第一章 有理数【章末复习】（课件）-2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件系统梳理了有理数的核心知识，通过知识框架图将正数负数、有理数分类、数轴、相反数、绝对值等概念串联，构建“数轴为工具，概念为基础”的逻辑网络，帮助学生形成完整知识体系。 其特色在于聚焦高频易错点与分层练习设计，如通过无人配送车位置问题强化数轴应用，结合分类讨论思想解析绝对值非负性，培养学生抽象能力与几何直观。分层习题覆盖基础到综合，助力个性化复习，教师可精准把握学情提升复习效率。

人教版数学七年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月6日 章末复习 第一章 有理数 第一章 有理数 全章知识点总结+专项练习题（含解析） 一、全章核心知识点总结 1.1 正数和负数 1. 定义：大于0的数是正数，小于0的数是负数；0既不是正数，也不是负数，是正负数的分界点。 2. 核心用途：用正负数表示具有相反意义的量，如收入与支出、上升与下降、高于与低于标准、盈利与亏损等。 3. 实际应用：生活中误差范围表示，如500±5g，表示标准质量500g，允许浮动±5g。 1.2.1 有理数的概念 1. 定义：整数和分数统称为有理数。所有能写成分数形式的数都是有理数。 2. 分类： （1）按定义分：整数（正整数、0、负整数）、分数（正分数、负分数）； （2）按符号分：正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。 3. 关键结论：有限小数、无限循环小数都可以化为分数，属于有理数；无限不循环小数（如π）不是有理数。 1.2.2 数轴 1. 定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线，三要素缺一不可。 2. 对应关系：所有有理数都可以用数轴上的点表示，原点表示0，右正左负。 3. 大小规律：数轴上右边的数总比左边的数大。 4. 点的平移：右移加、左移减。 1.2.3 相反数 1. 定义：只有符号不同的两个数互为相反数，数a的相反数是-a。 2. 特殊值：0的相反数是0，是唯一相反数等于本身的数。 3. 几何意义：数轴上互为相反数的两个点，关于原点对称，到原点距离相等。 4. 性质：互为相反数的两个数和为0，即若a、b互为相反数，则a+b=0。 5. 符号化简：偶数个负号为正，奇数个负号为负。 1.2.4 绝对值 1. 定义：数轴上表示数a的点到原点的距离，记作|a|，绝对值恒为非负数（|a|≥0）。 2. 化简规则：正数的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数，0的绝对值是0。 3. 核心结论：绝对值最小的数是0；互为相反数的两个数绝对值相等。 4. 非负性：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0。 1.2.5 有理数的大小比较 1. 基础规则：正数＞0＞负数，正数大于一切负数。 2. 负数比较大法：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 3. 通用方法：数轴法（右大左小）、绝对值法、化简后比较。 二、全章高频易错点汇总 1. 易错将0归为正数或负数，0是特殊整数，非正非负； 2. 混淆有理数概念，误将无限不循环小数当作有理数； 3. 已知绝对值求数，只写正数、遗漏负数解； 4. 两个负数比较大小，误用绝对值越大数值越大的规则； 5. 多重符号化简、含绝对值式子化简出错； 6. 画数轴遗漏三要素，点的平移方向计算错误。 三、全章综合专项练习题（含解析） （一）填空题（每空2分，共30分） 1. 如果支出200元记作-200元，那么+150元表示________。 2. 数轴三要素是________、________、________。 3. -3.5的相反数是________，绝对值是________。 4. 绝对值等于4的数是________，绝对值最小的有理数是________。 5. 比较大小：-3________-3.1，0________-0.01，$$-\frac{2}{3}$$________$$-\frac{3}{4}$$。 6. 大于-4且小于2的所有整数是________。 7. 若|x-2|=0，则x=________；若a与-5互为相反数，则a=________。 （二）选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各数中，属于有理数的是（） A. π B. 无限不循环小数 C. 3.14 D. 开方不尽的数 2. 下列说法正确的是（） A. 0是正数 B. 0是分数 C. 0是有理数 D. 0是最小的正数 3. 数轴上距离原点6个单位长度的点有（）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数 4. 两个有理数比较大小，正确的是（） A. -10＞0 B. -5＞-2 C. 0＞-1.5 D. 3＜-4 5. 相反数等于本身的数是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 所有有理数 6. 若|a|=-a，则a一定是（） A. 正数 B. 负数或0 C. 负数 D. 非负数 （三）解答题（共40分） 1.（12分）把下列各数填入对应集合：-7、0、3.5、$$-\frac{1}{2}$$、8、-0.6、10 整数集合：{________…} 分数集合：{________…} 正数集合：{________…} 负数集合：{________…} 2.（14分）化简并比较大小： （1）-|-4.5|和-(-3.8) （2）$$-\frac{4}{5}$$和$$-\frac{5}{6}$$ 3.（14分）在数轴上表示下列各数，并用“<”连接：-3、2.5、0、-1.5、$$\frac{1}{2}$$ 四、参考答案与全解解析 （一）填空题解析 1. 收入150元。解析：支出为负，相反意义收入为正。 2. 原点、正方向、单位长度。解析：数轴必备三要素。 3. 3.5、3.5。解析：相反数变号，绝对值取距离、恒正。 4. ±4、0。解析：绝对值为正数的数有两个，0绝对值最小。 5. ＞、＞、＞。解析：负数绝对值大的反而小，正数大于负数和0。 6. -3、-2、-1、0、1。解析：筛选区间内所有整数，不包含端点-4和2。 7. 2、5。解析：绝对值为0则内部为0；互为相反数和为0。 （二）选择题解析 1. C 解析：有限小数属于有理数，无限不循环小数、π为无理数。 2. C 解析：0是整数、有理数，非正非负，不是分数。 3. B 解析：±6两个点到原点距离均为6。 4. C 解析：0大于所有负数。 5. C 解析：只有0的相反数是本身。 6. B 解析：负数和0的绝对值等于它的相反数。 （三）解答题解析 1. 整数集合：{-7、0、8、10…}；分数集合：{3.5、$$-\frac{1}{2}$$、-0.6…}；正数集合：{3.5、8、10…}；负数集合：{-7、$$-\frac{1}{2}$$、-0.6…}。 2.（1）化简：-|-4.5|=-4.5，-(-3.8)=3.8，故-4.5 < 3.8； （2）$$\left|-\frac{4}{5}\right|=\frac{4}{5}$$，$$\left|-\frac{5}{6}\right|=\frac{5}{6}$$，$$\frac{4}{5} < \frac{5}{6}$$，故$$-\frac{4}{5} > -\frac{5}{6}$$。 3. 数轴标注：原点左侧标注-3、-1.5，原点标注0，右侧标注$$\frac{1}{2}$$、2.5；大小排序：$$\frac{1}{2}$$-3 < -1.5 < 0 < < 2.5。 知识结构图 正数和负数 有理数 数轴 数与点的对应 相反数 绝对值 有理数的大小比较 第一章 有理数 章末复习 第1页：章节知识框架图 有理数章节核心知识脉络，理清各知识点间的联系： graph TD A[有理数] --> B[有理数的概念] A --> C[有理数的运算] A --> D[有理数的应用] B --> B1[正数与负数] B --> B2[有理数的分类] B --> B3[数轴] B --> B4[相反数] B --> B5[绝对值] C --> C1[有理数的加减] C --> C2[有理数的乘除] C --> C3[有理数的乘方] C --> C4[混合运算] D --> D1[科学记数法] D --> D2[近似数与有效数字] D --> D3[实际问题应用] 核心主线：以“数轴”为工具，串联“相反数、绝对值”等概念，支撑有理数的各类运算及应用。 第2页：核心概念（一）——有理数的定义与分类 1. 正数与负数 - 正数：大于0的数（如+3、2.5、1/2，“+”可省略）； - 负数：在正数前加“-”的数（如-5、-1.8、-3/4，“-”不可省略）； - 0的意义：既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界，可表示“没有”“基准量”（如海拔0米）。 2. 有理数的分类（两种标准） 按定义分类 - 整数：正整数、0、负整数（如1、0、-2）； - 分数：正分数、负分数（如3/4、-0.6）； - 整数和分数统称有理数。 按性质分类 - 正有理数：正整数、正分数； - 0； - 负有理数：负整数、负分数。 易错点：π不是有理数（它是无限不循环小数），但3.14是有理数。 第3页：核心概念（二）——数轴、相反数、绝对值 概念 定义/特征 性质/结论 数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线 1. 数轴上的点与有理数一一对应；2. 右边的点表示的数总比左边的大 相反数 只有符号不同的两个数（0的相反数是0） 1. 若a与b互为相反数，则a+b=0；2. 数轴上表示相反数的点关于原点对称 绝对值 数轴上表示数a的点到原点的距离，记为|a| 1. |a|≥0（非负性）；2. 当a>0时，|a|=a；a=0时，|a|=0；a<0时，|a|=-a 示例：| -3 | = 3，-（-2）= 2，数轴上表示-1和3的点，距离原点分别为1和3，且3在-1右侧，故3 > -1。 第4页：重点运算（一）——有理数的加减运算 1. 加法法则（核心：先定符号，再算绝对值） - 同号两数相加：取相同符号，绝对值相加（如3+5=8，-3+(-5)=-8）； - 异号两数相加：取绝对值较大的符号，用大绝对值减小绝对值（如3+(-5)=-2，-3+5=2）； - 互为相反数相加得0（如3+(-3)=0）；一个数加0仍得原数。 2. 减法法则（转化思想：减变加，数变反） a - b = a + (-b)（如5 - 8 = 5 + (-8) = -3，-5 - (-8) = -5 + 8 = 3） 3. 加减混合运算技巧 - 统一成加法：将式子化为省略加号的和的形式（如-3 - 5 + 2 = -3 + (-5) + 2）； - 简便运算：同号结合、相反数结合、凑整结合（如(3+7)+(-5-2)=10-7=3）。 第5页：重点运算（二）——乘除、乘方运算 1. 乘法法则 - 符号规则：同号得正，异号得负，任何数乘0得0（如3×5=15，-3×(-5)=15，-3×5=-15）； - 多个有理数相乘：负因数个数为偶数得正，奇数得负，再算绝对值乘积。 2. 除法法则（转化思想：除变乘，数变倒） a ÷ b = a × (1/b)（b≠0），符号规则同乘法（如6÷(-2)=6×(-1/2)=-3，-6÷(-2)=3） 3. 乘方法则（核心：底数为正，结果为正；底数为负，看指数奇偶） - 定义：n个相同因数a相乘，记为aⁿ（如2×2×2=2³，(-2)×(-2)=(-2)²）； - 符号规则：(-a)ⁿ：n为奇数得负，n为偶数得正（如(-2)³=-8，(-2)²=4）； - 注意：-aⁿ与(-a)ⁿ的区别（如-2²=-4，(-2)²=4）。 4. 混合运算顺序 先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内（如-2² + 3×(-4) = -4 -12 = -16）。 第6页：核心应用——科学记数法与近似数 1. 科学记数法 - 表示形式：a×10ⁿ（1≤|a|<10，n为整数）； - n的确定：原数绝对值≥10时，n为正整数，等于整数位数减1（如567000=5.67×10⁵）；原数绝对值<1时，n为负整数，绝对值等于左起第一个非零数前零的个数（如0.000567=5.67×10⁻⁴）。 2. 近似数与有效数字 - 近似数：与实际接近的数（如π≈3.14，是精确到百分位的近似数）； - 有效数字：从左边第一个非零数字起，到末位数字止的所有数字（如0.0314有3个有效数字：3、1、4；3.14×10⁵有3个有效数字：3、1、4）。 易错点：用科学记数法表示的数，有效数字只看a的部分，精确位数需还原后判断（如3.14×10⁵精确到千位）。 第7页：易错题型辨析与总结 易错点1：概念混淆 例：判断“带负号的数都是负数”“有理数包括正数、负数和0”是否正确？ 解析：① 错误（如-(-2)=2是正数）；② 正确（有理数分类的基本结论）。 易错点2：运算符号错误 例：计算-3² - (-2)³ 错解：9 - (-8)=17 正解：-9 - (-8)=-1 解析：注意乘方符号优先级，-3²是“3的平方的相反数”，(-2)³是“-2的立方”。 易错点3：绝对值非负性应用 例：已知|a+2| + |b-3|=0，求a+b的值。 解析：绝对值非负，和为0则每一项为0 → a+2=0，b-3=0 → a=-2，b=3 → a+b=1。 易错点4：科学记数法的n值判断 例：将0.0000201用科学记数法表示 错解：20.1×10⁻⁶ 正解：2.01×10⁻⁵ 解析：a需满足1≤|a|<10，n的绝对值是左起第一个非零数前零的个数。 第8页：章节核心总结 1. 三大核心思想 - 转化思想：减法转加法、除法转乘法、复杂运算转简便运算； - 分类讨论思想：有理数分类、加法法则、乘方法则等均体现分类； - 数形结合思想：用数轴表示有理数，将抽象数与具体点结合。 2. 核心公式与结论 - 相反数：a的相反数是-a，a+b=0 ⇨ a、b互为相反数； - 绝对值：|a|=| -a |，|a|≥0； - 运算律：加法交换律a+b=b+a、结合律(a+b)+c=a+(b+c)，乘法交换律ab=ba、结合律(ab)c=a(bc)、分配律a(b+c)=ab+ac。 3. 解题步骤口诀 遇运算，先定号，再算绝对值错不了；遇概念，抓本质，数轴相反数记心间；遇应用，明题意，科学记数近似要精准。 1. 正数和负数 大于 0 的数叫作正数，在正数前加上符号“-”的数叫作负数. 表示具有相反意义的量 0 既不是正数，也不是负数. 2. 有理数的概念及分类 概念：可以写成分数形式的数称为有理数. 分类：正有理数、0、负有理数. 可以写成正分数形式的数 可以写成负分数形式的数 3. 有理数的有关概念 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 数轴概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴. 正半轴、负半轴：原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴. 相反数：只有符号不同的两个数，互为相反数，0 的相反数是 0. 在任意一个数前面添上“-”号，新的数就表示原数的相反数. 绝对值：一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫作数 a 的绝对值，记作 | a |. 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0. 4. 有理数的大小比较 利用数轴比较：数轴上两个点表示的数，左边的数小于右边的数. 利用正负性比较：正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数. 利用绝对值比较：两个负数，绝对值大的反而小. 考点1 正数和负数 1. 下列各数中：5，，，0，， ，负数有 ( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 中考考法 9 2. 下列说法正确的是( ) D A. “向东”与“向西 ”不是具有相反意义的量 B. 若气球上升记作，则 的意义就是下降 C. 若气温下降记作，则 的意义就是气温下降 D. 若将高设为标准，高记作 ，则 表示高 中考考法 10 考点2 有理数的概念与分类 3. 下列8个数：-，0，， （每相邻两 个2之间依次多一个6），，， ， ， 其中有理数有___个. 6 中考考法 11 4. 把下列各数填在相应的集合里： （1）负整数集合：_____________ ； （2）正数集合：_______________________ ； （3）非负整数集合：______________ . ， ，， 0， 中考考法 12 考点3 数轴 5. 如图，数轴上的点，，，， 表示连续的五个整数， 若点，表示的数分别为,，且，则点 表示的 数为( ) B A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 中考考法 13 6. 今年，越来越多的无人配送车出现在长 沙街头，走进我们的生活.据统计，在深圳核心区域，80台无 人车相当于替代了35名人力及35台传统接驳车辆.某无人配送 车从快递公司出发，先向西行驶到达 小区，继续向西 行驶到达小区，然后向东行驶到达 小区，最后 回到快递公司.若以快递公司为原点，向东方向为正方向，用 1个单位长度表示 ，画出数轴（如图）.#1 中考考法 14 （1）请在图中的数轴上表示,, 三个小区的位置. 【解】如图所示. （2）求小区和 小区之间的距离. 小区和小区之间的距离为 . 中考考法 15 （3）哪个小区离快递公司最远？请说明理由. 小区离快递公司最远. 理由如下：因为，，， ， 所以 小区离快递公司最远. 中考考法 16 考点4 相反数 7. 以下说法中不正确的是( ) B A. 如果，那么 B. 如果是大于1的正数，那么是小于 的负数 C. 一个数的相反数的相反数等于它本身 D. 一个数大于它的相反数，那么这个数一定是正数 中考考法 17 8. 已知表示数， 的点在数轴上的位置如图所示： （1）在数轴上画出表示数， 的相反数的点； 【解】如图. （2）若表示数与其相反数的点相距12个单位长度，则数 是____； 中考考法 18 （3）在（2）的条件下，若表示数与表示数 的相反数的点 相距3个单位长度，求数 . 因为，所以的相反数 . 因为表示数与表示数 的相反数的点相距3个单位长度，且 ,所以 是3. 中考考法 19 考点5 绝对值的意义及非负性 9. 若，则 的值为( ) B A. 9 B. 5 C. D. 【点拨】因为, , ,所以,,所以, ,所 以 . 中考考法 20 10. 如图，,,,分别是数轴上四个整数,,, 所对应 的点，其中有一点是原点，并且 . 数的对应点在与之间，数的对应点在与 之间，若 ，则原点是( ) B A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 中考考法 21 【点拨】因为 ,所以 ,所以.①当原点是或 时, ,和题意相互矛盾,故原点不可能是或 ;②当原 点是或时,存在 ,符合题意. 中考考法 22 考点6 有理数的大小比较 11. 立冬是冬季的第一个节气，通常 标志着气温逐渐下降，进入冬季.如图记录了某地连续5天的 日最低气温，则这5天中日最低气温最低的一天是星期____. 二 中考考法 23 12. 有四张卡片，卡片正面分别写有四个数，背面分别写有 四个字母，如下表： 正面 背面 中考考法 24 （1）在下面的数轴上表示出卡片正面的数； 【解】 ,卡片正面的数 在数轴上表示如图. 中考考法 25 （2）将卡片正面的数由小到大排列，然后按顺序写出卡片 背面的字母组成的单词. , 故单词为 . 中考考法 26 思想1 数形结合思想 13. 电影《哈利·波特》中，小哈利·波特穿越墙进入“ 站台”（如示意图的 站台）的镜头，构思奇妙，给观众留下 深刻的印象.若，站台分别位于，处，站台到 站台 的距离是到站台距离的2倍，则 站台用类似电影的方法可 称为“_ ______站台”. 或6 中考考法 27 【点拨】因为,站台分别位于，处，所以站台到 站 台的距离，所以站台到 站台的距离 ,站台位于处；或站台到 站台 的距离,站台位于处.故 站台用类似 电影的方法可称为“ 或6站台”. 中考考法 28 思想2 分类讨论思想 14. 已知，，为有理数，且 ,求 的值. 中考考法 29 【解】当,, 中没有负数时，都是正数，则原式 ; 当,,中只有一个负数时，不妨设 是负数，则原式 ; 当,,中有2个负数时，不妨设, 是负数，则原式 ; 当,,都是负数时，则原式 . 综上所述，的值是4或 或0. 中考考法 30 $