1.2 反比例函数的图象与性质 导学案 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦反比例函数的图象与性质应用，通过问题情境回顾反比例函数的图象形状、象限分布、增减性及对称性，搭建从基础性质到自变量与函数值范围互求的学习支架，引导学生逐步掌握性质的具体运用。 资料以数形结合为核心，通过探索活动、例题解析及分层检测，培养学生几何直观与推理能力，作业设计结合实际问题与函数综合题，强化模型意识，助力学生用数学思维分析问题，提升从图象中提取信息解决问题的能力。

1.2反比例函数的图象与性质(3) 学业质量要求： 1．进一步熟练掌握反比例函数的性质； 2．能借助反比例函数的图象并结合反比例函数的性质解决已知自变量的取值范围确定函数值的取值范围等具体问题; 3．感悟数形结合的数学思想在函数问题的重要性. 学习重点： 运用反比例函数的性质解决具体问题. 学习难点： 借助反比例函数的图象理解反比例函数的性质在具体问题中的运用. 学习过程： 一、问题情境 1.反比例函数y =(k为常数，k≠0)的图象是 ． 当k＞0时，双曲线的两支分别在第 象限，在每一个象限内，y随x的增大而 ； 当k＜0时，双曲线的两支分别在第 象限，在每一个象限内，y随x的增大而 ． 2．反比例函数图象既是 称图形又是 对称图形. 3．观察反比例函数的图象回答下面问题： (1)该函数图象的两个分支位于第 、 象限，在每个象限内，随的增大而 . (2)当时， ；当时， . 二、探索活动 对于反比例函数,如果自变量的取值范围是1<x<2, 你能确定函数值y的取值范围吗? 分析：可结合图象和反比例函数的性质解决问题. 观察图象可知，当自变量的取值范围是时，对应的函数值的取值范围是 . 三、例题学习 例1 已知反比例函数. (1)画出这个反比例函数的图象，并找出图象上横坐标与纵坐标相同的点； (2)根据这个反比例函数的图象，写出当，的取值范围. 分析：画出图象结合图象分析解决. 拓展：当自变量x≤1时，函数值y的取值范围是什么?当时，自变量x的取值范围呢？ 例2 已知a <b,比较与的大小. 分析：法一、利用作差法解决； 法二、利用反比例函数的图象及性质解决. 四、当堂检测 1．已知点在反比例函数的图象上. (1)判断点，，是否在这个反比例函数的图象上； (2)找出图象上横坐标、纵坐标互为相反数的点. 2．已知反比例函数. (1)当时，写出的取值范围； (2)当的值不小于2时，写出的取值范围. 五、小结与反思 如何解决已知自变量的范围求函数值的范围等具体问题？ 六、课后作业设计 1．三角形面积为7cm2，底边上的高y(cm)与底边x(cm)之间的函数关系的图象大致是(     ) A B C D 2．已知反比例函数，则当时，y的取值范围是 （ 　 ） A． B． C． D． 3．已知反比例函数y = 的图像具有以下特征：在同一象限内，y随x增大而增大，则n的取值范围______________． 4．观察函数的图象，当x=－2时，y= ，当x＜－2时，y的取值范围是 ，当y≤－1时，x的取值范围是 ． 5．已知一个直角三角形的面积为8 cm2，两直角边长分别为x cm和y cm． （1）写出y(cm)和x(cm)之间的函数关系式，并画出对应的图象； （2）根据图象，回答下列问题： ①当x =2时，y的值是多少？ ②x为何值时，这个直角三角形是等腰直角三角形？ 6．如图，反比例函数的图象与一次函数 y＝kx＋b 的图象交于点 A，B，点 A，B 的横坐标分别为 1、－2，一次函数图象与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 D． (1)求一次函数的解析式； (2)对于反比例函数，当0＜ y＜2时，写出 x的取值范围； (3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点 P，使得 S△ODP＝2S△OCA？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 课后作业设计参考答案 1. 【答案】：B 【知识点】反比例函数实际应用，实际问题自变量取值范围，反比例函数图象. 【分析】根据三角形面积公式列出函数关系式，底边 x>0，图象只取第一象限双曲线分支. 【详解】 三角形面积 S=xy=7，整理得 y=. 因为底边长 x>0，所以图象只有第一象限部分，故选 B. 2. 【答案】C 【知识点】反比例函数的性质，由自变量取值范围求函数值取值范围. 【分析】y=中 k=4>0，x<0 时，在第三象限 y 随 x 增大而减小，代入区间端点计算 y 的边界. 【详解】 k=4>0，x<0 时，y 随 x 增大而减小. 当 x=-4 时，y= -1；当 x= -1 时，y= -4. 已知 - 4<x< -1，可得 - 4<y< -1，故选 C. 3. 【答案】n > -3 【知识点】反比例函数增减性：y=，同一象限内 y 随 x 增大而增大，则 k<0. 【分析】由增减性得到比例系数小于 0，解一元一次不等式. 【详解】 由题意得 -n-3 < 0 -n < 3 n > -3 4. 【答案】-1； -1<y<0； -2 ≤ x < 0 【知识点】反比例函数求值，自变量与函数值范围互求，利用图象分析取值. 【分析】直接代入 x 值求 y；结合 y= 图象，第三象限分析 x<-2 和 y≤-1 对应的取值. 【详解】 把 x=-2 代入 y= ，y)= -1. k=2>0，x<0 时 y 随 x 增大而减小，当 x<-2 时，-1<y<0. 当 y≤-1 时，结合图象可得 - 2 ≤ x < 0. 5. 【答案】(1) (x>0)；(2)① y=8；② x=4. 【知识点】反比例函数实际应用、反比例函数图象、等腰直角三角形定义. 【分析】利用直角三角形面积公式列出函数关系式，注意边长 x>0，图象只取第一象限分支；代入求值；等腰直角三角形满足 x=y 建立方程求解. 【详解】解：∵直角三角形面积为 8 cm²，两直角边长为 x cm、y cm， ∴ = 8， 整理得 ， 又∵边长 x>0， ∴函数关系式为 (x>0). ① 当 x=2 时，y=8； ② ∵三角形为等腰直角三角形， ∴ x=y， 代入得 ，x²=16， ∵x>0，∴x=4. 6. 6． 【答案】(1) y=x+1；(2) x>1；(3) 存在，P (-1,-2) 【知识点】反比例函数与一次函数交点、函数取值范围、坐标系中三角形面积计算 【分析】先求出 A、B 两点坐标，代入一次函数解析式求出 k,b；结合反比例函数图象确定 0<y<2 对应的 x 范围；先算出△OCA 面积，再设点 P 坐标，利用面积等式列方程求解. 【详解】解： (1) ∴当 x=1 时，y=2，A (1,2)；当 x=-2 时，y=-1，B (-2,-1). 把 A (1,2)，B (-2,-1) 代入 y=kx+b， 解得 k=1，b=1， ∴一次函数解析式：y=x+1. (2) ∵，若 0<y<2，则 y>0， ∴x>0，函数在第一象限 y 随 x 增大而减小. 当 y=2 时，2= ，解得 x=1， ∴当 0<y<2 时，x>1. (3) 在 y=x+1 中，令 x=0，得 y=1， ∴C (0,1)；令 y=0，得 x=-1， ∴D (-1,0). ∴ 设P 在第三象限，则 m<0， ∴，化简得 | m|=1， ∵m<0，∴ m=-1， ∴-2，即 P (-1,-2). 综上存在点 P，坐标为 (-1,-2). 学科网（北京）股份有限公司 $