奥数培优·第5讲 奇数与偶数及奇偶性的应用（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

【人教版】小学五年级上册奥数培优讲义·第5讲 奇数与偶数及奇偶性的应用 【前言】 华罗庚名人名言："宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。" 导入语：同学们，在我们的生活中，数字无处不在。你有没有注意到，数字可以分成两大类——奇数和偶数，别看它们简单，奇偶性的知识能帮我们解决很多有趣的问题：翻杯子、开关灯、下棋比赛、互赠贺卡……这些看似复杂的问题，用奇偶性一分析，答案就一目了然了。 今天，让我们一起走进奇偶的世界，探索数字的奥秘吧！ 【三维教学目标】 知识与技能： 理解奇数和偶数的概念，掌握判断奇偶性的方法 掌握奇数与偶数的五大运算性质和四大推论 能运用奇偶性的知识解决实际问题 过程与方法： 通过观察、比较、归纳，总结出奇偶性的运算规律 经历解决实际问题的过程，培养分析问题和逻辑推理能力 体会数学与生活的密切联系，提高数学应用意识 情感态度与价值观： 感受数学的规律性和简洁美；培养严谨的逻辑思维能力； 激发学习数学的兴趣和探索精神 【教学重难点】 重点： 奇数和偶数的概念及判断方法；奇数与偶数的五大运算性质； 运用奇偶性解决实际问题 难点： 理解奇偶性运算性质的算理；灵活运用奇偶性分析复杂问题； 掌握反证法在奇偶性问题中的应用 【高频易错总提示】 ⚠️ 易错点1：0的奇偶性搞不清 很多同学以为0是奇数，或者认为0既不是奇数也不是偶数。记住：0能被2整除，所以0是偶数！ ⚠️ 易错点2：运算性质记混 "奇+奇=偶，偶+偶=偶，奇+偶=奇"，这三条最容易记混。教你一个口诀："同性相加得偶数，异性相加得奇数。" ⚠️ 易错点3：乘法性质搞反 乘法中，只要有一个偶数，乘积就是偶数；只有全是奇数，乘积才是奇数。不是"有奇数就是奇数"哦！ ⚠️ 易错点4：翻杯子问题想当然 很多同学觉得"多翻几次总能成功"，但用奇偶性一分析，有些情况是永远不可能的。一定要用数学方法分析，不要凭感觉！ 一、知识点总结 （一）基本概念 1.奇数和偶数的定义 整数可以分成奇数和偶数两大类。能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。 偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。 特别注意：因为0能被2整除，所以0是偶数。 2.奇数与偶数的判断 个位是0、2、4、6、8的数是偶数 个位是1、3、5、7、9的数是奇数 （二）奇数与偶数的运算性质 性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 性质2：偶数±奇数=奇数 性质3：偶数个奇数相加得偶数 性质4：奇数个奇数相加得奇数 性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数 （三）常用推论 推论1：在加减法中，偶数不改变奇偶性，奇数改变奇偶性。 推论2：在乘法中，只要有一个偶数，乘积就是偶数；只有全是奇数，乘积才是奇数。 推论3：两个连续整数中，必有一个奇数一个偶数。 推论4：奇数≠偶数（一个数不能既是奇数又是偶数）。 （四）解题方法 1. 直接判断法：根据定义直接判断一个数是奇数还是偶数 2. 性质应用法：利用奇偶性的运算性质判断结果的奇偶性 3. 反证法：假设某个结论成立，推出矛盾，从而证明原结论正确 4. 分组法：将数分组，利用奇偶性的性质分析 二、经典例题 【例1 求和的奇偶性】★★基础 【题目】 1+2+3+…+2025的和是奇数？还是偶数？ 【解题思路】 这道题不需要计算出具体的和，只需要判断和的奇偶性。我们可以利用"奇数个奇数相加得奇数，偶数个奇数相加得偶数"的性质来判断。首先找出1到2025中有多少个奇数，多少个偶数，然后根据奇数的个数来判断和的奇偶性。 【完整解析】 方法一：分组判断法 1到2025的自然数中，有多少个奇数？多少个偶数？ 2025个数中，奇数和偶数交替出现。 2025 ÷ 2 = 1012……1 所以有1012个偶数，1013个奇数。 根据性质：偶数个奇数相加得偶数，奇数个奇数相加得奇数。 1013个奇数相加，1013是奇数，所以奇数的和是奇数。 1012个偶数相加，和是偶数。 奇数 + 偶数 = 奇数 所以1+2+3+…+2025的和是奇数。 方法二：配对法 我们把1和2025配对，2和2024配对，3和2023配对…… 每对的和都是2026，是偶数。 一共有多少对？2025 ÷ 2 = 1012对……1个数 1012对的和都是偶数，1012个偶数相加还是偶数。 剩下中间的那个数是多少？(2025+1)÷2 = 1013，是奇数。 偶数 + 奇数 = 奇数 所以总和是奇数。 答：和是奇数。 【方法总结】 判断多个数相加的和的奇偶性，只需要看奇数的个数：奇数个奇数相加是奇数，偶数个奇数相加是偶数。偶数不影响和的奇偶性。 【随堂小练1】 1+2+3+…+999的和是奇数还是偶数？ 【例2 相邻奇数乘积差】★★基础 【题目】 一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？ 【解题思路】 设这个数为a，两个相邻奇数为2k+1和2k+3（k为整数）。根据题意，a×(2k+3) - a×(2k+1) = 150。我们可以利用乘法分配律化简这个式子，求出a的值。 【完整解析】 设这个数为a，两个相邻奇数分别为x和x+2（因为相邻奇数相差2）。 根据题意： a × (x+2) - a × x = 150 利用乘法分配律： a × x + a × 2 - a × x = 150 2a = 150 a = 75 验证： 假设两个相邻奇数是1和3，75×3 - 75×1 = 225 - 75 = 150 ✅ 假设两个相邻奇数是5和7，75×7 - 75×5 = 525 - 375 = 150 ✅ 无论哪两个相邻奇数，结果都是150。 答：这个数是75。 【方法总结】 相邻奇数相差2，利用乘法分配律可以消掉未知数，直接求出这个数。关键是理解"相邻奇数相差2"这个特点。 【随堂小练2】 一个数分别与另外两个相邻偶数相乘，所得的两个积相差80，这个数是多少？ 【例3 翻杯子问题】★★提升 【题目】 桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时"翻转"。请说明：无论经过多少次这样的"翻转"，都不能使9只杯子全部口朝下。 【解题思路】 这道题可以用奇偶性来分析。每只杯子要从口朝上变成口朝下，需要翻转奇数次。9只杯子全部口朝下，总共需要翻转的次数是9个奇数相加，和是奇数。而每次翻转6只杯子，每次翻转的次数是6（偶数），无论翻转多少次，总翻转次数都是偶数个6相加，还是偶数。奇数≠偶数，所以不可能。 【完整解析】 要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次翻转。 要使9只杯子全部口朝下，需要翻转的总次数是9个奇数相加。 根据性质：奇数个奇数相加得奇数。 所以总翻转次数必须是奇数。 另一方面，每次翻转6只杯子，每次翻转6次（偶数）。 无论翻转多少次，总翻转次数 = 次数 × 6。 因为6是偶数，所以总翻转次数一定是偶数。 奇数 ≠ 偶数 因此，无论经过多少次翻转，都不能使9只杯子全部口朝下。 答：不能，因为总翻转次数需要是奇数，但每次翻转6只，总次数是偶数，奇数≠偶数。 【方法总结】 翻杯子、开关灯等问题，都是奇偶性的经典应用。关键是分析"总次数"的奇偶性，看是否能匹配。 【随堂小练3】 桌上有7只杯子，全部口朝上，每次将其中4只同时"翻转"。能不能经过若干次翻转，使7只杯子全部口朝下？为什么？ 三、拓展例题 【拓展1 页码问题】★★★拔高 【题目】 一本书的页码由1到99，共99页。把这本书的所有页码加起来，和是奇数还是偶数？ 【解题思路】 和例1类似，我们只需要找出1到99中有多少个奇数，多少个偶数，然后根据奇数的个数来判断和的奇偶性。 【完整解析】 1到99中，有多少个奇数？多少个偶数？ 99 ÷ 2 = 49……1 所以有49个偶数，50个奇数。 50个奇数相加，50是偶数，所以奇数的和是偶数。 49个偶数相加，和是偶数。 偶数 + 偶数 = 偶数 所以1到99的页码和是偶数。 验证： 等差数列求和公式：(1+99)×99÷2 = 100×99÷2 = 50×99 = 4950 4950是偶数 ✅ 答：和是偶数。 【方法总结】 判断连续自然数的和的奇偶性，只需要看奇数的个数。奇数个奇数相加是奇数，偶数个奇数相加是偶数。 【随堂小练4】 一本书的页码由1到100，共100页。把这本书的所有页码加起来，和是奇数还是偶数？ 【拓展2 报数抢占步数博弈问题】★★★拔高 【题目】 甲、乙两人做游戏，先由乙报数，报的数只能是1到5中的某个数，然后甲把乙报的数加上自己报的数，和是多少，甲就往前走几步。谁先走到第30步谁获胜。如果甲想获胜，应该怎样报数？ 【解题思路】 这道题可以用周期性控制法来分析。每次两人报的数之和最小是1+1=2，最大是5+5=10。关键是找到一个固定的和，让甲能控制局面。 【完整解析】 乙报1到5中的某个数，甲可以控制两人报数的和为6。 如果乙报1，甲就报5，1+5=6 如果乙报2，甲就报4，2+4=6 如果乙报3，甲就报3，3+3=6 如果乙报4，甲就报2，4+2=6 如果乙报5，甲就报1，5+1=6 这样，每一轮两人报数的和都是6。 30 ÷ 6 = 5，刚好5轮。 所以甲只要每次报的数和乙报的数加起来等于6，经过5轮，甲就能走到第30步，获胜。 答：甲应该每次报的数和乙报的数加起来等于6。如果乙报n，甲就报6-n。 【方法总结】 这类轮流报数、走步的问题，关键是找到一个固定的"和"，让自己能控制每一轮的总步数。通常这个固定的和是"最小数+最大数"。 【随堂小练5】 甲、乙两人做游戏，先由乙报数，报的数只能是1到4中的某个数，然后甲把乙报的数加上自己报的数，和是多少，甲就往前走几步。谁先走到第20步谁获胜。如果甲想获胜，应该怎样报数？ 【拓展3 互赠贺卡问题】★★★★挑战 【题目】 元旦前夕，同学们相互送贺年卡。每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡。那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？ 【解题思路】 这道题可以用奇偶性来分析。因为是互赠贺卡，所以每送一张贺卡，就有两个人各送了一张（送的人和回赠的人）。所以送贺卡的总张数一定是偶数。然后我们根据"送了奇数张贺卡的人数"和"送了偶数张贺卡的人数"来分析。 【完整解析】 设送了奇数张贺卡的有x人，送了偶数张贺卡的有y人。 送贺卡的总张数 = 奇数张的总和 + 偶数张的总和 偶数张的总和：y个偶数相加，和是偶数。 总张数：因为每送一张贺卡，就有两个人各送一张，所以总张数一定是偶数。 偶数 = 奇数张的总和 + 偶数 所以奇数张的总和 = 偶数 - 偶数 = 偶数 x个奇数相加，和是偶数。 根据性质：偶数个奇数相加得偶数。 所以x必须是偶数。 因此，送了奇数张贺年卡的人数是偶数。 答：是偶数。因为总送卡数是偶数，偶数张的总和是偶数，所以奇数张的总和也是偶数，而偶数个奇数相加才是偶数，所以人数是偶数。 【方法总结】 互赠、握手、比赛等问题，总次数一定是偶数，因为每次活动涉及两个人。利用这个特点，可以分析出奇数次数的人数一定是偶数。 【随堂小练6】 有10个小朋友握手，每两个人都握一次手。握了奇数次手的人数是奇数还是偶数？为什么？ 四、易错题专区 【易错题1 0的奇偶性】 【题目】 判断：0是奇数。（ ） 【错误解法】 √，因为0既不是奇数也不是偶数，或者认为0是奇数。 【错误分析】 很多同学对0的奇偶性搞不清楚。记住：能被2整除的数是偶数，0÷2=0，商是整数，所以0能被2整除，0是偶数！ 【正确解法】 ×，0是偶数。 【避坑提醒】 0是偶数！0是偶数！0是偶数！重要的事情说三遍！ 【易错题2 运算性质记混】 【题目】 判断：奇数+奇数=奇数。（ ） 【错误解法】 √，奇数加奇数，两个奇数，结果应该还是奇数。 【错误分析】 这是最常见的错误！奇数+奇数=偶数，不是奇数。 举个例子：1+3=4，4是偶数。 记住口诀："同性相加得偶数，异性相加得奇数。" 【正确解法】 ×，奇数+奇数=偶数。 【避坑提醒】 加减法奇偶性口诀： 偶+偶=偶，奇+奇=偶（同性相加得偶数） 偶+奇=奇（异性相加得奇数） 【易错题3 乘法性质搞反】 【题目】 判断：两个数相乘，只要有一个奇数，乘积就是奇数。（ ） 【错误解法】 √，有奇数就是奇数。 【错误分析】 乘法中，只要有一个偶数，乘积就是偶数；只有全是奇数，乘积才是奇数。 举个例子：2×3=6，有一个奇数3，但乘积6是偶数。 记住：乘法中，偶数是"传染"的，有一个偶数，结果就是偶数。 【正确解法】 ×，只要有一个偶数，乘积就是偶数；只有全是奇数，乘积才是奇数。 【避坑提醒】 乘法奇偶性口诀： 有偶则偶，全奇才奇 五、趣味挑战题 【趣味挑战1 神奇的魔术】 魔术师对观众说："你随便想一个数，把它加上3，再乘以2，再减去4，再除以2，最后减去你想的那个数。我知道结果是多少！" 你知道结果是多少吗？用奇偶性的知识想想，为什么魔术师总能猜对？ 【参考答案】 结果恒为 1。 【提示】 用代数推导： 设想的数为 x，计算过程为 ((x+3)×2−4)÷2−x=1。 【趣味挑战2 开关灯游戏】 走廊里有10盏灯，从1到10编号，开始时全部关闭。有10个同学依次通过走廊，第1个同学把所有灯的开关都拉了一下，第2个同学把编号是2的倍数的灯的开关都拉了一下，第3个同学把编号是3的倍数的灯的开关都拉了一下……第10个同学把编号是10的倍数的灯的开关都拉了一下。 问：最后哪些灯是亮着的？ 【参考答案】 最后亮着的灯是编号为 1、4、9 的灯（完全平方数）。 【提示】 每盏灯被拉的次数等于其编号的约数个数，约数个数为奇数 ⇔ 该数为完全平方数。 【趣味挑战3 奇数与偶数的历史】 在古代，人们认为奇数是"阳性"的，代表天、光明、力量；偶数是"阴性"的，代表地、黑暗、温柔。你觉得这种说法有道理吗？为什么？ 【提示】 开放性讨论，无标准答案。奇偶性本身无好坏之分，只是分类方式。 六、一题多解精选 【经典题】1+2+3+…+100的和是奇数还是偶数？ 【方法一：数奇数个数法】 1到100中，有50个奇数，50个偶数。 50个奇数相加，50是偶数，所以奇数的和是偶数。 50个偶数相加，和是偶数。 偶数 + 偶数 = 偶数 所以和是偶数。 优点：思路清晰，容易理解 缺点：需要数奇数的个数 【方法二：配对法】 1+100=101（奇），2+99=101（奇），3+98=101（奇）…… 一共有50对，每对的和都是奇数。 50个奇数相加，50是偶数，所以总和是偶数。 优点：计算简单，配对巧妙 缺点：需要想到配对的方法 【方法三：求和公式法】 等差数列求和公式：(1+100)×100÷2 = 101×50 = 5050 5050是偶数。 优点：直接算出结果，最准确 缺点：需要计算，数大的时候麻烦 【老师点评】 三种方法各有优缺点。数奇数个数法是最通用的方法，适用于所有求和奇偶性的问题；配对法更巧妙；求和公式法最直接。推荐大家掌握数奇数个数法，这是最根本的方法。 七、基本练习（5道） 1. 1+2+3+…+1999的和是奇数还是偶数？ 2. 判断：两个奇数的和一定是偶数。（ ） 3. 一个数分别与另外两个相邻偶数相乘，所得的两个积相差160，这个数是多少？ 4. 桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中4只同时"翻转"。能不能经过若干次翻转，使9只杯子全部口朝下？为什么？ 5. 从1到100的所有自然数中，有多少个奇数？有多少个偶数？奇数的和与偶数的和哪个大？ 八、拓展练习（3道） 1. 有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。那么在前100个数中，有多少个奇数？ 2. 五（1）班同学参加数学竞赛，每张试卷有50道题。评分标准是：答对一道给3分，不答给1分，答错倒扣1分。该班同学得分的总和是奇数还是偶数？为什么？ 3. 能不能在下面的每个方框中，分别填入加号或减号，使等式成立？ 1□2□3□4□5□6□7□8□9 = 10 九、随堂小练答案 【随堂小练1】 解： 1到999中，有多少个奇数？ 999 ÷ 2 = 499……1 所以有500个奇数，499个偶数。 500个奇数相加，500是偶数，所以奇数的和是偶数。 偶数 + 偶数 = 偶数 答：和是偶数。 【随堂小练2】 解： 设这个数为a，两个相邻偶数分别为x和x+2。 a×(x+2) - a×x = 80 2a = 80 a = 40 答：这个数是40。 【随堂小练3】 解： 不能。 要使7只杯子全部口朝下，需要翻转的总次数是7个奇数相加，和是奇数。 每次翻转4只，每次翻转4次（偶数）。 无论翻转多少次，总翻转次数都是偶数。 奇数 ≠ 偶数 所以不能。 答：不能，因为总翻转次数需要是奇数，但每次翻转4只，总次数是偶数，奇数≠偶数。 【随堂小练4】 解： 1到100中，有50个奇数，50个偶数。 50个奇数相加，50是偶数，所以奇数的和是偶数。 50个偶数相加，和是偶数。 偶数 + 偶数 = 偶数 答：和是偶数。 【随堂小练5】 解： 乙报1到4中的某个数，甲可以控制两人报数的和为5。 如果乙报1，甲就报4，1+4=5 如果乙报2，甲就报3，2+3=5 如果乙报3，甲就报2，3+2=5 如果乙报4，甲就报1，4+1=5 每一轮两人报数的和都是5。 20 ÷ 5 = 4，刚好4轮。 所以甲只要每次报的数和乙报的数加起来等于5，就能获胜。 答：甲应该每次报的数和乙报的数加起来等于5。如果乙报n，甲就报5-n。 【随堂小练6】 解： 是偶数。 每握一次手，有两个人各握了一次，所以握手总次数一定是偶数。 设握了奇数次手的有x人，握了偶数次手的有y人。 握手总次数 = 奇数次的总和 + 偶数次的总和 偶数次的总和是偶数。 总次数是偶数，所以奇数次的总和也是偶数。 x个奇数相加，和是偶数。 根据性质：偶数个奇数相加得偶数。 所以x必须是偶数。 答：是偶数。 十、基本练习答案 【第1题】 解： 1到1999中，有多少个奇数？ 1999 ÷ 2 = 999……1 所以有1000个奇数，999个偶数。 1000个奇数相加，1000是偶数，所以奇数的和是偶数。 偶数 + 偶数 = 偶数 答：和是偶数。 【第2题】 解： 根据性质：奇数 + 奇数 = 偶数 所以这句话是对的。 答：√ 【第3题】 解： 设这个数为a，两个相邻偶数分别为x和x+2。 a×(x+2) - a×x = 160 2a = 160 a = 80 验证：取任意两个相邻偶数，例如 2 和 4： 80×4−80×2=320−160=160 再取 10 和 12： 80×12−80×10=960−800=160 结果都符合。 答：这个数是80。 【第4题】 解： 不能。 要使9只杯子全部口朝下，需要翻转的总次数是9个奇数相加，和是奇数。 每次翻转4只，每次翻转4次（偶数）。 无论翻转多少次，总翻转次数都是偶数。 奇数 ≠ 偶数 所以不能。 答：不能，因为总翻转次数需要是奇数，但每次翻转4只，总次数是偶数，奇数≠偶数。 【第5题】 解： 1到100中，有50个奇数，50个偶数。 奇数的和：(1+99)×50÷2 = 100×50÷2 = 2500 偶数的和：(2+100)×50÷2 = 102×50÷2 = 2550 2550 > 2500，所以偶数的和大。 答：有50个奇数，50个偶数，偶数的和大。 十一、拓展练习答案 【第1题】 解：这列数的规律是：奇，奇，偶，奇，奇，偶，…… 每3个数为一组，每组中有2个奇数，1个偶数。 100 ÷ 3 = 33……1 33组中有奇数：33 × 2 = 66个 剩下的1个数是第34组的第一个，是奇数。 所以总共有奇数：66 + 1 = 67个 答：有67个奇数。 【第2题】 解： 每个同学的得分是奇数还是偶数？ 每道题的得分：答对3分（奇数），不答1分（奇数），答错-1分（奇数）。 50道题，每道题都是奇数分。 50个奇数相加，50是偶数，所以每个同学的得分都是偶数。 全班同学得分的总和就是若干个偶数相加，还是偶数。 答：得分总和是偶数，因为每个同学的得分都是偶数，偶数相加还是偶数。 【第3题】 解： 我们先把所有数都加起来： 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45，是奇数。 如果把某个数前面的加号改成减号，相当于总和减去这个数的2倍。 减去2倍，就是减去一个偶数。 奇数 - 偶数 = 奇数 所以无论怎么改符号，结果一定是奇数。 而10是偶数，所以不可能。 答：不能，因为结果一定是奇数，10是偶数，奇数≠偶数。 十二、本讲总结 （一）思维导图速记 （二）核心公式速查表 类型 公式/性质 口诀 偶+偶 偶数 同性相加得偶数 奇+奇 偶数 同性相加得偶数 偶+奇 奇数 异性相加得奇数 偶数个奇数相加 偶数 偶个奇相加得偶 奇数个奇数相加 奇数 奇个奇相加得奇 偶×奇 偶数 有偶则偶 奇×奇 奇数 全奇才奇 偶×偶 偶数 有偶则偶 （三）避坑清单 ❌ 坑1：0是奇数 ✅ 正确：0是偶数 ❌ 坑2：奇+奇=奇 ✅ 正确：奇+奇=偶 ❌ 坑3：有奇数乘积就是奇数 ✅ 正确：有偶数乘积就是偶数，全奇才是奇数 ❌ 坑4：翻杯子多翻几次总能成功 ✅ 正确：用奇偶性分析，有些情况永远不可能 ❌ 坑5：握手/互赠问题，奇数次人数是奇数 ✅ 正确：奇数次人数一定是偶数 （四）解题小口诀 奇偶判断很简单， 个位数字是关键。 加减要看奇数个， 奇个奇数和为奇。 乘法只要有偶数， 结果一定是偶数。 翻杯握手和赠卡， 总次为偶要记牢。 遇到难题别慌张， 奇偶性质来帮忙！ 恭喜你完成了本讲的学习！你真棒！🎉 学科网（北京）股份有限公司 $