专题04 有理数的加法与减法12大题型（重难点讲义）数学新教材苏科版七年级上册

本讲义聚焦有理数的加法与减法核心知识点，系统梳理加法法则（同号、异号及与0相加）、减法转化规则（减一个数等于加其相反数）、运算律（交换律、结合律）及混合运算步骤，构建从基础运算到实际应用的递进式学习支架。 资料亮点在于题型设计多元，涵盖符号辨析、实际应用（如水泥库存变化、温度记录）、数轴与绝对值结合等，通过拆项法等技巧培养运算能力，生活情境题发展模型意识，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，强化数学思维与应用能力。

专题04 有理数的加法与减法 1. 掌握有理数加法法则，能准确区分同号、异号两数相加的计算方法，理解互为相反数相加和为零的规律，熟练完成基础有理数加法运算。 2. 理解有理数减法的本质，掌握减去一个数等于加上这个数相反数的转化规则，能将减法算式统一转化为加法算式，规范完成减法计算。 3. 熟练运用加法交换律、结合律简化混合运算，能合理分组凑整、消去相反数，规避运算繁琐出错的问题，提升有理数加减运算的准确率。 4. 掌握有理数加减混合运算的解题步骤，能正确处理算式中的正负符号与括号，规范书写解题过程，熟练解决常规加减混合计算题。 5. 能运用有理数加减运算解决简单实际问题，可结合生活情境列式计算，辨析运算中的符号易错点，培养严谨的运算思维与应用能力。 一、有理数加法法则 1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 若则； 若则。 2.异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 绝对值相等：若且，则； 绝对值不相等： 1 若且，则； 2 若且，则。 3.一个数与0相加，仍得这个数。 4.有理数加法运算步骤： （1）看：看两个加数是同号还是异号； （2）定：确定和的符号； （3）求：根据有理数加法法则求和. 二、有理数加法运算律 1. 有理数相加，两个数相加，交换加数的位置，和不变； 加法交换律：a＋b＝b＋a 2. 有理数相加，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 加法交换律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 在有理数加法运算中，常利用有理数加法运算律先把正数和负数分开计算，各自求和后再相加. 3. 有理数加法中的一些计算技巧： （1） 相反数结合法：互为相反数的两个数先相加； （2） 同号结合法：符号相同的数先相加； （3） 同分母结合法：分母相同的数先相加； （4） 凑整法：几个数相加能够得到整数的先相加. 三、有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数， 1. 较大的数－较小的数＝正数，即若，则； 2. 较小的数－较大的数＝负数，即若，则； 3. 相等的两个数相减等于0，即若，则； 4. 0减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去0仍等于这个数. 四、有理数加减法混合运算 1. 利用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为有理数加法运算； 2. 去掉括号和括号前的加号（有绝对值的要先去掉绝对值后再计算）； 3. 利用加法法则和加法运算律进行计算. 【注意事项】 1. 进行加法运算先判定两数符号，同号相加取相同符号，绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号，用大绝对值减小绝对值。 2. 做减法务必先变号，减去一个数等于加上它的相反数，只改变减数符号，被减数保持不变，再转化为加法计算。 3. 处理括号与符号时，括号前是负号，去掉括号括号内各项全部变号；看清多重符号，不要漏改、错改数字符号。 4. 混合运算灵活使用运算律，利用交换律、结合律凑整、互为相反数抵消，交换数字位置要连同数字前面的符号一起移动。 5. 计算结果先定符号再算绝对值，符号是高频易错点；0 参与运算要牢记规则，0 加任何数得原数，任何数减 0 等于本身。 6. 做完运算养成验算习惯，负数参与计算格外留意，不要只计算绝对值忽略符号，避免出现符号正确数值算错的情况。 题型01有理数的加法运算 【典例】（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）小邱同学做这样一道题“计算”，其中“■”是被墨水污染看不清的一个数，他翻看了后面的答案，得知该题的答案是15，那么“■”表示的数是__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了绝对值，有理数的加减运算，掌握绝对值的意义和有理数的加减运算法则是关键，根据绝对值的意义，可得绝对值里面式子等于，继而根据有理数的减法进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）计算 (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式. 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)3 (2)0 (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法运算律是解题的关键． （1）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （2）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （3）根据有理数加法的结合律计算即可； （4）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （5）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （6）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读下面的计算方法． 计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法，试用拆项法计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法，掌握算理是解决问题的关键．利用拆项法把每个数拆成整数部分和小数部分，分别相加进行简便运算即可． 【详解】解：原式， ， ． 题型02有理数加法中的符号问题 【典例】（25-26七年级上·江苏南京·期中）如果，且，那么一定正确的是（    ） A．a为正数，且 B．a为正数，且 C．b为负数，且 D．b为负数，且 【答案】C 【分析】根据可知然后两种情况：或分别讨论． 【详解】解：∵， ∴ 则a一定是正数，此时，与已知矛盾， ∴， ∵， 当时， ①若a、b同号， ∵ ∴， ②若a、b异号， ∴， 综上所述时，，． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数的减法、绝对值、有理数的加法、正数和负数，掌握加法、减法运算法则，分情况讨论是解题关键． 【变式1】（25-26七年级上·北京海淀·期末） 如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b，那么原点的位置可能是（    ） A．线段AM上，且靠近点A B．线段AM上，且靠近点M C．线段上，且靠近点B D．线段上，且靠近点M 【答案】A 【分析】数轴上点A，M，B分别表示数a，，b，由它们的位置可得a＜0，a+b＞0，b＞0且|a|＜|b|，据此可判断原点在线段AM上，且靠近点A． 【详解】解：∵数轴上点A，M，B分别表示数a，，b， ∴由它们的位置可得a＜0，a+b＞0，b＞0且|a|＜|b|， ∴据此可判断原点在线段AM上，且靠近点A． 故选：A． 【点睛】考查了数轴，正数和负数，绝对值，关键是得到a＜0，a+b＞0，b＞0且|a|＜|b|． 【变式2】（25-26七年级上·全国·周测）与的和取___________号；与的和取___________号；和的和取___________号．（填“正”或“负”） 【答案】 负 正 负 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解本题的关键． 根据有理数的加法法则，“同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，当绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”逐一计算即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：负正 负 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)，； (2)，． (3)___________． 【答案】(1)，5，， (2)，1，， (3)0 【分析】根据有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加的零． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ； （3）解：． 【点睛】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题关键． 题型03有理数加法在生活中的应用 【典例】（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）某水泥仓库7天内进出水泥的吨数是（“”表示进库，“”表示出库）：，，，，，，． (1)经过这7天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？ (2)经过这7天，仓库管理员结算时发现仓库里还存有200吨水泥，那么7天前，仓库里存有水泥多少吨？ 【答案】(1)减少了45吨 (2)7天前，仓库里存有水泥245吨 【分析】本题考查了有理数的加减运算在实际问题中的应用，解题的关键是通过有理数的加减计算确定水泥的变化量． （1）将7天的进出水泥吨数相加，根据结果的正负判断是增多还是减少，结果的绝对值即为变化的吨数； （2）用现有水泥量减去7天的变化量（注意符号），得到7天前的存量． 【详解】（1）解：将7天的进出量相加∶ 结果为负，说明水泥减少了，减少了45吨． （2）现有水泥量是7天后的剩余量，7天前的存量 = 现有量 - 7天的变化量∶． 7天前，仓库里存有水泥245吨． 【变式1】（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）快递员小明每天从快递点骑电动三轮车到三个小区投送快递．每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点．之间的距离（单位：）如图所示． (1)若小明按照的路线骑行，则小明骑行的距离为_____； (2)小明骑行的最短距离为_____． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数加法的应用，有理数比较大小，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出算式，然后通过运算法则即可求解； （）分别求出各路线的距离，然后比较即可． 【详解】（1）解：根据图示计算的路线距离为； 故答案为：； （2）解：找出所有可能路线计算： ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为； 通过比较这些路线的距离，是最短的， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·吉林·期中）2025年“十一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人），已知9月30日游客为2万． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 (1)10月3日游客的人数为________万人？ (2)请判断7天内游客人数最多的是________日？最少的是________日？它们相差________万人？ (3)求这个黄金周期间游客在该风景区的总人数． 【答案】(1) (2)3；7； (3) 【分析】本题考查了正负数的实际应用，以及有理数的运算在实际问题中的应用．注意计算的准确性． （1）将9月30日游客人数加上1日、2日增加的人数就是10月3日的游客人数； （2）先计算出这7天每天的人数，比较得到人数最多和最少的天数，计算出相差多少万人即可； （3）将7天假期中每天的游客人数相加，即可得到总人数． 【详解】（1）解：10月3日游客的人数为：（万人）； 故答案为：4.8； （2）解：10月1日有游客：(万人)； 10月2日游客的人数为(万人)； 10月3日游客的人数为(万人)； 10月4日游客的人数为(万人)； 10月5日游客的人数为(万人)； 10月6日游客的人数为(万人)； 10月7日游客的人数为(万人)； 所以游客最多的是10月3日，最少的是10月7日，两天相差（万人）； 故答案为：3；7；2.2； （3）解：(万人) 答：这个黄金周该地有游客共万人． 【变式3】（25-26七年级上·江苏·阶段检测）某地的国际标准时间是指该地与格林尼治的时差．以下为同一时刻五个城市的国际标准时间（“+”表示当地时间比格林尼治时间早，“一”表示当地时间比格林尼治时间晚）： 城市 伦敦 北京 东京 多伦多 纽约 国际标准时间 0 (1)伦敦时间中午时，东京和多伦多的当地时间分别是几点？ (2)北京时间早晨时，纽约的当地时间是几点？ 【答案】(1)东京的当地时间是21点，多伦多的当地时间是7点； (2)纽约的当地时间是前一天18时． 【分析】本题考查正数与负数，有理数的混合运算，搞清正负数的意义是解题的关键 （1）东京的时间比伦敦多9小时，多伦多的时间比伦敦时间少5小时，据此计算即可； （2）北京的时间比纽约多13小时，由此填出即可． 【详解】（1）解：时；时， 答：东京的当地时间是21点，多伦多的当地时间是7点； （2）时， 是负数， 纽约的当地时间是前一天18点． 题型04有理数的减法运算 【典例】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）___________． 【答案】 【详解】解：． 【变式1】（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）若a、b是有理数，，，且a、b异号，求的值． 【答案】的值为或． 【分析】本题主要考查有理数的减法，绝对值的意义，首先依据绝对值的定义求出、，然后结合条件a、b异号，进行分类计算即可，解题的关键是熟练掌握有理数减法运算及分类讨论思想． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵a、b异号， ∴，，则； ，，则； ∴的值为或． 【变式2】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【分析】（1）按有理数减法法则计算即可； （2）按有理数加减法法则计算即可； （3）将分母相同的先进行相加即可； （4）先将分数化为小数，并去掉绝对值符号和括号，再进行计算即可． 本题考查了有理数的加减，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式3】（2026·河北邯郸·二模）习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程． 习题：计算． 解： ，………① …………② …………③ (1)在上面的计算过程中，开始出错的步骤是________（填序号）；请写出原习题正确的计算过程和结果． (2)为了强化计算，数学老师写出如下变式，，填入□中使得算式成立的符号是________；（填“+”或“-”） 【答案】(1)开始出错的步骤是②，原习题正确过程见解析，结果为 (2)+ 【分析】（1）根据运算过程判断即可；根据有理数的运算法则进行计算即可； （2）把看作是两个负数的和，可得答案． 【详解】（1）解：在上面的计算过程中，开始出错的步骤是②； ； （2）解：， 故方框内应填上“+”． 题型05有理数减法的实际应用 【典例】（25-26七年级上·江苏南京·期中）下表为某生活情境下的7个数据． 1 2 3 4 5 6 7 0 (1)已知9月30日的最低气温为，若表格是10月日的最低气温的变化情况（“+”表示最低气温比前一天上升，“-”表示最低气温比前一天下降），则10月_________________日的最低气温最高； (2)已知某种工艺品的标准质量是，若表格是号工艺品的质量与标准质量的差值（“+”表示高于标准质量，“-”表示低于标准质量），求这7件工艺品的平均质量； (3)赋予表格不同于（1）（2）的生活情境，并提出一个相关的问题． 【答案】(1)6 (2) (3)表格表示某班7名学生身高与标准身高（）的差值（“”表示高于标准身高，“”表示低于标准身高）．问题：求这7名学生的平均身高．（不唯一，合理即可） 【分析】本题主要考查了正负数的应用、有理数加减运算的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先分别求出7天 气温，然后比较即可解答； （2）980加上表格中号工艺品的质量与标准质量的差值的平均值即可； （3）根据生活情境作答即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 10月1日的气温为：； 10月2日的气温为：； 10月3日的气温为：； 10月4日的气温为：； 10月5日的气温为：； 10月6日的气温为：； 10月7日的气温为：； 所以10月6日的最低气温最高． 故答案为：6． （2）解： ． 答：这7件工艺品的平均质量． （3）解：表格表示某班7名学生身高与标准身高（）的差值（“”表示高于标准身高，“”表示低于标准身高）．问题：求这7名学生的平均身高． 【变式1】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）2025年中秋、国庆两大节日喜相逢，某著名海滨度假区预计在9月日的客人数为万人，接下来的八天中，预计每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数），若当天游客量超过最大承载量，则度假区会采取限流措施． 日期 月1日 月2日 月3日 月4日 月5日 月6日 月7日 月8日 人数变化（万） (1)月2日的人数为多少万人？ (2)若不考虑限流，这八天假期里，游客最多的一天比游客最少的一天多多少万人？ (3)若度假区收取每位游客元门票费用，游客人数太多超过最大承载量时（度假区的最大承载游客量为每天8万人）超过的游客不能再进入景区，则这八天度假区门票总收入是多少万元 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的混合运算的应用，弄清题意是解题的关键． （1）根据题意列出算式，计算即可得到结果； （2）根据表格找出旅客人数最多的与最少的，相减计算即可得到结果； （3）根据表格得出1日到8日每天的人数，因为每天超过8万人的游客不能再进入景区，所以多于8万人时按8万计算，相加后再乘以即可得到结果． 【详解】（1）解：万人， 答：月2日的人数为万人； （2）解：根据表格得：1日：（万人）， 2日：（万人）， 3日：（万人）， 4日：（万人）， 5日：（万人）， 6日：（万人）， 7日：（万人）， 8日：（万人）， 则8天中旅客最多的是4日为万人，最少的是8日为万人， 则八天中旅客人数最多的一天比最少的一天多：（万人）； 答：游客最多的一天比游客最少的一天多万人； （3）解：（万元）， 答：这八天度假区门票总收入是万元． 【变式2】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段检测）（1）【情境导入】某服装成本为100元，售价为120元，则利润为　　　　　元． （2）【课本再现】下面是苏教版初中数学教科书七年级上册第129页的部分内容（销售中的盈亏）． 某商店以240元的相同售价卖出两件不同的衬衫，其中一件盈利，另一件亏损，商店卖出这两件衬衫是盈利，还是亏损？回答：　　　　　（填“盈利”、“亏损”或“不赢不亏”）． （3）【解决问题】七年级实践小组去商场调查，了解到某款羽绒服以每件元的价格购进了200件，并以每件120元的价格销售了一部分，为回笼资金，商场将剩下的羽绒服在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完毕．已知这批羽绒服总利润是5600元，请你算一算降价前共售出多少件？ 【答案】（1）20；（2）亏损；（3）150件 【分析】本题主要考查了有理数减法的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）根据利润售价进价即可得出答案． （2））设盈利的衬衫的进价为x元，亏损的衬衫的进价为y元，根据题意分别求出两件衣服的进价，再根据利润售价进价把两件衣服的利润相加即可得出答案． （3）设降价前共售出m件，则降价后售出件，根据利润（单价售价单价进价）销售量列出方程求解即可． 【详解】解：（1）服装成本为100元，售价为120元，则利润为（元） （2）设盈利的衬衫的进价为x元，亏损的衬衫的进价为y元， 根据题意得：， 解得：，， ∴ 答：商店卖出这两件衬衫亏损了． （3）设降价前共售出m件，则降价后售出件， 由题意得，， 解得， 答：降价前共售出150件． 【变式3】（25-26七年级上·山西晋中·期中）中秋节小雨陪妈妈一起去购买月饼，妈妈买了一盒某品牌月饼（共计6枚），回家后小雨仔细地看了标签和包装盒上的有关说明，然后把6枚月饼的质量称重后统计如下表（单位：g）： 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量/g 69.3 70.2 70.8 69.6 69.4 71 (1)小雨为了简化运算，选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，他把超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出下表（不完整）．请把下列表格补充完整： 第n枚 1 2 3 4 5 6 与标准质量的差值/g ______ ______ ______ (2)小雨看到包装说明上标记的总质量为（）g，他告诉妈妈买的月饼在总质量上是合格的，你知道为什么吗？请通过计算说明． 【答案】(1)表格如下： 第枚 1 2 3 4 5 6 质量 1 (2) ， 所以这盒月饼在总质量是（克）， 而这盒月饼的标准质量是（）克，因此是合格的． 【分析】本题考查了有理数的加减运算，正负数的应用，根据题意列式计算是解题的关键． （1）根据（1）中第2、4、6个计数即可得出基准质量，然后对比即可． （2）求（1）的误差是否为之内，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴标准质量为70 g ∴，，， （2）略 题型06有理数加减混合运算 【典例】（25-26七年级下·湖北随州·期末）已知[x]表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，有理数的加减混合运算，根据题意，理解的定义并求出值，然后根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意，可得： ． 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则______． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算与有理数的减法运算，需先根据给定定义分别求出和的值，再利用有理数减法法则计算最终结果． 【详解】解：∵， ； ∵， ∴； ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·山西忻州·期中）阅读下面的解题过程并解决问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） … (1)上面的计算过程中，第一步变形的依据是_____________； (2)为了计算简便，第二步应用的运算律是_____________；（用符号表示） (3)上面的计算过程，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是_____________； (4)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)有理数减法法则 (2) (3)二；写成了 (4) 【分析】（1）根据“减法变加法（减一个数等于加它的相反数）”确定第一步的变形依据； （2）第二步调整数的位置，对应加法交换律； （3）检查步骤中符号是否正确，发现第二步，将误写为； （4）先通过加法交换律调整数的顺序，再用结合律分组计算（小数与小数结合、分数与分数结合），最终得出结果． 【详解】（1）解：有理数的减法法则（减去一个数等于加上这个数的相反数）． （2）解：加法交换律：； （3）解：从第二步开始出错，错误原因是：将误写为，符号处理错误； （4）解： ． 【变式3】（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）计算：． 小敏的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据小敏的计算过程，回答下列问题： (1)小敏在进行第二步计算时，运用的运算律是：____________； (2)请指出她从第____________步开始出现错误； (3)将错误的一步改正并写出之后正确的解答过程． 【答案】(1)加法的交换律、结合律 (2)三 (3) 解： ． 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是关键． （1）利用有理数的加法的交换律、结合律解答，即可求解； （2）根据有理数加法法则解答，即可求解； （3）利用有理数的加法的交换律、结合律解答，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，小敏在进行第二步计算时，运用了加法的交换律、结合律． 故答案为：加法的交换律、结合律； （2）解：小敏在计算过程中，从第三步开始出现错误． 理由：，而不是， 故答案为：三； （3）略 题型07有理数加减的简便运算 【典例】（25-26六年级上·上海宝山·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算，有理数加法运算律，根据有理数的加减运算法则及运算律计算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式1】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减法，运算律，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减法运算法则即可求解； （2）根据有理数的加减法运算法则即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 【变式2】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了有理数的加减运算，解题的关键是∶ （1）先去括号，然后根据加法的交换律和交换律计算即可； （2）先去括号，然后根据加法的交换律和交换律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解∶ ． 【变式3】（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）数学张老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解： 原式 ． 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了有理数的加法，把有关的数正确的拆项是解决问题的关键． （1）根据拆项法把拆成，把拆成，再根据有理数的加法进行计算即可； （2）根据拆项法把拆成，把拆成，再根据有理数的加法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型08有理数加减混合运算的应用 【典例】（25-26七年级上·江苏连云港·期中）某出租车驾驶员从公司出发，在东西方向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：） 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油0.1升，那么在这过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费8元，超过的部分按每千米加1.6元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？ 【答案】(1)接完第5批客人后，该驾驶员在公司的东边6千米处 (2)在这个过程中共耗油2升 (3)在这个过程中该驾驶员共收到车费49.6元 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，正负数的意义，解题的关键是熟练运用正负数的意义，掌握有理数加法及乘法运算法则． （1）根据有理数加法运算法则，结合正负数的意义即可求出答案； （2）先求出所行驶路程总和，然后再求耗油量； （3）根据题意分别求每批客人的运费，从而求解． 【详解】（1）解： 答：接完第5批客人后，该驾驶员在公司的东边6千米处； （2）（升） 答：在这个过程中共耗油2升； （3）只有第1，3，5批客人超出， （元）， 答：在这个过程中该驾驶员共收到车费49.6元． 【变式1】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）【体验】 （1）在1，2，3，4四个数前面恰当地添上正号或负号，使它们的和为0（请写出一种情况即可）：______ 【探索】 （2）在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0（请写出一种情况即可） 【应用】 （3）在1，2，3，4，…，2019，2025，2025共2025个数前面恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，你能做到吗？如果能，请写出一种情况，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）不能，理由见解析 【分析】（1）通过尝试对1，2，3，4组合添符号，利用有理数加减运算找和为的情况； （2）先算钟面个数总和，再拆分使正负部分和的绝对值相等，从而和为； （3）计算到总和的奇偶性，判断能否拆分成和相等的两部分，确定能否使和为． 本题主要考查有理数的加减运算、数的奇偶性分析，熟练掌握“通过合理分组使正负数和的绝对值相等来构造和为的情况，以及利用总和奇偶性判断能否拆分”是解题的关键． 【详解】解：（1）， （2）， （3）不能做到．理由：要在2025个数前面恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，则需要把这2025个数分成两个部分，且和的绝对值相等．而这2025个数和为奇数，无法分成两个相等整数，所以做不到． 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）某儿童服装店老板以每件元的价格购进一批连衣裙，针对不同的顾客，件连衣裙的售价不完全相同，若售价以每件元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负；售出件数以5件为标准，超过的件数记为正，不足的件数记为负．销售情况记录结果如下表： 售价与标准价的差额（元） -5 +5 0 售出件数与标准件数的差额（件） -4 0 (1)根据记录可知，每件最高售价比最低售价高多少元？ (2)该服装店本次购进连衣裙多少件？ (3)求该服装店售完这批连衣裙所获的利润． 【答案】(1)元 (2)件 (3)元 【分析】本题考查正负数的理解，有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）分别求出最高售价和最低售价，求差值即可． （2）由题目已知即可得到答案． （3）分别求出每种情况的单价，利润和数量，然后求解即可． 【详解】（1）解：最高售价：（元） 最低售价：（元） 最高售价比最低售价高：（元） 答：每件最高售价比最低售价高15元． （2）解：该服装店本次购进连衣裙30件． （3）售价为元的连衣裙售出件， 售价为元的连衣裙售出件， 售价为元的连衣裙售出件， 售价为元的连衣裙售出5件， 售价为元的连衣裙售出件， 总利润为：． 答：该服装店售完这批连衣裙所获的利润为元． 【变式3】（25-26六年级上·山东淄博·期中）为纪念红军长征胜利88周年，特技飞行队在名胜风景旅游区特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表： 高度变化 记作 上升 下降 上升 下降 (1)此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ (3)如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 【答案】(1) (2)升 (3)下降 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算的实际应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）求得三个数的和，根据结果的符号和绝对值即可判断位置； （2）求得三个数的绝对值的和，乘以2即可求解； （3）计算，根据计算结果即可确定上升或下降，以及上升与下降的距离． 【详解】（1）解：； 答：此时这架飞机比起飞点高了1km； （2）解： （升） 答：一共消耗了升燃油； （3）解： ∵要使飞机最终比起飞点高出1千米， ∴第四个动作是下降，下降的距离为 题型09省略加法和括号的形式问题 【典例】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）把写成省略加号的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察所给的式子，要写成省略加号的形式，即是将式子中的括号去掉即可． 【详解】解：根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，得， ． 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握去括号的法则：括号前是正号，去括号时，括号里面的各项都不改变符号；括号前是负号，去括号时，括号里面的各项都要改变符号是解题的关键． 【变式1】（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）写成省略加号的和的形式为 ___________． 【答案】 【分析】利用有理数减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，变为连加，加号省略即可 【详解】解：∵ ∴写成省略加号的和的形式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算中的符号化简，熟练掌握有理数减法的法则，符号化简法则，是解题的关键． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）将下列省略加号和括号的形式添上加号和括号，并计算出结果： （1）30-20-10+15=____________________=_______； （2）-4-28+25-22=____________________=_______. 【答案】（1）30+（-20）+（-10）+15，15；（2）（-4）+（-28）+25+（-22），-29. 【详解】试题解析：（1）30-20-10+15=30+（-20）+（-10）+15= 15； （2）-4-28+25-22=（-4）+（-28）+25+（-22）=-29. 故答案为(1). 30+（-20）+（-10）+15；15；(2). （-4）+（-28）+25+（-22）；-29. 【变式3】（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）平顶山某初中数学小组学完进度章节后，对一道试题展开了讨论，请你仔细阅读并完成任务． 试题：计算：． 小明：对于这道试题我采用直接运算方法，从左到右先写成省略括号和加号的形式，之后…… 小亮：对于这类计算，我发现了一种拆项法．以这道试题为例： 原式               …… 小明：这种方法很有趣，值得推荐． …… 任务： (1)请你帮助小明把原式写成省略括号和加号的形式 ； (2)题干中横线上空缺的计算结果是 ； (3)按小亮的方法计算：． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】本题考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键： （1）根据加法法则，省略掉括号即可； （2）根据有理数的加法法则进行计算即可； （3）将带分数化为整数和真分数的和的形式，利用交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ； 故答案为：0； （3）原式 ． 题型10有理数加减法与数轴结合 【典例】（2025·江西赣州·模拟预测）一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况：点在线段上和点在的延长线上，根据和点B表示的数求出点表示的数，再根据折叠可得点C为的中点，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点在线段上时，∵，且点B表示的数为10， ∴点表示的数为， ∵点A表示的数为， ∴点C表示的数为； 当点在的延长线上时，∵，且点B表示的数为10， ∴点表示的数为， ∵点A表示的数为， ∴点C表示的数为； 综上所述，点C表示的数为或． 【变式1】（2026·河北沧州·模拟预测）某同学将刻度尺按如图所示放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度．点是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，则数轴上点所对应的数为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据数轴上的长和直尺上的长，可求出数轴上一个单位长度在直尺上的长度是，再根据直尺上的长可求出数轴上的长，据此可得答案． 【详解】解：数轴上，直尺上，． ∴数轴上一个单位长度在直尺上的长度是， ∵直尺上，． ∴数轴上， ． ∴点对应的数是． 【变式2】（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，在一条不完整的数轴上从左至右有，，三点，其中，，设点，，所对应的数的和是，若以为原点，根据点，所对应的数，计算的值为______；若原点在图中数轴上点的右边，且，计算的值为______． 【答案】 【分析】根据数轴上两点间的距离公式，分别求出点，，所对应的数即可解决问题． 【详解】解：①为原点，，， 点所对应的数为， ， 点所对应的数为， ； ②原点在图中数轴上点的右边，且， 点所对应的数为， ，， 点所对应的数为，点所对应的数为， ； 故答案为：；． 【变式3】（25-26七年级上·青海西宁·期中）综合与实践 阅读：我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，本学期我们学习的数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，利用数轴我们发现了很多重要的规律． 表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1这两个数在数轴上所对应的两个点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与这两个数在数轴上所对应的两个点之间的距离．若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可以表示为． 理解： （1）点A表示的数为，点B表示的数为1，画出数轴，并在数轴上把A，B两个点表示出来； （2）线段的长是____； 应用： （3）在数轴上如果表示数a和5的两个点之间的距离是12，则可记为，那么数a是____； （4）在数轴上表示数a的点位于与1之间，则的值是____； 【答案】 （1）画出数轴如下： （2）3； （3）或17； （4）4 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值，有理数的加减法，熟练掌握绝对值的意义，运用“数形结合”的思想解决问题是解题的关键． （1）画出数轴，并在数轴上把A，B两个点表示出来即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （3）根据数轴上两点之间的距离，分两种情况即可求解； （4）由题意得，数a与的距离为，数a与1的距离为，将二者相加即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）线段的长是， 故答案为：3； （3）当时，则， 当时，则， ∴数是或17； 故答案为：或17； （4）由题意得，数a与的距离为， 数a与1的距离为， ∴， 故答案为：4． 题型11有理数加减法与绝对值结合 【典例】（25-26六年级上·山东淄博·期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．若，请利用数轴求出所有符合条件的整数的和（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的几何意义与数轴上的距离问题，关键是理解表示数轴上点到和的距离之和，通过计算两点间距离确定的取值范围，再找出整数解求和． 【详解】解：表示数轴上点到和的距离之和． ∵与的距离为， ∴当且仅当在到之间(包括端点)时，距离之和为． 符合条件的整数为． 计算这些整数的和：． 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·江苏淮安·期中）如果，，且，则的值等于（   ） A．或10 B．2或 C．或10 D．或2 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数的加法． 根据绝对值的性质求出m和n的值，根据可知m和n异号，进而代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴或． ∵， ∴或． 又∵， ∴m和n异号． 当时，； 当时，； ∴的值为或2． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）已知，，且，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系．根据绝对值的意义求出a，b的值，然后代入计算即可． 【详解】解∶∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， ∴，或，， ∴或， 故答案为：或． 【变式3】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示x、y的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题： （1）表示数5和_______所对应的两点之间的距离； （2）表示数x和_______所对应的两点之间的距离； 【继续推理】 （3）代数式的最小值为_______； 【问题解决】 （4）有理数y使得的值最小，y值为_______． 【答案】（1）2（2）（3）8（4）3 【分析】本题考查了数轴与有理数，绝对值的几何意义，有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据题目所给的方法直接解答即可； （2）根据题目所给的方法直接解答即可； （3）是数轴上表示x的点到数轴上表示的点与表示5的点的距离和，当表示x的点在表示的点和表示5的点之间时，距离和最小，即表示的点与表示5的点之间的距离，据此解答即可； （4）是数轴上表示y的点与表示3，5的点之间的距离和，根据数轴数形结合解答即可． 【详解】解：（1）表示数5和2所对应的两点之间的距离； 故答案为：2； （2）表示数x和所对应的两点之间的距离； 故答案为：； （3）是数轴上表示x的点到数轴上表示的点与表示5的点的距离和，当表示x的点在表示的点和表示5的点之间时，距离和最小，即表示的点与表示5的点之间的距离，最小值为； 故答案为：8； （4）是数轴上表示y的点与表示3，5的点之间的距离和，表示3 的点在表示的点与表示5的点之间，故当表示y的点与表示3的点重合时，这个距离和最小．即为到5的距离，即， ∴当的值最小时，． 故答案为：3． 题型12有理数加减法的新定义运算 【典例】（25-26七年级下·广东河源·开学考试）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如，．现定义，例如，则________． 【答案】 【分析】根据题目中的新定义列出计算式解答即可． 【详解】根据题意得：，， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查有理数大小比较以及有理数的加减混合运算，关键是根据题意列式解答． 【变式1】（24-25七年级上·山东青岛·阶段检测）定义一个新运算 ，已知，则______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算的新定义，绝对值的意义，解题的关键是读懂题意，掌握新定义，利用新定义解决问题．先求出，再根据定义进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 当时，， 当时，， ， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）已知表示不超过的最大整数，如：．现定义：，如，则__________________． 【答案】/ 【分析】根据题意可得，进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，理解题意，正确列出算式是解此题的关键． 【变式3】（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）【定义】定义一种新的运算“*”，规则如下： （1）同号两数运算，结果取正号，结果的绝对值为两数绝对值之和； （2）异号两数运算，结果取负号，结果的绝对值为两数绝对值之和； （3）0和任何数运算，结果等于另一个数的绝对值． 例：， 【计算】 ① ② ③ ④ 【探究一】是否存在两个有理数，使得？如果存在，请举出例子；如果不存在，请说明理由． 【探究二】小明在计算时，得到的结果是，求x的值． 【探究三】如果两个有理数的结果是负数，那么等式对任意非零有理数c是否成立，请说明理由． 【答案】【计算】①②③④【探究一】存在，【探究二】【探究三】成立，理由见解析 【分析】本题考查了定义新运算，有理数的加法以及绝对值的意义，理解新定义的运算法则是关键． 【计算】根据运算法则计算即可． 【探究一】按照运算法则确定． 【探究二】根据结果得正，两数同号，绝对值的和为15，由此利用和15减去另一加数得其x的绝对值，且x为负； 【探究三】根据题意a、b异号，，分情况求解即可． 【详解】解：【计算】①； ②； ③； ④； 【探究一】存在，当时，； 【探究二】∵在计算时，得到的结果是，根据定义可知：与同号，， ∴； 【探究三】成立， ∵两个有理数的结果是负数， ∴a、b异号，， ①当时，， 若，，， ∴； 设，，， ∴； ②当时，， 若，，， ∴； 设，，， ∴； 综上，等式对任意非零有理数c都成立． 【巩固训练】 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．（26-27七年级上·江苏·开学考试）停车场对小汽车的收费标准是这样的：半小时内（含半小时）免费，半小时以上，每过1小时收费8元，不足1小时按1小时算．一辆小汽车付停车费24元，那么它的停车时间段可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算停车时间，根据计费标准，解答即可； 【详解】解：∵ 停车费为24元，每小时收费8元， ∴停车时间为：小时. ∵ 半小时内免费，不足1小时按1小时计费， ∴ 实际停车时长满足2小时30分小时30分. A．小时45分，3小时45分小时30分，不符合. B．小时，2小时小时30分，不符合. C．小时20分，2小时30分小时20分小时30分，符合. D． 小时25分，2小时25分小时30分，不符合. 3．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段检测）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分别求出的值，即可得到答案． 【详解】解：； ， ， ； ． 4．（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图，将刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是)，刻度尺上和分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上对应数轴上的数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上的点与刻度尺的位置对应关系，关键是找出刻度尺刻度与数轴上数的数量关系． 【详解】解：∵刻度尺上对应数轴上的3，对应数轴上的0，数轴的单位长度是， ∴刻度尺上的刻度值与数轴上对应的数的和为3， ∴刻度尺上对应数轴上的数为； 故选：D． 5．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）若，且，则等于（   ） A．5或 B．或1 C．5或1 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值和有理数的加法运算，先根据绝对值的性质求出a，b的值，再根据，得出所有符合条件的a，b的值，再列出算式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，可取或，均满足；当时，可取或，均不满足， ∴或， ∴或， 故选：C． 6．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算：___________． 【答案】0 【详解】解：． 7．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）规定表示不超过的最大整数，则______． 【答案】 【详解】解： 8．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫做“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为________． 【答案】 【分析】利用分数的基本性质变形原分数，拆分分子后得到两个分子为1的单位分数． 【详解】解：． 9．（25-26六年级上·山东泰安·期中）如图，方格表中每一行、每一列及两条对角线中所填数的和均相等，则x的值为______． 1 x 0 【答案】 【分析】先根据第一列的三个数求出和，由第二行即可求出最中间的数，再根据所在的对角线及和即可求出右上角的数，最后由第一行的数及和即可求出x的值． 【详解】解：由图可得，和为， 则最中间的数是， 则右上角的数是， 所以． 10．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）如图1，点是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的有理数为，，，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度，则数轴上点所对应的数为______． 【答案】 【分析】分别求出数轴上和刻度尺上点A和点C的距离，则可求出刻度尺上在数轴上表示的长度，再求出刻度尺上点A和点B的距离，进而求出数轴上点A和点B的距离，则可得到答案． 【详解】解：∵在数轴上点A表示的数为，点C表示的数为， ∴在数轴上点A与点C的距离为； ∵在刻度尺上，数字0对应点A，数字对应点C， ∴在刻度尺上点A与点C的距离为， ∴刻度尺上在数轴上表示个单位长度， ∵在刻度尺上点对应刻度， ∴在刻度尺上点A与点B的距离为， ∴在数轴上点A与点B的距离为， ∴． 11．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 12．（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，相反数，解题的关键是掌握有理数的加减混合运算法则，相反数的定义． （1）先去括号，再把减法化为加法，最后运算加法，即可作答． （2）把小数化为分数，再根据加法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）无人机的迅速发展，大幅提升了人们的生产效率．小米汽车引进具备新型分析功能的无人机，用于改进工作流程——以监控中心为原点，规定向东为正方向，对东西方向的汽车生产线进行往返巡查，实时监控生产线动态．以下是该无人机利用规划的10次巡查的飞行数据（单位：米）：，，，，，，，，，． 根据以上信息回答问题： (1)出发后无人机在这10次巡查中，无人机距监控中心最远____米，最近____米． (2)无人机在这10次巡查中一共飞行了多少米？ (3)已知无人机飞行每1800米就需要回到监控中心更换电池，在第10次飞行结束以后，无人机能否回到监控中心？ 【答案】(1)550，20 (2)1700 (3)不能 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的加减法的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）分别算出每一次巡查与监控中心的距离，再进行比较大小，即可作答． （2）要求无人机一共飞行的距离，只需要将每次飞行的距离的绝对值相加即可； （3）将所有飞行数据相加，结果不为0，结合（2）的结论以及无人机飞行每1800米就需要回到监控中心更换电池，得不能回到监控中心，即可作答． 【详解】（1）解：第一次：（米）， 第二次：（米）， 第三次；（米）， 第四次：（米）， 第五次：（米）， 第六次；（米）， 第七次：（米）， 第八次：（米）， 第九次；（米）， 第十次：（米）， ∵ ∴出发后无人机在每次巡查中，无人机距监控中心最远550米，最近20米． （2）解：由题意得（米）， 答：无人机在这10次巡查中一共飞行了1700米； （3）解：（米）， 由（2）得无人机10次巡查共飞行1700米，第10次飞行结束后距离监控中心200米，返回监控中心还需飞行200米， ∴总飞行距离为米， ∵， ∴电池电量不足以支持其回到监控中心 14．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，请你利用数轴解决以下问题： (1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是2个单位长度，则m的值为________； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示的点与表示2的点之间，则________； (3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，，，则等于________． 【答案】(1)1或 (2)5 (3)3 【分析】本题考查了数轴上点的距离公式、绝对值的化简与计算、线段的和与差、整式的加减，解题的关键是掌握数轴上两点距离与绝对值的对应关系，结合已知条件准确去掉绝对值符号进行求解． （1）根据点与整数点的距离公式列出绝对值方程，解绝对值方程得到x的值； （2）结合x的取值范围判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号后化简计算； （3）根据已知，结合两点距离公式得到，然后利用线段的和与差求出结果即可． 【详解】（1）解：由条件可知， 或， 解得或， 故答案为：1或； （2）解：∵点P位于表示的点与表示2的点之间， ， ，， ， 故答案为：5； （3）解：，，， 在， ， ， ． 故答案为：3． 15．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）材料一：对任意有理数，定义运算“”， ．如，． 材料二：规定，n表示为不超过的最大整数，如，，． (1) ， ； (2)若，求b的值； (3)在（2）的条件下，若有理数满足，请求出的结果． 【答案】(1)， (2)1 (3) 【分析】本题考查新定义运算，有理数的加减运算，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据材料一和材料二的新定义即可求出答案； （2）根据材料一中的，即可得出的值； （3）先设，则，再根据求出的值，进而求出的值，即可求出结果． 【详解】（1）解：由材料一新定义可得，， 由材料二新定义可得，， 故答案为：，； （2）解：， ， 的值为1； （3）解：设，则， 由题意得：， 解得：， 则， ． 【强化训练】 16．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）已知：，且，则的值为（　　） A．或 B．1或 C．或5 D．1或5 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，有理数的加减法，根据绝对值的定义求出x，y的值，根据，分两种情况分别计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，； 当时，； 故选：D． 17．（2025七年级上·江苏·专题练习）已知，，为有理数，且，，则，，满足的条件是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的性质、有理数的加法运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键．先根据可得，，，再根据即可得，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 18．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，8，，16，，24，，32分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（   ） A．或 B．或 C．4或 D．4或 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则，能够根据所给的条件推理出b、d的可能取值是解题的关键．根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为8，再由已经填写的数，确定或，即可求解． 【详解】解：∵， ∴横、竖、外圈、内圈的4个数之和为8， ∴由横线得：， ∴， 如图，设空白位置两个数分别为a、b, ∴由内圈得：，解得： ∵，即 ∴或， 当时，，此时， 当时，，此时． ∴的值为或． 故选：A． 19．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动个单位长度，第二次向反方向移动个单位长度，第三次向正方向移动个单位长度，第四次向反方向移动个单位长度，…，按这样的规律，则蜗牛第次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点的平移、有理数的加减混合运算．数轴上点的移动规律是“左减右加”，蜗牛从数轴上表示的点出发，移动规律为：奇数次向正方向移动，移动距离为移动次数；偶数次向反方向移动，移动距离为移动次数．根据向正方向移动的加，向反方向移动的减，列式计算第次（奇数次）移动后的位置． 【详解】解： ． 故选：A． 20．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位后，第2次向负方向爬行2个单位，第3次又向正方向爬行3个单位……按上述规律，它第2025次刚好爬到数轴上的原点处，小虫爬行过程中经过数轴上这个数的次数是（   ） A．99 B．100 C．101 D．102 【答案】B 【分析】本题考查数字变化的规律和有理数的加减运算，理解题意观察出数字变化规律是解题的关键． 先根据题意求出点A所表示的数，再求出小虫第一次经过时的爬行次数，据此可解决问题． 【详解】解：设点A所表示的数为a， 则第1次爬行后的点所表示的数为， 第2次爬行后的点所表示的数为， 第3次爬行后的点所表示的数为， 第4次爬行后的点所表示的数为， …， ∴第2n次爬行后的点所表示的数为， 故第2025次爬行后的点所表示的数为， 则第2025次爬行后的点所表示的数为． ∵第2025次刚好爬到数轴上的原点处， ∴， 则， 即点A所表示的数为． ∵， ∴表示的点在A点的右边，与A点相距962个单位长度． ∵第1次爬行后的点在点A的右边1个单位长度处， 第3次爬行后的点在点A的右边2个单位长度处， 第5次爬行后的点在点A的右边3个单位长度处， ……， ∴第次爬行后的点在点A的右边n个单位长度处，且， 即小虫爬行第1923次时，对应点所表示的数为， ∴从第1923次开始（包括第1923次），后面的每次爬行都经过这个数． ∵，第1923次到达之后的第1924次就是从原地出发，所以这只能算一次， ∴小虫爬行过程中经过数轴上这个数的次数是100． 故选：B． 21．（25-26七年级上·全国·期末）图中的图形经过折叠可以围成一个正方体盒子．如果折好以后，相对面上的两个数互为相反数，那么__________． 【答案】 【分析】本题考查了正方体的平面展开图、相反数、代数式求值，熟练掌握正方体的平面展开图的特点是解题关键． 先根据正方体的平面展开图的特点和相反数的定义可得的值，再代入计算即可得． 【详解】解：由正方体的平面展开图的特点可知，与1处在相对的面上，与处在相对的面上， ∵折好后相对面上的数互为相反数， ∴， ∴． 故答案为：． 22．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）已知x，a，b为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为12，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的减法. 由数轴上表示的几何意义，求出的值，即可得到答案． 【详解】解：的最小值为12，且， ， ， 故答案为：． 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）我们知道，一个数a的绝对值可理解为数轴上表示这个数的点到原点的距离，故可以写成．推广到一般情况，若两个数分别对应数轴上两个点A，B，则即表示A，B两点之间的距离．若有理数x满足，则x的值为______． 【答案】或4 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间的距离，有理数的加减运算，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据题意即数轴上x对应的点到3和对应的点的距离和为9，因为数轴上3和对应的点的距离为7，故可确定数轴上x对应的点在3对应的点的右侧或对应的点的左侧，据此解答即可． 【详解】解：根据题意即表示数轴上x对应的点到3和对应的点的距离和为9， ∵数轴上3和对应的点的距离为7， ∴数轴上x对应的点在3对应的点的右侧或对应的点的左侧， 当x对应的点在3对应的点的右侧时，， 当x对应的点在对应的点的左侧时，， 则或， 故答案为：或4． 24．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）若整数a、b满足，则满足条件的的值是_______． 【答案】0或2或 【分析】本题考查有理数加法，绝对值，掌握绝对值的意义和有理数加法法则是正确计算的关键．根据a、b是整数，而，因此有或或三种情况，进而求出相应的a、b的值，得出结论． 【详解】解：∵a、b是整数，而， 或或， 当时， 或， 或； 当时， 或，， 或； 当时， 或，或0， 或或； 综上所述，满足条件的的值是0或2或， 故答案为：0或2或． 25．（24-25七年级上·江苏南通·阶段检测）如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时，需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如逆时针旋转5个小格记为“”，顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，”，此时标记线对准的刻度线表示数字“6”．如果锁打开时标记线对准的刻度线表示数字“25”，则请你补全下列：“－20，_____，+2”． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算的实际应用，根据实际问题理解表示具有相反意义的量是解题的关键． 首先根据开锁密码的第一个数可得到第一次旋转过后标记线对准的刻度线表示的数字为“20”，再根据锁打开时标记线对准的刻度线表示数字“25”，即可得到还需要逆时针旋转5个小格，最后根据开锁密码最后一位数即可求解． 【详解】解：∵开锁密码的第一个数为，即顺时针旋转20个小格， ∴第一次旋转过后标记线对准的刻度线表示的数字为“20”， ∴如果锁打开时标记线对准的刻度线表示数字“25”，需要逆时针旋转5个小格，即“”， ∴开锁密码的第二个数为， 故答案为：． 26．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）解答下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减运算法则计算即可； （3）先计算绝对值，再根据有理数的加减运算法则计算即可； （4）观察原式可知相邻两个数之和为1，共50组数，相加即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 27．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过6个停靠站，最后到达终点站．下表记录了这辆公共汽车全程载客的变化情况，其中正数表示上车人数，负数表示下车人数，0表示无人上车或下车． 停靠站 起点站 中间第1站 中间第2站 中间第3站 中间第4站 中间第5站 中间第6站 终点站 上、下车人数 ； ； 0； ； ； ；0 (1)中间第4站上车的人数是______人，下车的人数是______人； (2)途中的6个站中，第_______站没有人上车，第______站没有人下车； (3)公共汽车离开中间第1站时车上的人数为______人，离开中间第6站时车上的人数为_______人． 【答案】(1)1；7； (2)6；3； (3)26；12． 【分析】本题考查了有理数的混合运算、正数和负数，解决本题的关键是按照计算法则和计算顺序计算． （1）观察表格中中间第4站的上、下车人数记录“；”，根据题意，正数表示上车人数，负数表示下车人数，所以中间第4站上车的人数是人，下车的人数是人． （2）查看各中间站的上、下车人数记录，中间第6站的上车人数记录为0，所以第站没有人上车；中间第3站的下车人数记录为0，所以第站没有人下车． （3）离开中间第1站时：起点站车上有21人，根据表格中的数据，依次计算出每站后车上人数，然后求出第6站后车上人数． 【详解】（1）解：中间第4站上车的人数是人，下车的人数是人． 故答案为：1，7． （2）解：查看各中间站的上、下车人数记录，中间第6站的上车人数记录为0，所以第站没有人上车；中间第3站的下车人数记录为0，所以第站没有人下车． 故答案为：6，3． （3）解：离开中间第1站时车上人数为：（人， 中间第2站后车上人数为：（人； 中间第3站后车上人数为：（人； 中间第4站后车上人数为：（人； 中间第5站后车上人数为：（人； 中间第6站后车上人数为：（人． 故答案为：26；12． 28．（25-26七年级上·北京西城·期中）一种新运算定义如下： (1)计算：______； (2)计算：______；（括号内的式子先进行运算） (3)我们知道有理数加法和乘法都满足交换律和结合律，请对该新运算进行关于运算律的探究： ①判断该新运算是否满足交换律：______（填“是”或“否”）； ②判断该新运算是否满足结合律：______（填“是”或“否”）；若填“是”请说明理由；若填“否”，请举出一个反例． 【答案】(1)12 (2)16 (3)①是；②否，见解析 【分析】此题考查了加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算计算即可； （2）根据新定义的运算计算即可； （3）①分别计算与，即可得到答案；②利用反例进行判断即可． 【详解】（1）解：， （2）， （3）①，， ∴， 故该新运算满足交换律； 故答案为：是 ②当时，，，两者不相等． 故该新运算不满足结合律， 故答案为：否 29．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． (1)填空： ， 第个格子中的数是 ． (2)前个格子中所填整数之和是否可能为?若能，求出符合条件的的值；若不能，请说明理由， 【答案】(1)8； (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点． （1）根据题意和表格中的数据，可以得到a、b、c的值，然后根据规律即可得到第2025个格子中的数； （2）利用规律先确定每一次循环的和为，再进行判断求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ∴，， ∵表格中有数字， ∴， ∵根据题意分析可得：数字以3、8、循环出现， ∵， ∴第2025个格子中的数是， 故答案为：8；； （2）解：和不可能为2025，理由如下： ∵，， ∴， ∴前个格子中所填整数之和不可能为． 30．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）观察下列各式的特征： ；；；，根据规律，解决相关问题： (1)根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）： ①_____； ②_____； (2)当时， _______，当时，_____； (3)用合理的方法计算： ． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查了化简绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值的它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （1）根据正数的绝对值的它本身，负数的绝对值是它的相反数，即可解答； （2）根据正数的绝对值的它本身，负数的绝对值是它的相反数，即可解答； （3）先将绝对值化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：①，② 故答案为：，； （2）解：当时， 当时， 故答案为：， （3）解： ． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 有理数的加法与减法 1. 掌握有理数加法法则，能准确区分同号、异号两数相加的计算方法，理解互为相反数相加和为零的规律，熟练完成基础有理数加法运算。 2. 理解有理数减法的本质，掌握减去一个数等于加上这个数相反数的转化规则，能将减法算式统一转化为加法算式，规范完成减法计算。 3. 熟练运用加法交换律、结合律简化混合运算，能合理分组凑整、消去相反数，规避运算繁琐出错的问题，提升有理数加减运算的准确率。 4. 掌握有理数加减混合运算的解题步骤，能正确处理算式中的正负符号与括号，规范书写解题过程，熟练解决常规加减混合计算题。 5. 能运用有理数加减运算解决简单实际问题，可结合生活情境列式计算，辨析运算中的符号易错点，培养严谨的运算思维与应用能力。 一、有理数加法法则 1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 若则； 若则。 2.异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 绝对值相等：若且，则； 绝对值不相等： 1 若且，则； 2 若且，则。 3.一个数与0相加，仍得这个数。 4.有理数加法运算步骤： （1）看：看两个加数是同号还是异号； （2）定：确定和的符号； （3）求：根据有理数加法法则求和. 二、有理数加法运算律 1. 有理数相加，两个数相加，交换加数的位置，和不变； 加法交换律：a＋b＝b＋a 2. 有理数相加，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 加法交换律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 在有理数加法运算中，常利用有理数加法运算律先把正数和负数分开计算，各自求和后再相加. 3. 有理数加法中的一些计算技巧： （1） 相反数结合法：互为相反数的两个数先相加； （2） 同号结合法：符号相同的数先相加； （3） 同分母结合法：分母相同的数先相加； （4） 凑整法：几个数相加能够得到整数的先相加. 三、有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数， 1. 较大的数－较小的数＝正数，即若，则； 2. 较小的数－较大的数＝负数，即若，则； 3. 相等的两个数相减等于0，即若，则； 4. 0减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去0仍等于这个数. 四、有理数加减法混合运算 1. 利用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为有理数加法运算； 2. 去掉括号和括号前的加号（有绝对值的要先去掉绝对值后再计算）； 3. 利用加法法则和加法运算律进行计算. 【注意事项】 1. 进行加法运算先判定两数符号，同号相加取相同符号，绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号，用大绝对值减小绝对值。 2. 做减法务必先变号，减去一个数等于加上它的相反数，只改变减数符号，被减数保持不变，再转化为加法计算。 3. 处理括号与符号时，括号前是负号，去掉括号括号内各项全部变号；看清多重符号，不要漏改、错改数字符号。 4. 混合运算灵活使用运算律，利用交换律、结合律凑整、互为相反数抵消，交换数字位置要连同数字前面的符号一起移动。 5. 计算结果先定符号再算绝对值，符号是高频易错点；0 参与运算要牢记规则，0 加任何数得原数，任何数减 0 等于本身。 6. 做完运算养成验算习惯，负数参与计算格外留意，不要只计算绝对值忽略符号，避免出现符号正确数值算错的情况。 题型01有理数的加法运算 【典例】（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）小邱同学做这样一道题“计算”，其中“■”是被墨水污染看不清的一个数，他翻看了后面的答案，得知该题的答案是15，那么“■”表示的数是__________． 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）计算 (1)； (2)． (3) (4) 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读下面的计算方法． 计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法，试用拆项法计算：． 题型02有理数加法中的符号问题 【典例】（25-26七年级上·江苏南京·期中）如果，且，那么一定正确的是（    ） A．a为正数，且 B．a为正数，且 C．b为负数，且 D．b为负数，且 【变式1】（25-26七年级上·北京海淀·期末） 如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b，那么原点的位置可能是（    ） A．线段AM上，且靠近点A B．线段AM上，且靠近点M C．线段上，且靠近点B D．线段上，且靠近点M 【变式2】（25-26七年级上·全国·周测）与的和取___________号；与的和取___________号；和的和取___________号．（填“正”或“负”） 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)，； (2)，． (3)___________． 题型03有理数加法在生活中的应用 【典例】（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）某水泥仓库7天内进出水泥的吨数是（“”表示进库，“”表示出库）：，，，，，，． (1)经过这7天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？ (2)经过这7天，仓库管理员结算时发现仓库里还存有200吨水泥，那么7天前，仓库里存有水泥多少吨？ 【变式1】（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）快递员小明每天从快递点骑电动三轮车到三个小区投送快递．每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点．之间的距离（单位：）如图所示． (1)若小明按照的路线骑行，则小明骑行的距离为_____； (2)小明骑行的最短距离为_____． 【变式2】（25-26七年级上·吉林·期中）2025年“十一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人），已知9月30日游客为2万． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 (1)10月3日游客的人数为________万人？ (2)请判断7天内游客人数最多的是________日？最少的是________日？它们相差________万人？ (3)求这个黄金周期间游客在该风景区的总人数． 【变式3】（25-26七年级上·江苏·阶段检测）某地的国际标准时间是指该地与格林尼治的时差．以下为同一时刻五个城市的国际标准时间（“+”表示当地时间比格林尼治时间早，“一”表示当地时间比格林尼治时间晚）： 城市 伦敦 北京 东京 多伦多 纽约 国际标准时间 0 (1)伦敦时间中午时，东京和多伦多的当地时间分别是几点？ (2)北京时间早晨时，纽约的当地时间是几点？ 题型04有理数的减法运算 【典例】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）___________． 【变式1】（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）若a、b是有理数，，，且a、b异号，求的值． 【变式2】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】（2026·河北邯郸·二模）习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程． 习题：计算． 解： ，………① …………② …………③ (1)在上面的计算过程中，开始出错的步骤是________（填序号）；请写出原习题正确的计算过程和结果． (2)为了强化计算，数学老师写出如下变式，，填入□中使得算式成立的符号是________；（填“+”或“-”） 题型05有理数减法的实际应用 【典例】（25-26七年级上·江苏南京·期中）下表为某生活情境下的7个数据． 1 2 3 4 5 6 7 0 (1)已知9月30日的最低气温为，若表格是10月日的最低气温的变化情况（“+”表示最低气温比前一天上升，“-”表示最低气温比前一天下降），则10月_________________日的最低气温最高； (2)已知某种工艺品的标准质量是，若表格是号工艺品的质量与标准质量的差值（“+”表示高于标准质量，“-”表示低于标准质量），求这7件工艺品的平均质量； (3)赋予表格不同于（1）（2）的生活情境，并提出一个相关的问题． 【变式1】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）2025年中秋、国庆两大节日喜相逢，某著名海滨度假区预计在9月日的客人数为万人，接下来的八天中，预计每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数），若当天游客量超过最大承载量，则度假区会采取限流措施． 日期 月1日 月2日 月3日 月4日 月5日 月6日 月7日 月8日 人数变化（万） (1)月2日的人数为多少万人？ (2)若不考虑限流，这八天假期里，游客最多的一天比游客最少的一天多多少万人？ (3)若度假区收取每位游客元门票费用，游客人数太多超过最大承载量时（度假区的最大承载游客量为每天8万人）超过的游客不能再进入景区，则这八天度假区门票总收入是多少万元 【变式2】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段检测）（1）【情境导入】某服装成本为100元，售价为120元，则利润为　　　　　元． （2）【课本再现】下面是苏教版初中数学教科书七年级上册第129页的部分内容（销售中的盈亏）． 某商店以240元的相同售价卖出两件不同的衬衫，其中一件盈利，另一件亏损，商店卖出这两件衬衫是盈利，还是亏损？回答：　　　　　（填“盈利”、“亏损”或“不赢不亏”）． （3）【解决问题】七年级实践小组去商场调查，了解到某款羽绒服以每件元的价格购进了200件，并以每件120元的价格销售了一部分，为回笼资金，商场将剩下的羽绒服在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完毕．已知这批羽绒服总利润是5600元，请你算一算降价前共售出多少件？ 【变式3】（25-26七年级上·山西晋中·期中）中秋节小雨陪妈妈一起去购买月饼，妈妈买了一盒某品牌月饼（共计6枚），回家后小雨仔细地看了标签和包装盒上的有关说明，然后把6枚月饼的质量称重后统计如下表（单位：g）： 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量/g 69.3 70.2 70.8 69.6 69.4 71 (1)小雨为了简化运算，选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，他把超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出下表（不完整）．请把下列表格补充完整： 第n枚 1 2 3 4 5 6 与标准质量的差值/g ______ ______ ______ (2)小雨看到包装说明上标记的总质量为（）g，他告诉妈妈买的月饼在总质量上是合格的，你知道为什么吗？请通过计算说明． 题型06有理数加减混合运算 【典例】（25-26七年级下·湖北随州·期末）已知[x]表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则______． 【变式1】（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则______． 【变式2】（25-26七年级上·山西忻州·期中）阅读下面的解题过程并解决问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） … (1)上面的计算过程中，第一步变形的依据是_____________； (2)为了计算简便，第二步应用的运算律是_____________；（用符号表示） (3)上面的计算过程，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是_____________； (4)请写出正确的解答过程． 【变式3】（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）计算：． 小敏的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据小敏的计算过程，回答下列问题： (1)小敏在进行第二步计算时，运用的运算律是：____________； (2)请指出她从第____________步开始出现错误； (3)将错误的一步改正并写出之后正确的解答过程． 题型07有理数加减的简便运算 【典例】（25-26六年级上·上海宝山·期末）计算：． 【变式1】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【变式2】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【变式3】（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）数学张老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解： 原式 ． 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 题型08有理数加减混合运算的应用 【典例】（25-26七年级上·江苏连云港·期中）某出租车驾驶员从公司出发，在东西方向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：） 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油0.1升，那么在这过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费8元，超过的部分按每千米加1.6元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？ 【变式1】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）【体验】 （1）在1，2，3，4四个数前面恰当地添上正号或负号，使它们的和为0（请写出一种情况即可）：______ 【探索】 （2）在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0（请写出一种情况即可） 【应用】 （3）在1，2，3，4，…，2019，2025，2025共2025个数前面恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，你能做到吗？如果能，请写出一种情况，如果不能，请说明理由． 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）某儿童服装店老板以每件元的价格购进一批连衣裙，针对不同的顾客，件连衣裙的售价不完全相同，若售价以每件元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负；售出件数以5件为标准，超过的件数记为正，不足的件数记为负．销售情况记录结果如下表： 售价与标准价的差额（元） -5 +5 0 售出件数与标准件数的差额（件） -4 0 (1)根据记录可知，每件最高售价比最低售价高多少元？ (2)该服装店本次购进连衣裙多少件？ (3)求该服装店售完这批连衣裙所获的利润． 【变式3】（25-26六年级上·山东淄博·期中）为纪念红军长征胜利88周年，特技飞行队在名胜风景旅游区特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表： 高度变化 记作 上升 下降 上升 下降 (1)此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ (3)如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 题型09省略加法和括号的形式问题 【典例】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）把写成省略加号的形式是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）写成省略加号的和的形式为 ___________． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）将下列省略加号和括号的形式添上加号和括号，并计算出结果： （1）30-20-10+15=____________________=_______； （2）-4-28+25-22=____________________=_______. 【变式3】（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）平顶山某初中数学小组学完进度章节后，对一道试题展开了讨论，请你仔细阅读并完成任务． 试题：计算：． 小明：对于这道试题我采用直接运算方法，从左到右先写成省略括号和加号的形式，之后…… 小亮：对于这类计算，我发现了一种拆项法．以这道试题为例： 原式               …… 小明：这种方法很有趣，值得推荐． …… 任务： (1)请你帮助小明把原式写成省略括号和加号的形式 ； (2)题干中横线上空缺的计算结果是 ； (3)按小亮的方法计算：． 题型10有理数加减法与数轴结合 【典例】（2025·江西赣州·模拟预测）一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1】（2026·河北沧州·模拟预测）某同学将刻度尺按如图所示放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度．点是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，则数轴上点所对应的数为（    ） A． B． C． D．3 【变式2】（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，在一条不完整的数轴上从左至右有，，三点，其中，，设点，，所对应的数的和是，若以为原点，根据点，所对应的数，计算的值为______；若原点在图中数轴上点的右边，且，计算的值为______． 【变式3】（25-26七年级上·青海西宁·期中）综合与实践 阅读：我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，本学期我们学习的数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，利用数轴我们发现了很多重要的规律． 表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1这两个数在数轴上所对应的两个点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与这两个数在数轴上所对应的两个点之间的距离．若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可以表示为． 理解： （1）点A表示的数为，点B表示的数为1，画出数轴，并在数轴上把A，B两个点表示出来； （2）线段的长是____； 应用： （3）在数轴上如果表示数a和5的两个点之间的距离是12，则可记为，那么数a是____； （4）在数轴上表示数a的点位于与1之间，则的值是____； 题型11有理数加减法与绝对值结合 【典例】（25-26六年级上·山东淄博·期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．若，请利用数轴求出所有符合条件的整数的和（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·江苏淮安·期中）如果，，且，则的值等于（   ） A．或10 B．2或 C．或10 D．或2 【变式2】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）已知，，且，则的值为______． 【变式3】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示x、y的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题： （1）表示数5和_______所对应的两点之间的距离； （2）表示数x和_______所对应的两点之间的距离； 【继续推理】 （3）代数式的最小值为_______； 【问题解决】 （4）有理数y使得的值最小，y值为_______． 题型12有理数加减法的新定义运算 【典例】（25-26七年级下·广东河源·开学考试）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如，．现定义，例如，则________． 【变式1】（24-25七年级上·山东青岛·阶段检测）定义一个新运算 ，已知，则______． 【变式2】（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）已知表示不超过的最大整数，如：．现定义：，如，则__________________． 【变式3】（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）【定义】定义一种新的运算“*”，规则如下： （1）同号两数运算，结果取正号，结果的绝对值为两数绝对值之和； （2）异号两数运算，结果取负号，结果的绝对值为两数绝对值之和； （3）0和任何数运算，结果等于另一个数的绝对值． 例：， 【计算】 ① ② ③ ④ 【探究一】是否存在两个有理数，使得？如果存在，请举出例子；如果不存在，请说明理由． 【探究二】小明在计算时，得到的结果是，求x的值． 【探究三】如果两个有理数的结果是负数，那么等式对任意非零有理数c是否成立，请说明理由． 【巩固训练】 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）计算：（    ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·江苏·开学考试）停车场对小汽车的收费标准是这样的：半小时内（含半小时）免费，半小时以上，每过1小时收费8元，不足1小时按1小时算．一辆小汽车付停车费24元，那么它的停车时间段可能是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段检测）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图，将刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是)，刻度尺上和分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上对应数轴上的数为（  ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）若，且，则等于（   ） A．5或 B．或1 C．5或1 D．或 6．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算：___________． 7．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）规定表示不超过的最大整数，则______． 8．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫做“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为________． 9．（25-26六年级上·山东泰安·期中）如图，方格表中每一行、每一列及两条对角线中所填数的和均相等，则x的值为______． 1 x 0 10．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）如图1，点是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的有理数为，，，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度，则数轴上点所对应的数为______． 11．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 12．（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）计算： (1)； (2)． 13．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）无人机的迅速发展，大幅提升了人们的生产效率．小米汽车引进具备新型分析功能的无人机，用于改进工作流程——以监控中心为原点，规定向东为正方向，对东西方向的汽车生产线进行往返巡查，实时监控生产线动态．以下是该无人机利用规划的10次巡查的飞行数据（单位：米）：，，，，，，，，，． 根据以上信息回答问题： (1)出发后无人机在这10次巡查中，无人机距监控中心最远____米，最近____米． (2)无人机在这10次巡查中一共飞行了多少米？ (3)已知无人机飞行每1800米就需要回到监控中心更换电池，在第10次飞行结束以后，无人机能否回到监控中心？ 14．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，请你利用数轴解决以下问题： (1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是2个单位长度，则m的值为________； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示的点与表示2的点之间，则________； (3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，，，则等于________． 15．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）材料一：对任意有理数，定义运算“”， ．如，． 材料二：规定，n表示为不超过的最大整数，如，，． (1) ， ； (2)若，求b的值； (3)在（2）的条件下，若有理数满足，请求出的结果． 【强化训练】 16．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）已知：，且，则的值为（　　） A．或 B．1或 C．或5 D．1或5 17．（2025七年级上·江苏·专题练习）已知，，为有理数，且，，则，，满足的条件是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 18．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，8，，16，，24，，32分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（   ） A．或 B．或 C．4或 D．4或 19．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动个单位长度，第二次向反方向移动个单位长度，第三次向正方向移动个单位长度，第四次向反方向移动个单位长度，…，按这样的规律，则蜗牛第次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位后，第2次向负方向爬行2个单位，第3次又向正方向爬行3个单位……按上述规律，它第2025次刚好爬到数轴上的原点处，小虫爬行过程中经过数轴上这个数的次数是（   ） A．99 B．100 C．101 D．102 21．（25-26七年级上·全国·期末）图中的图形经过折叠可以围成一个正方体盒子．如果折好以后，相对面上的两个数互为相反数，那么__________． 22．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）已知x，a，b为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为12，则的值为_______． 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）我们知道，一个数a的绝对值可理解为数轴上表示这个数的点到原点的距离，故可以写成．推广到一般情况，若两个数分别对应数轴上两个点A，B，则即表示A，B两点之间的距离．若有理数x满足，则x的值为______． 24．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）若整数a、b满足，则满足条件的的值是_______． 25．（24-25七年级上·江苏南通·阶段检测）如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时，需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如逆时针旋转5个小格记为“”，顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，”，此时标记线对准的刻度线表示数字“6”．如果锁打开时标记线对准的刻度线表示数字“25”，则请你补全下列：“－20，_____，+2”． 26．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）解答下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 27．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过6个停靠站，最后到达终点站．下表记录了这辆公共汽车全程载客的变化情况，其中正数表示上车人数，负数表示下车人数，0表示无人上车或下车． 停靠站 起点站 中间第1站 中间第2站 中间第3站 中间第4站 中间第5站 中间第6站 终点站 上、下车人数 ； ； 0； ； ； ；0 (1)中间第4站上车的人数是______人，下车的人数是______人； (2)途中的6个站中，第_______站没有人上车，第______站没有人下车； (3)公共汽车离开中间第1站时车上的人数为______人，离开中间第6站时车上的人数为_______人． 28．（25-26七年级上·北京西城·期中）一种新运算定义如下： (1)计算：______； (2)计算：______；（括号内的式子先进行运算） (3)我们知道有理数加法和乘法都满足交换律和结合律，请对该新运算进行关于运算律的探究： ①判断该新运算是否满足交换律：______（填“是”或“否”）； ②判断该新运算是否满足结合律：______（填“是”或“否”）；若填“是”请说明理由；若填“否”，请举出一个反例． 29．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． (1)填空： ， 第个格子中的数是 ． (2)前个格子中所填整数之和是否可能为?若能，求出符合条件的的值；若不能，请说明理由， 30．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）观察下列各式的特征： ；；；，根据规律，解决相关问题： (1)根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）： ①_____； ②_____； (2)当时， _______，当时，_____； (3)用合理的方法计算： ． / 学科网（北京）股份有限公司 $