第十章 第六节 二项分布、超几何分布与正态分布（课时跟踪检测）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

第六节　二项分布、超几何分布与正态分布 1.已知随机变量ξ～B（12，p），且E（2ξ－3）＝5，则D（3ξ）＝（　　） A. B.8 C.12 D.24 2.某电视节目采用组团比赛的方式进行，参赛选手需要全部参加完五场公开比赛，其中五场中有四场获胜，就能取得参加决赛的资格.若某参赛选手每场比赛获胜的概率均是，则这名选手能参加决赛的概率是（　　） A. B. C. D. 3.某党支部有10名党员，7男3女，从中选取2人做汇报演出，若X表示选中的女党员人数，则P（X＜2）＝（　　） A. B. C. D.1 4.已知随机变量X服从二项分布B（4，p），其期望E（X）＝3，随机变量Y服从正态分布N（1，2），若P（Y＞0）＝p，则P（0＜Y＜2）＝（　　） A. B. C. D. 5.〔多选〕（2024·泰安一模）随机变量X～N（μ，σ2）且P（X≤2）＝0.5，随机变量Y～B（3，p），若E（Y）＝E（X），则（　　） A.μ＝2 B.D（X）＝2σ2 C.p＝ D.D（3Y）＝2 6.数学教师从6道习题中随机抽3道让学生自我检测，规定至少要解答正确2道题才能及格.某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是　　　　. 7.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.则质点P移动五次后位于点（2，3）的概率是　　　　. 8.（2024·赣州模拟）某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试.已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，m，其中0＜m＜1，技能测试是否通过相互独立. （1）若m＝.求该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率； （2）已知甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，应聘者以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求m的取值范围. 9.〔多选〕袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则（　　） A.X～B（4，） B.P（X＝2）＝ C.E（X）＝ D.D（X）＝ 10.（新定义）柯西分布是一个数学期望不存在的连续型概率分布.记随机变量X服从柯西分布为X～C（γ，x0），其中当γ＝1，x0＝0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为f（x）＝.已知X～C（1，0），P（｜X｜≤）＝，P（1＜X≤）＝，则P（X≤－1）＝　　　　. 11.（2025·江西名校联盟）已知某客运轮渡最大载客质量为4 000 kg，且乘客的体重（单位：kg）服从正态分布N（60，100）. （1）记X为任意两名乘客中体重超过70 kg的人数，求X的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）； （2）设随机变量Xi（i＝1，2，…，n）相互独立，且服从正态分布N（μ，σ2），记ξ＝，则当n≥20时，可认为ξ服从标准正态分布N（0，1）.若保证该轮渡不超载的概率不低于97.7%，求最多可运载多少名乘客. 附：若随机变量η服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ＜η＜μ＋σ）＝0.682 6；若ξ服从标准正态分布N（0，1），则P（ξ＜2）＝0.977；0.158 72≈0.025 2，0.841 32≈0.707 8，0.158 7×0.841 3≈0.133 5. 12.（创新考法）某自然保护区经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度增加.已知这种动物P拥有两个亚种（分别记为A种和B种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉100只动物P，统计其中A种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次，记第i次试验中A种的数目为随机变量Xi（i＝1，2，…，20）.设该区域中A种的数目为M，B种的数目为N（M，N均大于100），每一次试验均相互独立. （1）求X1的分布列； （2）记随机变量＝Xi.已知E（Xi＋Xj）＝E（Xi）＋E（Xj），D（Xi＋Xj）＝D（Xi）＋D（Xj）. ①证明：E（）＝E（X1），D（）＝D（X1）； ②该小组完成所有试验后，得到Xi的实际取值分别为xi（i＝1，2，…，20）.数据xi（i＝1，2，…，20）的平均值＝30，方差s2＝1.用和s2分别代替E（）和D（），给出M，N的估计值. （已知随机变量X服从超几何分布记为X～H（P，n，Q）（其中P为总数，Q为某类元素的个数，n为抽取的个数），则D（X）＝n（1－）） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六节　二项分布、超几何分布与正态分布 1.D　因为E（2ξ－3）＝2E（ξ）－3＝2×12p－3＝5，所以p＝，故D（3ξ）＝32D（ξ）＝9×12××（1－）＝24. 2.D　由题意可知五场中获胜的场次X～B（5，），选手能参加决赛的概率P＝×（）4×（1－）＋×（）5×（1－）0＝. 3.C　由题意知X服从超几何分布，X的可能取值为0，1，2，故P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，于是P（X＜2）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝，故选C. 4.D　由E（X）＝4p＝3，得p＝，则P（Y＞0）＝，则P（0＜Y＜1）＝－＝，则P（0＜Y＜2）＝2P（0＜Y＜1）＝. 5.AC　因为X～N（μ，σ2）且P（X≤2）＝0.5，所以μ＝2，故E（X）＝μ＝2，D（X）＝σ2，A正确，B错误.因为Y～B（3，p），所以E（Y）＝3p，因为E（Y）＝E（X），所以3p＝2，解得p＝，C正确.D（3Y）＝9D（Y）＝9×3××（1－）＝6，D错误.故选A、C. 6.　解析：设X表示解答正确的习题的个数，由题意知X服从超几何分布，由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝＋＝. 7.　解析：由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点（2，3），所以质点P必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为（）3（）2＝（）5＝. 8.解：（1）记“该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项”为事件A， 由题设P（A）＝×××＋××（）2＝. 故该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率为. （2）分别记“该应聘者应聘甲、乙公司三项专业技能测试中通过的项目数为ξ，η”， 由题设知：ξ～B（3，），所以E（ξ）＝3×＝2. η的所有可能取值为0，1，2，3， P（η＝0）＝××（1－m）＝， P（η＝1）＝××（1－m）＋××（1－m）＋××m＝， P（η＝2）＝××（1－m）＋××m＋××m＝， P（η＝3）＝××m＝＝， 故η的分布列为 η 0 1 2 3 P 从而E（η）＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 由得解得＜m＜1，故m的取值范围为（，1）. 9.ACD　从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到黑球的概率相等，又取到黑球记1分，取到白球记0分，4次取球的总分数，即为取到黑球的个数，所以随机变量X服从二项分布，即X～B（4，），故A正确；P（X＝2）＝（）2（）2＝，故B错误；因为X～B（4，），所以E（X）＝4×＝，故C正确；D（X）＝4××＝，故D正确. 10.　解析：因为f（－x）＝＝f（x），所以该函数是偶函数，图象关于y轴对称，由P（｜X｜≤）＝，可得P（0＜X≤）＝，因为P（1＜X≤）＝，所以P（0＜X＜1）＝－＝，因此P（－1＜X＜0）＝，所以P（X≤－1）＝－＝. 11.解：（1）由乘客的体重（单位：kg）服从正态分布N（60，100）可得μ＝60，σ＝10， 则可得P（X＞70）＝P（X＞μ＋σ）＝＝＝0.158 7， 即任意一名乘客体重大于70 kg的概率为0.158 7， 则X的所有可能取值为0，1，2， P（X＝0）＝（1－0.158 7）2≈0.708， P（X＝1）＝（1－0.158 7）×0.158 7≈0.267， P（X＝2）＝0.158 72≈0.025 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 0.708 0.267 0.025 期望值为E（X）≈0×0.708＋1×0.267＋2×0.025＝0.317. （2）设Xi为第i（i＝1，2，…，n）位乘客的体重，则Xi～N（μ，σ2），其中μ＝60，σ＝10， 所以P（Xi≤4 000）＝P（ξ≤）≥97.7%， 由P（ξ＜2）＝0.977可得≥2， 即3n＋－200≤0，可得（3＋25）（－8）≤0，即≤8，n≤64. 故最多可运载64名乘客. 12.解：（1）依题意，X1服从超几何分布，故X1的分布列为P（X1＝k）＝，k∈N，0≤k≤100. X1 0 1 … 99 100 P … （2）①证明：由题可知Xi（i＝1，2，…，20）均服从完全相同的超几何分布，所以E（X1）＝E（X2）＝…＝E（X20），E（）＝E（Xi）＝E（Xi）＝E（Xi）＝×20E（X1）＝E（X1）， D（）＝D（Xi）＝D（Xi）＝D（Xi）＝×20D（X1）＝D（X1）. 故E（）＝E（X1），D（）＝D（X1）. ②由①可知的均值E（）＝E（X1）＝. 由公式得X1的方差 D（X1）＝， 所以D（）＝. 依题意有 解得N＝1 456，M＝624， 所以可以估计M＝624，N＝1 456. 学科网（北京）股份有限公司 $