高中数学单元测试——第五章函数应用（较易版02）

**基本信息** 本卷为高中数学第五章函数应用单元复习较易版测试，覆盖零点、二分法、函数模型等核心知识，通过基础题与情境应用题结合，适配单元复习巩固，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|零点判断、二分法区间、分贝模型|基础概念辨析，如第5题声波强度计算| |多选题|2/12|零点存在性、方程根个数|多选项分层，如第8题含参方程实根讨论| |填空题|2/10|零点应用、费用优化|实际问题建模，如第10题仓库费用最小化| |解答题|3/48|偶函数单调性、注意力指数模型、函数单调性与零点|综合应用，如第12题注意力指数分段函数建模，体现数学语言表达现实世界|

高中数学单元测试 —— 第五章 函数应用（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）函数的零点为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据零点定义求解即可. 【详解】令，所以，所以，所以， 故选：B 2．（本题5分）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二分法的适用条件可得出合适的选项. 【详解】由二分法的定义知，若函数在区间上连续，且满足， 则可以利用二分法求函数的零点的近似值， 故选项A不能用二分法求图中函数零点， 故选：A. 3．（本题5分）函数的零点所在区间（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断函数的单调性，利用零点存在性定理即可判断. 【详解】是上的减函数， 由，根据零点存在性定理，能确定零点不在区间内， 由，根据零点存在性定理，能确定在区间内存在唯一零点， 由， 根据零点存在性定理，确定零点不在区间内， 由， 根据零点存在性定理，确定零点不在区间内， 故选：B 4．（本题5分）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法求函数近似值的方法步骤可得. 【详解】因为第一次所取区间，取中点，所以第二次取的区间为或， 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 故选：D 5．（本题5分）我们处在一个有声的世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求.音量大小的单位是分贝（）.对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算：（其中是人耳能听到的声音的最低声波强度）.设的声音强度为，的声音强度为，则是的（   ） A．倍 B．10倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】将音量值，代入公式，计算出声音强度与声音强度的值，即得的比值． 【详解】由题知：，， ，， 即，， ，即是的10倍. 故选：B. 6．（本题5分）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据零点分析得，然后利用指数函数单调性和反比例函数的单调性可知，函数在单调递增，进而利用零点存在性定理列不等式求解即可. 【详解】当时，在上恒成立，此时在区间内无零点； 要使函数的一个零点在区间内，则， 因为函数和在单调递增，所以函数在单调递增， 由零点存在性定理可知，解得． 故选：B 二、多选题 7．（本题6分）下列函数中有零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】将函数有零点问题转换为方程有根问题求解即可. 【详解】对于A，时，，所以有零点，故A正确； 对于B，时，，所以有零点，故B正确； 对于C，时，，所以有零点，故C正确； 对于D，时，，因为，所以方程无解，所以没有零点，故D错误； 故选：ABC. 8．（本题6分）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】作出图象，令，则，由题意，关于t的二次方程有两个不相等实根，可得判别式，根据关于x的方程有4个不同的实根，且与图象有2个交点，可得与图象也得有2个交点，分析即可得答案. 【详解】作出图象，如下图所示， 由图象可得， 令，则， 所以， 由题意，关于t的二次方程有两个不相等实根， 所以，解得， 解得或， 因为与图象有2个交点， 所以与图象也得有2个交点， 所以，解得，且， 所以符合条件的选项有AC. 故选：AC 三、填空题 9．（本题5分）已知x＝3是函数的零点，则______ 【答案】21 【分析】由x＝3是函数的零点，即，将x＝3代入函数有，求解即得的值 【详解】∵x＝3是函数的零点，即 ∴，解得 故答案为：21 【点睛】本题考查了函数的零点，根据零点列方程，应用对数的概念求参数值 10．（本题5分）某公司租地建仓库，每月土地占用费（万元）与仓库到车站的距离（公里）成反比.而每月库存货物的运费（万元）与仓库到车站的距离（公里）成正比.如果在距车站公里处建仓库，这两项费用和分别为万元和万元，由于地理位置原因.仓库距离车站不超过公里.那么要使这两项费用之和最小，最少的费用为_____万元. 【答案】8.2 【分析】设仓库与车站距离为公里，可得出、关于的函数关系式，然后利用双勾函数的单调性求出的最小值. 【详解】设仓库与车站距离为公里，由已知，. 费用之和，求中， 由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减， 所以，当时，取得最小值万元，故答案为. 【点睛】本题考查利用双勾函数求最值，解题的关键就是根据题意建立函数关系式，再利用基本不等式求最值时，若等号取不到时，可利用相应的双勾函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 四、解答题 11．（本题14分）已知函数是偶函数.当时，. (1)若函数在区间上单调，求实数的取值范围； (2)已知，试讨论的零点个数，并求对应的的取值范围. 【答案】(1) (2)令，即， 由（1）作出的图象如图：        由图像可知： 当时，有两个零点； 当时，有四个零点； 当时，有六个零点； 当时，有三个零点； 当时，没有零点. 【分析】（1）先根据奇偶性求函数解析式，进而结合图象即可求解； （2）先画出函数的图象，进而图象即可求解. 【详解】（1）设，则，则， 因为为偶函数， 所以， 所以，作出的图象如图：    因为函数在区间上具有单调性， 由图可得或，解得或； 所以实数的取值范围是. （2）略 12．（本题16分）注意力集中程度的研究，有助于大众提高自身办事效率.针对不同年龄阶段、一天的不同时段、不同性别、不同地区的人群，科学界有很多种不同的算法模型.有一种算法模型用注意力集中指数衡量注意力集中程度，注意力集中指数的值越大，集中程度越高，越有利于学习.数据显示在上午第三节40分钟的课中，高中学生的注意力集中指数受上课累计时长的影响.开始上课时学生的注意力集中指数逐步升高，随后学生的注意力集中指数开始降低.经过实验分析，得出学生的注意力集中指数与时间（分钟）的关系为：当时，是的一次函数，其中1分钟时注意力集中指数为70，5分钟时注意力集中指数为78；当时，是的二次函数，其中20分钟时注意力集中指数达到最大值，最大值为100. (1)求关于的解析式； (2)如果学生的注意力集中程度不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节40分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）（参考数据：） 【答案】(1) (2)分钟 【分析】（1）利用待定系数法来求得关于的解析式； （2）根据已知条件列不等式，由此求得正确答案. 【详解】（1）当时，设， 依题意解得，所以， 当时，， 当时，设， 将代入上式得， 所以. 综上所述，. （2）由解得， 由， 得，， 所以. 综上所述，，共分钟. 13．（本题18分）已知，. (1)证明：； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)若函数的图象在区间上与x轴有2个交点，求实数m的取值范围. 【答案】(1). (2)在上单调递增，证明如下： 的定义域为，任取，，则，即， 由，可得， 故在上单调递增. (3) 【分析】（1）将函数式代入待证式，计算即得证； （2）根据函数的单调性定义，和指数函数的单调性证明即可； （3）将在区间上与x轴有2个交点转化成在时有2个实数根，利用函数的单调性求出的值域，即得参数m的取值范围. 【详解】（1）略 （2）略 （3）.因为的图象在区间上与x轴有2个交点， 所以，在时有2个实数根， 即在时有2个实数根， 令，易知在区间上单调递增，故， 由可得，令，， 由对勾函数性质可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，，作函数草图如图， 当时，函数与有两个交点， 即函数的图象在区间上与x轴有2个交点， 所以，即实数m的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $画学科网·轻测 www.zxxk.com 让教与学更高效 高中数学单元测试 一一第五章 函数应用（较易版02） 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1.(本题5分)函数/)=2-1 的零点为() A.0 B.1 C.(1,0) D.2 2.(本题5分)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是 () 3.(本题5分)函数冈--3x+2 零点所在区间() A（10) B.(0,1) c.(1,2) D.(2,3) 4.(本愿5分)用二分法求函数()零点近似值时，第一次所取区间2,6)， 则第三次 所取的区间可能是() A.[2,2] B.[-H c.,3] D.[0,2] 5.(本题5分)我们处在一个有声的世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求 音量大小的单位是分贝(B)·对于一个强度为I的声波，其音量的大小7可由如下公式计 试卷第1页，共3页 1/4 算： 刀=10，。（其中1是人耳能听到的声音的最低声波强度）.设1=70B的声音强度 I172=60dB 为 的声音强度为2，则是2的() 7 7 A,6倍 B.10倍 c.g石倍 D.好给 6.(本题5分)函数fx)=2-2 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是 () A.(1,3) B.L,4) C.(0,3) D.(1,2) 二、多选题 7.(本题6分)下列函数中有零点的是() A.y=2x+1 B.y=x2-2x+1 C.y=Inx+1 D.y=e*+1 2x-x2,x≤0 8(本题6分)已知函数() 2-1,x>0,若关于x的方程 2f2(x)+(1-6a)f(x)-3a=0 有4个不同的实根，则实数“可能的取值有() 1 1 A.12 B.6 C. 4 D.3 三、填空题 9.（本题5分)已知=3是函数间1，(+）2的零点，则0 10,(木题5分)某公司租地建仓库，每月上地占用费”（万元）与仓库到车站的距离 (公里)成反比而每月库存货物的运费”（万元）与仓库到车站的距离（公里）成正比 试卷第2页，共3页 画学科网·轻测 www.zxxk.com 让教与学更高效 10 y 如果在距车站“公里处建仓库，这两项费用和分别为万元和°万元，由于地理位置 原因仓库距离车站不超过4公里那么要使这两项费用之和最小，最少的费用为一万元 四、解答题 1.(本题14分)已知函数”=/((xeR)是偶函数当r≥0时，f因)=r-4r (1)若函数 在区 [a,a+3)上单调，求实数的取值范国： ②已知(/（小m,试讨论（四的季点个数，并求对应的m的取值范围 12.(本题16分)注意力集中程度的研究，有助于大众提高自身办事效率.针对不同年龄 阶段、一天的不同时段、不同性别、不同地区的人群，科学界有很多种不同的算法模型有 一种算法模型用注意力集中指数衡量注意力集中程度，注意力集中指数的值越大，集中程 度越高，越有利于学习数据显示在上午第三节40分钟的课中，高中学生的注意力集中指 数受上课累计时长的影响开始上课时学生的注意力集中指数逐步升高，随后学生的注意力 集中指数开始降低经过实验分析，得出学生的注意力集中指数'与时间x(分钟)的关系 为：当0≤x≤8时，y是x的一次函数，其中1分钟时注意力集中指数为70,5分钟时注意 力集中指数为78；当8≤x≤40时，y是x的二次函数，其中20分钟时注意力集中指数达 到最大值，最大值为100 (1)求y关于x的解析式： (2)如果学生的注意力集中程度不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节40分钟的课 中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）（参考数据： √5≈2.236 13(本题18分)已知-8付)=e+e 2 2 ()证明：[8(-[f(x)]'=1 (2)判断并用定义证 f心的单调性： 试卷第3页，共3页 34 F(x)=2mg(2x)-2f(x)-3 (3)若函数 的图象在区 [0,血2]上与x轴有2个交点，求实数" 的取值范围， 试卷第4页，共3页