分层练72 二项式定理-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 分层设计的二项式定理专项训练，通过基础巩固与能力提升模块，系统覆盖特定项系数、二项式系数性质等核心考点，以题载法强化运算与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础巩固|12题（含选择、填空、解答）|聚焦特定项系数、二项式系数和、常数项计算|从通项公式应用到二项式系数性质，构建概念到基础应用的逻辑链| |B级能力提升|4题（含选择、多选、条件解答）|综合考查赋值法、整除问题、参数存在性|深化性质应用，形成从基础计算到综合推理的递进关系|

分层练72 二项式定理 【A级 基础巩固】 1. 的展开式中，含项的系数为（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中项的系数为（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中，所有二项式系数和为，则该展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 5. 已知的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，则的展开式的各项系数和为（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 7. (多选)的展开式中，下列结论正确的是（ ） A.展开式共项 B.常数项为 C.所有项的系数之和为 D.所有项的二项式系数之和为 8. 已知在的展开式中，第3项和第10项的二项式系数相等，则展开式的系数和为. 9. 若的展开式中项的系数为，则正整数的值为. 10. 若二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值是. 11. 已知在的展开式中，第6项为常数项. (1)求； (2)求含的项的系数. 12. 在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，解决下面两个问题. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 已知，若的展开式中，. (1)求的值； (2)求的值. 【B级 能力提升】 13. 若，则（ ） A. B. C. D. 14. 设，且，若能被整除，则等于（ ） A. B. C. D. 15. (多选)已知，则下列结论正确的是（ ） A. B.当时， C.若的展开式中第7项的二项式系数最大，则等于或 D.当时， 16. 在①只有第八项的二项式系数最大；②奇数项二项式系数之和为；③各项系数之和为；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求的值；若不存在，说明理由. 设二项式，若其展开式中，，是否存在整数，使得是展开式中的常数项？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1.B [的展开式通项为 令，解得， 因此，展开式中含项的系数为。] 2.A [展开式中项的系数为。] 3.A [(x+1)^{9}展开式的通项为； 令，即， 则； 令，即， 则。 所以的系数为。] 4.B [的展开式中所有二项式系数和为64，故，。 。 令，，此时展开式的常数项为。] 5.A ［由题知，由组合数性质得，则.令，则的展开式各项系数和为．］ 6.A [因为的展开式第项 当时，； 当时，， 所以的系数为。] 7.CD [的展开式共有7项，A不正确；其通项，令，得，所以常数项为，B不正确；令，则，C正确；所有项的二项式系数的和为，D正确。] 8. ［因为第3项和第10项的二项式系数相等，则，所以，所以令，则展开式的系数和为.］ 9.6 [(1‑2x)^{n}展开式的通项公式为 令，， 即， 即， ， 即， 无实数根， 故，即，即。] 10. ［的展开式的通项为 ， 令，得.因为， 所以当时，有最小值为.］ 11.解 (1)通项公式为 第6项为常数项， 时，有，即。 (2)令，得 ， 含的项的系数为。 12.解 (1)选择条件①： 若的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则，所以。 选择条件②： 若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则，所以。 选择条件③： 若的展开式中所有二项式系数的和为，则。 (2)由(1)知，则， 令，则， 令，则， 所以 。 13.C ，则 14.D 因为 ，且 ，所以 ，因为 能被 整除， 所以 能被 整除，结合 选项，所以 15.ABD 对于 A，，故 A 正确； 对于 B， 的系数 ，则 ，所 以，故 B 正确； 对于 C，若的展开式中第 7 项的二项式系数最大，根据二项式系数 的对称性，当 为偶数时，；当 为 奇数时， 或 ，故 C 不正确； 当 时， ，令 ，则 ，又因为 ，所 以，故 D 正确. 16.解 若选填条件①，即只有第八项的二项 式系数最大，则 ； 若选填条件③，即各项系数之和为 ， 令 ，则 ，即 . 二项式展开式的通项： 由 ，得 ，即存在整数 ， 使得 是展开式中的常数项； 若选填条件②，即奇数项二项式系数之和 为 ，则 ，所以 . 二项式展开式的通项： 由 ，得 ，即不存在整 数 ，使得 是展开式中的常数项. $