3.2.2二次根式的除法（课件）2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦二次根式除法，涵盖除法法则、商的算术平方根性质、分母有理化及最简二次根式要求。通过具体计算实例引导学生观察规律，建立与乘法法则的联系，搭建从特殊到一般的学习支架。 其亮点在于以运算能力、推理意识和应用意识为核心，设计基础到拓展的多样题型，如长方形面积计算、电视塔传播半径问题等实际应用，结合详细解析培养学生数学思维。教师可利用其清晰结构提升教学效率，学生能通过分层练习巩固知识并提升解决问题能力。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 湘教版（2024）数学八年级上册教学课件 第3章 二次根式 3.2.2二次根式的除法 2026年8月8日 湘教版数学八年级上册3.2.2二次根式的除法同步练习题 一、核心知识点梳理 1. 二次根式除法法则：$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$$（$$a\geq0，b>0$$），两个二次根式相除，被开方数相除，根指数保持不变。 2. 商的算术平方根性质：$$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$（$$a\geq0，b>0$$），可用于化简分数型二次根式。 3. 分母有理化：将分母中的二次根式化为有理数，是二次根式除法化简的核心步骤，常用方法为分子分母同乘分母的二次根式。 4. 最简二次根式要求：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式。 二、基础填空题（每题4分，共20分） 1. 化简$$\sqrt{\frac{5}{16}}=$$________。 2. 计算$$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=$$________。 3. 分母有理化：$$\frac{3}{\sqrt{6}}=$$________。 4. 若$$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{a}}=2$$（$$a>0$$），则$$a=$$________。 5. 化简$$\sqrt{\frac{12}{49}}=$$________。 三、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. $$\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$$ B.$$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=4$$ C. $$\sqrt{\frac{1}{2}}=2\sqrt{2}$$ D. $$\sqrt{3}\div\sqrt{6}=2$$ 2. 化简$$\frac{4\sqrt{10}}{2\sqrt{2}}$$的结果是（ ） A. $$2\sqrt{5}$$ B. $$2\sqrt{2}$$ C. $$\sqrt{5}$$ D. $$4\sqrt{5}$$ 3. 二次根式$$\sqrt{\frac{x-1}{x+2}}$$有意义的x的取值范围是（ ） A. $$x\geq1$$ B. $$x>-2$$ C. $$x\geq1$$且$$x eq-2$$ D. $$-2<x\leq1$$ 4. 下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. $$\sqrt{\frac{1}{3}}$$ B. $$\sqrt{12}$$ C. $$\sqrt{7}$$ D. $$\sqrt{0.4}$$ 5. 计算$$\sqrt{48}\div\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}}\times\sqrt{12}$$的结果为（ ） A. $$4-\sqrt{6}$$ B.$$4-2\sqrt{6}$$ C. $$2-\sqrt{6}$$ D. $$8-\sqrt{6}$$ 四、计算题（每题8分，共32分） 1. $$\sqrt{1\frac{7}{9}}\div\sqrt{\frac{4}{81}}$$ 2. $$\frac{\sqrt{48}-\sqrt{24}}{\sqrt{6}}$$ 3. $$\sqrt{\frac{2}{3}}\div\sqrt{2\frac{2}{3}}$$ 4. $$\frac{2\sqrt{12}}{\sqrt{48}}-\sqrt{\frac{1}{3}}\times\sqrt{27}$$ 五、应用题（14分） 已知一个长方形的面积为$$\sqrt{72}\ \mathrm{cm^2}$$，长为$$\sqrt{18}\ \mathrm{cm}$$，求这个长方形的宽和周长。 六、拓展提升题（14分） 已知$$a=\sqrt{3}+1$$，$$b=\sqrt{3}-1$$，求$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$$的值。 七、参考答案与详细解析 （一）填空题答案 1. $$\frac{\sqrt{5}}{4}$$ 解析：$$\sqrt{\frac{5}{16}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{16}}=\frac{\sqrt{5}}{4}$$ 2. $$3$$ 解析：$$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{27}{3}}=\sqrt{9}=3$$ 3. $$\frac{\sqrt{6}}{2}$$ 解析：$$\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{2}$$ 4. $$6$$ 解析：由$$\sqrt{\frac{24}{a}}=2$$，得$$\frac{24}{a}=4$$，解得$$a=6$$ 5. $$\frac{2\sqrt{3}}{7}$$ 解析：$$\sqrt{\frac{12}{49}}=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{49}}=\frac{2\sqrt{3}}{7}$$ （二）选择题答案 1.A 解析：B结果为2，C结果为$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$，D结果为$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$。 2.A 解析：原式$$=2\sqrt{\frac{10}{2}}=2\sqrt{5}$$。 3.A 解析：需满足$$x-1\geq0，x+2>0$$，即$$x\geq1$$。 4.C 解析：其余选项被开方数含分母或可开方因式，不是最简二次根式。 5.A 解析：原式$$=\sqrt{16}-\sqrt{6}=4-\sqrt{6}$$。 （三）计算题解析 1. 解：原式$$=\sqrt{\frac{16}{9}\times\frac{81}{4}}=\sqrt{36}=6$$ 2. 解：原式$$=\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{6}}-\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}}=\sqrt{8}-\sqrt{4}=2\sqrt{2}-2$$ 3. 解：原式$$=\sqrt{\frac{2}{3}\div\frac{8}{3}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$$ 4. 解：原式$$=\frac{2\sqrt{12}}{\sqrt{48}}-\sqrt{9}=\frac{2\times2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}-3=1-3=-2$$ （四）应用题解析 解：长方形宽$$=\sqrt{72}\div\sqrt{18}=\sqrt{4}=2\ \mathrm{cm}$$，周长$$=2(\sqrt{18}+2)=2(3\sqrt{2}+2)=6\sqrt{2}+4\ \mathrm{cm}$$。答：宽为2cm，周长为$$(6\sqrt{2}+4)\mathrm{cm}$$。 （五）拓展题解析 解：原式$$=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}$$，由$$a+b=2\sqrt{3}$$，$$ab=2$$，代入得原式$$=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\sqrt{6}$$。 本次练习题全面覆盖二次根式除法法则、化简、分母有理化及实际应用，题型由浅入深，贴合湘教版教材课堂重难点，能够有效巩固基础、提升二次根式除法的运算能力。 1.计算下列各式： ___÷___=____; (1) = _____; ___÷___=____; ___÷___=____. (2) = _____; (3) = _____; 2 3 4 5 6 7 观察两者有什么关系？ 二次根式的除法 1 2 观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式： (1) (2) (3) 思考 通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法的运算法则，你能说出 的结果吗？ 特殊 一般 3 一般地，如果 a > 0，则 ＝＝＝1， 因此， (a > 0). ＝ 设 a > 0，b≥0，则 ＝＝＝＝ . 探究证明 与 互为倒数. 知识点1 商的算术平方根的性质 1.（1）将化简： ； 2 （2）将化简： . 2 3 返回 举一反三 5 二次根式的除法法则: 文字叙述： 商的算术平方根，等于被除数的算术平方根除以除式的算术平方根. 当二次根式根号外的因数(式)不为 1 时，可类比单项式除以单项式法则，易得 知识要点 2.［2025湘潭期末］若成立，则 的取值范围为( ) D A. B.或 C. D. 返回 举一反三 7 例1 化简下列二次根式． 解： 从 变形到 是为了去掉分母中的根号. 化简二次根式时，最后结果要求分母中不含有二次根式. 典例精析 例2 化简： 解: 还有其他解法吗? 补充解法： 解： 先运用商的算术平方根的性质，再运用积的平方根性质 10 我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简. 语言表述：各因式的算术平方根的商，等于商的算术平方根. 我们知道，把积的算术平方根的性质反过来就得到二次根式的乘法法则. 类似的，把二次根式的商的算术平方根的性质反过来，就得到二次根式的除法法则: 例3 计算： 典例精析 3.下列计算错误的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 13 4.［教材 例3变式］化简： （1） ; 解：原式 . （2） ; 解：原式 . （3） ; 解：原式 . 举一反三 14 （4） . 解：原式 . 返回 举一反三 15 例7 电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广. 已知电视塔高 h (km)与电视节目信号的传播半径 r (km)之间满足 (其中 R 是地球半径). 现有两座塔高分别为 h1 = 600 m， h2 = 450 m 的电视塔， 问它们的传播半径之比等于多少？ 二次根式除法的应用 2 因为 解：设两座电视塔的传播半径分别为 r1，r2， 所以 知识点2 二次根式的除法 5.填空： ____. 10 2 10 2 返回 举一反三 18 6.［2025郴州月考］计算 的结果是( ) B A.4 B.2 C.3 D. 返回 举一反三 19 7.等式“（ ） ”中，括号内应填入( ) A A.6 B.3 C. D. 返回 举一反三 20 8.方程 的解为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 21 9.［教材 例4变式］计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） ； 解：原式 . 举一反三 22 （4） . 解：原式 . 返回 举一反三 23 知识点3 二次根式除法的应用 10.若长方形的面积为，长为 ，则宽为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 24 11. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为.据研究， 高空抛出的物体下落的时间单位：和高度单位： 近似满足 （不考虑风速的影响）.从， 高空抛出的物体落地所需 的时间分别为，，则是 的( ) B A.2倍 B.倍 C. D. 返回 举一反三 25 12.如果，，那么下列各式： ； ； .其中正确的是( ) B A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 返回 举一反三 26 13.在如图所示的 方格中，若要使横、竖、斜对角线 上的3个实数相乘都得到同样的结果，则方格中 代表的 实数为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 27 14.有一个体积为的长方体，它的高为 ，长为 ，则这个长方体的宽为_____ . 返回 举一反三 28 15.计算： （1） ; 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） ； 解：原式 . 举一反三 29 （4） . 解：原式 . 返回 举一反三 30 16.长方形的长为，面积为 ，要在这个长方形中分割出一 个面积最大的正方形，求该正方形的面积. 解：因为该长方形的宽为 ,所以分割出的正方形的 边长是,所以该正方形的面积是 . 返回 举一反三 31 17. 老师在讲解“二次根式”这一章时，在黑板上写出下 面的一道题作为练习：已知，，用含, 的代数式表示 .甲、乙两名同学的解法如下. 甲同学的解法： . 乙同学的解法： . 老师看完，提出下面的问题： 举一反三 32 （1）两名同学的解法正确吗？ 解：都正确. （2）请你再给出一种不同于甲、乙两人的解法. 解：因为 ，所以 .（解法不唯一） 返回 举一反三 33 商的算术平方根 → 计算与化简 → ↓ 最简二次根式 → ↓ （逆用） 课堂小结 谢谢观看 THANKS $