奥数培优·第2讲 质数、合数和分解质因数 (讲义)-2026-2027学年五年级上册数学人教版

【人教版】小学五年级上册奥数培优讲义·第2讲 质数、合数和分解质因数 名人名言 "宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。" —— 华罗庚 前言 同学们，在我们的数学世界里，有一类特殊的数被称为"数的基石"——它们就是质数。质数就像数学世界里的"原子"，所有大于1的整数都可以由质数相乘得到。 这一讲，我们将一起探索质数与合数的奥秘，掌握分解质因数的方法，学会用质因数的眼光看待数论问题。从判断质数合数，到完全平方数的性质，再到约数个数公式，你会发现：原来复杂的数学问题，只要抓住了本质，就能迎刃而解！ 准备好了吗？让我们一起开启这场奇妙的质数探索之旅吧！🚀 三维教学目标 知识与技能 1. 理解质数、合数、质因数的概念，能正确判断一个数是质数还是合数； 2. 掌握分解质因数的方法，能熟练对合数进行分解质因数； 3. 理解完全平方数的性质，能运用性质解决相关问题； 4. 掌握约数个数公式，能正确计算一个数的约数个数。 过程与方法 1. 通过观察、比较、归纳，经历质数合数概念的形成过程； 2. 通过分解质因数的练习，培养学生的数感和运算能力； 3. 通过解决分组问题、完全平方数问题，培养学生的逻辑推理能力； 4. 学习"从特殊到一般"的数学思想方法。 情感态度 与价值观 1. 感受质数世界的神奇与美妙，激发学习数学的兴趣； 2. 培养学生严谨的数学思维和认真细致的学习习惯； 3. 体会数学知识之间的内在联系，感受数学的统一美。 教学重难点 教学重点 1. 质数与合数的概念，能正确判断质数和合数； 2. 分解质因数的方法； 3. 约数个数公式的应用。 教学难点 1. 灵活运用分解质因数解决实际问题； 2. 完全平方数性质的理解与应用； 3. 乘积相等的分组问题。 高频易错总提示 易错点1：1既不是质数也不是合数 很多同学容易把1当成质数或合数，记住：质数有2个约数（1和本身），合数有3个及以上约数，1只有1个约数，所以1既不是质数也不是合数。 易错点2：2是唯一的偶质数 所有质数中，只有2是偶数，其他质数都是奇数。这个性质在解决"质数和为奇数"类问题时特别有用——和为奇数说明必有一个质数是2。 易错点3：分解质因数不彻底 分解质因数时，要一直分解到所有因数都是质数为止。比如12 = 2 × 6就不对，因为6还是合数，正确的分解应该是12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3。 易错点4：约数个数公式忘记加1 约数个数公式是每个指数"加1"后再相乘，不是直接用指数相乘。比如360 = 2³ × 3² × 5¹，约数个数是(3+1)×(2+1)×(1+1)=24，不是3×2×1=6。 一、知识点总结 （一）质数与合数的定义 1. 质数：一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 2. 合数：一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 3. 特别注意：1不是质数，也不是合数。 4. 最小的质数是2，最小的合数是4。 5. 重要性质：2是唯一的偶质数，其他质数都是奇数。 （二）质因数与分解质因数 1. 质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 2. 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 3. 常用方法：短除法、塔式分解法。 4. 示例：30 = 2 × 3 × 5，其中2、3、5叫做30的质因数。 （三）完全平方数的性质 1. 完全平方数：一个自然数自乘所得的数叫做完全平方数（如4、9、16、25等）。 2. 核心性质：一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶数。 3. 逆定理：如果把一个自然数分解质因数之后，各个质因数的指数都是偶数，那么这个自然数一定是完全平方数。 （四）约数个数公式 1. 约数个数定理：一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加1的连乘的积。 2. 公式：若N = a^p × b^q × c^r...（a、b、c为不同质数），则N的约数个数 = (p+1) × (q+1) × (r+1)... 3. 示例：360 = 2³ × 3² × 5¹，约数个数 = (3+1) × (2+1) × (1+1) = 4 × 3 × 2 = 24个。 （五）解题常用方法 1. 分解质因数法：把合数分解成质数相乘的形式，是解决数论问题的基础。 2. 枚举验证法：对于较小的数，可以逐一验证是否为质数。 3. 奇偶分析法：利用"2是唯一的偶质数"这一特性，快速判断质数组合。 4. 分组配对法：解决乘积相等的分组问题时，看每种质因数的指数总和是否能平均分配” 或 “看各类质因数的数量是否都能平均分成两份。 二、经典例题 标注说明：★基础 / ★★提升 / ★★★拔高 / ★★★★挑战 【例1 分解质因数的基本应用】★★提升 【题目】 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。 【解题思路】 三个连续自然数的乘积是210，我们可以先把210分解质因数，再把质因数组合成三个连续的自然数。 【完整解析】 第一步：分解质因数 210 = 2 × 3 × 5 × 7 第二步：组合质因数 观察质因数：2、3、5、7 我们需要把它们组合成三个连续的自然数。 5和7都是质数，不能再拆分。 2 × 3 = 6 这样就得到了三个连续的自然数：5、6、7。 第三步：验证 5 × 6 × 7 = 210 ✅ 【答案】这三个数是5、6、7。 方法总结：已知几个数的乘积求这几个数，先分解质因数，再根据题目要求把质因数重新组合。连续自然数的特点是相邻两个数相差1。 【随堂小练1】 四个连续自然数的乘积是360，求这四个数。 【例2 质数的性质应用】★★提升 【题目】 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 【解题思路】 两个质数的和是40，我们可以先找出所有和为40的质数对，再分别计算它们的乘积，找出最大值。 【完整解析】 第一步：列出所有和为40的质数对 质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37... 和为40的质数对有： - 3 + 37 = 40 - 11 + 29 = 40 - 17 + 23 = 40 第二步：计算每对的乘积 - 3 × 37 = 111 - 11 × 29 = 319 - 17 × 23 = 391 第三步：比较大小 391 > 319 > 111 所以乘积的最大值是391。 【答案】这两个质数的乘积的最大值是391。 方法总结：两个数的和一定时，它们越接近，乘积越大。这是一个重要的数学规律，在很多问题中都有应用。 【随堂小练2】 两个质数的和是20，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 【例3 判断质数与合数】★★★拔高 【题目】 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？ 【解题思路】 判断一个数是质数还是合数，关键看它除了1和本身外还有没有其他约数。我们可以用能被3整除的数的特征来快速判断。 【完整解析】 第一步：回忆能被3整除的数的特征 能被3整除的数，各位数字之和能被3整除。 第二步：计算123456789的各位数字和 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 第三步：判断 45能被3整除（45 ÷ 3 = 15），所以123456789能被3整除。 这说明123456789除了有约数1和它本身外，至少还有约数3。 所以123456789是合数。 【答案】123456789是合数，因为它能被3整除。 方法总结：判断一个大数是否为质数，不需要找出所有约数，只要能找到一个除了1和本身之外的约数，就可以确定它是合数。常用的方法：先看能否被2、3、5整除，这些有快速判断方法。 【随堂小练3】 判断987654321是质数还是合数，并说明理由。 三、拓展例题 【拓展1 分组乘积相等问题】★★★拔高 【题目】 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。 【解题思路】 要使两组数的乘积相等，那么两组数中所含的质因数必须完全相同。我们先把每个数分解质因数，再根据质因数的情况进行分组。 【完整解析】 第一步：分解每个数的质因数 5 = 5 6 = 2 × 3 7 = 7 14 = 2 × 7 15 = 3 × 5 第二步：统计质因数的总个数 质因数2：2个（6里有1个，14里有1个） 质因数3：2个（6里有1个，15里有1个） 质因数5：2个（5里有1个，15里有1个） 质因数7：2个（7里有1个，14里有1个） 要使两组乘积相等，每组应该各有1个2、1个3、1个5、1个7。 第三步：分组 观察发现： 14 = 2 × 7，含有质因数2和7 15 = 3 × 5，含有质因数3和5 14 × 15 = 2 × 3 × 5 × 7，正好包含所有质因数各1个 剩下的数：5、6、7 5 × 6 × 7 = 5 × (2 × 3) × 7 = 2 × 3 × 5 × 7，也正好包含所有质因数各1个 验证： 第一组：14和15，乘积 = 14 × 15 = 210 第二组：5、6和7，乘积 = 5 × 6 × 7 = 210 两组乘积相等 ✅ 【答案】可以分为两组：一组是5、6、7，另一组是14、15。 方法总结：解决乘积相等的分组问题，关键是分解质因数。每组中每种质因数的个数必须相等，这样乘积才能相等。 【随堂小练4】 把12、5、15、4这四个数分成两组，使每组数的乘积相等。 【拓展2 完全平方数问题】★★★★挑战 【题目】 一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数，求a的最小值与这个平方数。 【解题思路】 完全平方数分解质因数后，各质因数的指数都是偶数。我们先把1080分解质因数，看看哪些质因数的指数是奇数，再乘以相应的质因数使它们变成偶数，就能得到最小的a。 【完整解析】 第一步：分解1080的质因数 1080 = 108 × 10 = (2² × 3³) × (2 × 5) = 2³ × 3³ × 5¹ 第二步：分析各质因数的指数 质因数2：指数是3（奇数） 质因数3：指数是3（奇数） 质因数5：指数是1（奇数） 要使乘积是完全平方数，每个质因数的指数都必须是偶数。 所以还需要： - 1个质因数2（3+1=4，偶数） - 1个质因数3（3+1=4，偶数） - 1个质因数5（1+1=2，偶数） 第三步：求a的最小值 a最小 = 2 × 3 × 5 = 30 第四步：求这个平方数 1080 × a = 1080 × 30 = 32400 验证： 32400 = 180²（因为180 × 180 = 32400）✅ 【答案】a的最小值是30，这个完全平方数是32400。 方法总结：解决完全平方数问题，关键是记住：完全平方数分解质因数后，每个质因数的指数都是偶数。缺什么质因数就补什么质因数，补到指数为偶数为止。 【随堂小练5】 一个整数a与48的乘积是一个完全平方数，求a的最小值。 【拓展3 约数个数公式】★★★★挑战 【题目】 问360共有多少个约数？ 【解题思路】 求一个数的约数个数，可以用约数个数定理：先把这个数分解质因数，然后把每个质因数的指数加1，再相乘，得到的积就是约数的总个数。 【完整解析】 第一步：分解360的质因数 360 = 36 × 10 = (2² × 3²) × (2 × 5) = 2³ × 3² × 5¹ 第二步：应用约数个数公式 约数个数 = (指数1 + 1) × (指数2 + 1) × (指数3 + 1)... 质因数2的指数是3，所以有3+1=4种选择（选0个、1个、2个、3个） 质因数3的指数是2，所以有2+1=3种选择（选0个、1个、2个） 质因数5的指数是1，所以有1+1=2种选择（选0个、1个） 约数总个数 = (3+1) × (2+1) × (1+1) = 4 × 3 × 2 = 24（个） 第三步：验证（选几个约数数一下） 360的约数有：1、2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、18、20、24、30、36、40、45、60、72、90、120、180、360 共24个 ✅ 【答案】360共有24个约数。 方法总结：约数个数公式是数论中的重要公式：若N = a^p × b^q × c^r...，则约数个数 = (p+1)(q+1)(r+1)...。这个公式的原理是乘法原理，每个质因数选几个是独立的，所以用乘法。 【随堂小练6】 求48的约数共有多少个？ 四、易错题专区 （避坑指南，这些错误你中招了吗？） 【易错题1 混淆质数与奇数、合数与偶数】 【题目】 判断：所有的质数都是奇数，所有的合数都是偶数。（ ） 【错误解法】 √（正确）❌ 【错误分析】 这是最常见的概念混淆错误！质数和合数是按约数的个数来分类的，奇数和偶数是按能否被2整除来分类的，这是两种不同的分类方式，不能混为一谈。 反例1：2是质数，但2是偶数，不是奇数。 反例2：9是合数，但9是奇数，不是偶数。 【正确解法】 ×（错误）✅ 正确说法：除了2以外，所有的质数都是奇数；但合数有奇有偶，比如9、15、21等都是奇合数。 避坑提醒：质数≠奇数，合数≠偶数！2是唯一的偶质数，这是一个非常重要的特殊情况，一定要记住。 【易错题2 分解质因数不彻底】 【题目】 把12分解质因数。 【错误解法】 12 = 2 × 6 ❌ 或者：12 = 3 × 4 ❌ 【错误分析】 分解质因数的要求是：所有的因数都必须是质数。6和4都是合数，还可以继续分解，所以这样的分解不彻底。 【正确解法】 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3 ✅ 验证：2和3都是质数，不能再分解了。 避坑提醒：分解质因数要"除到商是质数为止"。分解完后要检查一下，看看每个因数是不是都是质数，如果还有合数，就说明分解不彻底，需要继续分解。 【易错题3 约数个数公式用错】 【题目】 求12的约数有多少个？ 【错误解法】 12 = 2² × 3¹ 约数个数 = 2 × 1 = 2个 ❌ 【错误分析】 约数个数公式是每个指数"加1"后再相乘，不是直接用指数相乘。忘记加1是最常见的错误。 为什么要加1？因为每个质因数都可以选择"选0个"的情况（也就是不选这个质因数），所以要加1。 【正确解法】 12 = 2² × 3¹ 约数个数 = (2+1) × (1+1) = 3 × 2 = 6个 ✅ 验证：12的约数有1、2、3、4、6、12，共6个，正确。 避坑提醒：约数个数公式 = 每个指数加1后相乘！记住：指数+1，不是直接用指数。可以用小数字验证一下，确保公式用对了。 五、趣味挑战题 【趣味挑战】神奇的质数世界 同学们，质数的世界充满了奥秘，让我们一起来探索几个有趣的问题吧！ 挑战一：孪生质数 像3和5、5和7、11和13这样，相差为2的两个质数叫做"孪生质数"。你能找出100以内的所有孪生质数对吗？ 挑战二：哥德巴赫猜想 著名的哥德巴赫猜想说："任何大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。"请你验证一下：20、30、40这三个偶数，是不是都能写成两个质数的和？ 挑战三：质数的末位 观察一下：除了2和5以外，其他所有质数的个位数字都是什么？为什么？ 参考答案： 挑战一：100以内的孪生质数对有：(3,5)、(5,7)、(11,13)、(17,19)、(29,31)、(41,43)、(59,61)、(71,73)，共8对。 挑战二：20=7+13=3+17，30=7+23=11+19=13+17，40=3+37=11+29=17+23，都可以写成两个质数的和。 挑战三：除了2和5以外，其他质数的个位数字只能是1、3、7、9。因为如果个位是0、2、4、6、8，就能被2整除，就是合数；如果个位是0或5，就能被5整除，也是合数。 是不是很神奇？这就是数学的魅力！✨ 六、一题多解精选 【经典题】两个质数的和是40，求乘积最大值 题目：两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 方法一：枚举法（基础方法） 把所有和为40的质数对都列出来，分别计算乘积，再比较大小。 和为40的质数对： 3 + 37 = 40，乘积 = 3 × 37 = 111 11 + 29 = 40，乘积 = 11 × 29 = 319 17 + 23 = 40，乘积 = 17 × 23 = 391 比较：391 > 319 > 111 所以最大值是391。 优点：思路简单，容易理解 缺点：需要枚举所有可能，数字大时比较麻烦 方法二：规律法（推荐方法） 利用"和一定时，两数越接近，乘积越大"的规律，直接找最接近的两个质数。 40 ÷ 2 = 20，我们找20附近的质数： 比20小的质数：19、17、13、11... 比20大的质数：23、29、31、37... 从最接近20的开始验证： 19和21：21不是质数，不行 17和23：17是质数，23是质数，都符合条件 ✅ 所以这两个质数是17和23，乘积 = 17 × 23 = 391。 优点：计算量小，速度快，数字大时优势明显 缺点：需要理解"和定积大"的规律 老师点评：枚举法是基础，一定要掌握；规律法是进阶，掌握了能大大提高解题速度。两种方法都要会，考试时可以互相验证，确保答案正确。 七、基本练习 （基础必做，建议15分钟完成） 第1题 ★基础 边长为自然数，面积为105的形状不同的长方形共有多少种？ 第2题 ★基础 11112222个棋子排成一个长方阵，每一横行的棋子数比每一竖列的棋子数多1个，这个长方阵每一横行有多少个棋子？ 第3题 ★★提升 五个相邻自然数的乘积是55440，求这五个自然数。 第4题 ★★提升 自然数a乘以338，恰好是自然数b的平方，求a的最小值以及b。 第5题 ★★★拔高 求10500的约数共有多少个？ 八、拓展练习 （培优选做，建议10分钟完成） 第1题 ★★★拔高 两个质数的和是99，这两个质数的乘积是多少？ 第2题 ★★★拔高 把20、26、33、35、39、42、44、55、91这九个数分成三组，使每组三个数的乘积都相等。 第3题 ★★★★挑战 求72的约数有多少个？这些约数的和是多少？ 九、随堂小练答案 随堂小练1答案 【题目】四个连续自然数的乘积是360，求这四个数。 【解析】 第一步：分解质因数 360 = 2³ × 3² × 5 第二步：组合质因数 观察质因数，组合成四个连续自然数： 3、4、5、6 3 = 3 4 = 2² 5 = 5 6 = 2 × 3 正好用完所有质因数：2³ × 3² × 5 ✅ 验证：3 × 4 × 5 × 6 = 360 ✅ 【答案】这四个数是3、4、5、6。 随堂小练2答案 【题目】两个质数的和是20，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 【解析】 和为20的质数对： 3 + 17 = 20，乘积 = 3 × 17 = 51 7 + 13 = 20，乘积 = 7 × 13 = 91 比较：91 > 51 所以最大值是91。 验证：7和13都是质数，7+13=20 ✅ 【答案】乘积的最大值是91。 随堂小练3答案 【题目】判断987654321是质数还是合数，并说明理由。 【解析】 用能被3整除的特征判断： 各位数字和：9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45 45能被3整除，所以987654321能被3整除。 说明它除了1和本身外，还有约数3，所以是合数。 验证：987654321 ÷ 3 = 329218107 ✅ 【答案】987654321是合数，因为它能被3整除。 随堂小练4答案 【题目】把12、5、15、4这四个数分成两组，使每组数的乘积相等。 【解析】 第一步：分解质因数 12 = 2² × 3 5 = 5 15 = 3 × 5 4 = 2² 第二步：统计质因数 质因数2：4个 → 每组2个 质因数3：2个 → 每组1个 质因数5：2个 → 每组1个 第三步：分组 第一组：12和5 12 = 2² × 3（有2个2，1个3） 5 = 5（有1个5） 乘积 = 12 × 5 = 60 第二组：15和4 15 = 3 × 5（有1个3，1个5） 4 = 2²（有2个2） 乘积 = 15 × 4 = 60 两组乘积都是60，相等 ✅ 【答案】一组是12和5，另一组是15和4。 随堂小练5答案 【题目】一个整数a与48的乘积是一个完全平方数，求a的最小值。 【解析】 第一步：分解48的质因数 48 = 16 × 3 = 2⁴ × 3¹ 第二步：分析质因数的指数 质因数2：指数是4（偶数，已经满足） 质因数3：指数是1（奇数，还需要补1个） 第三步：求a的最小值 只需要补1个质因数3，就能让所有指数都是偶数。 a最小 = 3 验证：48 × 3 = 144 = 12² ✅ 【答案】a的最小值是3。 随堂小练6答案 【题目】求48的约数共有多少个？ 【解析】 第一步：分解质因数 48 = 16 × 3 = 2⁴ × 3¹ 第二步：应用约数个数公式 约数个数 = (4+1) × (1+1) = 5 × 2 = 10（个） 验证： 48的约数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 共10个 ✅ 【答案】48的约数共有10个。 十、基本练习答案 第1题答案 【题目】边长为自然数，面积为105的形状不同的长方形共有多少种？ 【解析】 长方形的面积 = 长 × 宽 已知面积是105，求有多少种不同的长方形，就是求105有多少对不同的约数。 第一步：分解105的质因数 105 = 3 × 5 × 7 第二步：找出所有约数对 105的约数有：1、3、5、7、15、21、35、105 约数对有： 1 × 105 = 105 3 × 35 = 105 5 × 21 = 105 7 × 15 = 105 共4对，所以有4种不同的长方形。 【答案】共有4种。 第2题答案 【题目】11112222个棋子排成一个长方阵，每一横行的棋子数比每一竖列的棋子数多1个，这个长方阵每一横行有多少个棋子？ 【解析】 横行棋子数 × 竖列棋子数 = 11112222 横行棋子数 - 竖列棋子数 = 1 说明横行和竖列的棋子数是两个相邻的自然数。 我们可以通过观察和验证来找到这两个数。 观察：3333 × 3334 = 11112222 验证： 3333 × 3334 = 3333 × (3333 + 1) = 3333² + 3333 = 11108889 + 3333 = 11112222 ✅ 所以横行有3334个棋子，竖列有3333个棋子。 【答案】每一横行有3334个棋子。 第3题答案 【题目】五个相邻自然数的乘积是55440，求这五个自然数。 【解析】 五个相邻自然数的乘积是55440，我们先分解质因数，再组合成五个连续的自然数。 第一步：分解55440的质因数 55440 = 5544 × 10 = (8 × 693) × (2 × 5) = 8 × 9 × 77 × 2 × 5 = 2³ × 3² × 7 × 11 × 2 × 5 = 2⁴ × 3² × 5 × 7 × 11 第二步：组合成五个连续的自然数 质因数中有7和11，都是质数，说明这五个连续自然数中包含7和11。 包含7和11的五个连续自然数只能是7、8、9、10、11。 验证： 7 × 8 × 9 × 10 × 11 = 55440 ✅ 【答案】这五个自然数是7、8、9、10、11。 第4题答案 【题目】自然数a乘以338，恰好是自然数b的平方，求a的最小值以及b。 【解析】 完全平方数分解质因数后，各质因数的指数都是偶数。 第一步：分解338的质因数 338 = 2 × 169 = 2 × 13² 第二步：分析质因数的指数 质因数2：指数是1（奇数） 质因数13：指数是2（偶数） 要使乘积是完全平方数，还需要1个质因数2。 第三步：求a的最小值 a最小 = 2 第四步：求b b² = 338 × 2 = 676 b = 26（因为26² = 676） 验证：338 × 2 = 676 = 26² ✅ 【答案】a的最小值是2，b是26。 第5题答案 【题目】求10500的约数共有多少个？ 【解析】 用约数个数公式：先分解质因数，再把每个指数加1相乘。 第一步：分解10500的质因数 10500 = 105 × 100 = (3 × 5 × 7) × (2² × 5²) = 2² × 3¹ × 5³ × 7¹ 第二步：应用约数个数公式 约数个数 = (2+1) × (1+1) × (3+1) × (1+1) = 3 × 2 × 4 × 2 = 48（个） 【答案】10500的约数共有48个。 十一、拓展练习答案 第1题答案 【题目】两个质数的和是99，这两个质数的乘积是多少？ 【解析】 两个质数的和是99，99是奇数。 奇数 = 奇数 + 偶数 质数中只有2是偶数，其他都是奇数。 所以这两个质数中一定有一个是2。 另一个质数 = 99 - 2 = 97 97是质数 ✅ 乘积 = 2 × 97 = 194 【答案】这两个质数的乘积是194。 第2题答案 【题目】把20、26、33、35、39、42、44、55、91这九个数分成三组，使每组三个数的乘积都相等。 【解析】 要使三组乘积相等，每组中每种质因数的个数必须相等。 第一步：分解每个数的质因数 20 = 2² × 5 26 = 2 × 13 33 = 3 × 11 35 = 5 × 7 39 = 3 × 13 42 = 2 × 3 × 7 44 = 2² × 11 55 = 5 × 11 91 = 7 × 13 第二步：统计质因数总个数 质因数2：2+1+1+2 = 6个 → 每组2个 质因数3：1+1+1 = 3个 → 每组1个 质因数5：1+1+1 = 3个 → 每组1个 质因数7：1+1+1 = 3个 → 每组1个 质因数11：1+1+1 = 3个 → 每组1个 质因数13：1+1+1 = 3个 → 每组1个 第三步：分组 第一组：20、33、91 20 = 2² × 5 33 = 3 × 11 91 = 7 × 13 乘积 = 20 × 33 × 91 = 60060 第二组：26、42、55 26 = 2 × 13 42 = 2 × 3 × 7 55 = 5 × 11 乘积 = 26 × 42 × 55 = 60060 ✅ 第三组：35、39、44 35 = 5 × 7 39 = 3 × 13 44 = 2² × 11 乘积 = 35 × 39 × 44 = 60060 ✅ 三组乘积都是60060，相等。 【答案】分为三组：第一组20、33、91；第二组26、42、55；第三组35、39、44。 第3题答案 【题目】求72的约数有多少个？这些约数的和是多少？ 【解析】 第一问：求约数个数 用约数个数公式。 第一步：分解72的质因数 72 = 8 × 9 = 2³ × 3² 第二步：应用约数个数公式 约数个数 = (3+1) × (2+1) = 4 × 3 = 12（个） 第二问：求约数的和 约数和公式：若N = ap × bq， 则约数和 = (1+a+a²+...+ap) × (1+b+b²+...+bq) 约数和 = (1 + 2 + 2² + 2³) × (1 + 3 + 3²) = (1 + 2 + 4 + 8) × (1 + 3 + 9) = 15 × 13 = 195 验证： 72的约数有：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72 和 = 1+2+3+4+6+8+9+12+18+24+36+72 = 195 ✅ 【答案】72的约数有12个，这些约数的和是195。 十二、本讲总结 📚 思维导图速记 📋 核心公式速查表 类型 核心要点 质数判断 看除了1和本身外还有没有其他约数 分解质因数 用短除法，除到商是质数为止 完全平方数 分解质因数后，各质因数指数都是偶数 约数个数 若N = ap × bq...，则约数个数 = (p+1)(q+1)... 约数和 约数和 = (1+a+a²+...+ap) × (1+b+b²+...+bq) 特殊质数 2是唯一的偶质数 最小质数/合数 最小的质数是2，最小的合数是4 ⚠️ 避坑清单 1. 1既不是质数也不是合数：不要把1当成质数或合数！ 2. 2是唯一的偶质数：所有质数中只有2是偶数，这个性质很重要。 3. 分解质因数要彻底：一直分解到所有因数都是质数为止，不能停在合数。 4. 约数个数公式要加1：是每个指数"加1"后再相乘，不是直接用指数乘。 5. 质数≠奇数，合数≠偶数：这是两种不同的分类，不要混淆。 6. 乘积相等看质因数：分组乘积相等问题，关键看每种质因数的个数是否相等。 🎵 解题小口诀 【质数合数歌】 质数合数怎么分？约数个数是标准。 两个约数是质数，三个以上是合数。 1既不是质也不合，这个一定要记牢。 最小质数它是2，唯一偶质数就是它。 【分解质因数歌】 分解质因数，短除来帮助。 除到都是质数，才算完成任务。 【约数个数歌】 约数个数不难算，先分解质因数。 每个指数都加1，然后乘起来就完事。 恭喜你完成了本讲的学习！你真棒！🎉 学科网（北京）股份有限公司 $