课时规范练66　二项分布、超几何分布与正态分布 -2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 分层递进式设计，通过基础巩固、综合提升、创新应用三级梯度，实现二项分布、超几何分布与正态分布从概念理解到实际应用的知识巩固路径，培养数学抽象、数据观念与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固练|二项分布方差、正态分布对称性、两点分布期望方差等单一知识点|以选择填空为主，直接考查公式应用与概念辨析，如二项分布概率计算、正态分布概率对称性分析| |综合提升练|结合实际情境的分布列与期望计算|解答题形式，整合统计数据（体育锻炼时间、学生成绩），考查正态分布应用、二项分布建模，培养数据处理能力| |创新应用练|有放回与不放回抽样的分布比较|探究性解答题，对比两种抽样方式的期望方差及估计误差，发展逻辑推理与创新意识|

课时规范练66　二项分布、超几何分布与正态分布 (分值:78分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础 巩固练 1.(2025·山东青岛三模)若随机变量X~B(4,p),D(X)=1,则P(X=3)=(　　) A. B. C. D. 2.(2025·河南许昌三模)已知随机变量X服从正态分布N(2.3,σ2),且P(2.3<X≤4.2)=0.23,设P(X>0.3)=m,则(　　) A.m=0.73 B.m=0.77 C.0.5<m<0.73 D.m>0.73 3.(多选题)若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,E(X),D(X)分别为随机变量X的数学期望与方差,则下列结论正确的是(　　) A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=4 C.D(X)= D.D(3X+2)=4 4.(2025·山西晋中三模)已知数轴上一质点在外力的作用下,从原点出发,每次向左移动的概率为,向右移动的概率为.若该质点每次移动1个单位长度,则经过3次移动后,该质点位于坐标1处的概率为(　　) A. B. C. D. 5.(2025·广东江门模拟)一箱苹果共有12个,其中有n(2<n<7)个是烂果,从这箱苹果中随机抽取3个,恰有2个烂果的概率为,则n=(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 6.(2025·湖南邵阳三模)若随机变量X~B(10,0.5),则当P(X=k)取得最大值时,正整数k的值是　　　　.  综 合 提升练 7.(15分)(2025·安徽黄山二模)为了解学生课余时间体育锻炼情况,某校对100名学生平均每周的体育锻炼时间进行了调查,统计数据如下表: 每周体 育锻炼 的时间/h [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10) [10,12) [12,14) [14,16] 人数 3 4 8 11 41 20 8 5 用频率估计概率,该校学生平均每周的体育锻炼时间X近似服从正态分布N(μ,σ2),μ近似为样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中间值代表),σ近似为样本标准差s,并已求得s≈3,利用所得正态分布模型解决以下问题: (1)该校共5 000名学生,试估计该校大约有多少名学生平均每周的体育锻炼时间在15 h以上(精确到个位); (2)若在该校随机抽取3名学生,设其中平均每周的体育锻炼时间在9 h以上的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和均值. 附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 8.(15分)(2025·陕西汉中模拟)杜老师随机选取了开学测试中本班10名学生的数学成绩,得到如下数据: (1)从这10名学生中随机选出1人,求其数学成绩不低于120分的概率; (2)杜老师将对数学成绩不低于135分的学生给予奖励,现在从这10名学生中随机选出3人,记X为选出获得奖励的学生人数,求X的分布列和数学期望; (3)杜老师针对测试内容与学习计划,对“三角函数、概率、导数”这3个模块进行复习训练,且在训练中进行多轮测评.规定:在一轮测评中,这3个模块至少有2个模块达到90分以上,则该轮测试记为合格.在复习训练中,甲同学3个模块中每个模块达到90分以上的概率均为,每轮测评互不影响.若甲同学在复习训练中获得合格的次数的平均值达到5次,求至少要进行多少轮测评. 创 新 应用练 9.(17分)(2025·湖北黄冈二模)一个袋子中有4个红球,n个绿球,已知取出的2个球都是红球的概率为. (1)求n的值. (2)从中依次随机地摸出4个球作为样本,设采用有放回地摸球和不放回地摸球得到的样本中绿球的个数分别为X,Y. (ⅰ)求X的数学期望和方差; (ⅱ)分别就有放回地摸球和不放回地摸球,用样本中绿球的比例估计总体中绿球的比例,求误差的绝对值不超过0.2的概率,并比较所求两个概率的大小,说明两种摸球方式哪种更可靠. 参考答案 1.B　解析 由题设D(X)=4p(1-p)=1,可得p=,所以P(X=3)=)4=故选B. 2.D　解析 易得=2.3,由正态分布的对称性可得P(0.4<X≤2.3)=P(2.3<X≤4.2)=0.23,故P(X>0.4)=P(0.4<X≤2.3)+0.5=0.73,P(X>0.3)>P(X>0.4)=0.73.故选D. 3.AB　解析 由题意可知,P(X=1)=1-P(X=0)=,而E(X)=0+1,故P(X=1)=E(X),故A正确; E(3X+2)=3E(X)+2=4,故B正确; D(X)=(0-)2+(1-)2,故C错误; D(3X+2)=9D(X)=2,故D错误. 故选AB. 4.B　解析 依题意,质点从原点出发,移动到坐标1处时,向左移动了一次,向右移动了两次,记向左移动的次数为X,则X~B(3,),所以P(X=1)=)1()2=故选B. 5.B　解析 依题意可得,即,整理得n2-13n+36=0,解得n=4或9,因为2<n<7,所以n=4.故选B. 6.5　解析 由题可知P(X=k)=)10,所以当k=5时,P(X=k)取得最大值,即最大. 7.解 (1)由题设μ==9,且σ=3,所以该校学生平均每周的体育锻炼时间X近似服从正态分布N(9,32),由P(X>15)=P(X>μ+2σ)=0.022 75, 所以估计该校大约有0.022 75×5 000≈114(名)学生平均每周的体育锻炼时间在15 h以上. (2)由(1)知P(X>9)=P(X>μ), 则平均每周的体育锻炼时间在9 h以上的人数ξ~B(3,), 所以P(ξ=0)=)0(1-)3=,P(ξ=1)=)1(1-)2=, P(ξ=2)=)2(1-)1=,P(ξ=3)=)3(1-)0=, 所以随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P E(ξ)=0+1+2+3 8.解 (1)由题知其数学成绩不低于120分的人数为7,故其数学成绩不低于120分的概率为P= (2)由题知其数学成绩不低于135分的人数为4,X的可能取值为0,1,2,3. P(X=0)=,P(X=1)=, P(X=2)=,P(X=3)=, 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)=0++2+3 (3)设甲同学在一轮测评中合格为事件A,则P(A)=)2)3=, 又甲同学在n(n∈N*)轮测评中合格的次数Y~B(n,),则期望E(Y)=n≥5,解得n,所以至少要进行20轮测评. 9.解 (1)由题可得,n∈N*,即n2+7n-78=0,解得n=6. (2)(ⅰ)对于有放回地摸球,每次摸到绿球的概率为,且每次试验之间的结果是独立的,则X~B(4,),所以E(X)=4,D(X)=4(1-)= (ⅱ)样本中绿球的比例分别为,有放回地摸球时,概率P1=P(0.2)=P(X=2)+P(X=3)=()2×()2+()1×()3=, 不放回地摸球时,概率P2=P(0.2)=P(Y=2)+P(Y=3)= 所以P1<P2,在误差不超过0.2的相同限制下,用样本中绿球比例估计总体中绿球比例,采用不放回地摸球时估计的结果更可靠些. 1 学科网（北京）股份有限公司 $