分层练77 二项分布与超几何分布、正态分布-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 本练习围绕二项分布、超几何分布、正态分布，采用A级基础巩固与B级能力提升分层设计，通过从单一知识点应用到综合情境问题解决的路径，强化概念理解与运算能力，培养数据分析和模型构建素养，适配一轮复习分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级 基础巩固|二项分布、正态分布的概念辨析与简单计算|包含单选、填空、解答题，如二项分布概率计算、正态分布性质应用，培养运算能力和推理意识| |B级 能力提升|跨分布综合应用与实际情境问题|设置多选、复杂解答题，如混检方案分析、频率分布直方图与正态分布结合，发展数据观念和模型意识|

分层练77 二项分布与超几何分布、正态分布 【A级 基础巩固】 1. 若随机变量 ，则 等于（ ） A. B. C. D. 2. 袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量 ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 4. 某中学高三(1)班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得数学成绩 ，则估计该班数学成绩大于120分的学生人数为(参考数据：，)（ ） A. B. C. D. 5. 2023年7月，某天文馆开馆.假设开馆后的1个月内每天的游客人数 服从正态分布 ，则在此期间的某一天，该馆的游客人数不超过的概率为(参考数据：若，则，，)（ ） A. B. C. D. 6. (多选)袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机变量服从正态分布，若函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知随机变量 服从二项分布 ，且，那么一次试验成功的概率的值为. 9. 小赵计划购买某种理财产品，设该产品每年的收益率为，若，则小赵购买该产品4年，恰好有2年是正收益的概率为. 10. 一袋中有除颜色不同，其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，从中任意取出3个球，有黄球的概率是，若表示取到黄球的个数，则. 11. 2021年10月1日至10月5日，第30届全国中学生生物学奥林匹克竞赛决赛在浙江省萧山中学举行.为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩(单位：分)，经统计，这50名学生的成绩全部介于至之间，将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数； (2)在这50名学生中用分层随机抽样的方法从成绩在这三组中抽取人，再从这人中随机抽取人，记为人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望. 12. 某校为全面加强和改进学校体育工作，推进学校体育评价改革，建立了日常参与、体质监测和专项运动技能测试相结合的考查机制，在一次专项运动技能测试中，该校随机抽取名学生作为样本进行耐力跑测试，这名学生的测试成绩等级及频数如下表： 成绩等级 优 良 合格 不合格 频数 (1)从这名学生中随机抽取名学生，这名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数记为，求； (2)将样本频率视为概率，从该校的学生中随机抽取名学生参加野外拉练活动，耐力跑测试成绩等级为优或良的学生能完成该活动，合格或不合格的学生不能完成该活动，能完成活动的每名学生得分，不能完成活动的每名学生得分.这名学生所得总分记为，求的数学期望. 【B级 能力提升】 13. (多选)某人参加一次测试，在备选的道题中，他能答对其中的道.现从备选的道题中随机抽出道题进行测试，规定至少答对题才算合格.则下列选项正确的是（ ） A.答对题和答对题的概率相同，都为 B.答对题的概率为 C.答对题的概率为 D.合格的概率为 14. 通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检.单检，是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测；混检，是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本.混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“合混检”，“合混检”，“合混检”等.调查研究显示，在群体总阳性率较低(低于)时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本.根据流行病学调查结果显示，某城市居民感染新冠病毒的概率为.若对该城市全体居民进行核酸检测，记采用“合混检”方式共需检测次，采用“合混检”方式共需检测次，已知当时，，据此计算的近似值为（ ） A. B. C. D. 15. (多选)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数(例如)，其中的各位数中出现的概率为，出现的概率为，记，则当程序运行一次时（ ） A.服从二项分布 B. C.的均值 D.的方差 16. 某市为了解本市初中生周末运动时间，随机调查了名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如图所示的频率分布直方图. (1)按照分层随机抽样，从和中随机抽取了名学生.现从已抽取的名学生中随机推荐名学生参加体能测试.记推荐的名学生来自的人数为，求的分布列； (2)由频率分布直方图可认为：周末运动时间服从正态分布，其中，为周末运动时间的平均数，近似为样本的标准差，并已求得.可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初中生中随机抽取名学生，记周末运动时间在之外的人数为，求(精确到). 参考数据1：当时，，，. 参考数据2：，. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1. B ［随机变量， 则．］ 2. D ［袋中装有 个红球， 个黄球，有放回地抽取 次，每次抽取 球，则抽到黄球的概率， 次中有 次抽到黄球的概率．］ 3. C ［随机变量，且，， 则解得， 故．］ 4. C ［由题意知，该班学生数学成绩呈正态分布，其中数学期望，方差，所以估计该班数学成绩大于 分的学生人数为．］ 5. A ［因为该天文馆开馆后 个月内每天的游客人数 服从正态分布 ，所以，所以，所以．］ 6. ACD ［从袋子中有放回地随机取球 次，则每次取球互不影响，并且每次取到黑球概率相等，又取到黑球记 分，故随机变量 服从二项分布，即，故 A 正确；，故 B 错误；因为，所以，故 C 正确；，故 D 正确．］ 7. C ［函数为偶函数，则，， ．］ 8. ［ 随机变量 服从二项分布 ，， ，解得．］ 9. ［由题可知该产品每年为正收益的概率为，则小赵购买该产品 年，恰好有 年是正收益的概率为．］ 10. ； ［一个袋中有除颜色不同，其他都相同的 个白球， 个黄球， 个红球，从中任意取出 个球，样本点总数， 其中有黄球包含的样本点个数． 所以有黄球的概率是． 设表示取到黄球的个数， 的所有可能取值为 ， ， ， 所以．］ 11. 解 (1)由得， 前两组的频率之和为， 前三组的频率之和为， 设中位数为，则， 所以， 得，所以估计这 名学生成绩的中位数为． (2)因为 名学生中成绩在的人数为，成绩在的人数为，成绩在的人数为， 所以抽取的 人中，成绩在的有 人，的有 人，的有 人． 易知 的所有可能取值为 ， ， ， ， ， 所以 的分布列为 数学期望． 12. 解 (1)根据题意，这 名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数为， 成绩等级为合格或不合格的人数为 ， 则． （2）从该校的学生中随机抽取3名，相当于进行了3次独立重复试验，设所抽取的3名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数为，则服从二项分布． 由题意得从这60名学生中任取1名学生，耐力跑测试成绩等级为优或良的频率为 将样本频率视为概率得 根据二项分布的均值公式得 根据题意得 所以的数学期望为 13. CD ［由题意可得，， ， ， ， 则答对 题和答对 题的概率相同，都为，故 A 错误；答对 题的概率为，故 B 错误；答对 题的概率为，故 C 正确； 合格的概率，故 D 正确．］ 14. B ［若进行“ 合 ”混检，对任意一个 人组进行检测，总检测次数有两种结果： 次和 次，概率分别为和，故这 个人检测次数的期望值为，同理，采用“ 合 ”混检，每个个体平均检测次． ．］ 15. ABC ［由二进制数的特点知每一个数位上的数字只能填 ，且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后 位中后 位的所有结果有 类： ①后 个数都出现 ，，记其概率为； ②后 个数只出现 个 ，，记其概率为； ③后 个数出现 个 ，，记其概率； ④后 个数出现 个 ，，记其概率； ⑤后 个数都出现 ，，记其概率为， 故，故 A 正确； 又，故 B 正确； ， ，故 C 正确； ， 的方差，故 D 错误．］ 16. 解 (1)运动时间在的人数， 运动时间在的人数为， 则区间内抽取的人数为 ，在区间内抽取的人数为 ． 随机变量 的所有可能取值为 ， ， ， ， ， 所以随机变量 的分布列为 (2)， ，， ． ， ，． ． $