第一章 有理数（复习课件）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学课件系统梳理了有理数的核心知识，涵盖正数负数、有理数分类、数轴、相反数、绝对值及大小比较，通过知识图谱将各知识点逻辑串联，构建“概念-性质-应用”的完整知识网络。 其亮点在于“考点串讲-题型全解-针对训练”的分层复习策略，如用“净含量±50g”实例培养抽象能力，结合数轴解决距离问题发展几何直观，设计基础到拓展的训练题。既帮助学生巩固知识，又为教师提供精准复习方案，提升复习效率。

第一章 有理数 复习课件 人教版·七年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 1.识别正数、负数，知道 0 既不是正数也不是负数。 2.能辨别有理数，能对有理数进行分类。 3.识别相反数、绝对值，能说出一个数的相反数、理解绝对值的含义。 02 工具掌握 1.会画数轴，掌握数轴三要素，能运用数轴。 2.会求一个数的相反数、绝对值，能化简。 3.掌握有理数大小比较方法，能正确比较有理数的大小。 深化理解 1.运用分类讨论思想对有理数分类。 2.运用数形结合思想，借助数轴解决数的大小、距离相关问题。 3.会用正负数解决实际问题。 思想与应用 1.运用分类讨论思想对有理数分类。 2.运用数形结合思想，借助数轴解决数的大小、距离相关问题。 3.会用正负数解决实际问题，如质量、温度、变化率等实际情境。 概念识别 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 1.对负数意义理解，实际情境中正确使用正负数描述数量； 2.绝对值的概念，尤其是负数的绝对值，借助数轴理解数与点的对应关系； 3.两个负数比较大小，利用绝对值进行负数大小判断； 4.数形结合思想，把有理数、相反数、绝对值和数轴结合进行综合解题。 1.正负数概念，用正负数表示具有相反意义的量； 2.有理数分类，数轴、相反数、绝对值的概念； 3.有理数大小比较的法则。 4 知识图谱 正数和负数 有理数 数轴 相反数 绝对值 有理数的大小比较 数与点的对应 5 考点串讲 ——1：正数与负数 1.正数：在数学中，像3，50，7.8%这样大于0的数叫作正数. 2.负数：像－3，－10，－0.7% 这样在正数前加上符号“－”的数叫作负数. （1）正数前面的“+”（正）号可以省略不写，负数前面的“－”（负）号不能省略不写； （2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可以任意选择，但是习惯把“前进、上升”等规定为正，把“后退、下降”规定为负； （3）0 既不是正数，也不是负数. 归纳总结 6 考点串讲 ——2：有理数的概念及分类 1.有理数：我们把能够写成分数形式（是整数，）的数叫做有理数. 2.有理数的分类： ①按定义来分 ②按性质符号分 有理数 整数 分数 负整数 负分数 正分数 正整数 0 正有理数 负有理数 正分数 负分数 负整数 正整数 0 有理数 【注意】 有限小数、无线循环小数都是有理数。 7 有理数的分类原则： 标准要统一：必须按同一分类标准进行分类，如将有理数分为正有理数、0和负分数，分类标准就不统一； 分类不重合：所分的各类应互不包含，如有理数分为非负有理数、0和正有理数就违反了这一原则； 分类无遗漏：所分各类之“和”必须是原来的全部，如将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了0. 归纳总结 考点串讲 ——2：有理数的概念及分类 8 考点串讲 ——3：数轴 1.定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴. -3 -2 -1 0 1 2 3 原点 正方向（规定向右） 单位长度 （1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； （2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可； （3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变； （4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 归纳总结 9 考点串讲 ——3：数轴 2.数轴的画法:（1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 3.有理数与数轴上的点的关系:所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数. 数 形 10 考点串讲 ——4：相反数 1.概念:像３和－３，和－ 这样只有符号不同的两个数，互为相反数。 即３的相反数是－３，－３的相反数是３，３与－３互为相反数； 2.相反数的性质: 正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；相反数是. 3.相反数的几何意义:两个数所表示的点，位于原点两侧，到原点距离相等.即关于原点对称. 核心性质：若、互为相反数，则. 11 考点串讲 ——4：相反数 ①若与互为相反数，则， ②若，则与互为相反数 ③求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可； ④求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”， 归纳总结 12 考点串讲 ——5：绝对值 1.概念:一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫作数的绝对值,记作. 2.绝对值的性质: 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是0. 即 核心性质：，. 13 考点串讲 ——5：绝对值 绝对值的非负性： 对于任何一个有理数，我们都有. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 归纳总结 14 考点串讲 ——6：有理数的大小比较 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 3.两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。 4.数轴法：正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数. 15 有理数大小关系的传递性： 对于有理数， 若，且，那么； 若，且，那么. 解题技巧：含符号、绝对值的复杂数，先化简为最简有理数，再比较大小。 归纳总结 考点串讲 ——6：有理数的大小比较 16 题型全解 题型01 有理数分类 例1 把下列各数填在相应的大括号里： 、、、、、、、， （1）正有理数集合：{___________________________________…}； （2）负有理数集合：{___________________________________…}； （3）整数集合：{___________________________________…}； （4）正分数集合：{___________________________________…}． ，，，， ，， ，， ， ，， 17 题型全解 题型02 正数和负数 例2 某大米包装袋上标注着“净含量： ”，下列叙述正确的个数是（ ） （1）每袋大米的净含量最多是 ； （2）每袋大米的净含量最少是； （3）如果每袋大米的净含量超出 ，则超出部分不多于； （4）如果每袋大米的净含量不足 ，则不足部分不少于； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】∵ 标注“ ”表示净含量范围是 [] ∴ 最大净含量为，最小净含量为 （1）每袋大米净含量最多是，正确； （2）每袋大米净含量最少是 ，正确； （3）若净含量超出，则超出部分= 实际重量 ，正确； （4）若净含量不足，则不足部分 实际重量 ，但可能小于（如实际重量为 时，不足部分为 ），故错误． ∴ 正确叙述有（1）、（2）、（3），共 3个． C 18 题型全解 题型02 正数和负数 方法总结 总结1：正数与负数识别 ①定义：大于 0 的数是正数，正数前加 “−” 为负数，0 既不是正数也不是负数； ②实际应用：用正、负数表示具有相反意义的量，先规定其中一个为正，与之相反即为负。 总结2：有理数的分类题型 解题规则： ①有理数分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）； ②分类做题注意 0，0 属于整数，不属于正数、负数，有限小数、无限循环小数归为分数。 题型全解 题型03 数轴 例3 如图，在数轴上有、、三点． （1）点表示的数是____； （2）点与点到点的距离相等且两点不重合，则点表示的数是____； （3）请在数轴上描出，用点表示，将点、、三个点表示的数用“”连接． 将点表示在数轴上，如图： ∴点、、三个点表示的数用“”连接为． -4 -2 20 题型全解 题型03 数轴 例4 如图1是某路公交车部分线路示意图及各站点间的距离（单位：），规定向东为正方向，1个单位长度表示． （1）以D站点为原点，将图2的数轴补画完整，并标出其余各站点的位置． （2）在（1）的条件下，数轴上到点C的距离为2个单位长度的点表示的数是多少？ （2）由（1）得数轴上到点C的距离为2个单位长度的点是B和D，点B表示的数是，点D表示的数是0， 所以数轴上到点C的距离为2个单位长度的点表示的数是或， 21 题型全解 题型03 数轴 方法总结 总结1：数轴的三要素 ①三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可； ②画数轴：先画直线，定原点，标出正方向，统一标注单位长度。 总结2：数轴相关题型 解题规则： ①数轴上右边的数总大于左边的数； ②有理数都可以用数轴上点表示，利用数轴可判断数的大小、求两点之间距离。 题型全解 题型04 相反数 例5 若 和互为相反数，那么 ． 【解析】依题意 ∴ 2 23 题型全解 题型04 相反数 例6 化简下列各式的符号，并回答问题： （1）　　 ；　　 ；　　 ；　　 ；　　 ； （2）当前面有个负号时，化简后的结果是 　　 ；当前面有个负号时，化简后的结果是 　　 ；你能总结出什么规律？ （3）计算：． 2 总结规律：一个数的前面有奇数个符号，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个符号，化简后的结果等于它本身. 24 题型全解 题型04 相反数 方法总结 总结1：相反数的概念 ①定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0 的相反数是 0； ②求法：在一个数前面添加负号，即可得到这个数的相反数。 总结2：相反数相关题型 解题规则： ①互为相反数的两个数和为 0； ②若 与 互为相反数，则，利用该等式列方程求参数。 题型全解 题型05 绝对值的几何意义 例7 如果a是负数，且，那么数轴上表示数a，的点的位置关系是（   ） A．a在左侧 B．a在右侧 C．a与重合 D．无法确定 【解析】解：∵， 又∵，且a是负数， ∴， ∴表示数a的点在表示的点的右侧，故B正确． B 26 题型全解 题型06 绝对值的非负性 例8 如果 ，那么的值为 ． 【解析】解：∵ 且 ≥ 0， ∴ 且 = 0， 即 且0， 解得， ∴. 5 27 题型全解 题型06 绝对值的非负性 例9 下列说法正确的是（   ） A．若，则为负数 B．一定是正数 C．若，则 D．若，则是正数 【解析】解：A．由，则，即，故a不一定为负数，可能为零，A错误； B．由，则，故一定是正数，B正确； C．由时，或，故不一定相等，C错误； D．例如，，但，故不一定是正数，D错误． 故选B． B 28 题型全解 方法总结 总结1：绝对值的概念与求法 ①定义：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值； ②性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 总结2：绝对值相关题型 解题规则： ①若，则或； ②绝对值具有非负性，，利用非负性可列方程求参数。 题型06 绝对值的非负性 题型全解 题型07 有理数大小比较 例10 若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【解析】解：方法一：如图所示， ∴ ． 方法二：∵ ，，，，为有理数 ∴ 取满足条件的特殊值 ， 计算得 ，， ∵ ∴ ． C 30 题型全解 题型07 有理数大小比较 例11 在一次体检过程中，七(3)班班长记录了该班 名学生的视力情况，若每名学生的视力以 为标准，大于 的记为正数，小于 的记为负数，记录数据如下： (1)这 6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于0.2 需要配戴眼镜，则6 名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【解析】（1）解：小璐的视力最差．理由如下， ∵ ∴－ 0.7 最小，∴小璐的视力最差． 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 +0.1 +0.3 0 － 0.7 - 0.5 - 0.1 31 题型全解 题型07 有理数大小比较 例11 在一次体检过程中，七(3)班班长记录了该班 名学生的视力情况，若每名学生的视力以 为标准，大于 的记为正数，小于 的记为负数，记录数据如下： (1)这 6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于0.2 需要配戴眼镜，则6 名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【解析】（2）解：∵ 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 +0.1 +0.3 0 － 0.7 - 0.5 - 0.1 ∴6名学生中有3人需要配戴眼镜． 32 题型全解 方法总结 总结1：有理数大小比较基本法则 ①正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数； ②两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 总结2：有理数大小比较题型 解题规则： ①数轴上右边的数总比左边的数大； ②多个数比较，先化简，再分组，正数、0、负数分开比较。 题型07 有理数大小比较 1．如果（ 20）表示向上移动20，则下列和其是相反意义的量的是（ ） A． 20 B． 20 C． 20 D． 20 针对训练 B 解：（ 20）箭头方向向上，对应的反义词应该是向下， 故排除A、C、D． 剩下B选项，（ 20）箭头方向向下，含有数字20， 故选项B符合题意． 针对训练 解：∵在翻转过程中，1对应的数是B，2对应的数是C，3对应的数是D， 4对应的数是A，5对应的数是B，6对应的数是C，7对应的数是D，8对应的数是A，…， ∴每4次翻转为一个循环组依次循环， ∵ 2025÷4=506…1， ∴连续翻转2025次后，数轴上数2025所对应的点是点B． 2．正方形ABCD 在数轴上的位置如图所示，点A、D对应的数分别为0和-1 ，若正方形ABCD 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则连续翻转2025次后，数轴上数2025所对应的点是（ ） A．点A B．点B C．点C D．点D B 针对训练 解：a，b互为相反数， ， c是最大的负整数， ， ， 故选：． 3．若a，b互为相反数，c是最大的负整数，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． D 针对训练 解：是大于的整数，整数属于有理数，所以是正有理数； 小于，所以不是正有理数； 小于，所以不是正有理数； 是大于的整数，整数属于有理数，所以是正有理数； 既不是正数也不是负数，所以不是正有理数； 是大于的有限小数，有限小数可以化为分数，属于有理数，所以是正有理数； 是大于的分数，分数属于有理数，所以是正有理数； 是大于的无限循环小数，无限循环小数可以化为分数，属于有理数，所以是正有理数； 综上可知，正有理数有：，，，，． 4．在，，，，，，，中，正有理数有______． 针对训练 5．比较大小，在横线上填“”，“=”或“”． （1）___________0.67；（2）___________． 解：（1），， ； （2），，， ，即，． < > 针对训练 6．该数轴的原点为，向右为正方向．若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 解：∵直尺上点对应刻度2，点C对应刻度10， ∴点A、C在直尺上的距离为， ∵点、C表示的数互为相反数， ∴原点是线段的中点，即到原点的距离为， 又∵数轴向右为正方向， ∴原点对应直尺上的刻度为． 6 针对训练 7．七年级5班的几位同学在一起讨论一个关于数轴上的点表示数的题目． 甲说：“点表示的数的相反数等于它本身”． 乙说：“点表示的数是最大的负整数”． 丙说：“点表示正整数且它的绝对值是3，点表示负整数，且它与点和是1” （1）请你根据以上3位同学的发言，分别写出点A、B、C、D所表示的数； （2）请表示出这4个点在数轴上所表示的位置并比较大小． 针对训练 （1）解：根据甲的说法可知，点表示的数是0， 根据乙的说法可知，点表示的数是， 根据丙的说法可知，表示的数是3，点表示的数是； （2）解：将各数表示在数轴上， ． 针对训练 解：∵ ∴ ∵ x＜y ∴ 8.（1）有理数在数轴上的对应点如图所示． ①填空：（填“ ＜”、“ ＞”或“＝ ”）______0；_____0； ②用“＜ ”将， 0连接起来：___ ； （2）已知 ，若 ，求的值． ＞ ＜ 针对训练 9．已知点A，B在数轴上分别表示a，b． 任务要求 （1）对照数轴填写下表： a 8 3 b 4 0 4 A，B两点间的距离 4 8 12 4     9 0 针对训练 问题探究 （2）若A，B两点间的距离记为d，试问d和a，b有何数量关系． 问题拓展 （3）当x等于多少时，的值最小，最小值是多少? （4）若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，|x-1|+|x-5|的值最小，最小值是多少? （2）若A，B两点间的距离记为d，则d和a，b之间的数量关系为： ； 针对训练 （3）当x等于多少时，的值最小，最小值是多少? （4）若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，|x-1|+|x-5|的值最小，最小值是多少? （3）∵， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为6； （4）当点C表示的数在1和5之间（包括1和5）时，|的值最小，最小值为4． 单元总结/易错复盘 ·分类规则 两种分类标准：按定义分整数、分数；按符号分正有理数、0、负有理数。有限、循环小数属于分数，无限不循环小数不是有理数。 ·核心概念 数轴三要素：原点、正方向、单位长度；相反数两数和为 0；绝对值代表距离，永远非负。 ·答题注意事项 多重符号看负号个数定正负；数轴右侧为正左侧为负；含字母绝对值要分类讨论；分类不可混用两套标准，0 必须单独划分。 46 人教版·七年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $