框架，构建从概念辨析到定理应用的递进式训练体系，强化数学抽象与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面向量的概念|4题|多选为主的概念辨析题|概念基础，奠定向量研究起点| |平面向量的线性运算|6题|几何图形中的线性运算与化简题|概念延伸，实现向量运算转化| |平面向量共线定理|6题|共线定理应用与三点共线证明题|运算深化，建立向量共线判定| |已知向量共线求参数|4题|共线条件下的参数计算题|定理应用，强化方程思想| |平面向量共线定理的推论|6题|几何综合与最值问题|定理拓展，提升综合应用能力|

5.1 平面向量的概念及线性运算 5大考点汇总 考点01 平面向量的概念 考点02 平面向量的线性运算 考点03 平面向量共线定理 考点04 已知向量共线(平行)求参数 考点05 平面向量共线定理的推论 题型专练 考点01 平面向量的概念 1．（25-26高三上·全国·专题训练）（多选）给出下列命题，则（    ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若，，则 C．若为非零向量，则与同向 D．已知，为实数，若，则与共线 【答案】ABC 【详解】选项A，相等向量可以通过平移重合，因此若两个相等向量起点相同，其终点必然相同，A正确； 选项B，由，，得，B正确； 选项C，是与同向的单位向量，C正确； 选项D，当时，恒成立，此时和可以是任意向量，不一定共线，D错误． 2．（25-26高三上·贵州遵义·期中）下列说法：①若，则；②两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同；③若，则四边形是平行四边形；④若四边形是平行四边形，则；⑤若，则；⑥若，则.其中正确的是（    ） A．①④⑤ B．①⑤⑥ C．④⑤ D．④⑥ 【答案】C 【详解】对于①，表示的模长相等，但方向不一定相同，故①错误； 对于②，两个向量相等的充要条件是它们方向相同，模长相等，起点与终点不一定相同，故②错误； 对于③，如果四点共线，则不为四边形，当然也不是平行四边形，故③错误； 对④，因为四边形是平行四边形，则，且， 而方向也相同，故，故④正确； 对于⑤，若，故为相等向量，故，故⑤正确； 对于⑥，若，则都成立，但不一定为共线向量，故⑥错误. 3．（25-26高三上·四川凉山·期末）（多选）下列关于平面向量的说法错误的是（    ） A．若，则或 B．若与反向，则 C．若，，则 D．若存在实数，使得，则 【答案】AC 【详解】对于A：当，则，但是或可能不成立，A选项错误； 对于B：若与反向，则，B选项正确； 对于C：若满足，，但是可能不成立，C选项错误； 对于D：若存在实数，使得， 当为零向量时，则为零向量，可得； 当不为零向量时，由向量共线的判定定理可得； 综上所述：，D选项正确. 4．（25-26高三上·广东中山·期末）（多选）对于任意三个非零向量，和，下列命题中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，，则 【答案】ACD 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：由及选项A的结论可知，，即，得，又因为均为非零向量，故，故C正确. 对于D：因为，和都是非零向量，故D正确. 考点02 平面向量的线性运算 5．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）设，，分别为的三边，，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 6．（25-26高三上·江西赣州·阶段检测）化简： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量的加法和减法法则化简即可； （2）利用平面向量的线性运算化简即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. 7．（25-26高三上·全国·专题训练）在中，点满足，点满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合平面向量基本定理即可求解. 【详解】已知且， 所以， 则. 8．（25-26高三上·海南·期末）在四边形 中， ，设 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】如图所示，在四边形 中， 因为 ，所以 ， 可得 ，所以 . 9．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在平行四边形中，连结，下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量加法、减法的几何意义、平面向量共线的性质，结合平行四边形的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以本选项运算不正确； B：因为，所以本选项运算不正确； C：因为四边形是平行四边形，所以，因此本选项运算正确； D：因为四边形是平行四边形，所以，所以本选项运算不正确. 10．（25-26高三上·山东枣庄·期末）在平行四边形ABCD中，，，若，F为BC中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用平行四边形法则表示出相关向量，再通过向量减法将转化为，代入化简即可得到结果. 【详解】由题意知，， 因为F为的中点， 则， 所以. 考点03 平面向量共线定理 11．（25-26高三上·贵州遵义·阶段检测）设，是两个不共线的向量，若，，且三点共线，则实数的值为_________ 【答案】 【分析】由三点共线推出与共线，结合共线向量定理和平面向量基本定理列方程组求解即可. 【详解】因为三点共线，所以. 根据共线向量定理，存在实数，使得， 即 ，整理得：. 由于，是不共线的向量，所以， 解得. 故实数的值为. 12．（25-26高三上·四川乐山·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，是上一点，且．设，． (1)用基底分别表示向量，，； (2)若，用平面向量证明，，三点共线． 【答案】(1)，， (2)因为，所以点在的延长线上，如图： 又因为，， 所以. ，. 由向量共线定理得，与共线，又与公共点为， ，，三点共线． 【分析】（1）直接根据向量的线性运算可得； （2）由条件可得，再由向量的加法可得，从而可证明三点共线. 【详解】（1）因为，，所以． 是中点．且在平行四边形中，， 所以． ．，所以． 因此，，. （2）略 13．（2026·湖南长沙·三模）已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】C 【详解】假设存在实数，使得，则三点共线， ，而不共线，故，无解，所以假设不成立，故A错误； 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故B错误； C：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，解得，所以假设成立，故C正确； D：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故D错误． 14．（2026·浙江·二模）已知，是两个不共线的向量，且，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．无法构成四边形 【答案】A 【分析】根据题意求出，结合与的关系分析判断即可. 【详解】， 所以，且， 所以四边形是梯形. 15．（25-26高三上·全国·课堂例题）证明顺次连接四边形各边中点所得四边形为平行四边形． 已知：如图，四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点． 求证：四边形是平行四边形； 【答案】证明:连接．因为E，F分别是，的中点， 所以，同理， 所以，所以且， 所以四边形是平行四边形． 【分析】利用向量相等证明四边形是平行四边形. 【详解】略. 16．（25-26高三上·河南驻马店·期末）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，则与共线的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，结合向量共线的判定，逐项判定，即可求解. 【详解】因为四边形为平行四边形，且对角， 对于A中，由，所以与共线，所以A符合题意； 对于B中，由，向量与不共线，所以B不符合题意； 对于C中，由，向量与不共线，所以C不符合题意； 对于D中，由向量与不共线，所以D不符合题意. 故选：A. 考点04 已知向量共线(平行)求参数 17．（25-26高三上·甘肃白银·期末）如图，在平行四边形中，，． (1)用向量，表示，； (2)若，且B，P，E三点共线，求x的值． 【答案】(1)， (2)6 【分析】（1）应用向量加减、数乘的几何意义，用，表示出，； （2）由题意，设，，结合（1）及平面向量的基本定理列方程求参数值. 【详解】（1）由，且； （2）因为B，P，E三点共线，可设，， 由（1）可得， 因为，所以，解得，故x的值为6. 18．（25-26高三上·湖北随州·期末）设，是两个不共线的向量，若向量，共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于向量，共线，则存在实数，使得， 由于，是两个不共线的向量，故且，故 19．（25-26高二下·内蒙古·期末）设，是两个不共线的向量，若向量与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为向量与共线，且， 则存在实数，使得，即， 可得，解得. 20．（25-26高三上·河北沧州·期中）（1）设，是不共线的两个向量，如果，，，求证：三点共线； （2）若与不共线，且与共线，求实数的值. 【答案】（1）因为，是不共线的两个向量，且，， 所以， 因为，所以， 所以与共线. 又与有公共点，所以三点共线. （2） 【分析】（1）根据向量共线定理证明与共线，再由与有公共点，得三点共线； （2）由向量共线定理设存在实数，使得，根据向量相等，列 出相应方程组，求解可得实数的值. 【详解】（1）略 （2）若与共线， 则存在实数，使得， 即， 因为与不共线，所以， 整理得，，解得. 所以. 考点05 平面向量共线定理的推论 21．（2026高三·全国·专题练习）在中，点是上一点，且，是中点，与交点为，又，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形推得，再由共线向量基本定理即可求解. 【详解】因为 ，且 ， 所以， 因为是中点，故 ，则得， 因为三点共线，则，解得.    22．（25-26高三上·河南信阳·期末）如图，在中，，，与的交点为M，过M作动直线分别交线段，于E，F两点. (1)用，表示. (2)设，. ①求的值， ②求的最小值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用三点共线列出方程，求解即可； （2）①利用三点共线，结合（1）的结论可得；②利用基本不等式1的妙用即可求解. 【详解】（1）因为三点共线，所以可设， 又， 所以. 因为三点共线，所以， 解得. 所以. （2）设，， 则. 由（1）知，， 所以. 又三点共线，所以， ① ②， 当且仅当，即，时，等号成立. 所以当时，取得最小值，最小值为. 23．（25-26高三上·河北·期末）已知两个不共线的向量，，设，，． (1)若，求实数，的值； (2)设，且，，三点共线，其中，，，为坐标原点，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意整理可得，结合平面向量基本定理运算求解即可； （2）根据三点共线的推论可知存在实数使得，即可得，结合平面向量基本定理运算求解即可. 【详解】（1）因为，即， 又因为，不共线，由平面向量基本定理得，解得. （2）因为，，三点共线，且，，， 所以存在实数使得， 又因为，即， 且不共线，由平面向量基本定理得，解得， 故实数的值为． 24．（25-26高三上·重庆九龙坡·期末）如图，在中，点为边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于两点. 若，且、不与端点重合，则满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量共线定理及三点共线的充要条件，将用表示，建立的方程. 【详解】由题意，点为边上靠近的三等分点，则， 所以 ， 已知，，所以 ， 因为三点共线，且不在直线上， 所以与的系数之和为，即，整理得：. 25．（25-26高三上·湖北襄阳·期末）在中，是线段的中点，是上的动点，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用中点将换成，结合共线得到，把用代换，转化为关于的二次函数，配方求出的最小值． 【详解】因为是线段的中点，所以， 又，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 26．（25-26高三上·陕西西安·期末）如图，在中，点在线段BC上，且，是线段上的点，线段与线段交于点. (1)若，求的值. (2)已知，设. ①求的值； ②过点的直线与边，分别交于点，，设，（，），求的最小值. 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）根据向量的减法、向量相等及平面向量的基本定理求解即可. （2）①根据三点共线及平面向量基本定理可得所求值. ②由三点共线及平面向量基本定理得，再用基本不等式可得最小值. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以，，. （2）①因为，所以. 所以， 因为三点共线，所以. ②由①可得，， 又，，所以. 因为三点共线，所以，即. 所以， 当且仅当且，即，时取等号. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1 平面向量的概念及线性运算 5大考点汇总 考点01 平面向量的概念 考点02 平面向量的线性运算 考点03 平面向量共线定理 考点04 已知向量共线(平行)求参数 考点05 平面向量共线定理的推论 题型专练 考点01 平面向量的概念 1．（25-26高三上·全国·专题训练）（多选）给出下列命题，则（    ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若，，则 C．若为非零向量，则与同向 D．已知，为实数，若，则与共线 2．（25-26高三上·贵州遵义·期中）下列说法：①若，则；②两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同；③若，则四边形是平行四边形；④若四边形是平行四边形，则；⑤若，则；⑥若，则.其中正确的是（    ） A．①④⑤ B．①⑤⑥ C．④⑤ D．④⑥ 3．（25-26高三上·四川凉山·期末）（多选）下列关于平面向量的说法错误的是（    ） A．若，则或 B．若与反向，则 C．若，，则 D．若存在实数，使得，则 4．（25-26高三上·广东中山·期末）（多选）对于任意三个非零向量，和，下列命题中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，，则 考点02 平面向量的线性运算 5．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）设，，分别为的三边，，的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·江西赣州·阶段检测）化简： (1)； (2). 7．（25-26高三上·全国·专题训练）在中，点满足，点满足，则（ ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·海南·期末）在四边形 中， ，设 ，则 （    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在平行四边形中，连结，下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·山东枣庄·期末）在平行四边形ABCD中，，，若，F为BC中点，则（   ） A． B． C． D． 考点03 平面向量共线定理 11．（25-26高三上·贵州遵义·阶段检测）设，是两个不共线的向量，若，，且三点共线，则实数的值为_________ 12．（25-26高三上·四川乐山·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，是上一点，且．设，． (1)用基底分别表示向量，，； (2)若，用平面向量证明，，三点共线． 13．（2026·湖南长沙·三模）已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 14．（2026·浙江·二模）已知，是两个不共线的向量，且，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．无法构成四边形 15．（25-26高三上·全国·课堂例题）证明顺次连接四边形各边中点所得四边形为平行四边形． 已知：如图，四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点． 求证：四边形是平行四边形； 16．（25-26高三上·河南驻马店·期末）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，则与共线的向量是（   ） A． B． C． D． 考点04 已知向量共线(平行)求参数 17．（25-26高三上·甘肃白银·期末）如图，在平行四边形中，，． (1)用向量，表示，； (2)若，且B，P，E三点共线，求x的值． 18．（25-26高三上·湖北随州·期末）设，是两个不共线的向量，若向量，共线，则（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高二下·内蒙古·期末）设，是两个不共线的向量，若向量与共线，则（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高三上·河北沧州·期中）（1）设，是不共线的两个向量，如果，，，求证：三点共线； （2）若与不共线，且与共线，求实数的值. 考点05 平面向量共线定理的推论 21．（2026高三·全国·专题练习）在中，点是上一点，且，是中点，与交点为，又，则的值为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高三上·河南信阳·期末）如图，在中，，，与的交点为M，过M作动直线分别交线段，于E，F两点. (1)用，表示. (2)设，. ①求的值， ②求的最小值. 23．（25-26高三上·河北·期末）已知两个不共线的向量，，设，，． (1)若，求实数，的值； (2)设，且，，三点共线，其中，，，为坐标原点，求实数的值． 24．（25-26高三上·重庆九龙坡·期末）如图，在中，点为边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于两点. 若，且、不与端点重合，则满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 25．（25-26高三上·湖北襄阳·期末）在中，是线段的中点，是上的动点，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高三上·陕西西安·期末）如图，在中，点在线段BC上，且，是线段上的点，线段与线段交于点. (1)若，求的值. (2)已知，设. ①求的值； ②过点的直线与边，分别交于点，，设，（，），求的最小值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $