分层练76 离散型随机变量及其分布列、数字特征-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 分层设计覆盖离散型随机变量概念、分布列及数字特征，从基础辨析到综合应用，逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础巩固|12题（如第1、5、12题）|选择、填空、解答，含概念判断、基本计算、简单应用|从离散型随机变量概念辨析，到分布列性质、均值计算，再到实际情境应用| |B级能力提升|4题（如第1、4题）|选择（多选）、解答，含参数分析、复杂建模|深化数字特征（方差、标准差），结合函数思想分析分布列，提升实际问题综合解决能力|

分层练76离散型随机变量及其分布列、数字特征 【A级基础巩固】 1. 已知下列随机变量： ①10件产品中有2件次品，从中任选3件，取到次品的件数； ②一位射击选手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射击选手在一次射击中的得分； ③一天内的温度； ④在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数. 其中是离散型随机变量的是（ ） A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.③④ 2. 若随机变量的分布列为 则的均值等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知，随机变量，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量的分布列是 则等于（ ） A. B. C. D. 5. 某企业计划加大技改力度，需要更换一台设备，现有两种品牌的设备可供选择，品牌设备需投入60万元，品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查： 品牌的使用年限 年限 概率 品牌的使用年限 年限 概率 更换设备技改后，每年估计可增加效益100万元，从年均收益的角度分析（ ） A.不更换设备 B.更换为设备 C.更换为设备 D.更换为或设备均可 6. (多选)设离散型随机变量的分布列为 若离散型随机变量满足，则（ ） A. B. C. D. 7. (多选)一盒中有7个乒乓球，其中5个未使用过，2个已使用过，现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中.记盒中已使用过的球个数为，则（ ） A.的所有可能取值是 B.最有可能的取值是 C.等于的概率为 D.的数学期望是 8. 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球.设为取出的4个球中红球的个数，则______. 9. 随机变量的分布列如下： 其中成等差数列，则______，公差的取值范围是______. 10. 马老师从课本上抄录的一个随机变量的分布列如下表： 尽管“”与“”处无法完全看清，但能肯定两个“”处的数值相同，据此，______. 11. 设箱子里装有同样大小的3个红球及白球、黑球、黄球、绿球各1个. (1)若甲从中一次性摸出2个球，求两个球颜色不相同的概率； (2)若乙从中一次性取出3个球，设3个球中的红球个数为，求随机变量的概率分布列及数学期望值. 12. 某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如表，表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为，现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每名同学被选到的可能性相同）. 性别\专业 中文 英语 数学 体育 男 女 (1)求的值； (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； (3)设为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量的分布列、数学期望及方差. 【B级能力提升】 13. 在一组样本数据中，出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A. B. C. D. 14. (多选)已知随机变量的分布列如下： 则当在内增大时（ ） A.增大 B.减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大 15. (多选)设随机变量的分布列如表： 则下列说法正确的是（ ） A.当为等差数列时， B.数列的通项公式可能为 C.当数列满足时， D.当数列满足时， 16. 某学校组织“纪念共青团成立100周年”知识竞赛，有三类问题，每位参加比赛的同学需要先选择一类并从中随机抽取一个问题回答，只有答对当前的问题才有资格从下一类问题中再随机抽取一个问题回答.类问题中的每个问题回答正确得10分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分.已知小康同学能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. (1)若小康按照的顺序答题，记为小康的累计得分，求的分布列； (2)相比较小康自选的的答题顺序，小康的朋友小乐认为按照的顺序答题累计得分期望更大，小乐的判断正确吗？并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1. B ［①中，的可能取值为，符合要求； ②中，的可能取值为，符合要求； ③中，一天的温度变化是连续的，所以不是离散型随机变量； ④中，在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数是离散且随机的，符合要求．］ 2. C ［， 由分布列的性质可知， 所以．］ 3. B ［由题意可知 ．］ 4. C ［由分布列的性质可得， 解得，所以，因此 ．］ 5. B ［设更换为品牌设备使用年限为， 则，更换为品牌设备年均收益为 (万元)；设更换为品牌设备使用年限为，则 ，更换为品牌设备年均收益为 (万元)．，所以以更换为品牌设备．］ 6. BD ［由题表可知，则，所以．故选BD．］ 7. AC ［记未使用过的乒乓球为，已使用过的为，任取个球的所有可能是，，，使用后成为；故的所有可能取值是，故正确；，，，所以最有可能的取值是，故B错误，C正确；，故D错误．］ 8. ［由题意可知 ．］ 9. ； ［成等差数列，， 又，， ． 又，根据分布列的性质，得， ．］ 10. 2 ［设， ，则． 于是．］ 11. 解 (1)记“甲从中一次性摸出个球，两个球颜色不相同”为事件，甲从中一次性摸出个球共有种， 两个球颜色不相同有种，所以． (2)随机变量 的可能取值为 ，且 所以随机变量 的概率分布列为 12. 解 (1)该名同学的专业为数学的概率为，，解得， ，． (2)设事件为“选出的名同学恰为专业互不相同的男生”，则 ． (3)由题意可知，这名学生中是女生且专业为数学的人数为，所有可能取值为， ， ， 故的分布列为 故， ． 13. B ［的可能取值为，依据四个选项中的的值，四种情形的数学期望都为，方差，标准差为．A中的方差；B中的方差；C中的方差；D中的方差．可知B的情形对应样本的标准差最大．］ 14. AC ［由随机变量的分布列得 解得， ． 故在内增大时，增大． ，所以当时，为单调递增，当时，单调递减，故选AC．］ 15. ABD ［对于A，因为为等差数列，所以，则有，故A正确； 对于B，若数列的通项公式为，则 ，故B正确； 对于C，因为，所以 ， 则有，故C错误； 对于D，令，则， 故，所以， 即，故D正确．］ 16. 解 (1)由题意可知，的所有可能取值为， ， ， ， ． (2)由(1)可知， 若按照ABC顺序答题，记为小康答题的累计得分， 则所有可能取值为， ， ， ， ， 故，，则小康的判断正确． $