第64讲　随机事件的相互独立性与条件概率专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦随机事件的相互独立性与条件概率，通过基础题与综合情境题结合，构建从概念理解到实际应用的逻辑链条，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|1-10题|选择、多选题为主，考查条件概率公式、独立事件判定及简单计算|从条件概率定义出发，延伸至独立事件性质，建立“定义-公式-应用”推导链条| |综合情境应用|11-15题|填空、解答题，结合投壶、竞赛等实际情境，涉及复杂事件概率计算|通过多步事件分析，体现概率模型构建过程，强化逻辑推理与数学建模能力|

第64讲　随机事件的相互独立性与条件概率 (时间:45分钟) 1.某超市采用旋转如图所示的圆盘的方式抽奖,若可以连抽两次,则中奖的概率是 (　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.0.36 B.0.48 C.0.6 D.0.84 2.现从含甲、乙在内的10名特种兵中随机选出4名去参加抢险,则在甲被选中的前提下,乙也被选中的概率为 (　 ) A. B. C. D. 3.[2024·盐城一模] 已知随机事件A,B相互独立,且P(A)=P(B)=,则P(A∪B)= (　 ) A. B. C. D. 4.甲、乙两名同学参加一项射击比赛,其中每射击一次击中目标得2分,未击中目标得0分.已知甲、乙两人射击的命中率分别为和p,且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为,假设甲、乙两人射击互不影响,则p的值为 (　 ) A. B. C. D. 5.(多选题)某单位组织开展党史知识竞赛活动,以支部为单位参加比赛,某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题),不放回地依次随机抽取2道题作答,设事件A为“第1次抽到选择题”,事件B为“第2次抽到选择题”,则下列结论中正确的是 (　 ) A.P(A)= B.P(AB)= C.P(B|A)= D.P(B|)= 6.某同学参加学校组织的化学竞赛,比赛分为笔试和实验操作测试,该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为,在实验操作测试中结果为优秀的概率为,则该同学在这次竞赛中仅有一项测试结果为优秀的概率为　　　　.  7.盒中有4个质地、形状完全相同的小球,其中1个红球,1个绿球,2个黄球.现从盒中随机不放回地取球,每次取1个,直到取出红球为止,则在此过程中没有取到黄球的概率为　　　　.  8.已知P(A|B)=P(B|A)=,P()=,则P(B)= (　 ) A. B. C. D. 9.[2024·河南郑州二模] 在某次测试中,若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.5,0.6和0.7,且三人的测试结果相互独立,测试结束后,在甲、乙、丙三人中恰有两人没有获得优秀等级的条件下,乙获得优秀等级的概率为 (　 ) A. B. C. D. 10.(多选题)甲、乙两个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的小球,甲袋中装有3个红球和4个绿球;乙袋中装有5个红球和2个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中,再从乙袋中随机摸出一个小球,用A1表示事件“从甲袋摸出的是红球”,A2表示事件“从甲袋摸出的是绿球”,用B1表示事件“从乙袋摸出的是红球”,B2表示事件“从乙袋摸出的是绿球”,则下列说法正确的是 (　 ) A.A1,A2是对立事件 B.A1,B2是独立事件 C.P(B2|A2)= D.P(B2|A1)+P(B1|A2)= 11.(多选题)大数据时代为媒体带来了前所未有的丰富数据资源和先进的数据科学技术,在AI算法的驱动下,无论是图文编辑、视频编辑,还是素材制作,所有的优质内容创作都变得更加容易.已知某数据库有视频a个,图片b张(a,b∈N且a>b>1).从中随机选出一个视频和一张图片,记“视频甲和图片乙入选”为事件A,“视频甲入选”为事件B,“图片乙入选”为事件C,则下列判断中正确的是 (　 ) A.P(A)=P(B)+P(C) B.P(A)=P(B)·P(C) C.P()>P(C)+P(B) D.P(C)<P(B) 12.小王、小李、小张、小刘四人计划“五一”去踏青,现有三个出游的景点:南湖、净月、莲花山.假设每人随机选择一处景点,在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为　　　　.  13.[2024·河南南阳一模] 投壶是中国古代士大夫宴饮时做的一种投掷游戏,游戏方式是把箭向壶里投.《醉翁亭记》中的“射”指的就是“投壶”这个游戏.为弘扬传统文化,某单位开展投壶游戏,现甲、乙两人为一组玩投壶游戏,每次由其中一人投壶,规则如下:若投中,则此人继续投壶,若未投中,则换为对方投壶,无论之前投壶的情况如何,甲每次投壶的命中率均为,乙每次投壶的命中率均为,由抽签确定第1次投壶的人选,第1次投壶的人是甲、乙的概率各为,则第3次投壶的人是乙的概率为　　　　,在第2次投壶的人是甲的情况下,第1次投壶的人是乙的概率为　　　　.  14.学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后,由教师甲、乙作为代表进行决赛.决赛共设三个项目,每个项目胜者得10分,负者得-5分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的获得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4,0.6,0.6,各项目的比赛结果相互独立.甲、乙获得冠军的概率分别记为p1,p2. (1)求甲教师总得分为0的概率; (2)判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别. 15.双败淘汰赛制是一种竞赛形式,比赛一般分两个组进行,即胜者组与负者组.在第一轮比赛后,获胜者编入胜者组,失败者编入负者组继续比赛,之后的每一轮,在负者组中的失败者将被淘汰;胜者组的情况也类似,只是失败者仅被淘汰出胜者组进入负者组,只有在负者组中再次失败后才会被淘汰出整个比赛.A,B,C,D四人参加的双败淘汰赛制的流程如图所示(其中虚线表示失败者进组,实线表示获胜者进组),其中比赛6为决赛. (1)假设四人实力旗鼓相当,即各比赛每人的胜率均为50%,求: ①A获得季军的概率; ②D在一共输了两场比赛的情况下,成为亚军的概率. (2)若A的实力出类拔萃,与其他三人的比赛中其胜率均为75%,其余三人实力旗鼓相当,求D进入决赛且先前与对手已有过招的概率. 参考答案 第64讲　随机事件的相互独立性与条件概率 1.D　[解析] ∵两次均未中奖的概率是0.4×0.4=0.16,∴若可以连抽两次,则中奖的概率是1-0.16=0.84.故选D. 2.A　[解析] 用A,B分别表示“甲被选中”和“乙被选中”.一共有10名特种兵,从中选出4名,则P(A)==.从10名特种兵中随机选出4名,如果甲和乙都被选中,那么剩余2个被选中的人可从甲和乙之外的8名特种兵中任意选择2名,故选取方式有种,所以P(AB)===.故P(B|A)===.故选A. 3.B　[解析] 因为事件A,B相互独立,且P(A)=P(B)=,所以P(AB)=P(A)P(B)=,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-=.故选B. 4.C　[解析] 记甲、乙两人各射击一次的得分之和为X,则P(X=2)=×(1-p)+×p=-p=,解得p=.故选C. 5.ABC　[解析] P(A)==,故A正确;P(AB)==,故B正确;P(B|A)===,故C正确;P()==,P(B)==,P(B|)===,故D错误.故选ABC. 6.　[解析] 根据题意可得该同学在这次竞赛中仅有一项测试结果为优秀的概率为×+×=. 7.　[解析] 没有取到黄球,可以是“第一次取到红球”或“第一次取到绿球,第二次取到红球”,用事件R1表示第一次取到红球,R2表示第二次取到红球,G1表示第一次取到绿球,则P(R1)=,P(G1R2)=P(G1)P(R2|G1)=×=,所以没有取到黄球的概率P=+=. 8.B　[解析] ∵P(A|B)=,P(B|A)=,且P(A|B)=P(B|A)=,∴P(A)=P(B),又P()=,∴P(A)=1-P()=,∴P(B)=.故选B. 9.C　[解析] 分别记甲、乙、丙三人获得优秀等级为事件A,B,C,记甲、乙、丙三人中恰有两人没有获得优秀等级为事件D,记乙获得优秀等级为事件E.由题知,P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(C)=0.7,所以P(D)=P(A )+P(B)+P( C)=0.5×0.4×0.3+0.5×0.6×0.3+0.5×0.4×0.7=0.29,P(DE)=P(B)=0.5×0.6×0.3=0.09,所以P(E|D)==.故选C. 10.AD　[解析] 对于A,由题意知,每次只摸出一个球,A1∩A2=⌀,P(A1)=,P(A2)=,则P(A1)+P(A2)=1,所以A1,A2是对立事件,故A正确;对于B,P(A1)=,P(B2)=×+×=,P(A1B2)=×=,则P(A1B2)≠P(A1)P(B2),所以A1,B2不相互独立,故B错误;对于C,P(B2|A2)==,故C错误;对于D,P(A2B1)=×=,P(A1B2)=×=,所以P(B1|A2)+P(B2|A1)=+=,故D正确.故选AD. 11.BC　[解析] 显然事件B,C相互独立,且A=BC,所以P(A)=P(B)·P(C),故A错误,B正确;事件包含“视频甲未入选,图片乙入选”“视频甲入选,图片乙未入选”“视频甲、图片乙都未入选”三种情况,因此P()=P(C)+P(B)+P( ),则P()>P(C)+P(B),故C正确;依题意,P(C)=P()P(C)=·=,P(B)=P(B)P()=·=,因为a,b∈N且a>b>1,所以>,即P(C)>P(B),故D错误.故选BC. 12.　[解析] 至少有两人去南湖的情况有三种:两人去,三人去,四人去,其概率为=,至少有两人去南湖且有人去净月的概率为=,所以在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为=. 13.　　[解析] 第3次投壶的人是乙的情况有甲甲乙、甲乙乙、乙乙乙、乙甲乙,所以第3次投壶的人是乙的概率P=××+××+××+××=.第2次投壶的人是甲的情况有甲甲、乙甲,第1次投壶的人是乙的情况有乙,设“第2次投壶的人是甲”为事件A,“第1次投壶的人是乙”为事件B,则P(B|A)===. 14.解:(1)∵甲教师总得分为0,∴甲教师在三个项目的比赛中赢一项输两项, ∴所求概率为0.4×0.4×0.4+0.6×0.6×0.4+0.6×0.4×0.6=0.352. (2)不妨设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为A,B,C,则教师甲获得冠军的概率p1=P(ABC)+P(BC)+P(AC)+P(AB)=0.4×0.6×0.6+0.6×0.6×0.6+0.4×0.4×0.6+0.4×0.6×0.4=0.552,∴教师乙获得冠军的概率p2=1-p1=0.448, ∴|p1-p2|=0.104,≈0.376,∴|p1-p2|<,∴甲、乙获得冠军的实力没有明显差别. 15.解:(1)四人实力旗鼓相当,即各比赛每人的胜率均为50%,即为. ①由题意,第一轮比赛A,D一组,B,C一组,要A获得季军,则A进入胜者组,后续连败两轮,或A进入负者组,后续两轮先胜后败,所以A获得季军的概率为××+××=. ②用Wi表示“D在所参加的比赛i中胜利”,Li表示“D在所参加的比赛i中失败”,事件E表示“D获得亚军”,事件F表示“D所参加的所有比赛中失败了两场”,事件F包括L1L4,L1W4L5,W1L3L5,W1L3W5L6,L1W4W5L6五种情况,这五种情况彼此互斥, 则P(F)=P(L1L4)+P(L1W4L5)+P(W1L3L5)+P(W1L3W5L6)+P(L1W4W5L6)=×+××+××+×××+×××=,事件EF包括W1L3W5L6,L1W4W5L6两种情况,则P(EF)=P(W1L3W5L6)+P(L1W4W5L6)=×××+×××=,所以所求概率为P(E|F)===. (2)由题意得,一场比赛中A获胜的概率为,B,C,D之间获胜的概率均为. 要使D进入决赛且先前与对手已有过招,可分为三种情况: ①若A与D在决赛中相遇,则A:1胜,3胜,D:1负4胜5胜,或A:1负4胜5胜,D:1胜,3胜,其概率P1=×××+×××=; ②若B与D在决赛中相遇,则D:1胜,3胜,B:2胜3负5胜,或D:1胜,3负,5胜,B:2胜3胜,其概率P2=×××+×××=; ③若C与D在决赛中相遇,同B与D在决赛中相遇,其概率P3=×××+×××=. 所以D进入决赛且先前与对手已有过招的概率P=P1+P2+P3=. 1 学科网（北京）股份有限公司 $