1.1 集合（全国通用）【6大考点】-2027年高考数学一轮复习专题训练

**基本信息** 以考点为纲系统覆盖集合的概念、关系、运算及新定义，通过典型题型强化抽象能力与逻辑推理，构建从基础到应用的完整知识链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合的含义与表示|6题|元素确定性判断、元素与集合关系、集合表示方法|从集合定义出发，建立元素与集合的基本关联| |集合间的基本关系|6题|子集个数计算、含参集合关系判定|基于集合概念延伸，构建包含与被包含的逻辑关系| |集合的基本运算|6题|交并补运算、运算中的参数范围|在关系基础上拓展，实现集合间的量化运算| |集合的新定义|6题|新运算定义、创新概念应用|综合前三者，培养数学抽象与创新意识|

1.1 集合 4大考点汇总 考点01 集合的含义与表示 考点02 集合间的基本关系 考点03 集合的基本运算 考点04 集合的新定义 题型专练 考点01 集合的含义与表示 1．下列给出的对象中，能组成集合的是（   ） A．与给定A，B等距离的点 B．比较小的数 C．的近似值 D．3班的高个子同学 【答案】A 【详解】对于A，描述的对象“与给定A，B等距离的点”确定，是线段的垂直平分线，故A中的对象能构成集合； 对于B，描述的对象“比较小的数”中，“比较小”没有明确的界定标准，该对象不具有确定性，故B中的对象不能构成集合； 对于C，描述的对象“的近似值”中，“近似值”没有给出精确度，该对象不具有确定性，故C中的对象不能构成集合； 对于D，描述的对象“3班的高个子同学”中，“高个子”没有明确的界定标准，该对象不具有确定性，故D中的对象不能构成集合. 2．已知集合，，若，则实数__________． 【答案】 【详解】因为，所以. 得，解得，. 当时，，满足； 当时，，满足； 综上所述，. 3．已知元素，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据元素与集合的属于、不属于关系，从的所有可能取值中排除不符合要求的取值，即可确定的值 【详解】由，可知a的可能取值为0,1,2,3； 再由，可排除取值0、1、3； 因此的取值只能为2. 4．设集合，，若，则的值为________． 【答案】 【分析】首先由集合元素的特征得，再由集合相等分和两种情况解得. 【详解】由集合，，得， 又因为，则或， 当时，，，， 于是，得，因此； 当时，集合，，有，则，解得与矛盾，舍去. 因此． 5．设，，其中，若，则________． 【答案】1 【分析】由集合元素互异性、和集合相等的概念，分类讨论求解. 【详解】，由元素互异性得：，且． ，由元素互异性得：． 若集合中，则，此时，， 由得，所以，此时，符合要求； 若集合中，则，此时， ，这与矛盾，故这种情况不成立， 综上可知，，故． 6．已知集合，则集合的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】集合，共有4个元素，故选B. 考点02 集合间的基本关系 7．设集合，则的子集的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】，，所以，所以的子集的个数为4. 8．已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）略 （2）略 （3）根据区间长度得，解得，接下来再分，，和，根据左端点的范围确定右端点的范围，进行求解； （4）根据集合的包含关系确定参数范围； （5）根据集合的包含关系确定参数范围. 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时． 则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解； 当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 9．已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，解得或，所以. 因为，所以或，解得或或. 经检验：当时，与集合中元素的互异性矛盾. 所以实数的取值集合为. 10．已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据子集的包含关系，确定端点值范围即可. 【详解】解：由，则集合中的所有元素必须属于集合， 所以，即a的取值范围为. 11．已知集合，集合． （1）当时，求________； （2）当时，则实数m的值为________． 【答案】 2 【分析】（1）根据交集的定义求解即可； （2）由，可得，再根据集合的包含关系求解即可. 【详解】（1）由题意得，当时，，则． （2）因为，所以，因为，所以， 所以2是关于x的方程的解，即，解得． 故答案为：；. 12．已知集合，，其中． (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)集合中的所有整数为 (2) 【分析】（1）先根据题意化简集合，进而写出集合中的所有整数即可； （2）先根据题意化简集合，再根据集合之间的关系得到，进而分类讨论即可求出的取值范围． 【详解】（1）由，解得，则， 所以集合中的所有整数为． （2）， 当时，，此时，满足题意； 当时，，所以，即， 又，则， 即，解得， 所以的取值范围为． 考点03 集合的基本运算 13．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，则，解得， ，． 14．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，得， 而，则. 15．已知全集为，集合或，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于或，， 所以， 所以. 16．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简集合，即可根据交集的定义求解. 【详解】由题意，得，所以. 17．已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出集合，再根据集合并集求解即可. （2）根据得到，再根据集合之间的包含关系求解即可. 【详解】（1）由题意得， 所以， 当时，， ， （2），， ①若，则，解得； ②若，要使，则应满足． ，即，解得， 综上所述，所求实数a的取值范围是． 18．设全集为，已知集合 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将代入，化简集合，再由集合运算求出即可；（2）等价于，分与两类讨论求解即可； 【详解】（1）因为， 即， 所以，即， 所以. 当时，， 所以或. （2）因为，所以. 当时，满足，所以，即， 当时，，又因为， 所以需满足， 可解得. 综上所述，所以的取值范围为. 考点04 集合的新定义 19．定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，集合，集合，， 所以，，， 选项A：因为，所以或者（且满足集合元素的互异性）； 选项B：因为，所以一定成立； 选项C：当时，集合，集合，，C错误； 选项D：当，时，集合，集合，，D错误. 20．当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”.集合 的全部非空子集的厚度之和为（    ） A．3200 B．1600 C．1550 D．800 【答案】B 【分析】对于集合中每个元素，计算它在所有非空子集中出现的次数，再乘以该元素的值，最后求和即可. 【详解】根据题意,任意一个元素在非空子集中的出现次数为:. 集合的元素之和为. 所以集合的全部非空子集的厚度之和为:. 21．已知集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合的累积值为． （1）若，则这样的集合共有________个； （2）若为偶数，则这样的集合共有________个． 【答案】 2 13 【分析】根据“累积值”的定义，结合间接法与集合子集个数的求法得解即可. 【详解】（1）若，据“累积值”的定义得或，这样的集合共有2个； （2）集合的子集共有个， 其中“累积值”为奇数的子集为、、，共3个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个． 22．对任意正整数，记集合均为非负整数，且，集合均为非负整数，且．设，，若对任意都有，则称． (1)写出集合和； (2)取，，写出两个中的元素、，使得； (3)证明：对任意，存在，使得． 【答案】(1)， (2)，（答案不唯一） (3)证明见解析 【分析】（1）根据集合与的公式，写出集合和即可； （2）设，由题意可得，由此可得出两个满足题设条件的元素、； （3）任取，设，令，只需证明，即可证明结论成立. 【详解】（1）由题意得，． （2）设，由以及可得， 故满足题设条件的两个元素可以为，. （3）对任意，设， 则、、、均为非负整数，且． 令，则， 所以，且． 23．对任意正整数，定义集合.设，定义：，. (1)__________（填“”或“”）；__________（填“”或“”）； (2)设，，，，求； (3)证明：对任意，存在，满足：，且. 【答案】(1)；； (2) (3)证明见解析 【分析】（1），故，是的真子集，故； （2），为偶数，必为偶数，推出，此时，又，同理可得，，求出答案； （3）设，，由绝对值不等式得到，，同理可得，，而中有个元素，，所以必存在中的两个不同的元素，令，满足要求. 【详解】（1）显然，故， ， ， 由于是的真子集，故， （2）设，则 ∴必为偶数，因此. 当时，，与矛盾； 当时，，与矛盾； 所以. 又因为，所以同理得. 所以. （3）设，， 则， 任取，令， 则，， 所以， 同理， 而中有个元素，， 所以必存在中的两个不同的元素，使得， 令，则，且且. 24．给定正整数n（），记集合或且.对于由中的三个元素组成的子集，若满足对于任意，均为偶数，则称该三元子集具有性质T. (1)在的子集中，写出一个具有性质T的三元子集；（结论不要求证明） (2)证明：在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集； (3)在的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集？说明理由. 【答案】(1)故答案不唯一，如 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解； （2）利用反证法，结合集合的新定义证明即可； （3）分别分析，，中满足条件的子集个数，类比得出结论即可. 【详解】（1）由题意，或且， 即， 则满足性质T的三元子集不唯一，如. （2）由题意，中共有个元素，故最多能选出个两两交集为空集的三元子集． 将中所有元素的第一个分量求和（一个元素可以看成一个数组， 第一个数字称为第一个分量，以此类推），知其和等于； 同理，所有第二个分量、第三个分量、⋯⋯的和均等于16. 假设能选出10个符合题意的三元子集，由题意，这10个三元子集覆盖了中的30个元素， 且每个三元子集的所有元素的每一个分量数字之和均为偶数． 故中余下的一个元素的每一个分量都是偶数，即只能为． 这与矛盾． 所以在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． （3）记，其中为偶数．不妨假设时有意义． 当时，的三元子集只有一个，且具有性质， 所以在中最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 记中具有性质的三元子集为． 当时，中有个元素，故最多有个两两交集为空集的三元子集． 因为的子集， 和 为两两交集为空集，且具有性质的三元子集（共5个）， 所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 设为中上述具有性质的三元子集中的任意一个， 同理，得中有个元素，即最多能有个两两交集为空集的三元子集， 且对于，可以对应构造出4个两两交集为空集，且具有性质的三元子集， 即， ， ， . 又因为为中具有性质的三元子集，且与上述集合的交集为空集， 所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 以此类推，得在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 集合 4大考点汇总 考点01 集合的含义与表示 考点02 集合间的基本关系 考点03 集合的基本运算 考点04 集合的新定义 题型专练 考点01 集合的含义与表示 1．下列给出的对象中，能组成集合的是（   ） A．与给定A，B等距离的点 B．比较小的数 C．的近似值 D．3班的高个子同学 2．已知集合，，若，则实数__________． 3．已知元素，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．设集合，，若，则的值为________． 5．设，，其中，若，则________． 6．已知集合，则集合的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 考点02 集合间的基本关系 7．设集合，则的子集的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 9．已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 10．已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 11．已知集合，集合． （1）当时，求________； （2）当时，则实数m的值为________． 12．已知集合，，其中． (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围． 考点03 集合的基本运算 13．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 14．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 15．已知全集为，集合或，，则（    ） A． B． C． D． 16．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 17．已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围． 18．设全集为，已知集合 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 考点04 集合的新定义 19．定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 20．当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”.集合 的全部非空子集的厚度之和为（    ） A．3200 B．1600 C．1550 D．800 21．已知集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合的累积值为． （1）若，则这样的集合共有________个； （2）若为偶数，则这样的集合共有________个． 22．对任意正整数，记集合均为非负整数，且，集合均为非负整数，且．设，，若对任意都有，则称． (1)写出集合和； (2)取，，写出两个中的元素、，使得； (3)证明：对任意，存在，使得． 23．对任意正整数，定义集合.设，定义：，. (1)__________（填“”或“”）；__________（填“”或“”）； (2)设，，，，求； (3)证明：对任意，存在，满足：，且. 24．给定正整数n（），记集合或且.对于由中的三个元素组成的子集，若满足对于任意，均为偶数，则称该三元子集具有性质T. (1)在的子集中，写出一个具有性质T的三元子集；（结论不要求证明） (2)证明：在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集； (3)在的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集？说明理由. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $