分层练73 随机事件、频率与概率-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 分层设计覆盖随机事件、频率与概率全知识点，从概念辨析到实际应用，逻辑递进培养数学抽象与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础巩固|12题|以概念辨析为主，含事件类型判断、概率性质、简单互斥事件计算|从随机事件（必然/不可能/随机）概念切入，到频率与概率关系，再到互斥事件判定，形成“概念-性质-简单应用”链条| |B级能力提升|4题|复杂情境应用，如不放回摸球、多事件互斥判断、实际数据概率分析|深化互斥与对立关系，结合古典概型与频率估计概率，体现“概念-模型-综合应用”进阶，培养数据意识与逻辑推理|

分层练73 随机事件、频率与概率 【A级 基础巩固】 1. 下列事件中随机事件的个数是（ ） ①2024年8月18日，北京市不下雨； ②在标准大气压下，水在时结冰； ③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签； ④，则的值不小于. A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A.任何事件的概率总是在之间 B.频率是客观存在的，与试验次数无关 C.随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率 D.概率是随机的，在试验前不能确定 3. 一个不透明的袋子中装有8个红球，2个白球，除颜色外，球的大小、质地完全相同，采用不放回的方式从中摸出3个球.下列事件为不可能事件的是（ ） A.个都是白球 B.个都是红球 C.至少个红球 D.至多个白球 4. 已知随机事件和互斥，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件，“向上的点数是2或3”为事件，则（ ） A. B. C.表示向上的点数是1或2或3 D.表示向上的点数是1或2或3 6. (多选)不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（ ） A.张卡片不全为红色 B.张卡片中恰有一张为红色 C.张卡片中至少有一张红色 D.张卡片都为绿色 7. (多选)下列说法正确的是（ ） A.若事件与互斥，则是必然事件 B.《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国四大名著.若在这四大名著中，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件“甲取到《红楼梦》”，事件“乙取到《红楼梦》”，则与是互斥但不对立事件 C.掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件“向上的点数不大于”，事件“向上的点数为质数”，则 D.个产品中有个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间含有个样本点 8. 某射击运动员平时100次训练成绩的统计结果如下： 命中环数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 2 4 5 6 9 10 18 26 12 8 如果这名运动员只射击一次，估计射击成绩是6环的概率为；不少于9环的概率为. 9. 我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示： 年降水量(mm) 概率 则年降水量在()范围内的概率是. 10. 某城市2023年的空气质量状况如下表所示： 污染指数 概率 其中污染指数时，空气质量为优；时，空气质量为良；时，空气质量为轻微污染，则该城市2023年空气质量达到良或优的概率为. 11. 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 好评率 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； (3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加，哪类电影的好评率减少，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大(只需写出结论)? 12. 在试验：“连续抛掷一枚质地均匀的正方体骰子2次，观察每次掷出的点数”中，事件表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，事件表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为”，事件表示随机事件“两次掷出的点数之和为6”，事件表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”. (1)试用样本点表示事件与； (2)试判断事件与事件，事件与事件，事件与事件是不是互斥事件； (3)试用事件表示随机事件. 【B级 能力提升】 13. (多选)一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地随机摸出2个球，每次摸出一个球.设事件“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，则（ ） A. B. C. D. 14. (多选)小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如表所示： 所需时间(分钟) 线路一 线路二 则下列说法正确的是（ ） A.任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件 B.从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间 C.如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一 D.若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率 15. 某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有名成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一名成员，则他至少参加2个小组的概率为，他至多参加2个小组的概率为. 16. 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量(单位：万千瓦·时)与该河上游在六月份的降雨量(单位：毫米)有关.据统计，当时，；每增加，增加.已知近20年的值为(1)完成如下的频率分布表： 近20年六月份降雨量频率分布表 降雨量 频率 (2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于(万千瓦·时)或超过(万千瓦·时)的概率. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1.B [①为随机事件，②为不可能事件，③为随机事件，④为必然事件。] 2.C [不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故A错误； 频率是由试验的次数决定的，故B错误； 概率是频率的稳定值，故C正确，D错误。] 3.A [从8个红球、2个白球中采用不放回方式随机摸出3个白球，不可能发生，故选A。] 4.A [\because随机事件 A 和 B 互斥，且，，，。] 5.C [由题意，可知，则。 “A∪B表示向上的点数是1或2或3”正确； 6.BD ［C中“2张卡片中至少一张为红色”包含事件“2张卡片都为红色”，二者并非互斥；A中“2张卡片不全为红色”与“2张卡片都为红色”是对立事件.B、D正确.］ 7.BCD ［对于A，事件与互斥时，不一定是必然事件，故A错误； 对于B，事件与不会同时发生，所以与是互斥事件，但除了事件与之外还有“丙取到《红楼梦》” “丁取到《红楼梦》”，所以与不是对立事件，故与是互斥但不对立事件，故B正确； 对于C，事件，事件，所以包含于，故C正确； 对于D，样本空间正品，次品，含有2个样本点，故D正确.］ 8. [由题表得，如果这名运动员只射击一次，估计射击成靶的概率为，不少于9环的概率为。] 9.0.25 [设年降水量在(100，200)，(200，250)，(250，300)的事件分别为 A，B，C，则，且 B，C 为互斥事件，所以。] 10. [由题意可知2023年空气质量达到优良或优良的概率。] 11.解 (1)由题意知，样本中电影的总部数是，第四类电影中获得好评的电影部数是。 故所求概率为。 (2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是 。 故所求概率估计值为。 (3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率。 12.解 由题意可知抛掷E的样本空间为 ， (1)因为事件 A 表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，所以满足条件的样本点有。 因为事件 B 表示随机事件“两次掷出的点数之和为6”，所以满足条件的样本点有，所以。 (2)因为事件 C 表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”，所以。 因为事件表示随机事件“第一次掷出的点数为j，第二次掷出的点数为k”，所以， 所以。 13.BCD [样本空间为，，，，，，由集合的包含关系可知 B,C,D 正确。] 14.BD [“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，A错误； 线路一所需的平均时间为(分钟)，线路二所需的平均时间为(分钟)，所以 B 正确； 线路一所需时间小于45分钟概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟概率为0.8，小张应选线路二，故 C 错误； 所需时间之和大于100分钟则线路一，线路二的时间可以为(上班线路一50，下班线路二60)，(上班线路一60下班线路二60)，(上班线路二60，下班线路一50)，(上班线路二60，下班线路一60)四种情况，概率为，故 D 正确。] 15. [记“恰好参加2个小组”为事件 A，“恰好参加3个小组”为事件 B，随机选取一名成员，恰好参加2个小组的概率，恰好参加3个小组的概率，则至少参加2个小组的概率为，至多参加2个小组的概率为。] 16.解 (1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，降水量为160毫米的有7个，降水量为200毫米的有3个。 故近20年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 (2)根据题意， 故"发电量低于490万千瓦·时或超过530万千瓦·时"或或。 故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦·时)或超过530(万千瓦·时)的概率为。 $