第2章 有理数 单元复习（15大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）2026-2027学年苏科版七年级数学上学期培优讲义

该初中数学有理数单元复习讲义通过表格和思维导图系统梳理了15个核心知识点，从正数负数、有理数分类等基础概念，到数轴、相反数、绝对值等几何意义，再到有理数运算及科学记数法，构建了“概念-运算-应用”的递进知识脉络，突出重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型如“正负数意义”结合生活实例培养抽象能力，培优题型如“绝对值非负性应用”强化推理意识，压轴题型如“数轴动点问题”提升综合思维。每个题型配套例题与变式题，附易错点总结和方法技巧，助力不同层次学生提升，也为教师精准教学提供支持。

第2章 有理数 知识点1：正数与负数 1.正数与负数的定义：大于0的数叫做正数，正数前面的"+"号可以省略不写；在正数前面加上"-"号的数叫做负数，负数前面的"-"号不能省略；0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界。 2.相反意义的量：用正数和负数表示具有相反意义的量；规定其中一种意义的量为正，则与其意义相反的量为负；常见相反意义有上升与下降、收入与支出、向东与向西、零上与零下等。 知识点2：有理数的概念与分类 1.有理数的定义：整数和分数统称为有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。 2.有理数的分类： 按定义分类 按性质符号分类 有理数 有理数 3.常用数集概念： 名称 含义 名称 含义 非负数 正数和0 非正数 负数和0 非负整数 正整数和0（自然数） 非正整数 负整数和0 知识点3：数轴 1.数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，三要素为原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 2.数轴上的点与有理数的关系：每个有理数都可以用数轴上的一个点来表示；正数在原点右侧，负数在原点左侧，0在原点；数轴上右边的数总比左边的数大。 知识点4：相反数 1.相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0；数的相反数是。 2.相反数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点两侧，且到原点的距离相等。 3.多重符号化简：与"+"号个数无关，由"-"号的个数决定；奇数个"-"号结果为负，偶数个"-"号结果为正。 知识点5：绝对值 1.绝对值的定义：数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作|a|。 2.绝对值的性质： 条件 结果 3.绝对值的非负性：任何有理数的绝对值都是非负数，即；若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，例如若，则且。 知识点6：有理数的大小比较 比较方法 规则 数轴比较法 数轴上右边的数总比左边的数大 性质比较法 正数负数；两个负数，绝对值大的反而小 作差比较法 ；； 作商比较法 同号两数， 知识点7：有理数的加法 1.有理数加法法则： 类型 法则 示例 同号两数相加 取相同的符号，并把绝对值相加 ； 异号两数相加（绝对值不等） 取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 ； 互为相反数相加 互为相反数的两个数相加得0 与0相加 一个数与0相加，仍得这个数 2.加法运算律：交换律；结合律。 知识点8：有理数的减法 1.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即。 2.加减混合运算：先将减法统一为加法，再运用运算律简化计算；省略加号的和式如可读作"负2、负3、正5的和"或"负2减3加5"。 知识点9：有理数的乘法 1.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0。 2.多个有理数相乘的符号法则：几个不等于0的数相乘，负因数的个数是偶数时积为正数，负因数的个数是奇数时积为负数；几个数相乘，若其中有因数为0，则积等于0。 3.乘法运算律：交换律；结合律；分配律。 知识点10：倒数 1.倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数；若与互为倒数，则；0没有倒数。 2.倒数的求法： 类型 方法 示例 真/假分数 分子分母交换位置 的倒数是 非0整数 整数作分母，1作分子 5的倒数是 小数 先化成分数，再求倒数 ，倒数是4 带分数 先化成假分数，再求倒数 ，倒数是 知识点11：有理数的除法 1.有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。 2.乘除混合运算：先将除法转化为乘法，再确定符号，最后计算结果。 知识点12：有理数的乘方 1.乘方的定义：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；在中，叫做底数，叫做指数，读作"的次方"或"的次幂"。 2.乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。 知识点13：有理数的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 知识点14：科学记数法 1.定义：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。 2.的确定方法：等于原数的整数位数减1，或等于小数点向左移动的位数。 知识点15：近似数 1.准确数与近似数：与实际完全符合的数是准确数；接近实际数值的数是近似数。 2.精确度：近似数与准确数的接近程度，用精确度表示。 3.四舍五入法：一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位。 【基础必考题型】 【题型1】正负数的意义与相反意义的量 1.核心知识点 正数与负数的概念；相反意义的量的表示方法；0的特殊意义 2.解题方法技巧 ①先确定"基准"，再根据基准判断正负 ②注意0既不是正数也不是负数的特殊地位 ③结合实际情境理解正负数的含义 【例题1】.（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）小明同学把收支情况用正数和负数表示，若收入100元记为+100元，则支出80元记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【详解】解：∵收入和支出是一对相反意义的量，题目中规定收入记为正数， ∴支出应记为负数， ∴此支出80元记作元． 【变式题1-1】.（2026·贵州·三模）负数在现实生活中有广泛的应用．有理数可以描述（     ） A．天气气温 B．数轴原点 C．旗杆高度 D．参赛人数 【答案】A 【详解】解：A、天气气温可以低于，可以用表示零下3摄氏度，符合要求； B、数轴原点对应的数是，不是，不符合； C、旗杆高度是长度，为非负数，不能为，不符合； D、参赛人数为非负整数，不能为，不符合． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）请写出与下列各量具有相反意义的量： (1)气温是零上． (2)向南走． (3)转盘顺时针转3圈． (4)甲地高于海平面． 【答案】(1)气温是零下 (2)向北走 (3)转盘逆时针转3圈 (4)甲地低于海平面 【分析】本题考查相反意义的量的概念，在数学中，常用正数和负数表示具有相反意义的量，如温度、方向、旋转方向和高度等，每个小题需根据给定量写出其相反意义的量． 【详解】（1）解：零上温度与零下温度相反，故相反意义的量为气温是零下； （2）解：向南走与向北走相反，故相反意义的量为向北走； （3）解：顺时针旋转与逆时针旋转相反，故相反意义的量为转盘逆时针转3圈； （4）解：高于海平面与低于海平面相反，故相反意义的量为低于海平面． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）“不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数”的说法对吗？为什么？ 【答案】不对，因为0既不是正数也不是负数． 【分析】举反例进行说明即可． 【详解】不对．因为0既不是正数也不是负数． 【点睛】本题主要考查了0的意义，掌握“0既不是正数也不是负数”是解题的关键． 【题型2】有理数的概念与分类辨析 1.核心知识点 有理数的定义与分类标准；整数、分数、正数、负数的概念辨析；常用数集的概念 2.解题方法技巧 ①按"定义"或"性质符号"两种分类标准逐一判断 ②注意不是有理数，有限小数和无限循环小数都是分数 ③分类时做到不重不漏，注意0的归属 【例题2】.（25-26七年级上·湖南怀化·期中）下列说法，正确的个数是（    ） ① 0既不是正数，也不是负数； ② 是正有理数； ③可以写成分数形式的数就是有理数； ④不是自然数，也不是有理数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查有理数的分类，解题的关键是掌握有理数的相关定义及分类． 根据有理数的定义和性质逐项判断． 【详解】解： ①0既不是正数也不是负数，正确； ②是循环小数，可化为分数，是正有理数，正确； ③有理数的定义是能写成分数形式的数，正确； ④是有限小数，是有理数，错误； 正确的有①②③，共3个， 故选：C． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·重庆·期中）下列各数中：1，，2.8，，，是分数的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据有理数分类中分数的定义判断各数，初中数学中有限小数和无限循环小数都属于分数，统计符合条件的数的个数即可得到答案． 【详解】解：1是整数，不是分数； 是负分数，属于分数； 是有限小数，可化为分数，属于分数； ，是整数，则不属于分数； ，是有限小数，可化为分数，则属于分数； 是无限循环小数，可化为分数，属于分数； 综上，属于分数的数共有个． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·甘肃酒泉·阶段检测）下列6个数：、、，0、、，其中有理数有（　　）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据有理数的意义，将所给的数一一分析，再作出判断． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 0是整数，属于有理数； 中是无限不循环小数， 故不属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； 综上所述，共有5个有理数， 故选：C． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·山西朔州·阶段检测）把下列各数的序号填到相应的横线上： 1；；；＋7；0；；；． 正有理数：_________________________； 负有理数：_________________________； 整数：_____________________________． 【答案】正有理数：①③④⑧；负有理数：②⑥⑦；整数：①④⑤⑦ 【分析】本题主要考查了有理数的分类，正有理数是大于0的整数和分数，负有理数为小于0的整数和分数，据此结合整数和分数的定义求解即可． 【详解】解：正有理数：①③④⑧； 负有理数：②⑥⑦； 整数：①④⑤⑦． 【题型3】数轴上的点与有理数对应关系 1.核心知识点 数轴的三要素；有理数与数轴上点的对应关系；数轴上数的大小比较 2.解题方法技巧 ①先确定原点位置，再根据单位长度找点 ②利用数轴的直观性比较数的大小，右边的数总比左边大 ③数形结合，通过数轴直观理解相反数、绝对值的几何意义 【例题3】.（2026·江西吉安·二模）如图，数轴上点A表示的数为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：由数轴知：点A表示的数． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·山东德州·期末）如图，数轴上每个刻度为个单位长度，点表示的数是． (1)则所表示的数是______； (2)数轴上有点，且与点的距离为个单位长度，那么点表示的数为______． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了数轴的特点，数轴上表示数，数轴上两点间的距离，掌握知识点的应用是解题的关键 ． （1）根据点表示的数，确定原点，由此即可求解； （2）根据题意，运用数轴上两点之间距离的计算方法，分类讨论即可． 【详解】（1）解：因为点表示的数是， 所以原点如图所示， 所以点表示的数为， 故答案为：； （2）解：因为点表示的数为， 所以当点在点左边时，点表示的数为； 当点在点的右边时，点表示的数为， 故答案为：或． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·广西梧州·期末）如图，数轴上的点表示的数是（   ） A． B．1 C． D．2.5 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴上点的表示． 根据点在数轴上的位置即可求出点表示的数． 【详解】解：由图可知，点表示的数是1， 故选：B． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·湖北黄石·期末）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴个单位长度是），刻度尺上对应数轴上的数，那么刻度尺上对应数轴上的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数与数轴上点的关系．根据题意计算出点到原点的距离为即可解答． 【详解】解：因为刻度尺上的对应数轴上的， 所以刻度尺上对应的数到数轴上的距离也是， 所以到原点的距离是， 因为在原点左侧，所以对应的数是， 故选：． 【题型4】相反数、绝对值、倒数的概念 1.核心知识点 相反数的定义与几何意义；绝对值的代数意义与几何意义；倒数的定义与求法 2.解题方法技巧 ①求相反数：在数前加"-"号，再化简多重符号 ②求绝对值：先判断正负，再根据性质去绝对值符号 ③求倒数：注意0没有倒数，带分数先化成假分数 【例题4】.（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）已知有理数与互为相反数，与相等，若，，求有理数． 【答案】 【分析】本题考查相反数的定义，解一元一次方程，根据相反数的定义和已知条件列出方程是解题关键． 根据题意，可知，列出对应方程求出x，再将x代入c，求出c，即求出了b． 【详解】解：由题意，得， 又， ∴，即， 解得， ∴， ∴． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)4或12 (2)4或12 【分析】本题考查了求代数式的值，绝对值，正确求出、的值是解题的关键． （1）根据绝对值的定义求出、的值，再根据进一步确定、的值，然后分别代入计算即可； （2）根据绝对值的定义求出、的值，再根据进一步确定、的值，然后分别代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值是4或12； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值是4或12． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·安徽·期中）已知，且． (1)若，求x的值．并直接写出所有符合条件的正整数y的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)；正整数y的值可以是1，2，3，4 (2)7或 【分析】本题主要考查绝对值的意义及代数式的值，熟练掌握绝对值的意义及代数式的值是解题的关键； （1）由题意易得，，结合条件，则有，然后问题可求解； （2）由题意易得，然后根据可进行求解． 【详解】（1）解：因为，所以， 又因为，所以x为非负数，所以， 此时且y是正整数，所以为非负整数， 所以正整数y的值可以是1，2，3，4； （2）解：由题可知，所以， 因为， 所以当时，，此时； 当时，，此时； 所以的值为7或． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）已知两数分别为m、n． (1)试判断与是否为相反数，若是，请说明理由； (2)若与互为相反数，求代数式的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)11 【分析】本题主要考查相反数，代数式； （1）根据，判断即可； （2）根据题意得到，解得，代入原式计算即可． 【详解】（1）解：与为相反数，理由如下： ， ∴与为相反数． （2）解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得， ∴． 【题型5】有理数的大小比较 1.核心知识点 有理数大小比较的多种方法；两个负数比较大小的特殊法则；作差法与作商法 2.解题方法技巧 ①利用"正数负数"快速排除选项 ②两个负数比较：先求绝对值，再比较绝对值大小，绝对值大的反而小 ③多个数比较时，先分类再排序，最后用不等号连接 【例题5】.（2026·辽宁沈阳·一模）我国地势西高东低，呈三级阶梯分布，下表是我国三级阶梯上部分地形区的平均海拔数据，其中海拔最低的是（     ） 盆地名称 塔里木盆地 准噶尔盆地 柴达木盆地 四川盆地 最低点海拔/ 2670 220 A．塔里木盆地 B．准噶尔盆地 C．柴达木盆地 D．四川盆地 【答案】A 【详解】解：∵负数小于正数，两个负数比较大小，绝对值更大的负数更小，又 ，，且， ∴，因此海拔最低的是塔里木盆地． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，数轴上点，对应的数分别为，． (1)填空： ①用“”“”或“”表示：________0；________0； ②把，，，按照从小到大的顺序用“”连接起来是________． (2)已知，，若点为数轴上一点，且，求点表示的数． 【答案】(1)①，；② (2)表示数为8或 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，用数轴比较有理数的大小等知识点． （1）①根据数轴可得，即可求解； ②将，表示在数轴上，即可利用数轴比较大小； （2）先求出点B表示的数，然后结合求解即可． 【详解】（1）解：①根据数轴知：， ∴，， 故答案为：，； ②把，在数轴上表示为： ， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴点表示的数为或． 【变式题5-2】.（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点A，B对应的数分别为a，b．请依据图中点A，B的位置，判断下列各式哪些是正确的． （1）；（2）；（3）． 【答案】（1）正确（2）正确（3）不正确 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，有理数的加法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合数轴，得，且，故，，，即可作答． 【详解】解：观察数轴，得，且， 故（1）是正确的； 故（2）是正确的； 则， 故（3）是不正确的； 【变式题5-3】.（25-26七年级上·江苏南通·期中）数轴上表示数，c的点如图所示． (1)比较大小： , b；(填“”、“”或“”) (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较与绝对值的化简，解题的关键是根据数轴确定数的正负及绝对值内表达式的符号． （1） 依据数轴上数的位置判断绝对值的大小及数的正负，进而比较大小； （2） 根据数轴确定各绝对值内表达式的正负，去掉绝对值符号后合并同类项． 【详解】（1）解：由数轴知：，且， 故； ，且， 故． 故答案为：；． （2）解：由数轴知，，，， 则 ． 【培优高频题型】 【题型6】有理数混合运算与运算律巧算 1.核心知识点 有理数混合运算顺序；加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、分配律 2.解题方法技巧 ①遵循"先定符号，后算绝对值"的原则，符号优先 ②凑整法：将能凑成整数的数结合，简化计算 ③拆项法：将带分数拆成整数与分数的和，分别计算 ④逆用分配律：提取公因数，将复杂运算转化为简单运算 【例题6】.（25-26七年级下·江苏无锡·自主招生）下列各题，要写出主要运算过程，能简便运算的，应采用简便方法运算． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 【变式题6-1】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）简便计算 (1) (2) (3) 【答案】(1)34 (2) (3)1 【分析】（1）把除法化为乘法运算，再结合乘法运算律进行简便运算即可； （2）括号内利用分配律进行简便运算，再进一步计算即可； （3）把带分数化为假分数，再结合分配律进行简便运算，进一步计算除法运算，最后计算加法运算即可. 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·河南安阳·阶段检测）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算和乘法的分配律，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）利用乘法分配律计算即可得； （2）先将原式化为，再利用乘法分配律计算即可得． 【详解】（1）解：原式 （2） 【变式题6-3】.（25-26七年级上·内蒙古锡林郭勒·期中）简便运算： (1) (2) 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查有理数四则混合计算． （1）先将括号内通分，再除以括号外的数即可； （2）先将括号内带分数整理成两个数相加的形式，再去括号，让整数和整数合并计算，分数和分数合并在一起计算等． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ． 【题型7】绝对值的非负性应用 1.核心知识点 绝对值的非负性；多个非负数的和为0的性质；乘方的非负性 2.解题方法技巧 ①若，则且，每个非负数都为0 ②结合乘方的非负性：且 ③利用非负性求字母的值，再代入计算代数式的值 【例题7】.（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键． 根据非负数的性质，绝对值和平方项均非负，它们的和为零，则每项为零，从而求出和的值． 【详解】解：，，且， 且， 由，得，即， 由，得，即， ； 故答案为． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知，且，求___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值的意义和绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．由绝对值的意义和绝对值的非负性可确定m和n的值，再代入中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴当时， 当时，， 故答案为：或． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）若，为有理数，且，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性，平方的非负性，已知字母的值，求代数式的值． 根据绝对值和平方的非负性，可得和的值，代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·全国·期末）若，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值．根据非负数的性质可得，代入代数式求值即可求解． 【详解】解：∵， ， b， ∴． 故答案为：． 【题型8】科学记数法与近似数 1.核心知识点 科学记数法的表示形式；近似数的精确度判断；有效数字的概念 2.解题方法技巧 ①科学记数法：中，为整数位数减1 ②带单位的数先还原，再判断精确到哪一位 ③用科学记数法表示的数，看的末位数字在原数中的位置 【例题8】.（25-26七年级下·安徽合肥·期末）据统计2026年五一国内出游人数为325000000，用科学记数法表示是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：用科学记数法表示为． 【变式题8-1】.（2026·河南·一模）近几年来，我国已成为全球机器人产业发展的中坚力量．根据国家统计局2026年2月28日发布的《2025年国民经济和社会发展统计公报》，我国2025年工业机器人全年累计产量约套，这个数据如果不用科学记数法表示应该是（   ） A．7730 B．77300 C．773000 D．7730000 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法还原为原数，根据科学记数法的定义，将（，n为正整数）还原时，只需把a的小数点向右移动n位即可得到原数 【详解】解：∵ ∴ 【变式题8-2】.（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）用四舍五入法将精确到百位得到的近似数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵的百位数字为，十位数字为， 根据四舍五入规则，精确到百位需向百位进， ∴精确到百位得到的近似数为，即． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·全国·寒假作业）用四舍五入法按括号里的要求对下列各数取近似值： (1)（精确到）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到千分位）； (4)亿（精确到百万位）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了近似数与有效数字，解题的关键是明确四舍五入的规则，找准精确位的下一位数字进行判断． （1）精确到，看万分位数字，四舍五入； （2）精确到个位，看十分位数字，四舍五入； （3）精确到千分位，看万分位数字，四舍五入； （4）先将“亿”化为具体数，找到百万位，看十万位数字，四舍五入后用科学记数法表示． 【详解】（1）解：（精确到）； （2）解：（精确到个位）； （3）解：（精确到千分位）． （4）13.052亿. 【题型9】有理数乘方的规律探究 1.核心知识点 乘方的符号法则；数字规律的观察与归纳；从特殊到一般的思想 2.解题方法技巧 ①观察末位数字的循环规律，找出循环周期 ②从特殊到一般，归纳第项的表达式 ③利用规律求指定项的值或前项的和 【例题9】.（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列等式： ；；；；… （1）根据上面规律，若，，则____，____． （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为_______________． 【答案】 11 15 【分析】此题主要考查了含乘方的数字变化规律，得出数字之间的运算规律是解题关键． （1）根据所给等式两边数字变化规律可得答案； （2）根据所给等式两边数字变化规律列出等式即可． 【详解】解：（1）∵； ； ； ； … 故，， 故答案为：11，15； （2）第n个等式为； 故答案为：． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·河南南阳·期末）阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，对于任意正整数，有，令，，即可求得答案． 【详解】根据题意可知，对于任意正整数，有． 令，，可得 ． 即 ． 故答案为： 【变式题9-2】.（25-26六年级上·上海虹口·期中）观察下列等式：根据其中的规律可得的结果的个位数字是__________． 【答案】7 【分析】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键．由已知可得的尾数7，9，3，1循环，和为20，每周期个位数字之和的个位数字为0，余1，因此有507个完整周期，余数对应的个位数字为7．总和的个位数字为． 【详解】解：∵，，，，…… ∴的尾数7，9，3，1循环， ∴，每个周期个位数字之和的个位数字为0， ∵余1， ∴从到共507个完整周期，其和的个位数字为0，的个位数字与相同，为7， ∴的个位数字为． 故答案为：7． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·全国·周测）你能比较和的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较和的大小（，且为整数）． 从分析，…的简单情况入手，从中发现规律，经过归纳猜想结论． (1)通过计算，选填“>”或“<”： ①__________；②__________； ③__________；④__________； ⑤__________． (2)根据（1）的结果，猜想和的大小关系． (3)根据（2）中的猜想，试比较下列两数的大小关系：__________2025（填“>”或“<”）． 【答案】(1)①<  ②<  ③>  ④>  ⑤> (2)当或2时，；当时， (3)> 【分析】（1）直接计算每个式子的乘方结果，再比较大小； （2）根据（1）的计算结果，归纳取不同值时与的大小规律； （3）利用（2）中归纳的规律，判断与的大小． 【详解】（1）解：①，故； ②，故； ③，故； ④，故； ⑤，故． （2）解：当时，； 当且为整数时，． （3）解：因为，根据（2）的结论，得． 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算和归纳推理的方法，掌握通过计算简单情况归纳规律，再用规律解决复杂问题是解题的关键． 【压轴素养题型】 【题型10】新定义运算问题 1.核心知识点 有理数的四则运算与乘方；新定义运算规则的理解与转化；运算律的探究 2.解题方法技巧 ①严格按照定义将新运算转化为常规运算，注意运算顺序 ②探究运算律时，通过举例验证是否满足交换律、结合律等 ③先算括号内的新运算，再进行外层运算，遵循运算顺序 【例题10】.（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）a、b为有理数，若规定一种新的运算“⊕”： 定义；例如：． 请根据“⊕”的定义计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题目中定义运算法则代入求解即可． （1）根据新定义的代入计算即可； （2）据新定义的代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解： ． 【变式题10-1】.（25-26七年级上·河南周口·期末）我们用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：． 例如，． (1)求的值； (2)若的值与互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义、有理数的混合运算、相反数，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义计算的值，再根据相反数的定义即可求出的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ，   因为5的相反数为， 所以的值为． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·贵州安顺·期中）定义一种新运算“☆”：对于任意两个有理数a和b，满足．例如： (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查新运算“☆”的定义，涉及有理数的混合运算、绝对值和平方的非负性，准确计算是解题的关键． （1）直接代入计算； （2）小题先计算内层运算，再计算外层运算； （3）小题先根据非负性求出x和y的值，再代入运算； 【详解】（1）， ； （2）先计算 = ； 再计算， ； （3），且，， ，， ，， 计算． 再计算 ． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·湖南长沙·期末）定义： （I）若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为非负数），则称方程与方程是“雅美方程”． （II）对于数轴上三个不同的点，给出如下定义：在线段中，若其中有两条线段相等，即或或，则称三点是“雅美点”． 根据上述定义回答下列问题： (1)点表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是4，三点______（填“是”或“不是”）“雅美点”； 方程与是“雅美 方程”；（填写数字即可） (2)点表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是4，且在，之间，若，，三点是“雅美点”，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程，（，为常数）与关于的方程是“雅美1方程”，求的值． 【答案】(1)①是；②2 (2) (3)或0 【分析】（1）①分别求出线段的长，然后根据定义进行判断； ②分别求出两个方程的解，计算，即可作出判断； （2）分别求出线段的长，然后根据定义进行判断； （3）求出方程的解为，根据两个方程是“雅美1方程”得到或，分别代入关于x的方程中，得到关于t的方程，根据无论t取任何有理数都成立进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵点表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是4， ∴，，， ∴， ∴三点是“雅美点”， 故答案为：是； ②解可得， ∴， ∴方程与是“雅美2方程”， 故答案为：2； （2）解：∵在，之间，且，，三点是“雅美点”， ∴， ∴，解得， 即的值为； （3）解：由得， ∵关于的方程，（，为常数）与关于的方程是“雅美1方程”， ∴， ∴或， ①当时，， ∴， ∵无论t取任何有理数都成立， ∴，， ∴，， ∴； ②当时，， ∴， ∵无论t取任何有理数都成立， ∴，， ∴，， ∴； 综上所述：的值为或0． 【点睛】本题考查新定义，两点间距离，解一元一次方程，求绝对值，理解题意准确列出方程是解题关键． 【题型11】绝对值的几何意义与最值问题 1.核心知识点 绝对值的几何意义表示数轴上点到点的距离；多个绝对值和的最值问题；数形结合思想 2.解题方法技巧 ①的最小值：当在、之间（含端点）时，最小值为 ②奇数个绝对值和的最小值：取中间点时取得最小值 ③偶数个绝对值和的最小值：在中间两点之间（含端点）时取得最小值 ④利用几何意义将代数问题转化为几何问题，直观求解 【例题11】.（25-26七年级上·全国·单元复习）根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 【答案】(1)4，0 (2)，3 (3)，4 【分析】本题考查了整式的绝对值的求解能力，对绝对值的性质的理解和掌握是解题的关键． （1）根据绝对值的性质，可知0的绝对值最小，为0，则可得时，有最小值，由此即可求解； （2）要使有最小值，则要取最小，即，由此即可求解； （3）要使有最大值，则取最小值，结合即可求解． 【详解】（1）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是0． 故答案为：4，0 （2）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是3． （3）因为，所以，所以当时，有最大值，这个最大值是4． 【变式题11-1】.（25-26七年级上·四川成都·期中）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示、在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离； ，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上， 数轴上、两点对应的数分别为、， 且、两点之间的距离可以表示为， 则（或）． (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，若，则 ； (2)的最小值是 ；当 时的最小值是 ； (3)求的最小值． 【答案】(1)，或 (2)，， (3)的最小值为． 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值方程，绝对值的几何意义． （1）根据阅读材料，即可得数轴上表示和的两点之间的距离，由， 可得或，即可得的值； （2）根据绝对值的几何意义，求解即可； （3），，，，，，共个数，中间两个数为和，根据绝对值的几何意义可知，当时，取得最小值，取，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴数轴上表示和的两点之间的距离是， ∵， ∴或， ∴或， 故答案为：，或． （2）解：∵表示数轴上点到点和点的距离之和， 当点在点和点之间时取得最小值， 的最小值是， ∵表示数轴上点到点、点和点的距离之和， 当点在中间点处时取得最小值， ∴当时,的最小值是． 故答案为：，，． （3）解：，共个数，中间两个数为和， 根据绝对值的几何意义可知，当时，取得最小值， 当时， ， ∴的最小值为． 【变式题11-2】.（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)应用一：已知如图，点A在数轴上表示为，数轴上任意一点B表示的数为x，则两点的距离可以表示为______． (2)应用二：若点B表示的整数为x，则当x为______时，与的值相等； (3)应用三：表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为______，此时所有符合条件的整数x的和为______． (4)应用四：令，则M的最小值为______，当M取得最小值时，整数x的值是______． 【答案】(1) (2) (3)7； (4)11； 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，理解绝对值的几何意义是解题关键． （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据题意可得数轴上表示的数与表示4和的数的距离相等，则数轴上表示的数是表示4和的数的中点，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可得当时，有最小值，据此化简绝对值求出最小值，再求出符合题意的x的值的和即可； （4）根据题意可以将分为两组数之和，分别为和，分别表示x的范围，据此解答即可． 【详解】（1）解：∵点A在数轴上表示为，数轴上任意一点B表示的数为x， ∴两点的距离可以表示为， 故答案为：； （2）解：∵与的值相等， ∴表示x的数与表示4和的数的距离相等， ∴表示x的数是表示4和的数的中点， ∴， 故答案为：； （3）解：∵表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴整数x有， ∴所有符合条件的整数x的和为 ， 故答案为：7；； （4）解：将分为两组： （最小值为，x在到3之间）； （最小值为，x在到1之间）； 由上述可得，当x在到1之间时，两组同时取最小值， ∴M最小值为， ∴整数x的值为到1之间的整数：． 故答案为：11；． 【变式题11-3】.（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ． (2)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a的值为 ． 【答案】(1)a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3； (2)a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和；图见解析；2；2． 【分析】本题考查了绝对值的几何意义． （1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干表示出的几何意义，仿照题干结合数轴作答即可． 【详解】（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和， 当a在2和5之间时（包括2，5上），a到2和5的距离之和等于3，此时取得最小值是3； 故答案为：a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3； （2）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和， ①如图，a在1的左边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； ②如图，a在1上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ③如图，a在1的右边2的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ④如图，a在2上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于2； ⑤如图，a在2的右边3的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ⑥如图，a在3上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ⑦如图，a在3的右边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； 可知的最小值是2，最小值时a的值为2，图如下： 故答案为：a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和；2；2． 【题型12】数轴上的动点问题 1.核心知识点 数轴上点的运动规律；动点的位置表示与距离计算；分类讨论思想；相遇与追及问题 2.解题方法技巧 ①用含时间的代数式表示动点位置：初始位置速度时间 ②相遇问题：两点位置相等时相遇，列方程求解 ③距离定值问题：，分左右两种情况讨论 ④注意运动方向和时间的非负性，分类要全面不遗漏 【例题12】.（25-26七年级上·山东菏泽·期中）如图，在数轴上A点表示有理数a，B点表示有理数b，已知a，b互为相反数，若，且． (1)求a，b； (2)数轴上有两个动点P、Q，动点P从A点出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P在点C处追上点Q，求点C表示的有理数c． 【答案】(1) (2)35 【分析】本题考查了绝对值、相反数及数轴上两点间的距离等知识，掌握这些知识是关键； （1）由绝对值可求得a的值，再由相反数的意义可求得b的值； （2）根据点P运动的路程与点Q运动的路程的差等于，得到方程，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∵a，b 互为相反数， ∴． （2）解：由题意可知：A、B 两点之间的距离为10， 设运动了t秒，点P追上点Q，则， ∴， ∴C点表示的有理数c为． 【变式题12-1】.（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，两点在数轴上分别表示有理数，且，点O为原点，点C在数轴上两点之间，且． (1)直接写出__________，__________，点C所对应的数是__________； (2)动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒，当点P与点Q的距离是5个单位长度时，求t的值； 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了绝对值及偶次幂的非负性、数轴上两点之间的距离、绝对值方程． （1）根据绝对值及偶次幂的非负性计算即可得解； （2）根据题意，表示出点P与点Q表示的数，然后根据线段长度列出绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵点O为原点，点C在数轴上O、B两点之间，且， ∴点C所对应的数是2， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 经过秒，点P与点Q表示的数分别是和， ∴， 解得或． 【变式题12-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，已知数轴上两点对应的数分别为为数轴上的一个动点，其对应的数为． (1)若点P到点A，B的距离相等，则x的值为_________． (2)若将数轴折叠，使A，B两点重合，则表示的点与表示__________的点重合． (3)若数轴上M，N两点之间的距离为2025（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（2）中的方式折叠后互相重合，求M，N两点表示的数． 【答案】(1) (2) (3)点对应的数为，点对应的数为 【分析】本题主要考查了数轴上的点以及数轴上两点之间的距离，解题的关键是列出方程，解方程． （1）根据两点之间的距离公式，列出关于的方程，解方程即可； （2）先求出折叠点表示的数为，再设与表示的点重合的点为数，进而有，解方程即可； （3）设点表示的数是，则点表示的数是，列出关于的方程，解方程即可得出的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：点到点的距离相等， ， 解得：． （2）解：将数轴折叠，使两点重合， 折叠点表示的数为． 设与表示的点重合的点为数， 则即， 解得：， 所以表示的点与表示的点重合． （3）解：设点表示的数是，则点表示的数是， 两点经过（2）中的方式折叠后互相重合 即 解得： 点对应的数为，点对应的数为 【变式题12-3】.（25-26七年级上·陕西汉中·期中）【问题背景】已知数轴上有不重合的三个点A、B、C，点A表示的数为，点B与点A到原点的距离相等，点C在原点的左侧，且到点B的距离为7． 【问题初现】（1）求点B、C表示的数； 【问题推广】（2）假设动点M、N分别从点B、C同时出发相向而行，动点M的速度为每秒2个单位长度，动点N的速度为每秒1个单位长度，当动点M与动点N距离为1个单位长度时，设运动时间为t，求动点M与动点N相遇前的时间t及此时动点M表示的数； 【拓展提升】（3）在数轴上，有一个动点P，从点A出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点A出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点，向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点，……，按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，求点表示的数，并说明理由． 【答案】（1）点B表示的数为5，点C表示的数为；（2），点M表示的数为；（3）点表示的数是，见解析 【分析】（1）根据题意得到点表示的数为5，两点间的距离求出点C表示的数； （2）根据时间等于路程除以速度求出，进而求出点表示的数即可； （3）根据题意，得到点每移动2次，整体向右移动1个单位长度，进行求解即可． 【详解】解：（1）点A表示的数为，且点B与点A到原点的距离相等， 所以点B表示的数为5．                 又因为点C在原点的左侧，且到点B的距离为7， 所以点C表示的数为．                     （2）当M、N相遇前，且相距1个单位长度时， 则， 此时点M表示的数为．                   （3）根据题意可知，动点P第2024次运动后向右运动个单位长度，      即此时点P表示的数为，               又因为第2025次点P是向左运动2025个单位长度， 所以点表示的数是． 易错点 1.误认为带"-"号的数就是负数，如不一定是负数，要根据的正负判断。 2.混淆有理数的分类标准，认为小数就是分数，注意无限不循环小数不是有理数。 3.误认为绝对值等于它本身的数只有正数，0的绝对值也是它本身。 4.有理数减法转化为加法时，减数的符号容易出错，如。 5.乘方运算中底数的判断错误，如与的结果不同。 6.多个有理数相乘时，负因数个数数错导致符号错误。 7.同级运算不按从左到右的顺序，如容易算成。 8.去绝对值时不考虑绝对值内式子的正负，直接去掉绝对值符号。 9.已知求时，容易漏掉的情况。 10.科学记数法中的范围把握不准，的确定错误。 11.带单位的近似数精确度判断错误，如2.3万精确到千位不是十分位。 重点 1.有理数的概念与分类，数轴、相反数、绝对值、倒数的概念与几何意义是本章的基础。 2.有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则及混合运算顺序是本章的核心内容。 3.运算能力是本章的重点，也是后续代数学习的基础，需要熟练掌握。 4.数形结合思想、分类讨论思想、转化思想等数学思想方法的理解与应用。 5.运算律的灵活运用，提高运算的准确性和速度。 难点 1.绝对值的综合应用，包括代数意义与几何意义的灵活转换、多个绝对值和的最值问题。 2.数轴上的动点问题，动点位置的动态表示、相遇追及等多种运动场景的分类讨论。 3.规律探究与新定义问题，从特殊到一般的归纳推理能力和新规则的理解转化能力。 4.有理数运算的巧算与速算，运算律的灵活运用、拆项凑整等技巧的掌握。 5.分类讨论思想的应用，特别是绝对值问题和动点问题中分类的完整性与全面性。 【对应练习题】 一、单选题 1．有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（     ）． A．原点一定在点左侧 B．不能确定原点的位置 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【答案】D 【分析】根据越在数轴的右边数越大，运用，得，则原点一定在中点右侧，即可作答． 【详解】解：∵有理数，在数轴上的对应点，的位置，且， ∴， ∴， ∴的中点位置是小于的， ∴原点一定在中点右侧． 2．据统计，2026年五一期间遵义会议会址共接待游客约405000人，数据405000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 3．点，，，在数轴上的位置如图所示，其中到原点的距离与到原点的距离相等的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的几何意义，由各点到原点的距离进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：点P到原点的距离为3， ∴到原点的距离为3． ∴到原点的距离与到原点的距离相等的点是点P． 二、填空题 4．计算：________． 【答案】6 【详解】解： ． 5．若，则内的数字是________． 【答案】 【详解】解：根据乘除互为逆运算可得，内的数字是． 6．外卖员小李年月送餐单的统计数据如下表： 送餐距离 小于等于公里 大于公里 占比 送餐费 元/单 元/单 则小李年月份的送餐收入为_____元． 【答案】 【分析】先根据总订单数和对应占比分别算出两类送餐距离的订单量，再结合各自单餐费用，列式计算求出小李月份的送餐总收入． 【详解】解：由表格数据可得，总送餐收入为 （元）． 三、解答题 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 8．把下面的有理数填入相应的集合内： ，，，，，，，，． 正有理数集合：{                    }； 正整数集合：{                    }； 负有理数集合：{                    }； 负整数集合：{                    }． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类． 根据正有理数的定义、正整数的定义、负有理数的定义、负整数的定义作答即可． 【详解】解：正有理数集合：； 正整数集合：； 负有理数集合：； 负整数集合：． 9．如图，数轴上A，D两点对应的数分别为，，其中点为原点，点，，所对应的数分别为，， (1)请在图中标出点，，，的位置； (2)把，，，，，这六个数，按从小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查了有理数在数轴上的表示，有理数的大小比较，有理数的乘方，化简绝对值，熟练掌握平方和绝对值的化简是解题的关键． （1）先对数据进行化简，再在数轴上表示即可； （2）利用数轴上的位置信息解答即可． 【详解】（1）解：因为：；；， 所以在数轴上可表示为： （2）解：由（1）得：． 10．科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送位乘客的行车里程（单位：）如下：，，， ， ，，，． (1)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (2)若出租车起步价为元，起步里程为（包括，超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【答案】(1)立方米； (2)元． 【分析】（1）先将8个数据的绝对值相加，求出总行车里程，再乘以每公里消耗天然气量求解即可； （2）分别求出位乘客的车费，再求和即可． 【详解】（1）解：总行车里程为， 共消耗天然气（立方米）， 答：共消耗天然气立方米； （2）解：行车里程为的乘客的车费为：元； 行车里程为的乘客的车费为：（元）； 行车里程为的乘客的车费为：（元）； 行车里程为的乘客的车费为：元； 行车里程为的乘客的车费为：（元）； 行车里程为的乘客的车费为：元； 行车里程为的乘客的车费为：（元）； 行车里程为的乘客的车费为：（元）； （元）， 答：小李这天上午共得车费元． 11．有理数，，在数轴上的对应点位置如图所示，且． (1)用“＜”，“＝”，“＞”填空：_____，_____，_____，_____0； (2)化简：． 【答案】(1)＞，＝，＞，＜， (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，在数轴上表示有理数，利用数轴判断式子的正负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察数轴，得，，故，，，结合，得，即可作答． （2）先化简绝对值，再合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解：观察数轴，得，， ∴，，， ∵ ∴， ∴， （2）解： ． 12．已知，． (1)若，且，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查绝对值，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由绝对值求出的值，取符合且的要求的解代入计算即可； （2）由绝对值求出的值，取符合的要求的解代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴或，或． ∵，且， ∴，， ∴； （2）解：由（1）知或，或． ∵， ∴，或，， ∴或． 13．数轴上两个点表示的数分别是，且满足．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动秒． (1)直接写出___________，___________； (2)若为的中点，为的中点，试判断在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？请说明理由； (3)对于数轴上的点，给出如下定义：记点到点的距离为，点到点的距离为，如果，那么称点是点的“关联点”． ①若，直接写出点的“关联点”在数轴上对应的数为___________． ②若点是点的“关联点”，且，直接写出的值___________． 【答案】(1)；2 (2)不变，理由见解析 (3)①或；②或或 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，解题的关键是根据题意，得出两点之间的距离，列出方程求解． （1）根据绝对值和平方的非负性，即可解答； （2）根据题意得出点P表示的数为，根据中点的表示方法得出点M表示的数为，点N表示的数为，求出，即可得出结论； （3）①根据题意得出点P表示的数为，，即可求解；②先得出点P表示的数为，则，，然后进行分类讨论：当点Q在点P左边时，点Q表示的数为，得出，，根据，列出方程求解即可；当点Q在点P右边时，点Q表示的数为，推出点B在点Q左边，则，，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：根据题意可得： ， 点表示的数为， ，为的中点，为的中点， 点表示的数为，点表示的数为， ， 线段的长度不变； （3）解：①点从点出发向右运动，，， 点表示的数为， ，， ， 点表示的数为或， 故答案为：或； ②点表示的数为， ，， ， ， 当点在点左边时，点表示的数为， ，， ， ， 解得：或； 当点在点右边时，点表示的数为， ， 点在点左边， ，， ， 解得：， 综上所述，或或， 故答案为：或或． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 有理数 知识点1：正数与负数 1.正数与负数的定义：大于0的数叫做正数，正数前面的"+"号可以省略不写；在正数前面加上"-"号的数叫做负数，负数前面的"-"号不能省略；0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界。 2.相反意义的量：用正数和负数表示具有相反意义的量；规定其中一种意义的量为正，则与其意义相反的量为负；常见相反意义有上升与下降、收入与支出、向东与向西、零上与零下等。 知识点2：有理数的概念与分类 1.有理数的定义：整数和分数统称为有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。 2.有理数的分类： 按定义分类 按性质符号分类 有理数 有理数 3.常用数集概念： 名称 含义 名称 含义 非负数 正数和0 非正数 负数和0 非负整数 正整数和0（自然数） 非正整数 负整数和0 知识点3：数轴 1.数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，三要素为原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 2.数轴上的点与有理数的关系：每个有理数都可以用数轴上的一个点来表示；正数在原点右侧，负数在原点左侧，0在原点；数轴上右边的数总比左边的数大。 知识点4：相反数 1.相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0；数的相反数是。 2.相反数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点两侧，且到原点的距离相等。 3.多重符号化简：与"+"号个数无关，由"-"号的个数决定；奇数个"-"号结果为负，偶数个"-"号结果为正。 知识点5：绝对值 1.绝对值的定义：数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作|a|。 2.绝对值的性质： 条件 结果 3.绝对值的非负性：任何有理数的绝对值都是非负数，即；若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，例如若，则且。 知识点6：有理数的大小比较 比较方法 规则 数轴比较法 数轴上右边的数总比左边的数大 性质比较法 正数负数；两个负数，绝对值大的反而小 作差比较法 ；； 作商比较法 同号两数， 知识点7：有理数的加法 1.有理数加法法则： 类型 法则 示例 同号两数相加 取相同的符号，并把绝对值相加 ； 异号两数相加（绝对值不等） 取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 ； 互为相反数相加 互为相反数的两个数相加得0 与0相加 一个数与0相加，仍得这个数 2.加法运算律：交换律；结合律。 知识点8：有理数的减法 1.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即。 2.加减混合运算：先将减法统一为加法，再运用运算律简化计算；省略加号的和式如可读作"负2、负3、正5的和"或"负2减3加5"。 知识点9：有理数的乘法 1.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0。 2.多个有理数相乘的符号法则：几个不等于0的数相乘，负因数的个数是偶数时积为正数，负因数的个数是奇数时积为负数；几个数相乘，若其中有因数为0，则积等于0。 3.乘法运算律：交换律；结合律；分配律。 知识点10：倒数 1.倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数；若与互为倒数，则；0没有倒数。 2.倒数的求法： 类型 方法 示例 真/假分数 分子分母交换位置 的倒数是 非0整数 整数作分母，1作分子 5的倒数是 小数 先化成分数，再求倒数 ，倒数是4 带分数 先化成假分数，再求倒数 ，倒数是 知识点11：有理数的除法 1.有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。 2.乘除混合运算：先将除法转化为乘法，再确定符号，最后计算结果。 知识点12：有理数的乘方 1.乘方的定义：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；在中，叫做底数，叫做指数，读作"的次方"或"的次幂"。 2.乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。 知识点13：有理数的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 知识点14：科学记数法 1.定义：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。 2.的确定方法：等于原数的整数位数减1，或等于小数点向左移动的位数。 知识点15：近似数 1.准确数与近似数：与实际完全符合的数是准确数；接近实际数值的数是近似数。 2.精确度：近似数与准确数的接近程度，用精确度表示。 3.四舍五入法：一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位。 【基础必考题型】 【题型1】正负数的意义与相反意义的量 1.核心知识点 正数与负数的概念；相反意义的量的表示方法；0的特殊意义 2.解题方法技巧 ①先确定"基准"，再根据基准判断正负 ②注意0既不是正数也不是负数的特殊地位 ③结合实际情境理解正负数的含义 【例题1】.（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）小明同学把收支情况用正数和负数表示，若收入100元记为+100元，则支出80元记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式题1-1】.（2026·贵州·三模）负数在现实生活中有广泛的应用．有理数可以描述（     ） A．天气气温 B．数轴原点 C．旗杆高度 D．参赛人数 【变式题1-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）请写出与下列各量具有相反意义的量： (1)气温是零上． (2)向南走． (3)转盘顺时针转3圈． (4)甲地高于海平面． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）“不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数”的说法对吗？为什么？ 【题型2】有理数的概念与分类辨析 1.核心知识点 有理数的定义与分类标准；整数、分数、正数、负数的概念辨析；常用数集的概念 2.解题方法技巧 ①按"定义"或"性质符号"两种分类标准逐一判断 ②注意不是有理数，有限小数和无限循环小数都是分数 ③分类时做到不重不漏，注意0的归属 【例题2】.（25-26七年级上·湖南怀化·期中）下列说法，正确的个数是（    ） ① 0既不是正数，也不是负数； ② 是正有理数； ③可以写成分数形式的数就是有理数； ④不是自然数，也不是有理数． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题2-1】.（25-26七年级上·重庆·期中）下列各数中：1，，2.8，，，是分数的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式题2-2】.（25-26七年级上·甘肃酒泉·阶段检测）下列6个数：、、，0、、，其中有理数有（　　）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式题2-3】.（25-26七年级上·山西朔州·阶段检测）把下列各数的序号填到相应的横线上： 1；；；＋7；0；；；． 正有理数：_________________________； 负有理数：_________________________； 整数：_____________________________． 【题型3】数轴上的点与有理数对应关系 1.核心知识点 数轴的三要素；有理数与数轴上点的对应关系；数轴上数的大小比较 2.解题方法技巧 ①先确定原点位置，再根据单位长度找点 ②利用数轴的直观性比较数的大小，右边的数总比左边大 ③数形结合，通过数轴直观理解相反数、绝对值的几何意义 【例题3】.（2026·江西吉安·二模）如图，数轴上点A表示的数为（   ） A． B．2 C． D． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·山东德州·期末）如图，数轴上每个刻度为个单位长度，点表示的数是． (1)则所表示的数是______； (2)数轴上有点，且与点的距离为个单位长度，那么点表示的数为______． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·广西梧州·期末）如图，数轴上的点表示的数是（   ） A． B．1 C． D．2.5 【变式题3-3】.（25-26七年级上·湖北黄石·期末）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴个单位长度是），刻度尺上对应数轴上的数，那么刻度尺上对应数轴上的数为（   ） A． B． C． D． 【题型4】相反数、绝对值、倒数的概念 1.核心知识点 相反数的定义与几何意义；绝对值的代数意义与几何意义；倒数的定义与求法 2.解题方法技巧 ①求相反数：在数前加"-"号，再化简多重符号 ②求绝对值：先判断正负，再根据性质去绝对值符号 ③求倒数：注意0没有倒数，带分数先化成假分数 【例题4】.（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）已知有理数与互为相反数，与相等，若，，求有理数． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·安徽·期中）已知，且． (1)若，求x的值．并直接写出所有符合条件的正整数y的值； (2)若，求的值． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）已知两数分别为m、n． (1)试判断与是否为相反数，若是，请说明理由； (2)若与互为相反数，求代数式的值． 【题型5】有理数的大小比较 1.核心知识点 有理数大小比较的多种方法；两个负数比较大小的特殊法则；作差法与作商法 2.解题方法技巧 ①利用"正数负数"快速排除选项 ②两个负数比较：先求绝对值，再比较绝对值大小，绝对值大的反而小 ③多个数比较时，先分类再排序，最后用不等号连接 【例题5】.（2026·辽宁沈阳·一模）我国地势西高东低，呈三级阶梯分布，下表是我国三级阶梯上部分地形区的平均海拔数据，其中海拔最低的是（     ） 盆地名称 塔里木盆地 准噶尔盆地 柴达木盆地 四川盆地 最低点海拔/ 2670 220 A．塔里木盆地 B．准噶尔盆地 C．柴达木盆地 D．四川盆地 【变式题5-1】.（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，数轴上点，对应的数分别为，． (1)填空： ①用“”“”或“”表示：________0；________0； ②把，，，按照从小到大的顺序用“”连接起来是________． (2)已知，，若点为数轴上一点，且，求点表示的数． 【变式题5-2】.（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点A，B对应的数分别为a，b．请依据图中点A，B的位置，判断下列各式哪些是正确的． （1）；（2）；（3）． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·江苏南通·期中）数轴上表示数，c的点如图所示． (1)比较大小： , b；(填“”、“”或“”) (2)化简：． 【培优高频题型】 【题型6】有理数混合运算与运算律巧算 1.核心知识点 有理数混合运算顺序；加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、分配律 2.解题方法技巧 ①遵循"先定符号，后算绝对值"的原则，符号优先 ②凑整法：将能凑成整数的数结合，简化计算 ③拆项法：将带分数拆成整数与分数的和，分别计算 ④逆用分配律：提取公因数，将复杂运算转化为简单运算 【例题6】.（25-26七年级下·江苏无锡·自主招生）下列各题，要写出主要运算过程，能简便运算的，应采用简便方法运算． (1)计算：； (2)计算：． 【变式题6-1】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）简便计算 (1) (2) (3) 【变式题6-2】.（25-26七年级上·河南安阳·阶段检测）简便计算： (1)； (2)． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·内蒙古锡林郭勒·期中）简便运算： (1) (2) 【题型7】绝对值的非负性应用 1.核心知识点 绝对值的非负性；多个非负数的和为0的性质；乘方的非负性 2.解题方法技巧 ①若，则且，每个非负数都为0 ②结合乘方的非负性：且 ③利用非负性求字母的值，再代入计算代数式的值 【例题7】.（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知，则的值为________． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知，且，求___________． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）若，为有理数，且，则的值为________． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·全国·期末）若，则的值为________． 【题型8】科学记数法与近似数 1.核心知识点 科学记数法的表示形式；近似数的精确度判断；有效数字的概念 2.解题方法技巧 ①科学记数法：中，为整数位数减1 ②带单位的数先还原，再判断精确到哪一位 ③用科学记数法表示的数，看的末位数字在原数中的位置 【例题8】.（25-26七年级下·安徽合肥·期末）据统计2026年五一国内出游人数为325000000，用科学记数法表示是（     ） A． B． C． D． 【变式题8-1】.（2026·河南·一模）近几年来，我国已成为全球机器人产业发展的中坚力量．根据国家统计局2026年2月28日发布的《2025年国民经济和社会发展统计公报》，我国2025年工业机器人全年累计产量约套，这个数据如果不用科学记数法表示应该是（   ） A．7730 B．77300 C．773000 D．7730000 【变式题8-2】.（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）用四舍五入法将精确到百位得到的近似数是（    ） A． B． C． D． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·全国·寒假作业）用四舍五入法按括号里的要求对下列各数取近似值： (1)（精确到）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到千分位）； (4)亿（精确到百万位）． 【题型9】有理数乘方的规律探究 1.核心知识点 乘方的符号法则；数字规律的观察与归纳；从特殊到一般的思想 2.解题方法技巧 ①观察末位数字的循环规律，找出循环周期 ②从特殊到一般，归纳第项的表达式 ③利用规律求指定项的值或前项的和 【例题9】.（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列等式： ；；；；… （1）根据上面规律，若，，则____，____． （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为_______________． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·河南南阳·期末）阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． 【变式题9-2】.（25-26六年级上·上海虹口·期中）观察下列等式：根据其中的规律可得的结果的个位数字是__________． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·全国·周测）你能比较和的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较和的大小（，且为整数）． 从分析，…的简单情况入手，从中发现规律，经过归纳猜想结论． (1)通过计算，选填“>”或“<”： ①__________；②__________； ③__________；④__________； ⑤__________． (2)根据（1）的结果，猜想和的大小关系． (3)根据（2）中的猜想，试比较下列两数的大小关系：__________2025（填“>”或“<”）． 【压轴素养题型】 【题型10】新定义运算问题 1.核心知识点 有理数的四则运算与乘方；新定义运算规则的理解与转化；运算律的探究 2.解题方法技巧 ①严格按照定义将新运算转化为常规运算，注意运算顺序 ②探究运算律时，通过举例验证是否满足交换律、结合律等 ③先算括号内的新运算，再进行外层运算，遵循运算顺序 【例题10】.（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）a、b为有理数，若规定一种新的运算“⊕”： 定义；例如：． 请根据“⊕”的定义计算： (1)； (2)． 【变式题10-1】.（25-26七年级上·河南周口·期末）我们用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：． 例如，． (1)求的值； (2)若的值与互为相反数，求的值． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·贵州安顺·期中）定义一种新运算“☆”：对于任意两个有理数a和b，满足．例如： (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·湖南长沙·期末）定义： （I）若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为非负数），则称方程与方程是“雅美方程”． （II）对于数轴上三个不同的点，给出如下定义：在线段中，若其中有两条线段相等，即或或，则称三点是“雅美点”． 根据上述定义回答下列问题： (1)点表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是4，三点______（填“是”或“不是”）“雅美点”； 方程与是“雅美 方程”；（填写数字即可） (2)点表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是4，且在，之间，若，，三点是“雅美点”，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程，（，为常数）与关于的方程是“雅美1方程”，求的值． 【题型11】绝对值的几何意义与最值问题 1.核心知识点 绝对值的几何意义表示数轴上点到点的距离；多个绝对值和的最值问题；数形结合思想 2.解题方法技巧 ①的最小值：当在、之间（含端点）时，最小值为 ②奇数个绝对值和的最小值：取中间点时取得最小值 ③偶数个绝对值和的最小值：在中间两点之间（含端点）时取得最小值 ④利用几何意义将代数问题转化为几何问题，直观求解 【例题11】.（25-26七年级上·全国·单元复习）根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 【变式题11-1】.（25-26七年级上·四川成都·期中）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示、在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离； ，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上， 数轴上、两点对应的数分别为、， 且、两点之间的距离可以表示为， 则（或）． (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，若，则 ； (2)的最小值是 ；当 时的最小值是 ； (3)求的最小值． 【变式题11-2】.（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)应用一：已知如图，点A在数轴上表示为，数轴上任意一点B表示的数为x，则两点的距离可以表示为______． (2)应用二：若点B表示的整数为x，则当x为______时，与的值相等； (3)应用三：表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为______，此时所有符合条件的整数x的和为______． (4)应用四：令，则M的最小值为______，当M取得最小值时，整数x的值是______． 【变式题11-3】.（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ． (2)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a的值为 ． 【题型12】数轴上的动点问题 1.核心知识点 数轴上点的运动规律；动点的位置表示与距离计算；分类讨论思想；相遇与追及问题 2.解题方法技巧 ①用含时间的代数式表示动点位置：初始位置速度时间 ②相遇问题：两点位置相等时相遇，列方程求解 ③距离定值问题：，分左右两种情况讨论 ④注意运动方向和时间的非负性，分类要全面不遗漏 【例题12】.（25-26七年级上·山东菏泽·期中）如图，在数轴上A点表示有理数a，B点表示有理数b，已知a，b互为相反数，若，且． (1)求a，b； (2)数轴上有两个动点P、Q，动点P从A点出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P在点C处追上点Q，求点C表示的有理数c． 【变式题12-1】.（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，两点在数轴上分别表示有理数，且，点O为原点，点C在数轴上两点之间，且． (1)直接写出__________，__________，点C所对应的数是__________； (2)动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒，当点P与点Q的距离是5个单位长度时，求t的值； 【变式题12-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，已知数轴上两点对应的数分别为为数轴上的一个动点，其对应的数为． (1)若点P到点A，B的距离相等，则x的值为_________． (2)若将数轴折叠，使A，B两点重合，则表示的点与表示__________的点重合． (3)若数轴上M，N两点之间的距离为2025（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（2）中的方式折叠后互相重合，求M，N两点表示的数． 【变式题12-3】.（25-26七年级上·陕西汉中·期中）【问题背景】已知数轴上有不重合的三个点A、B、C，点A表示的数为，点B与点A到原点的距离相等，点C在原点的左侧，且到点B的距离为7． 【问题初现】（1）求点B、C表示的数； 【问题推广】（2）假设动点M、N分别从点B、C同时出发相向而行，动点M的速度为每秒2个单位长度，动点N的速度为每秒1个单位长度，当动点M与动点N距离为1个单位长度时，设运动时间为t，求动点M与动点N相遇前的时间t及此时动点M表示的数； 【拓展提升】（3）在数轴上，有一个动点P，从点A出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点A出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点，向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点，……，按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，求点表示的数，并说明理由． 易错点 1.误认为带"-"号的数就是负数，如不一定是负数，要根据的正负判断。 2.混淆有理数的分类标准，认为小数就是分数，注意无限不循环小数不是有理数。 3.误认为绝对值等于它本身的数只有正数，0的绝对值也是它本身。 4.有理数减法转化为加法时，减数的符号容易出错，如。 5.乘方运算中底数的判断错误，如与的结果不同。 6.多个有理数相乘时，负因数个数数错导致符号错误。 7.同级运算不按从左到右的顺序，如容易算成。 8.去绝对值时不考虑绝对值内式子的正负，直接去掉绝对值符号。 9.已知求时，容易漏掉的情况。 10.科学记数法中的范围把握不准，的确定错误。 11.带单位的近似数精确度判断错误，如2.3万精确到千位不是十分位。 重点 1.有理数的概念与分类，数轴、相反数、绝对值、倒数的概念与几何意义是本章的基础。 2.有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则及混合运算顺序是本章的核心内容。 3.运算能力是本章的重点，也是后续代数学习的基础，需要熟练掌握。 4.数形结合思想、分类讨论思想、转化思想等数学思想方法的理解与应用。 5.运算律的灵活运用，提高运算的准确性和速度。 难点 1.绝对值的综合应用，包括代数意义与几何意义的灵活转换、多个绝对值和的最值问题。 2.数轴上的动点问题，动点位置的动态表示、相遇追及等多种运动场景的分类讨论。 3.规律探究与新定义问题，从特殊到一般的归纳推理能力和新规则的理解转化能力。 4.有理数运算的巧算与速算，运算律的灵活运用、拆项凑整等技巧的掌握。 5.分类讨论思想的应用，特别是绝对值问题和动点问题中分类的完整性与全面性。 【对应练习题】 一、单选题 1．有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（     ）． A．原点一定在点左侧 B．不能确定原点的位置 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 2．据统计，2026年五一期间遵义会议会址共接待游客约405000人，数据405000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 3．点，，，在数轴上的位置如图所示，其中到原点的距离与到原点的距离相等的点是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．计算：________． 5．若，则内的数字是________． 6．外卖员小李年月送餐单的统计数据如下表： 送餐距离 小于等于公里 大于公里 占比 送餐费 元/单 元/单 则小李年月份的送餐收入为_____元． 三、解答题 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．把下面的有理数填入相应的集合内： ，，，，，，，，． 正有理数集合：{                    }； 正整数集合：{                    }； 负有理数集合：{                    }； 负整数集合：{                    }． 9．如图，数轴上A，D两点对应的数分别为，，其中点为原点，点，，所对应的数分别为，， (1)请在图中标出点，，，的位置； (2)把，，，，，这六个数，按从小到大的顺序用“”连接起来． 10．科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送位乘客的行车里程（单位：）如下：，，， ， ，，，． (1)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (2)若出租车起步价为元，起步里程为（包括，超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 11．有理数，，在数轴上的对应点位置如图所示，且． (1)用“＜”，“＝”，“＞”填空：_____，_____，_____，_____0； (2)化简：． 12．已知，． (1)若，且，求的值； (2)若，求的值． 13．数轴上两个点表示的数分别是，且满足．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动秒． (1)直接写出___________，___________； (2)若为的中点，为的中点，试判断在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？请说明理由； (3)对于数轴上的点，给出如下定义：记点到点的距离为，点到点的距离为，如果，那么称点是点的“关联点”． ①若，直接写出点的“关联点”在数轴上对应的数为___________． ②若点是点的“关联点”，且，直接写出的值___________． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $