2.5 有理数的乘法与除法（讲义）数学新教材苏科版七年级上册

本初中数学讲义聚焦有理数的乘法与除法，系统梳理乘法法则（同号得正、异号得负）、倒数概念、运算定律（交换律、结合律、分配律），以及除法转化为乘法的规则，构建从基础运算到混合运算的递进学习支架。 资料通过“知识点+题型+随学随练”结构，突出易错提醒（如多个负因数符号判断）和实际应用（如马拉松行程、水果销售问题），培养学生运算能力与应用意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识掌握。

第二章 有理数 2.5 有理数的乘法与除法 1.掌握有理数乘除符号法则，快速判定积、商符号，准确计算绝对值部分 2.熟记除法转化乘法规则，将乘除混合算式统一化为连乘 3.熟练运用乘法交换律、结合律、分配律约分、凑整完成简便运算。 4.结合实际情境、数轴列式求解乘除应用题，规范处理符号运算。 课标要点 1.乘法:两数相乘符号规律;多个因数乘积符号判断;乘法三大运算定律。 2.除法:除以一个数等价乘其倒数;0 不可作为除数。 3.简便技巧:分数交叉约分、凑士1简化;分配律拆分带分数、逆用提取公因数。 学习重难点 重点： 1.有理数乘除运算:先定符号，后计算绝对值. 2.除法转化倒数变形，统一化简乘除混合算式。 3.乘法分配律正向、逆向使用简算多步题型。 4.小数、分数混合乘除快速约分计算。 难点： 1.多个负因数相乘，负号计数错误导致符号出错。 2.乘法分配律展开时，漏乘括号内数字 3.带分数拆分后用分配律计算，正负符号混淆， 4.混淆乘除运算，错误对除法套用分配律, 知识点 有理数的乘法法则（重点） 1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积． 2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0． 3. 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 ； ，； ，． 知识点 倒数的概念与求法 1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则． 2. 倒数的求法 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置 特别提醒 1)加法分类法则:同号相加取同号，绝对值相加;异号相加取绝对值大数符号，大数减小数;互为相反数相加得 0;任意数加 0仍得原数。 2)交换律:a+b=b+ a;结合律:(a+b)+c=a+(b+ c)。 3)运算核心思路:先定符号，再算绝对值。 易错提醒 1.误区:异号相加直接两数绝对值相加。纠正:用大绝对值减小绝对值。 2.误区:移动数字不连带前面符号。纠正:交换位置必须携带数字前正负号。 3.误区:分组凑 0、凑整时漏写括号，改变运算顺序。纠正:结合分组必须加括号。 教材延伸 简便运算拓展：相反数凑 0、整数凑整、同分母合并分组简算。 数形拓展：利用数轴左右平移直观验证加法结果。 综合拓展：结合相反数、绝对值完成多步混合加减运算。 随学随练 1．（25-26六年级上·上海·阶段检测）的倒数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）计算：（　　） A． B．6 C． D．9 3．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 知识点 有理数的乘法运算定律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配率 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）计算： 2．（25-26七年级上·辽宁营口·阶段检测）简便运算． (1)； (2)． 知识点 多个有理数相乘的符号法则 1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是 2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0． 随学随练 1．（25-26七年级上·山东德州·期中）计算： (1)； (2)． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点 有理数的除法 1. 有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 2. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便． （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算． 知识点 有理数的乘除法运算 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果． 随学随练 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 2．（2025七年级上·重庆·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 知识点 有理数的四则混合运算 有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算． 随学随练 1．（25-26七年级上·甘肃甘南·阶段检测）计算：． 2．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）计算： 拓展 多因数连乘简算 通用解题方法 1.数负因数个数判断最终符号； 2.用交换、结合律分组凑整数、约分； 3.分组分别相乘再合并 活学活用 1．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 拓展分配律逆用简便运算 通用解题方法 1.提取式子中相同公因数； 2.括号内合并剩余数字； 3.约分得出最简答案 活学活用 1．（25-26七年级上·吉林松原·期中）用简便方法计算：． 2.（25-26七年级上·广东潮州·期中）计算：． 题型 两个有理数的乘法运算 ▌例1 （25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． ▌对点练1-1．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． ▌对点练1-2．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型 多个有理数的乘法运算 ▌例2（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． ▌对点练2-1（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． ▌对点练2-2（专题03有理数的乘法（计算题专项训练）数学华东师大版2024七年级上册）计算：． 题型 倒数 ▌例3（2026·四川凉山·中考真题）2026的倒数是（     ） A． B． C． D． ▌对点练3-1（25-26七年级上·山西大同·阶段检测）下列各对数中，互为倒数的是（   ） A．4和 B．3和 C．0和0 D．和 ▌对点练3-2（25-26七年级上·河北秦皇岛·阶段检测）若的值与互为倒数，则（   ） A． B． C． D． ▌对点练3-3（25-26七年级上·陕西渭南·期中）已知、互为相反数，的倒数是，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型 ·有理数乘法运算律 解题贴士 1.符号判定法则:两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘;任何数乘0结果为 0。 2.三大乘法运算定律 交换律:a ×b=b×a 结合律:(a ×b)×c=a×(b×c) 分配律:a×(b+c)=a×b+a×c 简便核心思路:优先凑整、凑正负 1，利用分配律拆分带分数简化计算。3. 公式:多个非零数相乘，负因数个数为偶数积为正，奇数积为负。 ▌例4（25-26七年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． ▌对点练4-1（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算：． ▌对点练4-2（25-26七年级上·新疆哈密·期中）利用运算律计算： (1)； (2)． ▌对点练4-3（2025七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)27 (2)11 (3) 题型 有理数的除法运算 ▌例5（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． ▌对点练5-1（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． ▌对点练5-2（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． ▌对点练5-3（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型 ·有理数乘除混合运算 ▌例6（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． ▌对点练6-1（25-26七年级上·湖南长沙·期中）计算：． ▌对点练6-2（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． ▌对点练6-3（2025七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： (1)； (2)． 题型 有理数四则混合运算 ▌例7（25-26七年级上·陕西榆林·阶段检测）计算：． ▌对点练7-1（25-26七年级上·陕西汉中·阶段检测）计算：. ▌对点练7-2（25-26七年级上·江西宜春·期中）计算： (1)； (2)． ▌对点练7-3（25-26七年级上·北京·阶段检测）计算：． 题型 有理数四则混合运算的实际应用 ▌例8（25-26七年级上·江西吉安·期中）2025年10月19日吉水金滩十里画廊半程马拉松比赛圆满谢幕．前一天一辆巡逻车在沿江路上负责巡查路况．如果规定向南为正，向北为负，他这天下午的行车里程如下：，． (1)当巡逻车最后到达指定位置时，车辆距下午出发地点的距离多少千米？此时，巡逻车在出发地点的南面还是北面？ (2)若车辆每100千米耗油5升，每升油需要8元，问这天下午的行程需要花费多少油钱？ ▌对点练8-1（23-24七年级上·广西南宁·期中）体育课上全班女生进行了一分钟仰卧起坐测验，达标成绩为35个．下面是第一组8名女生的成绩记录，其中“”号表示超过达标成绩的个数，“”表示不足达标成绩的个数．，0，，，，，，． (1)第一组8名女生中最好成绩是多少个； (2)求第一组8名女生的平均成绩为多少? (3)规定：一分钟仰卧起坐次数为达标成绩，不得分；超过达标成绩，每多做个得分；未达到达标成绩，每少做个扣分．若一分钟仰卧起坐总积分超过分，便可得到优秀体育小组称号，请通过计算说明第一组名女生能否获得该称号． ▌对点练8-2（23-24七年级上·江苏南京·期中）某水果店销售某种水果，原计划每天卖出，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，如表是某一周的销售情况：（超额记为正，不足记为负，单位：kg） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 ＋6 ＋12 ＋3 ＋19 (1)请计算该店一周这种水果的销售总量； (2)若该店以元的价格购进这种水果，又按4元出售，则该水果店本周一共赚了多少元？ 基础通关 1．（25-26七年级上·全国·期中）的倒数等于（     ） A． B． C． D．5 2．（25-26七年级上·陕西安康·期末）计算：（   ） A．10 B．6 C． D． 3．（25-26七年级上·山东聊城·期中）两个有理数的积是负数，和却是正数，那么这两个有理数（    ） A．同号，且均为负数 B．异号，且正数的绝对值比负数的绝对值大 C．同号，且均为正数 D．异号，且负数的绝对值比正数的绝对值大 4．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）一件商品进价为100元，商家先在进价的基础上增加定为售价，后来由于库存积压商家决定每件商品打八折出售，则每件商品还能盈利（    ） A．130 B．104 C．4 D．30 5.（25-26七年级上·全国·期末） 下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）若，，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段检测）______． 8．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）绝对值不大于的所有整数的积是______ 9．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，小林有5张标有数字的卡片，从中取出2张，则卡片上两数乘积的最大值为_____． 10．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）计算： (1) (2) 11．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）现将一批慈城年糕分装成6盒，以每盒3千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数表示，记录如下，每盒质量达到千克的年糕为合格品． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 与标准质量的差值（单位：千克） 0.01 0.02 0.03 (1)这6盒年糕有 盒是合格品，最重的一盒年糕是 千克； (2)若每千克的年糕成本为10元，则这6盒年糕的成本共多少元？ 素养提升 1．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）a，b为非零有理数，则的值为（　　） A．3 B． C．3或 D． 2．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）数轴上的点沿数轴向右移动7个单位后到达点，且点到原点的距离为1，若数轴上的点到点和到原点的距离相等，则点表示的数是（   ） A．3或4 B．或 C．或4 D．3或 3．（25-26七年级上·河南南阳·期中）已知，， 且， 则的值为（   ） A．12 B． C．26 D．或26 4．（25-26七年级上·浙江温州·期中）李老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“有理数的混合运算”，规则如下：每人只能看到前一人的式子，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示： 老师 甲 乙 丙 丁 接力中，自己负责的一步出现错误的是（   ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．丙和丁 5．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）足球赛门票15元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，则每张门票降价________元． 6．（25-26八年级上·山东临沂·期末）已知，，，，，根据此变形规律计算：_____． 7．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过人时户年用水量及分档计费标准：计费规则为按用量区间分段累加收费，即用水量的部分按第一档单价计费，的部分按第二档单价计费，的部分按第三档单价计费． 计费档 户年用水量 单价/（元/） 第一档 第二档 第三档 （）某户一年用水量是，该户这一年的水费为_____元； （）某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量为_____． 迁移创新 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）若，是有理数，定义一种运算“”：， (1)，求的值； (2)定义的新运算“”对交换律是否成立？请写出你的探究过程． 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中） 怎样邮寄柚子更经济？ 冬季盛产柚子．小温家的柚子每年通过网络进行包邮销售，因此需要较多快递费的支出． 素材1 一客户在小温家定了12箱柚子，每箱以12千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如表所示： 与标准质量的差值（单位：千克） 0.5 0.2 箱数 2 5 5 素材2 据调查，某快递公司收费标准：首重1千克以内8元（含1千克），续重（超过1千克的部分）3元/千克，不足1千克按1千克计．不足30千克的包裹免包装费，超过30千克的包裹需要额外支付包装费50元． 素材3 据小温家常年的邮寄经验，包裹越大，柚子受损率越高．一个包裹在30千克以内，柚子几乎无受损；一个包裹质量在100千克至150千克之间，柚子的受损率估计为5%，受损部分由小温家按售价退还相应现金． 任务1 （1）计算这12箱柚子的总质量． 任务2 （2）方案一：分12箱邮寄，每箱一个包裹； 方案二：12箱打成一个大包裹邮寄． 请通过计算说明，选哪种方案邮寄，小温家支付的邮费更省？省多少钱？ 任务3 （3）今年柚子的成本价为6元/千克，售价为12元/千克．结合任务2，邮寄12箱柚子哪种方案利润更高？ 3．（2025七年级上·山东青岛·专题练习）观察下列等式；；； (1)仿照上面的形式猜想并写出： ________________________； (2)求的值． 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数 2.5 有理数的乘法与除法 1.掌握有理数乘除符号法则，快速判定积、商符号，准确计算绝对值部分 2.熟记除法转化乘法规则，将乘除混合算式统一化为连乘 3.熟练运用乘法交换律、结合律、分配律约分、凑整完成简便运算。 4.结合实际情境、数轴列式求解乘除应用题，规范处理符号运算。 课标要点 1.乘法:两数相乘符号规律;多个因数乘积符号判断;乘法三大运算定律。 2.除法:除以一个数等价乘其倒数;0 不可作为除数。 3.简便技巧:分数交叉约分、凑士1简化;分配律拆分带分数、逆用提取公因数。 学习重难点 重点： 1.有理数乘除运算:先定符号，后计算绝对值. 2.除法转化倒数变形，统一化简乘除混合算式。 3.乘法分配律正向、逆向使用简算多步题型。 4.小数、分数混合乘除快速约分计算。 难点： 1.多个负因数相乘，负号计数错误导致符号出错。 2.乘法分配律展开时，漏乘括号内数字 3.带分数拆分后用分配律计算，正负符号混淆， 4.混淆乘除运算，错误对除法套用分配律, 知识点 有理数的乘法法则（重点） 1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积． 2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0． 3. 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 ； ，； ，． 知识点 倒数的概念与求法 1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则． 2. 倒数的求法 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置 特别提醒 1)加法分类法则:同号相加取同号，绝对值相加;异号相加取绝对值大数符号，大数减小数;互为相反数相加得 0;任意数加 0仍得原数。 2)交换律:a+b=b+ a;结合律:(a+b)+c=a+(b+ c)。 3)运算核心思路:先定符号，再算绝对值。 易错提醒 1.误区:异号相加直接两数绝对值相加。纠正:用大绝对值减小绝对值。 2.误区:移动数字不连带前面符号。纠正:交换位置必须携带数字前正负号。 3.误区:分组凑 0、凑整时漏写括号，改变运算顺序。纠正:结合分组必须加括号。 教材延伸 简便运算拓展：相反数凑 0、整数凑整、同分母合并分组简算。 数形拓展：利用数轴左右平移直观验证加法结果。 综合拓展：结合相反数、绝对值完成多步混合加减运算。 随学随练 1．（25-26六年级上·上海·阶段检测）的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】乘积为的两个数互为倒数. 【详解】解： ， 的倒数是. 2．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）计算：（　　） A． B．6 C． D．9 【答案】A 【详解】解：． 3．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的乘法法则． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据有理数的乘法法则计算即可； （5）根据有理数的乘法法则计算即可； （6）根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 知识点 有理数的乘法运算定律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配率 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 2．（25-26七年级上·辽宁营口·阶段检测）简便运算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘法运算律． 根据乘法分配律进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点 多个有理数相乘的符号法则 1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是 2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0． 随学随练 1．（25-26七年级上·山东德州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)36 (2) 【分析】此题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 （1）先确定乘积的符号，再计算后两个数相乘，最后再计算乘法即可； （2）先确定乘积的符号，按照从左到右的顺序计算即可 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】本题主要考查有理数的乘法，解答的关键是熟练运用有理数的乘法法则进行运算． （1）根据有理数的乘法的法则，进行计算即可； （2）根据有理数的乘法的法则，进行计算即可； （3）根据有理数的乘法的法则，进行计算即可； （4）根据有理数的乘法的法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ； （3）解： ； （4）解：． 知识点 有理数的除法 1. 有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 2. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便． （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算． 知识点 有理数的乘除法运算 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果． 随学随练 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的除法运算，掌握算理是解决问题的关键． （1）先转化为乘法运算，然后利用有理数乘法运算法则即可解答； （2）先转化为乘法运算，再利用乘法分配律运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（2025七年级上·重庆·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的乘除混合运算规则、乘法交换律与结合律的应用、乘法分配律(含逆运算)的运用，以及带分数的拆分技巧在简便运算中的应用． （）运用乘法交换律和结合律简便计算； （）先将带分数化为假分数，再把除法转化为乘法计算； （）带分数变形为整数与分数的差，再用乘法分配律计算； （）提取公因式，用乘法分配律的逆运算计算． 【详解】（1）解： ． （2） ． （3） ． （4） ． 知识点 有理数的四则混合运算 有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算． 随学随练 1．（25-26七年级上·甘肃甘南·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算小括号内的式子，再计算中括号，最后计算加法即可． 【详解】解： ． 2．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）计算： 【答案】10 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键．先利用有理数乘法的分配律计算乘法、将除法转化为乘法，再计算乘法，最后计算加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 拓展 多因数连乘简算 通用解题方法 1.数负因数个数判断最终符号； 2.用交换、结合律分组凑整数、约分； 3.分组分别相乘再合并 活学活用 1．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是：根据有理数乘法的交换律和结合律计算即可． 【详解】解： 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． （1）根据有理数的乘法运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 拓展分配律逆用简便运算 通用解题方法 1.提取式子中相同公因数； 2.括号内合并剩余数字； 3.约分得出最简答案 活学活用 1．（25-26七年级上·吉林松原·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，观察式子，运用有理数的乘法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】解： ． 2.（25-26七年级上·广东潮州·期中）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查有理数的运算，利用乘法分配律简便运算是解答的关键．根据有理数的乘法分配律求解即可． 【详解】解：原式 ． 题型 两个有理数的乘法运算 ▌例1 （25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 【答案】(1) (2)0 (3)2 (4) (5)11 (6) 【分析】主要考查有理数的乘法，绝对值的定义，熟记有理数乘法法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘法法则，异号相乘得负，计算即可求解； （2）根据有理数的乘法法则，任何数与0相乘都得0，计算即可求解； （3）根据有理数的乘法法则，同号相乘得正，计算即可求解； （4）根据有理数的乘法法则，异号相乘得负，计算即可求解； （5）根据有理数的乘法法则，同号相乘得正，计算即可求解； （6）先去绝对值，再根据有理数的乘法法则计算即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． ▌对点练1-1．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查两个有理数的乘法，根据“同号得正，异号得负”的法则求解即可． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． ▌对点练1-2．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4)3 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据两个有理数乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型 多个有理数的乘法运算 ▌例2（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键；小数转化为分数，带分数转化为假分数是易错点，转化的时候要注意； （1）有三个负数相乘，可将负号提至最前，再将分数相乘，约分即可； （2）几个数相乘，中间有零，根据零乘任何数都得零，可直接得出答案； （3）小数转化为分数，带分数转化为假分数，再计算即可； （4）小数转化为分数，带分数转化为假分数，再计算即可． 【详解】（1） ； （2）∵零乘以任何数都得零 ∴； （3） ； （4） ． ▌对点练2-1（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)120 (2) (3)0 【分析】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键． （1）按有理数的乘法法则计算即可； （2）先把带分数化成假分数，再把小数化成分数，最后按有理数的乘法法则计算； （3）按有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：． ▌对点练2-2（专题03有理数的乘法（计算题专项训练）数学华东师大版2024七年级上册）计算：． 【答案】4 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 题型 倒数 ▌例3（2026·四川凉山·中考真题）2026的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】乘积为的两个数互为倒数. 【详解】解：， 的倒数是. ▌对点练3-1（25-26七年级上·山西大同·阶段检测）下列各对数中，互为倒数的是（   ） A．4和 B．3和 C．0和0 D．和 【答案】D 【分析】本题考查倒数的概念，掌握乘积为1是判断的关键． 根据倒数的定义，两个数乘积为1则互为倒数，逐一计算各选项的乘积即可判断． 【详解】解：选项A：，故不互为倒数； 选项B：，故不互为倒数． 选项C：0无倒数，故不互为倒数； 选项D：，故互为倒数． 故选：D． ▌对点练3-2（25-26七年级上·河北秦皇岛·阶段检测）若的值与互为倒数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了倒数的定义，一元一次方程的应用．根据“乘积是1的两个数互为倒数”即可得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：∵的值与互为倒数， ∴， 解得：． 故选：A． ▌对点练3-3（25-26七年级上·陕西渭南·期中）已知、互为相反数，的倒数是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相反数、倒数和绝对值的概念，直接代入计算即可．利用相反数和倒数的性质，先求出和的值，再代入表达式计算． 【详解】解：、 互为相反数， ， 的倒数是， ， ． 题型 ·有理数乘法运算律 解题贴士 1.符号判定法则:两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘;任何数乘0结果为 0。 2.三大乘法运算定律 交换律:a ×b=b×a 结合律:(a ×b)×c=a×(b×c) 分配律:a×(b+c)=a×b+a×c 简便核心思路:优先凑整、凑正负 1，利用分配律拆分带分数简化计算。3. 公式:多个非零数相乘，负因数个数为偶数积为正，奇数积为负。 ▌例4（25-26七年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，乘法分配律及其逆应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先用分配律将分别与括号内的四个分数相乘，再进行加法运算； （2）将除法转化为乘法，用乘法分配律的逆应用进行运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌对点练4-1（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用乘法分配律展开计算乘法，最后算加减法即可． 【详解】解： ． ▌对点练4-2（25-26七年级上·新疆哈密·期中）利用运算律计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了乘法分配律（含逆用）、有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律的灵活运用是解题的关键． （1）将带分数拆分为整数与分数的差，利用乘法分配律简化计算； （2）分组后分别运用乘法分配律（逆用），简化同因数的乘法运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌对点练4-3（2025七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)27 (2)11 (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法，利用运算定律可以使计算更简便，要注意对运算算式的整理． （1）把带分数化为假分数，然后利用有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）利用乘法分配律进行计算即可得解； （3）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ． 题型 有理数的除法运算 ▌例5（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3)21 (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了有理数的除法， 根据有理数的除法法则逐个计算，两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． ▌对点练5-1（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)2 (3)3 (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；符号法则：同号得正，异号得负．对于连续除法，从左到右依次计算或统一转换为乘法后计算． （1）根据除法计算即可； （2）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （3）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （4）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． ▌对点练5-2（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的乘除运算，熟练掌握有理数的乘除运算是解题的关键； （1）根据有理数的乘法及除法运算可进行求解； （2）根据有理数的除法运算可进行求解； （3）根据有理数的乘法及除法运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． ▌对点练5-3（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；符号法则：同号得正，异号得负．对于连续除法，从左到右依次计算或统一转换为乘法后计算． （1）根据除法法则计算即可； （2）根据除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （3）根据除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （4）根据除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ， （3）解： ； （4）解： ． 题型 ·有理数乘除混合运算 ▌例6（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算的运算法则是解题关键． （1）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可； （2）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可； （3）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）． ▌对点练6-1（25-26七年级上·湖南长沙·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘除混合运算． 按照运算法则计算即可． 【详解】解： ． ▌对点练6-2（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数的乘除法的运算法则是关键． （1）先确定符号，把除法变乘法，再根据乘法运算法则计算即可； （2）把带分数化为假分数，确定符号，把除法变乘法，再根据乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． ▌对点练6-3（2025七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先将带分数化为假分数，再将除法转化成乘法运算即可； （2）先将带分数化为假分数，再将除法转化成乘法运算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． 题型 有理数四则混合运算 ▌例7（25-26七年级上·陕西榆林·阶段检测）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，需先算乘方，再算乘除，最后算加减即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． ▌对点练7-1（25-26七年级上·陕西汉中·阶段检测）计算：. 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． 先计算乘除法，再计算加减法即可． 【详解】解： ． ▌对点练7-2（25-26七年级上·江西宜春·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键． （1）先根据乘法分配律计算，再算加减法即可； （2）先算乘方，再算乘除法，最后算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2） ▌对点练7-3（25-26七年级上·北京·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先算小括号里的，再算中括号里的，最后算除法，然后即可求解； 【详解】解： . 题型 有理数四则混合运算的实际应用 ▌例8（25-26七年级上·江西吉安·期中）2025年10月19日吉水金滩十里画廊半程马拉松比赛圆满谢幕．前一天一辆巡逻车在沿江路上负责巡查路况．如果规定向南为正，向北为负，他这天下午的行车里程如下：，． (1)当巡逻车最后到达指定位置时，车辆距下午出发地点的距离多少千米？此时，巡逻车在出发地点的南面还是北面？ (2)若车辆每100千米耗油5升，每升油需要8元，问这天下午的行程需要花费多少油钱？ 【答案】(1)当巡逻车最后到达指定位置时，车辆距下午出发地点的距离为2千米，此时，巡逻车在出发地点的北面； (2)这天下午的行程需要花费48元油钱． 【分析】本题考查了正负数的应用，乘除混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义，将各数相加并计算即可； （2）根据绝对值的实际意义，进行列式计算即可． 【详解】（1）解：（千米）， 即当巡逻车最后到达指定位置时，车辆距下午出发地点的距离为2千米，此时，巡逻车在出发地点的北面； （2）解： （元）， 即这天下午的行程需要花费48元油钱． ▌对点练8-1（23-24七年级上·广西南宁·期中）体育课上全班女生进行了一分钟仰卧起坐测验，达标成绩为35个．下面是第一组8名女生的成绩记录，其中“”号表示超过达标成绩的个数，“”表示不足达标成绩的个数．，0，，，，，，． (1)第一组8名女生中最好成绩是多少个； (2)求第一组8名女生的平均成绩为多少? (3)规定：一分钟仰卧起坐次数为达标成绩，不得分；超过达标成绩，每多做个得分；未达到达标成绩，每少做个扣分．若一分钟仰卧起坐总积分超过分，便可得到优秀体育小组称号，请通过计算说明第一组名女生能否获得该称号． 【答案】(1)第一组8名女生中最好成绩是49个； (2)第一组名女生的平均成绩为个； (3)可得到优秀体育小组称号． 【分析】本题考查有理数的加减混合运算． （1）找出最好成绩即可； （2）根据题意列出式子再进行计算即可； （3）根据题意列出式子，再进行计算，最后与60进行比较即可． 【详解】（1）解：最好成绩是(个)， 答：第一组8名女生中最好成绩是49个； （2）解：(个)， (个)， (个)， 答：第一组名女生的平均成绩为个； （3）解： （分）， ， 即可得到优秀体育小组称号． ▌对点练8-2（23-24七年级上·江苏南京·期中）某水果店销售某种水果，原计划每天卖出，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，如表是某一周的销售情况：（超额记为正，不足记为负，单位：kg） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 ＋6 ＋12 ＋3 ＋19 (1)请计算该店一周这种水果的销售总量； (2)若该店以元的价格购进这种水果，又按4元出售，则该水果店本周一共赚了多少元？ 【答案】(1)该店一周这种水果的销售总量为 (2)该水果店本周一共赚了1800元 【分析】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的混合运算的实际应用； （1）由计划总量加上超过或不足的总量即可得到答案； （2）由总量乘以每千克水果的利润即可得到总利润． 【详解】（1）解： ， ， 所以，该店一周这种水果的销售总量为． （2）， 所以，该水果店本周一共赚了1800元． 基础通关 1．（25-26七年级上·全国·期中）的倒数等于（     ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】根据乘积为的两个数互为倒数解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴的倒数是． 2．（25-26七年级上·陕西安康·期末）计算：（   ） A．10 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的除法，根据有理数的除法法则直接计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 3．（25-26七年级上·山东聊城·期中）两个有理数的积是负数，和却是正数，那么这两个有理数（    ） A．同号，且均为负数 B．异号，且正数的绝对值比负数的绝对值大 C．同号，且均为正数 D．异号，且负数的绝对值比正数的绝对值大 【答案】B 【分析】本题主要考查的是有理数的乘法和有理数的加法，熟练掌握有理数的乘法和加法法则是解题的关键． 先依据有理数的乘法法则可得到这两个数异号，然后再依据有理数的加法法则进行判断即可． 【详解】解：两个有理数的积是负数， 这两个数异号． 又它们的和是正数， 正数的绝对值比负数的绝对值大． 故选：B． 4．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）一件商品进价为100元，商家先在进价的基础上增加定为售价，后来由于库存积压商家决定每件商品打八折出售，则每件商品还能盈利（    ） A．130 B．104 C．4 D．30 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算的实际应用．根据题意先计算涨价时的售价，再计算打折后的售价，即可求解． 【详解】解：元， 即每件商品还能盈利4元． 故选：C 5.（25-26七年级上·全国·期末） 下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多个有理数相乘的符号法则，熟练掌握多个有理数相乘的符号法则是解题的关键． 根据多个有理数相乘的符号法则“多个数非零有理数相乘时，负数的个数为奇数时积为负数，负数的个数为偶数时积为正数；有零相乘时，结果为0”即可求解． 【详解】解：选项A：，故选项A不符合题意； 选项B：中负数的个数为偶数，故选项B不符合题意； 选项C：中负数的个数为偶数，故选项C不符合题意； 选项D：中负数的个数为奇数，故选项D符合题意． 故答案为：D． 6．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）若，，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值、有理数乘法、代数式求值、有理数加法，掌握相关运算法则是解题的关键，由知，又因为且，说明、异号，故为正数，即，代入计算即可． 【详解】解：， ， ，， ， ， 故选：A 7．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段检测）______． 【答案】 【分析】根据有理数乘法法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 8．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）绝对值不大于的所有整数的积是______ 【答案】0 【分析】本题考查了绝对值定义和性质，有理数的乘法法则，正确理解绝对值的几何意义是解题的关键． 先求出所有的整数，再根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：绝对值不大于的所有整数是， 则积为． 故答案为：0 9．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，小林有5张标有数字的卡片，从中取出2张，则卡片上两数乘积的最大值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，依题意，选取绝对值较大且符号相同的两数相乘，即可求解． 【详解】解：依题意，卡片上两数乘积的最大值为 故答案为：． 10．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）先算乘除，后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）现将一批慈城年糕分装成6盒，以每盒3千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数表示，记录如下，每盒质量达到千克的年糕为合格品． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 与标准质量的差值（单位：千克） 0.01 0.02 0.03 (1)这6盒年糕有 盒是合格品，最重的一盒年糕是 千克； (2)若每千克的年糕成本为10元，则这6盒年糕的成本共多少元？ 【答案】(1)5，3.03 (2)这6盒年糕的成本共179.6元 【分析】本题考查了正负数和有理数的混合运算，理解正负数的意义是解答此题的关键． （1）根据正、负数的意义进行判断即可； （2）根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：每盒质量达到千克的年糕为合格品，， 序号为①②③⑤⑥共5盒合格品； 最重的一盒年糕为（千克）； 故答案为：5，3.03； （2）解： （元） 答：这6盒年糕的成本共元． 素养提升 1．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）a，b为非零有理数，则的值为（　　） A．3 B． C．3或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义、有理数的除法，解决本题的关键是确定的符号．分别讨论的正负，再根据有理数的除法，即可解答． 【详解】解：当且时，原式； 当且时，原式； 当且时，原式； 当且时，原式． 的值为3或． 故选：C． 2．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）数轴上的点沿数轴向右移动7个单位后到达点，且点到原点的距离为1，若数轴上的点到点和到原点的距离相等，则点表示的数是（   ） A．3或4 B．或 C．或4 D．3或 【答案】B 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，先得出点B表示的数，再得出点A表示的数，结合点C到点A和到原点距离相等，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ 点B到原点的距离为1， ∴ 点B表示的数为1或， ∵ 点A向右移动7个单位到达点B， ∴ 点A表示的数为或， ∵ 点C到点A和到原点的距离相等， ∴ 点C表示的数为 或， 点表示的数是或， 故选：． 3．（25-26七年级上·河南南阳·期中）已知，， 且， 则的值为（   ） A．12 B． C．26 D．或26 【答案】D 【分析】此题考查绝对值，有理数的加法，有理数的乘法，解题关键在于掌握运算法则． 根据，，且，可以求得a、b的值，从而可以求得的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴或， ∴当时，， 当时，， 即的值为或26． 故选：D． 4．（25-26七年级上·浙江温州·期中）李老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“有理数的混合运算”，规则如下：每人只能看到前一人的式子，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示： 老师 甲 乙 丙 丁 接力中，自己负责的一步出现错误的是（   ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．丙和丁 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 由题干中的计算步骤，根据相关运算法则及运算顺序进行判断即可． 【详解】解：甲计算： 错误地算为 ，正确应为 ，故甲错误． 乙计算：从甲得 和 ，乙写为 ，此步正确（因 ）． 丙计算：从乙得 ，应算为 ，但丙错误地算为 ，故丙错误． 丁计算：从丙得 ，此步计算正确但基于错误输入． ∴ 错误出现在甲和丙． 故选：B． 5．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）足球赛门票15元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，则每张门票降价________元． 【答案】 【详解】解：设原来的观众人数为，原来票价为元，则原来总收入为元， 降价后观众增加一半，因此降价后的观众人数为： 收入增加五分之一，因此降价后的总收入为：元， 可得降价后的门票单价为：元， 因此降价金额为：元． 6．（25-26八年级上·山东临沂·期末）已知，，，，，根据此变形规律计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查探索规律，有理数的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先将所求式子变形为，再按照已知的变形规律计算括号内，进一步即可求出答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过人时户年用水量及分档计费标准：计费规则为按用量区间分段累加收费，即用水量的部分按第一档单价计费，的部分按第二档单价计费，的部分按第三档单价计费． 计费档 户年用水量 单价/（元/） 第一档 第二档 第三档 （）某户一年用水量是，该户这一年的水费为_____元； （）某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、有理数的四则混合运算的应用，理解表格中每档的费用，正确列式求解是关键． （1）理解题意，根据用水量及分档计费标准且结合进行列式化简，即可作答， （2）先充分分析题意，得出水费在第三档，再结合第三档的计费方式进行列方程求解，即可作答． 【详解】解：（1）用水量在第二档范围内（）， ∴水费为（元）， 故该户水费为元， 故答案为：1040． （2）水费元， 先判断档位：第一档最大水费元， 第二档最大水费元，由于，故属第三档， 第三档水费公式为， 解得， 故用水量为． 故答案为：290． 迁移创新 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）若，是有理数，定义一种运算“”：， (1)，求的值； (2)定义的新运算“”对交换律是否成立？请写出你的探究过程． 【答案】(1)5 (2)成立，见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，新定义，正确理解题意是解题的关键． （1）根据新定义可得方程，解方程即可得到答案； （2）分别计算出和的结果，看二者是否相等即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴即为， 解得； （2）解：成立，探究如下： ， ， ∴， ∴定义的新运算“”对交换律成立． 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中） 怎样邮寄柚子更经济？ 冬季盛产柚子．小温家的柚子每年通过网络进行包邮销售，因此需要较多快递费的支出． 素材1 一客户在小温家定了12箱柚子，每箱以12千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如表所示： 与标准质量的差值（单位：千克） 0.5 0.2 箱数 2 5 5 素材2 据调查，某快递公司收费标准：首重1千克以内8元（含1千克），续重（超过1千克的部分）3元/千克，不足1千克按1千克计．不足30千克的包裹免包装费，超过30千克的包裹需要额外支付包装费50元． 素材3 据小温家常年的邮寄经验，包裹越大，柚子受损率越高．一个包裹在30千克以内，柚子几乎无受损；一个包裹质量在100千克至150千克之间，柚子的受损率估计为5%，受损部分由小温家按售价退还相应现金． 任务1 （1）计算这12箱柚子的总质量． 任务2 （2）方案一：分12箱邮寄，每箱一个包裹； 方案二：12箱打成一个大包裹邮寄． 请通过计算说明，选哪种方案邮寄，小温家支付的邮费更省？省多少钱？ 任务3 （3）今年柚子的成本价为6元/千克，售价为12元/千克．结合任务2，邮寄12箱柚子哪种方案利润更高？ 【答案】（1）；（2）方案二邮费更省，支付邮费490元，省23元；（3）选择方案一利润更高． 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式是解题的关键： （1）根据表格求出12箱柚子超出或不足的总质量，再加上标准总质量，计算即可； （2）根据两种方案结合快递公司的收费标准，分别列式进行计算即可； （3）分别求出两种方案各自的利润，进行判断即可． 【详解】解：（1）； 答：这12箱柚子的总质量为； （2）方案一：（元） 方案二：（元） （元） 答：方案二邮费更省，省23元． （3）选择方案一利润更高，理由： 方案一：（元） 方案二：（元）； ∵， ∴选择方案一利润更高． 3．（2025七年级上·山东青岛·专题练习）观察下列等式；；； (1)仿照上面的形式猜想并写出： ________________________； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了利用拆解的方法进行运算，熟练掌握和运用拆解的方法进行运算是解决本题的关键． （1）根据题意的拆解方法即可解答； （2）根据题意的拆解方法即可解答． 【详解】（1）解：∵；；， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴原式 ． 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $