专题14 幂函数15种常见考法归类（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以15种考法系统构建幂函数解题体系，从概念辨析到性质综合应用，形成完整知识链，培养逻辑推理与数学抽象素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与解析式|4（1例+3变式）|定义三要素判断、待定系数法求解析式|从概念本质到解析式确定，夯实基础| |定义域与值域|4|指数分类法求定义域、根式转化求值域|性质应用的前提，衔接后续图象与单调性| |图象及应用|4|第一象限图象画法、指大图低/高规律|直观化性质，关联单调性与定点问题| |单调性与奇偶性|8|指数符号判断单调性、奇偶性定义应用|核心性质，支撑比较大小与解不等式| |综合应用|4|性质融合解决参数与不等式问题|知识整合，提升数学思维与表达能力|

专题14 幂函数15种常见考法归类 ▌题型01 幂函数的概念辨析 【例1】【答案】D 【详解】A选项不满足底数为单独的x的特征，所以不是幂函数； B选项不满足系数为1的特征，所以不是幂函数； C选项不符合y＝xα的单一形式，所以不是幂函数； D选项是幂函数. 【变式1-1】【答案】BD 【分析】由幂函数的定义逐项判断. 【详解】幂函数是形如（为常数）的函数， 对于A：的系数是2，不是幂函数，A错误； 对于B：是，的情形，B正确； 对于C：是指数函数，C错误； 对于D：是，的情形，D正确； 故选：BD. 【变式1-2】【答案】C 【分析】根据幂函数的定义，逐一分析选项，判断其是否符合幂函数的形式. 【详解】对于选项A，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项B，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项C，不符合幂函数的形式，不是幂函数； 对于选项D，符合幂函数的形式，是幂函数. 故选：C. 【变式1-3】【答案】④⑤ 【分析】直接根据幂函数的定义即可逐一判断. 【详解】①中，的系数为，故不是幂函数； ②中，不是的形式，故不是幂函数； ③中，，系数是，故不是幂函数； ④中，，是幂函数； ⑤中， ，是幂函数； ⑥中，是指数函数，故不是幂函数. 故答案为：④⑤ ▌题型02 求幂函数的解析式或值 【例2】【答案】D 【详解】由题意得，，则，则. 【变式2-1】【答案】27 【分析】先根据题意得到，再计算即可. 【详解】由题知：，，所以. . 【变式2-2】【答案】 【详解】因为函数为幂函数，所以设， 函数过点，所以， 所以. 【变式2-3】【答案】 【详解】设幂函数为， 因为幂函数的图象经过点， 所以 ，即，解得 ，即， 则，定义域为 . 故所求幂函数的解析式为：. ▌题型03 根据函数是幂函数求参数值 【例3】【答案】 【详解】幂函数， 所以，解得或， 当时，，此时，当时，，此时， 又因为，所以满足要求， 即. 【变式3-1】【答案】3 【详解】解：由题意得，解得或， 当时，， 此时定义域不为，故舍去； 当时，，满足题意． 【变式3-2】【答案】A 【分析】由幂函数的定义求出的值，再由充分必要条件判断即可. 【详解】因为为幂函数， 所以， 解得：或, 所以“”是“为幂函数”的充分且不必要条件. 【变式3-3】【答案】 【分析】先根据幂函数的定义求出参数，再利用已知函数值求出幂指数得到完整解析式，最后代入计算得到的值. 【详解】已知，且是幂函数： 根据幂函数的定义，可得，解得； 将条件代入得，解得，即函数解析式为； 将代入解析式得. ▌题型04 幂函数的定义域问题 【例4】【答案】 【分析】利用待定系数法求出幂函数，再由幂函数有意义列出不等式组求解. 【详解】设， 代入点，可得，解得， 所以， 要使有意义， 则，解得， 所以函数的定义域为. 【变式4-1】【答案】C 【分析】利用待定系数法求得，再求函数定义域即可. 【详解】设，因为幂函数的图象经过点 所以，即，解得， 所以，故要使函数有意义，则, 所以函数的定义域为 故选：C 【变式4-2】【答案】1 【分析】根据幂函数的定义，可得m值，代入检验，结合定义域，即可得答案. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，定义域为R，符合题意； 当时，，定义域为，不符合题意. 故 【变式4-3】【答案】B 【分析】根据幂函数的定义，分别求出各选项所对应的函数的定义域，即可判断. 【详解】对于A：，所以函数的定义域为，故A错误； 对于B：，所以函数的定义域为，故B正确； 对于C：，所以函数的定义域为，故C错误； 对于D：，所以函数的定义域为，故D错误. 故选：B ▌题型05 幂函数的值域问题 【例5】【答案】14 【分析】分别分析取不同值时，的定义域和值域，可得集合A，根据非空真子集个数的求法，代入公式，即可得答案. 【详解】当时，，定义域为，值域为，不符合题意； 当时，，定义域和值域都为，符合题意； 当时，，定义域为，值域为，不符合题意； 当时，，定义域和值域都为，符合题意； 当时，，定义域和值域都为R，符合题意； 当时，，定义域为R，值域为，不符合题意； 当时，，定义域和值域都为R，符合题意； 所以集合，则集合的非空真子集个数为. 故答案为：14 【变式5-1】【答案】ACD 【分析】根据函数解析式分别计算值域判断各个选项即可. 【详解】，函数值域为，A选项正确； ，函数值域为，B选项错误； ，函数值域为，C选项正确； ，函数值域为，D选项正确； 故选：ACD 【变式5-2】【答案】 【分析】根据题意可得，然后根据幂函数单调性求解值域. 【详解】令， 由有意义可得， 所以， 则， 所以，即函数的值域为. 故答案为：. 【变式5-3】【答案】 【分析】根据基本初等函数性质，判断函数单调性，判断函数值域. 【详解】可知和在上都单调递增， 则在上都单调递增， 所以函数在上的最小值为，最大值为，则函数值域为. 故答案为：. ▌题型06 幂函数的图象及应用 【例6】【答案】D 【分析】应用幂函数图象判断大小. 【详解】幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，， 所以. 【变式6-1】【答案】B 【分析】应用幂函数性质列式计算求解. 【详解】因为幂函数的图象与x轴无交点， 所以， 所以，即得 【变式6-2】【答案】A 【详解】设，由，得， 解得，所以， 的定义域为，是偶函数，在上单调递减， 所以图象的大致形状与选项A中的图象一致． 【变式6-3】【答案】B 【分析】根据给定条件，利用幂函数的性质判断即可. 【详解】函数是幂函数，定义域为R， 又，所以为偶函数，其图象关于y轴对称，排除AD； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，选项B符合要求. 故选：B ▌题型07 幂函数的图象过定点问题 【例7】【答案】 【详解】由，解得，代入函数，可得， 所以函数图象恒过定点. 【变式7-1】【答案】3 【分析】根据幂函数过定点得的图象过定点，进而得 【详解】令，则，故的图象过定点， 故，． 故答案为：3． 【变式7-2】【答案】B 【分析】利用幂函数的性质，令，可得定点的横坐标，然后利用幂函数的性质求定点的纵坐标． 【详解】令，即时， ， 图象恒过定点． 故选：B. 【变式7-3】【答案】(1,2) 【分析】根据幂函数的性质确定所过定点，即可确定所过定点． 【详解】因为幂函数的图象过定点(1,1)，即有， 所以，即的图象经过定点(1,2)， 故答案为：． ▌题型08 判断幂函数的单调性 【例8】【答案】A 【分析】依次求出4个函数的单调性即可. 【详解】对于A，为减函数，正确； 对于B，，为增函数； 对于C，开口向下，在上单调递增，在上单调递减，C错误； 对于D，为增函数，D错误. 【变式8-1】【答案】C 【详解】函数为幂函数，，得， ，定义域为， ，故在定义域内为奇函数，故D选项错误，C选项正确； 根据幂函数的性质知在，上单调递减，但在其整个定义域上不具有单调性，故选项A，B错误. 【变式8-2】【答案】C 【详解】对于A：在上单调递增，所以A错误； 对于B：在上单调递增，所以B错误； 对于C：在上单调递减，所以C正确； 对于D：在上单调递增，所以D错误. 【变式8-3】【答案】D 【详解】对于A，当时，单调递增，也单调递增， 因此在上单调递增，故A错误； 对于B，因为 是开口向下的二次函数，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对于C，由于 是对勾函数， 则在上单调递减，在上单调递增，故Ｃ错误； 对于D，由于 是幂函数，幂指数， 根据幂函数性质，幂指数为负时，函数在上单调递减，故D正确. ▌题型09 判断与幂函数相关的复合函数的单调性 【例9】【答案】C 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】对于函数， 令，解得，所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 【变式9-1】【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法，可求得定义域，根据复合函数单调性的求法，分析求解，即可得答案. 【详解】由题意， 令，可得，解得， 因为为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以的减区间为， 因为在上单调递增， 由复合函数单调性“同增异减”的原则，可得的减区间为. 故答案为： 【变式9-2】【答案】C 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数法单调性可求出函数的递增区间. 【详解】令， 则， 所以的定义域为 而抛物线，的开口向下， 故在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增, 的单调递增区间为. 故选：C. 【变式9-3】【答案】A 【分析】由，可得的定义域，利用复合函数的单调性可求得的单调递减区间. 【详解】由，可得，解得或， 所以函数的定义域为， 又，所以在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 所以由复合函数的单调性可得在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. ▌题型10 由幂函数的单调性求参数 【例10】【答案】A 【分析】根据幂函数的定义和性质直接解题即可. 【详解】由题可知，解得或1.所以实数的值为0或1. 【变式10-1】【答案】 【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】已知是幂函数，则，解得或， 又因为在上单调递减，所以，即，所以． 【变式10-2】【答案】 【详解】由题意可知， 所以，解得. 所以， 所以. 【变式10-3】【答案】D 【分析】根据幂函数定义与性质可得，再利用“1”代换结合基本不等式运算求解. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 则，解得， 可得正实数a，b满足， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. ▌题型11 比较幂值的大小 【例11】【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 【变式11-1】【答案】 【分析】利用幂函数的单调性判断即可. 【详解】由， 因为幂函数在单调递增， 且，所以， 故答案为：. 【变式11-2】【答案】A 【分析】利用幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，， 所以， 又因为，所以. 故选：A.， 【变式11-3】【答案】D 【分析】根据题意结合幂函数单调性的分析判断即可. 【详解】因为，且在内单调递增， 则，即. 故选：D. ▌题型12 利用幂函数的单调性解不等式 【例12】【答案】A 【分析】先设幂函数解析式，再应用过点求参数得出，最后应用单调性列式计算求解. 【详解】设幂函数，代入点得，解得，故， 因为函数为偶函数，所以等价于， 因为函数在上单调递增，所以等价于， 平方化简得，解得解集为； 【变式12-1】【答案】 【详解】由题可设幂函数，则即， 所以， 所以，即， 所以该函数定义域为，且该函数在上单调递减， 所以若不等式成立， 则，解得，即满足不等式的实数m的解集是. 【变式12-2】【答案】 【分析】根据幂函数的定义求出的值，得到函数解析式，结合函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，所以． 易知是增函数. 因为，所以，解得． 故答案为：. 【变式12-3】【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质求解即可. （2）根据原命题为假，则其否定为真即可求解； （3）分类讨论的正负，根据单调性求解即可. 【详解】（1）因为是幂函数，根据幂函数定义，则，系数为1， 所以，即或， 又因为函数在单调递减，所以，所以. 代入得：. （2）因为原命题是假命题，所以其否定为真. 即：. 由（1）可知，，所以， 代入得：， 要小于函数在上的最小值. 易得，在单调递增， 所以最小值在时取到：， 所以. （3）因为，定义域为，函数在和上均单调递减， 当，即时，由可得， 解得，则此时； 当，即时，由可得， 解得，则此时； 当，即时，恒成立， 当时，，无解， 综上：不等式的解集为 ▌题型13 幂函数的奇偶性的应用 【例13】【答案】ACD 【分析】根据幂函数的定义，奇偶性以及指数函数的运算即可求解. 【详解】根据幂函数定义则，解得或. 当时，，定义域为，与的定义域为矛盾； 当时，，的定义域为，满足题意，故A正确，B错误； 对于C，，定义域为，且，所以是奇函数，C正确： 对于D，，D正确. 故选：ACD 【变式13-1】【答案】2 【分析】利用幂函数的定义以及奇函数的性质即可求解 【详解】由题可知，即，解得或． 当时，，其定义域为，，此时为奇函数； 当时，，其定义域为，，此时为偶函数； 综上，. 故答案为： 【变式13-2】【答案】C 【分析】先依据幂函数的系数特征求出m的可能取值，再结合偶函数的性质确定m的具体值，最终计算. 【详解】由幂函数定义得，即，解得或. 当时，，为偶函数； 当时，，为奇函数， 故. 则，. 故选：C 【变式13-3】【答案】(1)2； (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义可得或，再根据奇偶性可得； （2）利用二次函数单调性列不等式，可得解. 【详解】（1）由幂函数的定义，有，解得或， ①当时，，函数为奇函数，不合题意； ②当时，，函数为偶函数，满足题意； 由上知，实数的值为2. （2）由（1）知，，有， 又由函数的对称轴方程为. 若函数在区间上单调，有或. 可得或. 故实数的取值范围为. ▌题型14 幂函数的单调性和奇偶性的综合应用 【例14】【答案】0或2． 【分析】结合幂函数的性质，即可求解． 【详解】幂函数在区间上是严格增函数， 则，即，解得， 因为，所以 ，1，2， 当时，，满足函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，符合题意， 当时，，不满足函数的图像关于原点中心对称，故舍去， 当时，，满足函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，符合题意， 综上所述，或2． 【变式14-1】【答案】1 【分析】根据幂函数的单调性可得，结合可得其值，代入检验后可得的值. 【详解】因为幂函数在上是减函数，故， 故，而，故， 当时，，此时幂函数的图象关于轴对称，符合题意； 当时，，此时幂函数的图象不关于轴对称，舍； 故答案为： 【变式14-2】【答案】C 【分析】根据给定条件，利用幂函数的性质列式求出值. 【详解】由幂函数在区间上单调递增，得，而， 解得或，又函数是偶函数，则为偶数，因此. 故选：C 【变式14-3】【答案】 【分析】根据幂函数定义及奇偶性、单调性求解. 【详解】由可得， 当时，，函数是奇函数，不符合题意； 当时，，定义域为，函数不是偶函数，不符合题意； 当时，，函数为偶函数，且在上为减函数，符合题意. 故答案为： ▌题型15 幂函数性质的综合应用 【例15】【答案】BD 【分析】由题意得到的值，从而得到函数，由函数的奇偶性和单调性比较的大小关系即可判断A、B、C选项；同样，借助函数的单调性得到的大小关系，借助函数的奇偶性即可得到的大小关系，判断D选项. 【详解】幂函数，的图象关于y轴对称， 则，则，， 在上单调递减，于是有， 则A错误，B正确，C错误； 若，则，∵，，即成立．故D正确． 故选：BD. 【变式15-1】【答案】ABD 【分析】代入点可求解，进而根据幂函数的性质即可求解ABC，利用作差法即可求解D. 【详解】因为函数的图象经过点，所以，解得， 所以，故A正确； 的定义域为，对，则，且， 所以函数是偶函数，故B正确； 因为，所以在上单调递增， 由，是偶函数，得，即， 解得，故C错误； 因为当时，，所以，， 又， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【变式15-2】【答案】BC 【分析】AB选项，根据幂函数的指数特征求出定义域和值域；C选项，利用函数奇偶性定义进行判断；D选项，解不等式，得到不等式解集. 【详解】A选项，的定义域为，A错误； B选项，，故值域为，B正确； C选项，定义域为，关于原点对称，又， 故为偶函数，C正确； D选项，不等式，故，解得或，D错误. 故选：BC 【变式15-3】【答案】AC 【分析】根据幂函数中结论一一分析即可. 【详解】 对A，当m，n是奇数时，的定义域为，关于原点对称， ，则幂函数是奇函数，故A中的结论正确； 对B，当m是偶数，n是奇数，幂函数在时无意义，故B中的结论错误； 对C，当m是奇数，n是偶数时，的定义域为，关于原点对称， ，则幂函数是偶函数，故C中的结论正确； 对D，时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误； 故选：AC. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 幂函数15种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 幂函数的概念辨析 题型 02 求幂函数的解析式或函数值 题型 03 根据函数是幂函数求参数值 题型 04 幂函数的定义域问题 题型 05 幂函数的值域问题 题型 06 幂函数的图象及应用 题型 07 幂函数的图象过定点问题 题型 08 判断幂函数的单调性 题型 09 判断与幂函数相关的复合函数的单调性 题型 10 由幂函数的单调性求参数 题型 11 比较幂值的大小 题型 12 利用幂函数的单调性解不等式 题型 13 幂函数的奇偶性的应用 题型 14 幂函数单调性与奇偶性综合应用 题型 15 幂函数性质综合应用 ▌题型01 幂函数的概念辨析 幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数． (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式． 【例1】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项不满足底数为单独的x的特征，所以不是幂函数； B选项不满足系数为1的特征，所以不是幂函数； C选项不符合y＝xα的单一形式，所以不是幂函数； D选项是幂函数. 【变式1-1】【多选】（2026高一·新疆·阶段检测）下列函数中是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由幂函数的定义逐项判断. 【详解】幂函数是形如（为常数）的函数， 对于A：的系数是2，不是幂函数，A错误； 对于B：是，的情形，B正确； 对于C：是指数函数，C错误； 对于D：是，的情形，D正确； 故选：BD. 【变式1-2】（2026高一·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义，逐一分析选项，判断其是否符合幂函数的形式. 【详解】对于选项A，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项B，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项C，不符合幂函数的形式，不是幂函数； 对于选项D，符合幂函数的形式，是幂函数. 故选：C. 【变式1-3】（3.3幂函数课后作业（巩固））有下列函数： ①；②； ③；④； ⑤；⑥. 其中是幂函数的有______（只填序号）. 【答案】④⑤ 【分析】直接根据幂函数的定义即可逐一判断. 【详解】①中，的系数为，故不是幂函数； ②中，不是的形式，故不是幂函数； ③中，，系数是，故不是幂函数； ④中，，是幂函数； ⑤中， ，是幂函数； ⑥中，是指数函数，故不是幂函数. 故答案为：④⑤ ▌题型02 求幂函数的解析式或值 若已知图象过点,将点坐标代入,解方程求。得到解析式后,求函数值直接代入自变量； 【例2】（2026高一·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 【答案】D 【详解】由题意得，，则，则. 【变式2-1】（2026高一·陕西榆林·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，则_________． 【答案】27 【分析】先根据题意得到，再计算即可. 【详解】由题知：，，所以. . 【变式2-2】（2026高一·四川乐山·期末）已知幂函数的图象过点，则__________． 【答案】 【详解】因为函数为幂函数，所以设， 函数过点，所以， 所以. 【变式2-3】已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的解析式为：____________. 【答案】 【详解】设幂函数为， 因为幂函数的图象经过点， 所以 ，即，解得 ，即， 则，定义域为 . 故所求幂函数的解析式为：. ▌题型03 根据函数是幂函数求参数值 由幂函数定义，令函数系数为 1，列方程求参数初步值。 【例3】（2026高一·河南·期末）若幂函数满足，则实数m的值为________． 【答案】 【详解】幂函数， 所以，解得或， 当时，，此时，当时，，此时， 又因为，所以满足要求， 即. 【变式3-1】（2026高一·湖南衡阳·期中）若幂函数的定义域为，则实数______． 【答案】3 【详解】解：由题意得，解得或， 当时，， 此时定义域不为，故舍去； 当时，，满足题意． 【变式3-2】（2026·四川广安·模拟预测）“”是“为幂函数”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由幂函数的定义求出的值，再由充分必要条件判断即可. 【详解】因为为幂函数， 所以， 解得：或, 所以“”是“为幂函数”的充分且不必要条件. 【变式3-3】（2026·上海闵行·模拟预测）已知，若是幂函数，且，则______. 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义求出参数，再利用已知函数值求出幂指数得到完整解析式，最后代入计算得到的值. 【详解】已知，且是幂函数： 根据幂函数的定义，可得，解得； 将条件代入得，解得，即函数解析式为； 将代入解析式得. ▌题型04 幂函数的定义域问题 1.为正整数时,定义域为；为负整数时,定义域为。 2.为分数(最简),若为奇数,定义域为；为偶数,定义域为。 【例4】（2026高一·江苏南通·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为___________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出幂函数，再由幂函数有意义列出不等式组求解. 【详解】设， 代入点，可得，解得， 所以， 要使有意义， 则，解得， 所以函数的定义域为. 【变式4-1】（2026高一·湖北孝感·期末）已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法求得，再求函数定义域即可. 【详解】设，因为幂函数的图象经过点 所以，即，解得， 所以，故要使函数有意义，则, 所以函数的定义域为 故选：C 【变式4-2】（2026高一·河北衡水·开学考试）若幂函数的定义域为R，则m=______________． 【答案】1 【分析】根据幂函数的定义，可得m值，代入检验，结合定义域，即可得答案. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，定义域为R，符合题意； 当时，，定义域为，不符合题意. 故 【变式4-3】（2026高三·上海闵行·期中）下列函数定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义，分别求出各选项所对应的函数的定义域，即可判断. 【详解】对于A：，所以函数的定义域为，故A错误； 对于B：，所以函数的定义域为，故B正确； 对于C：，所以函数的定义域为，故C错误； 对于D：，所以函数的定义域为，故D错误. 故选：B ▌题型05 幂函数的值域问题 幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解． 幂函数的定义域由幂指数确定： （1）当幂指数取正整数时，定义域为， 当为正偶数时，值域为；当为奇数时，值域为． （2）当幂指数取零或负整数时，定义域为， 当时，值域为；当为负偶数时，值域为；当为负奇数时，值域为． （3）当幂指数取分数时，可以先化为根式，再利用根式有意义求定义域和值域． 【例5】（2026高一·山东聊城·阶段检测）若，则满足幂函数的定义域与值域相同的构成集合，则集合的非空真子集个数为__________. 【答案】14 【分析】分别分析取不同值时，的定义域和值域，可得集合A，根据非空真子集个数的求法，代入公式，即可得答案. 【详解】当时，，定义域为，值域为，不符合题意； 当时，，定义域和值域都为，符合题意； 当时，，定义域为，值域为，不符合题意； 当时，，定义域和值域都为，符合题意； 当时，，定义域和值域都为R，符合题意； 当时，，定义域为R，值域为，不符合题意； 当时，，定义域和值域都为R，符合题意； 所以集合，则集合的非空真子集个数为. 故答案为：14 【变式5-1】【多选】（2026高一·山东潍坊·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据函数解析式分别计算值域判断各个选项即可. 【详解】，函数值域为，A选项正确； ，函数值域为，B选项错误； ，函数值域为，C选项正确； ，函数值域为，D选项正确； 故选：ACD 【变式5-2】（2026高一·福建·期中）函数的值域为______. 【答案】 【分析】根据题意可得，然后根据幂函数单调性求解值域. 【详解】令， 由有意义可得， 所以， 则， 所以，即函数的值域为. 故答案为：. 【变式5-3】（2026高一·上海浦东新·阶段检测）函数，的值域为__________. 【答案】 【分析】根据基本初等函数性质，判断函数单调性，判断函数值域. 【详解】可知和在上都单调递增， 则在上都单调递增， 所以函数在上的最小值为，最大值为，则函数值域为. 故答案为：. ▌题型06 幂函数的图象及应用 1.幂函数图象的画法 ①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象． ②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象． 2.解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝或y＝x3)来判断． 【例6】（2026高三·全国·专题练习）已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】应用幂函数图象判断大小. 【详解】幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，， 所以. 【变式6-1】（2026高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象与x轴无交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用幂函数性质列式计算求解. 【详解】因为幂函数的图象与x轴无交点， 所以， 所以，即得 【变式6-2】（2026高二·黑龙江·期末）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由，得， 解得，所以， 的定义域为，是偶函数，在上单调递减， 所以图象的大致形状与选项A中的图象一致． 【变式6-3】（2026高一·云南文山·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用幂函数的性质判断即可. 【详解】函数是幂函数，定义域为R， 又，所以为偶函数，其图象关于y轴对称，排除AD； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，选项B符合要求. 故选：B ▌题型07 幂函数的图象过定点问题 1. 基本定点为(1,1),代入任何幂函数均成立。 1. 若函数为,令得,定点为。 【例7】（2026高一·陕西安康·期中）函数的图象过定点______. 【答案】 【详解】由，解得，代入函数，可得， 所以函数图象恒过定点. 【变式7-1】（2026高一·山西·阶段检测）已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． 【答案】3 【分析】根据幂函数过定点得的图象过定点，进而得 【详解】令，则，故的图象过定点， 故，． 故答案为：3． 【变式7-2】（2026高一·全国·寒假作业）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的性质，令，可得定点的横坐标，然后利用幂函数的性质求定点的纵坐标． 【详解】令，即时， ， 图象恒过定点． 故选：B. 【变式7-3】（2026高一·安徽安庆·期中）已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为_____． 【答案】(1,2) 【分析】根据幂函数的性质确定所过定点，即可确定所过定点． 【详解】因为幂函数的图象过定点(1,1)，即有， 所以，即的图象经过定点(1,2)， 故答案为：． ▌题型08 判断幂函数的单调性 关键是"根据指数的符号分区间判断"； 1.当时,幂函数在上单调递增；在的单调性需结合奇偶性； 2.当时,幂函数在上单调递减；同样需用奇偶性分析负区间； 3.对定义域分段的幂函数(如为偶分数),仅在对应区间判断单调性. 【例8】（2026高二·山东青岛·期末）下列函数是减函数的为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依次求出4个函数的单调性即可. 【详解】对于A，为减函数，正确； 对于B，，为增函数； 对于C，开口向下，在上单调递增，在上单调递减，C错误； 对于D，为增函数，D错误. 【变式8-1】（2026高一·福建泉州·期中）若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 【答案】C 【详解】函数为幂函数，，得， ，定义域为， ，故在定义域内为奇函数，故D选项错误，C选项正确； 根据幂函数的性质知在，上单调递减，但在其整个定义域上不具有单调性，故选项A，B错误. 【变式8-2】（2026高二·北京·学业考试）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：在上单调递增，所以A错误； 对于B：在上单调递增，所以B错误； 对于C：在上单调递减，所以C正确； 对于D：在上单调递增，所以D错误. 【变式8-3】（2026高一·广东广州·期中）下列函数中，在上单调递减的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，当时，单调递增，也单调递增， 因此在上单调递增，故A错误； 对于B，因为 是开口向下的二次函数，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对于C，由于 是对勾函数， 则在上单调递减，在上单调递增，故Ｃ错误； 对于D，由于 是幂函数，幂指数， 根据幂函数性质，幂指数为负时，函数在上单调递减，故D正确. ▌题型09 判断与幂函数相关的复合函数的单调性 核心是“用”同增异减法则,分内外层函数分析”。 1.设复合函数为,其中是幂函数,先确定内外层定义域。 2.分别判断内层函数和外层幂函数的单调性。 3.若内外层均增或均减,复合函数递增；一增一减则递减。 【例9】（2026高一·江苏连云港·期末）函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】对于函数， 令，解得，所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 【变式9-1】（2026高一·山西晋中·期中）函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法，可求得定义域，根据复合函数单调性的求法，分析求解，即可得答案. 【详解】由题意， 令，可得，解得， 因为为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以的减区间为， 因为在上单调递增， 由复合函数单调性“同增异减”的原则，可得的减区间为. 故答案为： 【变式9-2】（2026高一·黑龙江哈尔滨·期中）函数的单调递增区间是（    ） A．（） B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数法单调性可求出函数的递增区间. 【详解】令， 则， 所以的定义域为 而抛物线，的开口向下， 故在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增, 的单调递增区间为. 故选：C. 【变式9-3】（2026高一·云南昭通·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得的定义域，利用复合函数的单调性可求得的单调递减区间. 【详解】由，可得，解得或， 所以函数的定义域为， 又，所以在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 所以由复合函数的单调性可得在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. ▌题型10 由幂函数的单调性求参数 1.若幂函数在单调递增,則；单调递减则。 2.分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求,如果是增函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值，如果是减函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值。 【例10】（2026高二·辽宁抚顺·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（     ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义和性质直接解题即可. 【详解】由题可知，解得或1.所以实数的值为0或1. 【变式10-1】（2026高二·辽宁辽阳·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数______． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】已知是幂函数，则，解得或， 又因为在上单调递减，所以，即，所以． 【变式10-2】（2026高二·河北·期末）已知幂函数在上单调递减，则__________． 【答案】 【详解】由题意可知， 所以，解得. 所以， 所以. 【变式10-3】（2026高二·河北沧州·期末）已知幂函数在上单调递减，若正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数定义与性质可得，再利用“1”代换结合基本不等式运算求解. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 则，解得， 可得正实数a，b满足， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. ▌题型11 比较幂值的大小 比较幂值大小的方法 (1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小． (2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”． 【例11】（2026高三·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 【变式11-1】（2026高一·河北唐山·阶段检测）已知，则的大小关系是______．（用小于号连接） 【答案】 【分析】利用幂函数的单调性判断即可. 【详解】由， 因为幂函数在单调递增， 且，所以， 故答案为：. 【变式11-2】（2026高三·河南漯河·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，， 所以， 又因为，所以. 故选：A.， 【变式11-3】（2026高一·福建莆田·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合幂函数单调性的分析判断即可. 【详解】因为，且在内单调递增， 则，即. 故选：D. ▌题型12 利用幂函数的单调性解不等式 利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 【例12】（2026高二·重庆沙坪坝·期末）已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设幂函数解析式，再应用过点求参数得出，最后应用单调性列式计算求解. 【详解】设幂函数，代入点得，解得，故， 因为函数为偶函数，所以等价于， 因为函数在上单调递增，所以等价于， 平方化简得，解得解集为； 【变式12-1】（2026高一·广东深圳·期中）已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 【答案】 【详解】由题可设幂函数，则即， 所以， 所以，即， 所以该函数定义域为，且该函数在上单调递减， 所以若不等式成立， 则，解得，即满足不等式的实数m的解集是. 【变式12-2】（2026高一·河北唐山·阶段检测）设是幂函数，若，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义求出的值，得到函数解析式，结合函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，所以． 易知是增函数. 因为，所以，解得． 故答案为：. 【变式12-3】（2026高一·河北沧州·期末）已知幂函数在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若命题：，为假命题，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质求解即可. （2）根据原命题为假，则其否定为真即可求解； （3）分类讨论的正负，根据单调性求解即可. 【详解】（1）因为是幂函数，根据幂函数定义，则，系数为1， 所以，即或， 又因为函数在单调递减，所以，所以. 代入得：. （2）因为原命题是假命题，所以其否定为真. 即：. 由（1）可知，，所以， 代入得：， 要小于函数在上的最小值. 易得，在单调递增， 所以最小值在时取到：， 所以. （3）因为，定义域为，函数在和上均单调递减， 当，即时，由可得， 解得，则此时； 当，即时，由可得， 解得，则此时； 当，即时，恒成立， 当时，，无解， 综上：不等式的解集为 ▌题型13 幂函数的奇偶性的应用 1.判断奇偶性：先看定义域是否关于原点对称,再验证 与 的关系, 为整数时,奇数则奇,偶数则偶。 2.应用时,可将负自变量转化为正自变量,如求 ,若为奇函数则 。 3.利用奇偶性简化图象绘制或值域、单调性的分析。 【例13】【多选】（2026高一·陕西西安·期末）若幂函数的定义域为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】ACD 【分析】根据幂函数的定义，奇偶性以及指数函数的运算即可求解. 【详解】根据幂函数定义则，解得或. 当时，，定义域为，与的定义域为矛盾； 当时，，的定义域为，满足题意，故A正确，B错误； 对于C，，定义域为，且，所以是奇函数，C正确： 对于D，，D正确. 故选：ACD 【变式13-1】（2026高一·甘肃定西·期末）若幂函数是奇函数，则___________. 【答案】2 【分析】利用幂函数的定义以及奇函数的性质即可求解 【详解】由题可知，即，解得或． 当时，，其定义域为，，此时为奇函数； 当时，，其定义域为，，此时为偶函数； 综上，. 故答案为： 【变式13-2】（2026高一·山东泰安·期中）已知幂函数为偶函数，则（    ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先依据幂函数的系数特征求出m的可能取值，再结合偶函数的性质确定m的具体值，最终计算. 【详解】由幂函数定义得，即，解得或. 当时，，为偶函数； 当时，，为奇函数， 故. 则，. 故选：C 【变式13-3】（2026高一·河北秦皇岛·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 【答案】(1)2； (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义可得或，再根据奇偶性可得； （2）利用二次函数单调性列不等式，可得解. 【详解】（1）由幂函数的定义，有，解得或， ①当时，，函数为奇函数，不合题意； ②当时，，函数为偶函数，满足题意； 由上知，实数的值为2. （2）由（1）知，，有， 又由函数的对称轴方程为. 若函数在区间上单调，有或. 可得或. 故实数的取值范围为. ▌题型14 幂函数的单调性和奇偶性的综合应用 关键是 "先定奇偶性缩范围,再用单调性解问题"。 1.判断幂函数的奇偶性,确定函数在对称区间的性质关联,如奇函数在 与 单调性一致。 2.分析函数在某一区间(如 )的单调性,结合奇偶性推导另一区间的单调性。 3.综合两者解决比较大小、解不等式等问题,避免忽略定义域限制。 【例14】已知幂函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，求实数的值． 【答案】0或2． 【分析】结合幂函数的性质，即可求解． 【详解】幂函数在区间上是严格增函数， 则，即，解得， 因为，所以 ，1，2， 当时，，满足函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，符合题意， 当时，，不满足函数的图像关于原点中心对称，故舍去， 当时，，满足函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，符合题意， 综上所述，或2． 【变式14-1】（2026高一·辽宁锦州·期末）已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是______. 【答案】1 【分析】根据幂函数的单调性可得，结合可得其值，代入检验后可得的值. 【详解】因为幂函数在上是减函数，故， 故，而，故， 当时，，此时幂函数的图象关于轴对称，符合题意； 当时，，此时幂函数的图象不关于轴对称，舍； 故答案为： 【变式14-2】（2026高一·重庆·期中）已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增，则等于（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用幂函数的性质列式求出值. 【详解】由幂函数在区间上单调递增，得，而， 解得或，又函数是偶函数，则为偶数，因此. 故选：C 【变式14-3】（2026高一·天津·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上为减函数，则_____. 【答案】 【分析】根据幂函数定义及奇偶性、单调性求解. 【详解】由可得， 当时，，函数是奇函数，不符合题意； 当时，，定义域为，函数不是偶函数，不符合题意； 当时，，函数为偶函数，且在上为减函数，符合题意. 故答案为： ▌题型15 幂函数性质的综合应用 解决与幂函数有关的综合性问题的方法 首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用． 【例15】【多选】（2026高一·安徽滁州·专题练习）已知幂函数，的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】BD 【分析】由题意得到的值，从而得到函数，由函数的奇偶性和单调性比较的大小关系即可判断A、B、C选项；同样，借助函数的单调性得到的大小关系，借助函数的奇偶性即可得到的大小关系，判断D选项. 【详解】幂函数，的图象关于y轴对称， 则，则，， 在上单调递减，于是有， 则A错误，B正确，C错误； 若，则，∵，，即成立．故D正确． 故选：BD. 【变式15-1】【多选】（2026高三·甘肃·阶段检测）已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．若，则或 D．当时，，若，则 【答案】ABD 【分析】代入点可求解，进而根据幂函数的性质即可求解ABC，利用作差法即可求解D. 【详解】因为函数的图象经过点，所以，解得， 所以，故A正确； 的定义域为，对，则，且， 所以函数是偶函数，故B正确； 因为，所以在上单调递增， 由，是偶函数，得，即， 解得，故C错误； 因为当时，，所以，， 又， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【变式15-2】【多选】（2026高三·重庆·阶段检测）下列关于幂函数的说法正确的有（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数为偶函数 D．不等式的解集为 【答案】BC 【分析】AB选项，根据幂函数的指数特征求出定义域和值域；C选项，利用函数奇偶性定义进行判断；D选项，解不等式，得到不等式解集. 【详解】A选项，的定义域为，A错误； B选项，，故值域为，B正确； C选项，定义域为，关于原点对称，又， 故为偶函数，C正确； D选项，不等式，故，解得或，D错误. 故选：BC 【变式15-3】【多选】（2026高一·全国·课后作业）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（    ） A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 D．时，幂函数在上是减函数 【答案】AC 【分析】根据幂函数中结论一一分析即可. 【详解】 对A，当m，n是奇数时，的定义域为，关于原点对称， ，则幂函数是奇函数，故A中的结论正确； 对B，当m是偶数，n是奇数，幂函数在时无意义，故B中的结论错误； 对C，当m是奇数，n是偶数时，的定义域为，关于原点对称， ，则幂函数是偶函数，故C中的结论正确； 对D，时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误； 故选：AC. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 幂函数15种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 幂函数的概念辨析 题型 02 求幂函数的解析式或函数值 题型 03 根据函数是幂函数求参数值 题型 04 幂函数的定义域问题 题型 05 幂函数的值域问题 题型 06 幂函数的图象及应用 题型 07 幂函数的图象过定点问题 题型 08 判断幂函数的单调性 题型 09 判断与幂函数相关的复合函数的单调性 题型 10 由幂函数的单调性求参数 题型 11 比较幂值的大小 题型 12 利用幂函数的单调性解不等式 题型 13 幂函数的奇偶性的应用 题型 14 幂函数单调性与奇偶性综合应用 题型 15 幂函数性质综合应用 ▌题型01 幂函数的概念辨析 幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数． (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式． 【例1】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】【多选】（2026高一·新疆·阶段检测）下列函数中是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026高一·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（3.3幂函数课后作业（巩固））有下列函数： ①；②； ③；④； ⑤；⑥. 其中是幂函数的有______（只填序号）. ▌题型02 求幂函数的解析式或值 若已知图象过点,将点坐标代入,解方程求。得到解析式后,求函数值直接代入自变量； 【例2】（2026高一·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 【变式2-1】（2026高一·陕西榆林·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，则_________． 【变式2-2】（2026高一·四川乐山·期末）已知幂函数的图象过点，则__________． 【变式2-3】已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的解析式为：____________. ▌题型03 根据函数是幂函数求参数值 由幂函数定义，令函数系数为 1，列方程求参数初步值。 【例3】（2026高一·河南·期末）若幂函数满足，则实数m的值为________． 【变式3-1】（2026高一·湖南衡阳·期中）若幂函数的定义域为，则实数______． 【变式3-2】（2026·四川广安·模拟预测）“”是“为幂函数”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-3】（2026·上海闵行·模拟预测）已知，若是幂函数，且，则______. ▌题型04 幂函数的定义域问题 1.为正整数时,定义域为；为负整数时,定义域为。 2.为分数(最简),若为奇数,定义域为；为偶数,定义域为。 【例4】（2026高一·江苏南通·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为___________． 【变式4-1】（2026高一·湖北孝感·期末）已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026高一·河北衡水·开学考试）若幂函数的定义域为R，则m=______________． 【变式4-3】（2026高三·上海闵行·期中）下列函数定义域为的是（    ） A． B． C． D． ▌题型05 幂函数的值域问题 幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解． 幂函数的定义域由幂指数确定： （1）当幂指数取正整数时，定义域为， 当为正偶数时，值域为；当为奇数时，值域为． （2）当幂指数取零或负整数时，定义域为， 当时，值域为；当为负偶数时，值域为；当为负奇数时，值域为． （3）当幂指数取分数时，可以先化为根式，再利用根式有意义求定义域和值域． 【例5】（2026高一·山东聊城·阶段检测）若，则满足幂函数的定义域与值域相同的构成集合，则集合的非空真子集个数为__________. 【变式5-1】【多选】（2026高一·山东潍坊·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026高一·福建·期中）函数的值域为______. 【变式5-3】（2026高一·上海浦东新·阶段检测）函数，的值域为__________. ▌题型06 幂函数的图象及应用 1.幂函数图象的画法 ①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象． ②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象． 2.解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝或y＝x3)来判断． 【例6】（2026高三·全国·专题练习）已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 【变式6-1】（2026高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象与x轴无交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026高二·黑龙江·期末）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026高一·云南文山·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． ▌题型07 幂函数的图象过定点问题 1. 基本定点为(1,1),代入任何幂函数均成立。 1. 若函数为,令得,定点为。 【例7】（2026高一·陕西安康·期中）函数的图象过定点______. 【变式7-1】（2026高一·山西·阶段检测）已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． 【变式7-2】（2026高一·全国·寒假作业）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026高一·安徽安庆·期中）已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为_____． ▌题型08 判断幂函数的单调性 关键是"根据指数的符号分区间判断"； 1.当时,幂函数在上单调递增；在的单调性需结合奇偶性； 2.当时,幂函数在上单调递减；同样需用奇偶性分析负区间； 3.对定义域分段的幂函数(如为偶分数),仅在对应区间判断单调性. 【例8】（2026高二·山东青岛·期末）下列函数是减函数的为（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2026高一·福建泉州·期中）若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 【变式8-2】（2026高二·北京·学业考试）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026高一·广东广州·期中）下列函数中，在上单调递减的是（     ） A． B． C． D． ▌题型09 判断与幂函数相关的复合函数的单调性 核心是“用”同增异减法则,分内外层函数分析”。 1.设复合函数为,其中是幂函数,先确定内外层定义域。 2.分别判断内层函数和外层幂函数的单调性。 3.若内外层均增或均减,复合函数递增；一增一减则递减。 【例9】（2026高一·江苏连云港·期末）函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2026高一·山西晋中·期中）函数的单调递减区间为__________. 【变式9-2】（2026高一·黑龙江哈尔滨·期中）函数的单调递增区间是（    ） A．（） B． C． D． 【变式9-3】（2026高一·云南昭通·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． ▌题型10 由幂函数的单调性求参数 1.若幂函数在单调递增,則；单调递减则。 2.分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求,如果是增函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值，如果是减函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值。 【例10】（2026高二·辽宁抚顺·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（     ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【变式10-1】（2026高二·辽宁辽阳·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数______． 【变式10-2】（2026高二·河北·期末）已知幂函数在上单调递减，则__________． 【变式10-3】（2026高二·河北沧州·期末）已知幂函数在上单调递减，若正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C． D． ▌题型11 比较幂值的大小 比较幂值大小的方法 (1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小． (2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”． 【例11】（2026高三·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【变式11-1】（2026高一·河北唐山·阶段检测）已知，则的大小关系是______．（用小于号连接） 【变式11-2】（2026高三·河南漯河·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（2026高一·福建莆田·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． ▌题型12 利用幂函数的单调性解不等式 利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 【例12】（2026高二·重庆沙坪坝·期末）已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（2026高一·广东深圳·期中）已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 【变式12-2】（2026高一·河北唐山·阶段检测）设是幂函数，若，则的取值范围是______． 【变式12-3】（2026高一·河北沧州·期末）已知幂函数在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若命题：，为假命题，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集． ▌题型13 幂函数的奇偶性的应用 1.判断奇偶性：先看定义域是否关于原点对称,再验证 与 的关系, 为整数时,奇数则奇,偶数则偶。 2.应用时,可将负自变量转化为正自变量,如求 ,若为奇函数则 。 3.利用奇偶性简化图象绘制或值域、单调性的分析。 【例13】【多选】（2026高一·陕西西安·期末）若幂函数的定义域为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．是奇函数 D． 【变式13-1】（2026高一·甘肃定西·期末）若幂函数是奇函数，则___________. 【变式13-2】（2026高一·山东泰安·期中）已知幂函数为偶函数，则（    ） A． B．2 C．4 D．8 【变式13-3】（2026高一·河北秦皇岛·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围. ▌题型14 幂函数的单调性和奇偶性的综合应用 关键是 "先定奇偶性缩范围,再用单调性解问题"。 1.判断幂函数的奇偶性,确定函数在对称区间的性质关联,如奇函数在 与 单调性一致。 2.分析函数在某一区间(如 )的单调性,结合奇偶性推导另一区间的单调性。 3.综合两者解决比较大小、解不等式等问题,避免忽略定义域限制。 【例14】已知幂函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，求实数的值． 【变式14-1】（2026高一·辽宁锦州·期末）已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是______. 【变式14-2】（2026高一·重庆·期中）已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增，则等于（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式14-3】（2026高一·天津·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上为减函数，则_____. ▌题型15 幂函数性质的综合应用 解决与幂函数有关的综合性问题的方法 首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用． 【例15】【多选】（2026高一·安徽滁州·专题练习）已知幂函数，的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【变式15-1】【多选】（2026高三·甘肃·阶段检测）已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．若，则或 D．当时，，若，则 【变式15-2】【多选】（2026高三·重庆·阶段检测）下列关于幂函数的说法正确的有（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数为偶函数 D．不等式的解集为 【变式15-3】【多选】（2026高一·全国·课后作业）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（    ） A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 D．时，幂函数在上是减函数 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $