专题09 函数的概念6种常见考法归类（66题）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数概念这一核心知识点，系统梳理函数的传统与近代定义、三要素（定义域、对应关系、值域）及区间概念，通过6种常见考法（函数关系判断、求函数值、定义域、区间应用、同一函数判断、值域）构建从概念理解到综合应用的学习支架。 该资料特色在于考法分类细致，策略方法含核心逻辑与解题步骤，题型训练结合实例。通过竖线法判断函数关系培养数学眼光，定义域求解的逻辑推理发展数学思维，区间与函数相等判断强化数学语言。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生针对性练习，查漏补缺。

2026-2027年新高一暑假人教A版2019必修第一册考点通关提升讲义 专题09 函数的概念6种常见考法归类（66题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 函数关系的判断 考点二 求函数值 考点三 求函数的定义域 （一）求常规函数的定义域 （二）求抽象函数、复合函数的定义域 （三）逆用函数的定义域 （四）实际问题中的定义域 考点四 区间的应用 考点五 同一个函数的判断 考点六 求函数的值域 （一）一次、二次、反比例函数的值域 （二）根式型值域 （三）分式型值域 （四）根据值域求参数 （五）根据值域求定义域 知识点1：函数的概念 1、初中学习的函数的传统定义 设在一个变化的过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就有唯一确定的一个值与之对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系. 2、函数的近代定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 函数的四个特征： ①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 知识点2：函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． (3)值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 知识点3：函数相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 注：函数的值域与定义域、对应关系不是相互独立的，函数的值域是由定义域和对应关系共同确定的，只要函数的定义域及其对应关系确定，函数的值域也就随之确定了． 知识点4：区间的概念 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 注:区间是数集的另一种表示方法，但不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． 知识点5：常见函数的值域 （1）一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. （2）二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R， 当a>0时，值域为， 当a<0时，值域为. 考点一 函数关系的判断 策略方法 1.核心逻辑 判定依据三要素：任意性、存在性、唯一性；多对一是函数，一对多绝对不是函数。 图像快速判定法：画垂直轴的竖线，竖线与图像最多1个交点才是函数。 2.解题步骤 (1)集合对应类：逐个检查集合内每一个 ①每个都有对应（任意、存在）； ②一个只能对应1个（唯一，不能一对多）； (2)图像类判定： ①作垂直轴直线上下平移； ②任意竖线和图形交点个，则为函数；出现2个及以上交点，不是函数。 3.易错提醒 (1)混淆“多对一”和“一对多”，误以为多个对应同一个不是函数； (2)图像判断漏看局部出现竖线交两点的区域。 题型训练 1．【多选】（2026高三·全国·一轮复习）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 2．（2026·青海西宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线，与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 3．（2026高一·上海杨浦·期末）已知函数的定义域是，则在同一平面直角坐标系中，函数的图像与直线的交点个数为________. 4．（2026高一·山西太原·阶段检测）给出下列四个命题: ①函数就是两个数集之间的对应关系; ②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素; ③因为的函数值不随x的变化而变化，所以不是函数; ④定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2026高一·贵州遵义·阶段检测）下列图形可作为函数图象的是（    ） A．B． C．D． 6．【多选】（2026高一·河北保定·期中）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 考点二 求函数值 策略方法 1.核心逻辑 括号内整体替换法则；复合函数求值由内向外逐层代入。 2.解题步骤 (1)单一层：将解析式中所有全部替换成，化简计算； (2)复合： 第一步：先算内层的数值； 第二步：把算出的结果整体代入外层，再计算； (3)含字母、分段函数：先判断自变量落在哪一段解析式，再代入求值。 3.易错提醒 复合函数求值颠倒顺序，先算外层再算内层；分段函数代错区间表达式。 题型训练 7．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，则_______________． 8．（第二章函数与基本初等函数（综合训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）若函数，，则（    ） A．10 B．9 C．8 D．6 9．（2026高二·河北承德·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026高一·贵州毕节·期末）已知函数，，则的值为__________. 11．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，.若，则（    ） A． B． C．1 D． 考点三 求函数的定义域 （一）求常规函数的定义域 策略方法 1.核心逻辑 让代数式有意义，列出限制不等式，取所有条件公共交集。 四大限制条件： ①分式：分母； ②偶次根式：被开方数； ③零次幂：底数； ④对数、三角函数等额外自带限制。 2.解题步骤 (1)拆分函数每一段式子，写出各自有意义的不等式； (2)联立所有不等式，求解不等式组； (3)用区间/集合写出最终定义域； (4)化简解析式前先求定义域，不能提前约分丢失限制。 3.易错提醒 (1)化简式子后忘记原式隐藏限制； (2)多个限制条件只求单个不等式，不取交集。 题型训练 12．（2026高二·山西大同·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 13．（2026高一·广东深圳·期中）函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 14．（2026高三·全国·专题练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 15．（2026高二·天津东丽·阶段检测）函数的定义域是________ 16．求下列函数的定义域： (1) (2)； (3) (4)； （二）求抽象函数、复合函数的定义域 策略方法 1.核心逻辑 括号内整体取值范围永远不变，只有范围会变。 2.解题步骤 (1)已知定义域，求：令，解； (2)已知定义域，求：先算出时的值域，该值域就是定义域。 3.易错提醒 把“括号内整体范围”和“自变量范围”混为一谈。 题型训练 17．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则的定义域为______． 18．（2026高一·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 19．（2026高一·浙江杭州·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（） A． B． C． D． 20．（2026高一·江西上饶·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 21．（2026高二·黑龙江黑河·期末）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 22．（2026高一·山东泰安·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． （三）逆用函数的定义域 策略方法 1.核心逻辑 已知定义域范围，反向推出式子中参数满足的不等式，保证不等式解集与已知定义域完全匹配。 2.解题步骤 (1)根据解析式列出有意义的不等式； (2)结合题目给出的定义域，让不等式解集等于题干范围； (3)利用方程、恒成立条件解出参数取值。 3.易错提醒 只保证有意义，不严格匹配题干给出的完整定义域范围。 题型训练 23．（2026高三·甘肃金昌·阶段检测）若函数f (x)＝的定义域为，则实数a＝________． 24．（2026高二·重庆江津·期中）函数的定义域为R的充要条件是（     ） A． B．且 C． D． 25．（2026高一·江苏徐州·期末）已知. (1)若定义域为，求实数的取值范围； (2)若定义域为，求实数的值； 26．（2026高一·上海普陀·阶段检测）已知，函数的定义域为，则k的取值范围是________． 27．（2026高一·贵州遵义·阶段检测）若函数的定义域为，则实数的取值范围________. （4） 实际问题中的定义域 策略方法 1.核心逻辑 除代数式有意义，还要满足现实生活约束：人数、长度、产量，数量一般为整数。 2.解题步骤 (1)先求解析式自带的数学定义域； (2)叠加实际限制：时间、售价、长度等不能为负数；人数、商品件数取非负整数； (3)取两者交集作为最终定义域。 3.易错提醒 只考虑数学式子，忽略现实意义，出现负数人数、负长度。 题型训练 28．（2026高一·湖南·阶段检测）如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中m，m．现欲经过点C修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q．计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ，要求AP的长不小于50m且不大于100m．记三角形花坛APQ的面积为．    (1)设m，试用x表示AP，并求x的取值范围； (2)当DQ的长度是多少时，S取最小值？最小值是多少？ 29．（2026高一·江苏盐城·期中）为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域修建一个羊驼养殖场，规定的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形为羊驼养殖区，且点，，，四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设（单位：米），养殖区域的面积为（单位：平方米）. (1)将表示为的函数，并写出的取值范围； (2)当为多长时，取得最大值？并求出最大值. 30．（2026高一·四川乐山·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（    ） A． B． C． D． 31．（2026高一·山东烟台·阶段检测）如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为x（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于，则x的取值范围为______. 考点四 区间的应用 策略方法 1.核心逻辑 区间是数集简化写法，左数一定小于右数；无穷端只能用小括号。 2.解题步骤 (1)写区间时左边数字右边数字； (2)包含等号用中括号，不含等号用小括号； (3)一侧统一用小括号； (4)离散单点集合（如）不能用区间表示。 3.易错提醒 (1)写成左大右小； (2)无穷一侧写成，误用中括号； (3)有限点集合强行用区间表达。 题型训练 32．（2026高一·山东济南·期中）区间对应的不等式是（   ） A． B． C． D． 33．（2026高一·山东济南·期中）不等式的解集用区间表示为______. 34．（2026高一·山东济南·期中）不等式的解集用区间表示为（   ） A． B． C． D． 35．（2026高二·云南昆明·阶段检测）集合或用区间表示为（   ）． A．B． C． D． 36．（2026高一·上海浦东新·阶段检测）若为一确定区间，则a的取值范围是________． 37．（2026高二·辽宁·期末）集合（   ） A．2 B． C． D． 38．（2026高一·四川成都·期中）已知，集合，则（   ） A． B． C． D． 39．（2026高三·上海·期中）已知集合，，则______． 考点五 同一个函数的判断 策略方法 1.核心逻辑 两函数相同充要条件：定义域完全相同+对应关系完全相同；值域相同不能作为判断依据。 2.解题步骤 (1)第一步对比定义域，定义域不一样直接判定不是同一函数； (2)定义域相同时，等价变形化简两个解析式（变形不能改变定义域）； (3)化简后表达式完全一致，则为同一个函数；否则不是。 (4)自变量字母不影响判断，和是同一个函数。 3.易错提醒 (1)只看解析式一样，忽略定义域不同； (2)化简时随意约分、平方，改变原式定义域造成误判。 题型训练 40．（2026高一·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 41．【多选】（假期必刷4函数的概念及其表示）下列各组函数是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 42．【多选】（2026高一·广西河池·期中）下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 43．（2026高一·安徽淮北·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 44．（2026高一·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 45．（2026高一·天津和平·期中）下列各组函数为同一个函数的是________． ①， ②， ③， ④，且 考点六 求函数的值域 策略方法 求函数的值域常见的方法有： （1）观察法：对解析式简单变形观察，利用熟知的初等函数的值域，求解； （2）配方法：函数是二次函数，可采用配方法结合图像或单调性求解； （3）分离常数法：反解法，函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，求解； （4）换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域． （5）基本不等式法：通过对解析式变形，利用基本不等式求最值； （6）判别式法：通过对解析式变形，将看成自变量，看成常数，关于的方程有解，利用判别式法求解． 题型训练 （一）一次、二次、反比例函数的值域 46．（2026高一·四川成都·阶段检测）函数，的值域是___________. 47．（2026高一·天津滨海新区·期中）已知，则的值域为________． 48．（2026高一·天津·期中）函数的值域为___________； 49．（2.2函数的表示法课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． （二）根式型值域 50．（2026高一·福建漳州·期中）函数的最大值为________． 51．（2026高一·河北保定·阶段检测）函数的值域为______. 52．（2026高一·江苏·阶段检测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． （三）分式型值域 53．（2026高一·吉林长春·专题练习）函数的值域为_____. 54．（2026高一·天津·阶段检测）函数的最小值为________ 55．（2026高二·云南曲靖·期末）函数的值域为__________． 56．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是______． 57．（2026高三·全国·一轮复习）分别求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． （四）根据值域求参数 策略方法 1.核心逻辑 已知函数输出范围，反向约束解析式中参数，保证函数最值、边界与值域匹配。 2.解题步骤 (1)用配方法、分离常数法写出函数最值表达式； (2)结合题干给出值域，列等式/不等式； (3)解出参数，回代检验值域是否完全符合。 3.易错提醒 只满足最值，忽略区间端点能否取到。 题型训练 58．（2026高二·黑龙江·期末）已知函数的定义域与值域都为，则实数的值为______ 59．【多选】（2026高一·四川绵阳·期末）若，函数的值域是，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 60．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数的值域是，则______，______． 61．（2026高一·上海·阶段检测）已知，若函数的值域为，则的取值范围是______． 62．（2026高一·福建福州·阶段检测）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （五）根据值域求定义域 策略方法 1.核心逻辑 令函数等于值域边界，解出自变量，划分区间筛选符合条件的。 2.解题步骤 (1)设（值域上下界），解对应方程； (2)结合函数单调性划分区间，判断哪些能让函数落在指定值域； (3)取所有符合条件的集合，写出定义域。 3.易错提醒 解方程后不分段验证，多取不符合值域的自变量。 题型训练 63．已知函数的值域为，则的定义域不可能是（ ） A． B． C． D． 64．【多选】（2026高一·广东深圳·期中）已知定义域为D的函数其值域为，则定义域D可能是（    ） A． B． C． D． 65．【多选】（2026高一·广东广州·期中）已知函数的值域是，则它的定义域可能是（    ） A． B． C． D． 66．（2026高三·福建厦门·阶段检测）若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． $2026-2027学年新高一暑假人教A版2019必修第一册考点通关提升讲义 专题09 函数的概念6种常见考法归类（66题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 函数关系的判断 考点二 求函数值 考点三 求函数的定义域 （一）求常规函数的定义域 （二）求抽象函数、复合函数的定义域 （三）逆用函数的定义域 （四）实际问题中的定义域 考点四 区间的应用 考点五 同一个函数的判断 考点六 求函数的值域 （一）一次、二次、反比例函数的值域 （二）根式型值域 （三）分式型值域 （四）根据值域求参数 （五）根据值域求定义域 知识点1：函数的概念 1、初中学习的函数的传统定义 设在一个变化的过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就有唯一确定的一个值与之对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系. 2、函数的近代定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 函数的四个特征： ①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 知识点2：函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． (3)值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 知识点3：函数相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 注：函数的值域与定义域、对应关系不是相互独立的，函数的值域是由定义域和对应关系共同确定的，只要函数的定义域及其对应关系确定，函数的值域也就随之确定了． 知识点4：区间的概念 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 注:区间是数集的另一种表示方法，但不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． 知识点5：常见函数的值域 （1）一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. （2）二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R， 当a>0时，值域为， 当a<0时，值域为. 考点一 函数关系的判断 策略方法 1.核心逻辑 判定依据三要素：任意性、存在性、唯一性；多对一是函数，一对多绝对不是函数。 图像快速判定法：画垂直轴的竖线，竖线与图像最多1个交点才是函数。 2.解题步骤 (1)集合对应类：逐个检查集合内每一个 ①每个都有对应（任意、存在）； ②一个只能对应1个（唯一，不能一对多）； (2)图像类判定： ①作垂直轴直线上下平移； ②任意竖线和图形交点个，则为函数；出现2个及以上交点，不是函数。 3.易错提醒 (1)混淆“多对一”和“一对多”，误以为多个对应同一个不是函数； (2)图像判断漏看局部出现竖线交两点的区域。 题型训练 1．【多选】（2026高三·全国·一轮复习）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 【答案】BD 【分析】根据函数的概念，集合中任意一个元素，集合中都有唯一的元素与之对应，选项和分别可以举出反例，即可判断是错误的；选项和满足概念条件. 【详解】选项，A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数. 选项，由负数没有平方根，若集合A中的元素取负整数，则集合B中没有元素与之对应，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数. 2．（2026·青海西宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线，与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 【答案】C 【详解】根据函数定义可知，当在定义域中时，直线与函数的图象有一个交点， 当不在定义域中时，直线与函数的图象没有交点， 所以直线，与函数的图象的交点个数为0或1. 3．（2026高一·上海杨浦·期末）已知函数的定义域是，则在同一平面直角坐标系中，函数的图像与直线的交点个数为________. 【答案】1 【分析】根据函数的定义即可得到答案. 【详解】因为函数的定义域是， 则根据函数的定义知函数的图像与直线的交点个数为1. 故答案为：1. 4．（2026高一·山西太原·阶段检测）给出下列四个命题: ①函数就是两个数集之间的对应关系; ②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素; ③因为的函数值不随x的变化而变化，所以不是函数; ④定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用函数的定义依次判断即可. 【详解】对于①，函数即是建立在两个数集上的对应关系，故①正确； 对于②，根据函数的定义，函数的定义域中只含有一个元素，则根据对应关系，只有唯一的函数值与之对应，即值域也只含有一个元素，故②正确； 对于③，满足对任意，都有唯一的函数值与之对应，故是函数，③错误； 对于④，根据函数的定义，当定义域和对应关系确定后，函数即被唯一确定，故而函数的值域也就确定了，故④正确. 故选：C 5．（2026高一·贵州遵义·阶段检测）下列图形可作为函数图象的是（    ） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义即可判断. 【详解】对于C，满足函数的定义，所以可以作为函数的图象， 对于A、B、D均存在使得一个对应两个及两个以上的值，不符合函数的定义，所以不能作为函数的图象. 故选：C. 6．【多选】（2026高一·河北保定·期中）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据每个选项的函数图象，分别求出对应函数的定义域和值域即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，值域为 由选项A图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件； 由选项B图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项C图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项D图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件; 故选：AD. 考点二 求函数值 策略方法 1.核心逻辑 括号内整体替换法则；复合函数求值由内向外逐层代入。 2.解题步骤 (1)单一层：将解析式中所有全部替换成，化简计算； (2)复合： 第一步：先算内层的数值； 第二步：把算出的结果整体代入外层，再计算； (3)含字母、分段函数：先判断自变量落在哪一段解析式，再代入求值。 3.易错提醒 复合函数求值颠倒顺序，先算外层再算内层；分段函数代错区间表达式。 题型训练 7．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，则_______________． 【答案】2 【详解】 8．（第二章函数与基本初等函数（综合训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）若函数，，则（    ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】A 【分析】应用赋值法计算求解函数值. 【详解】因为，所以，又，所以. 9．（2026高二·河北承德·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则． 10．（2026高一·贵州毕节·期末）已知函数，，则的值为__________. 【答案】 【详解】因为函数，，所以， 故. 11．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，.若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由条件可知，，即，，得， 解得：. 考点三 求函数的定义域 （一）求常规函数的定义域 策略方法 1.核心逻辑 让代数式有意义，列出限制不等式，取所有条件公共交集。 四大限制条件： ①分式：分母； ②偶次根式：被开方数； ③零次幂：底数； ④对数、三角函数等额外自带限制。 2.解题步骤 (1)拆分函数每一段式子，写出各自有意义的不等式； (2)联立所有不等式，求解不等式组； (3)用区间/集合写出最终定义域； (4)化简解析式前先求定义域，不能提前约分丢失限制。 3.易错提醒 (1)化简式子后忘记原式隐藏限制； (2)多个限制条件只求单个不等式，不取交集。 题型训练 12．（2026高二·山西大同·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，解得且， 故定义域为 13．（2026高一·广东深圳·期中）函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】要使函数有意义，则， 所以函数定义域为. 14．（2026高三·全国·专题练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据具体函数定义域的求法求解即可. 【详解】由条件可得：， 所以的定义域为． 15．（2026高二·天津东丽·阶段检测）函数的定义域是________ 【答案】 【分析】根据分式分母不为零、偶次根式被开方数非负的要求列不等式组，求解不等式组得函数定义域. 【详解】要使函数有意义，需同时满足以下条件： ，，解得且. 因此函数的定义域为. 16．求下列函数的定义域： (1) (2)； (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式有意义求解即可. （2）根据分式有意义求解即可. （3）根据分式及二次根式有意义求解即可. （4）根据分式及零指数幂有意义求解即可. 【详解】（1）要使函数式有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为． （2）要使函数式有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为． （3）要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为． （4）要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域是. （二）求抽象函数、复合函数的定义域 策略方法 1.核心逻辑 括号内整体取值范围永远不变，只有范围会变。 2.解题步骤 (1)已知定义域，求：令，解； (2)已知定义域，求：先算出时的值域，该值域就是定义域。 3.易错提醒 把“括号内整体范围”和“自变量范围”混为一谈。 题型训练 17．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则的定义域为______． 【答案】 【分析】由抽象函数定义域的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，则，即的定义域为. 18．（2026高一·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 19．（2026高一·浙江杭州·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】需同时满足内层函数的定义域要求和分母不为零两个条件. 【详解】已知的定义域为，则. 对于，则，解得：. 又因为，即：. 所以函数的定义域. 20．（2026高一·江西上饶·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】由函数有意义的条件，结合函数的定义域即可求解. 【详解】函数的定义域为，函数有意义， 则有且，解得且， 所以函数的定义域为且. 故选：B 21．（2026高二·黑龙江黑河·期末）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抽象函数的定义域的求解方法，列出不等式，即可求解，得到答案． 【详解】设，由函数的定义域为，得函数的定义域为， 即，因此，解得． 所以的定义域为. 22．（2026高一·山东泰安·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抽象函数的定义域列出相应不等式，求解可得函数的定义域. 【详解】函数的定义域为，所以函数的定义域满足， 解得，所以. 所以函数的定义域为. 故选：B. （三）逆用函数的定义域 策略方法 1.核心逻辑 已知定义域范围，反向推出式子中参数满足的不等式，保证不等式解集与已知定义域完全匹配。 2.解题步骤 (1)根据解析式列出有意义的不等式； (2)结合题目给出的定义域，让不等式解集等于题干范围； (3)利用方程、恒成立条件解出参数取值。 3.易错提醒 只保证有意义，不严格匹配题干给出的完整定义域范围。 题型训练 23．（2026高三·甘肃金昌·阶段检测）若函数f (x)＝的定义域为，则实数a＝________． 【答案】 【分析】根据函数定义域的成立条件，联立偶次根式被开方数非负、分母不为零的约束，结合给定定义域的端点确定参数的值. 【详解】要使函数有意义，需同时满足： 偶次根式的被开方数非负：，解得； 分母不为零：，即. 已知函数的定义域为，说明上述两个约束的解集交集为，因此根式约束的下界需等于定义域左端点，即，解得； 此时需满足，可保证时自动满足，完全符合定义域要求，故. 24．（2026高二·重庆江津·期中）函数的定义域为R的充要条件是（     ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【分析】讨论的取值以区分函数类型以保证根号下非负即可求解. 【详解】由题意得恒成立，， 当时，由二次函数的性质可得且，解得， 当时，一次函数不恒成立， 综上， . 25．（2026高一·江苏徐州·期末）已知. (1)若定义域为，求实数的取值范围； (2)若定义域为，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若定义域为，由恒成立求解； （2）若定义域为，则-6，2是一元二次方程的两根，由韦达定理求解； 【详解】（1）若定义域为，则恒成立， 则，或， 解得：； （2）若定义域为， 则-6，2是一元二次方程的两根， 由韦达定理得，解得：； 26．（2026高一·上海普陀·阶段检测）已知，函数的定义域为，则k的取值范围是________． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【详解】由题意可得不等式对于任意实数成立， 当时，不等式即为，符合题意； 当时，则有，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 27．（2026高一·贵州遵义·阶段检测）若函数的定义域为，则实数的取值范围________. 【答案】 【分析】将函数定义域问题转化为不等式问题，对分情况讨论，结合一元二次不等式恒成立条件即可求解. 【详解】由题意可知，对任意恒成立. 当时，不等式可化为，恒成立，符合条件； 当时，需满足二次函数的图象开口向上，且与轴无交点， 即，也即，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： （4） 实际问题中的定义域 策略方法 1.核心逻辑 除代数式有意义，还要满足现实生活约束：人数、长度、产量，数量一般为整数。 2.解题步骤 (1)先求解析式自带的数学定义域； (2)叠加实际限制：时间、售价、长度等不能为负数；人数、商品件数取非负整数； (3)取两者交集作为最终定义域。 3.易错提醒 只考虑数学式子，忽略现实意义，出现负数人数、负长度。 题型训练 28．（2026高一·湖南·阶段检测）如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中m，m．现欲经过点C修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q．计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ，要求AP的长不小于50m且不大于100m．记三角形花坛APQ的面积为．    (1)设m，试用x表示AP，并求x的取值范围； (2)当DQ的长度是多少时，S取最小值？最小值是多少？ 【答案】(1)， (2)m时，S取得最小值，最小值为2400m2 【分析】（1）根据题意，由两三角形相似求出，即得，由得范围求出x的范围即可； （2）依题列出S的表达式，整理后利用基本不等式即可求得其最小值. 【详解】（1）依题意可得，则有， 即，可得，因此． 又要求AP的长不小于50m且不大于100m，即， 解得，即，； （2）由图易知， 所以 由基本不等式可得； 当且仅当时，即时，等号成立，此时S取得最小值2400， 因此当m时，S取得最小值，最小值为2400． 29．（2026高一·江苏盐城·期中）为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域修建一个羊驼养殖场，规定的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形为羊驼养殖区，且点，，，四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设（单位：米），养殖区域的面积为（单位：平方米）. (1)将表示为的函数，并写出的取值范围； (2)当为多长时，取得最大值？并求出最大值. 【答案】(1)， (2)当为时，取得最大值，最大值为 【分析】（1）根据题意表示出的面积，并根据的每条边长均不超过20米确定好的取值范围. （2）对（1）中的结果，利用基本不等式求最大值. 【详解】（1）因为，所以，， 因为，，所以. （2） 当且仅当，即时，等号成立， 所以当为时，取得最大值，最大值为. 30．（2026高一·四川乐山·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实际意义分析即可. 【详解】由题意可知，炮弹发射后共飞行了， 所以，即函数的定义域为. 故选：C 31．（2026高一·山东烟台·阶段检测）如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为x（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于，则x的取值范围为______. 【答案】 【分析】由三角形相似得，再根据面积不小于，即可求得x的取值范围. 【详解】设矩形另一边的长为m， 由三角形相似得：，（）, 所以, 所以矩形草坪的面积， 解得：. 故答案为： 考点四 区间的应用 策略方法 1.核心逻辑 区间是数集简化写法，左数一定小于右数；无穷端只能用小括号。 2.解题步骤 (1)写区间时左边数字右边数字； (2)包含等号用中括号，不含等号用小括号； (3)一侧统一用小括号； (4)离散单点集合（如）不能用区间表示。 3.易错提醒 (1)写成左大右小； (2)无穷一侧写成，误用中括号； (3)有限点集合强行用区间表达。 题型训练 32．（2026高一·山东济南·期中）区间对应的不等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用区间表示括号的意义即可作出判断. 【详解】根据区间表示括号的意义可知区间对应的不等式是， 故选：A. 33．（2026高一·山东济南·期中）不等式的解集用区间表示为______. 【答案】 【分析】利用一次不等式的解法和区间的概念可得出原不等式的解集. 【详解】解不等式得，故原不等式的解集为. 故答案为：. 34．（2026高一·山东济南·期中）不等式的解集用区间表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解不等式，再用区间表示即可. 【详解】由题意得，用区间表示为. 故选：D. 35．（2026高二·云南昆明·阶段检测）集合或用区间表示为（   ）． A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据区间定义即可得答案. 【详解】由区间定义可知，或. 故选：A 36．（2026高一·上海浦东新·阶段检测）若为一确定区间，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】因为为确定区间，所以右端点大于左端点，列出不等式求解a的取值范围. 【详解】根据区间表示数集的方法原则可知，，解得， 所以a的取值范围是, 故答案为：. 37．（2026高二·辽宁·期末）集合（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】, 故选：B 38．（2026高一·四川成都·期中）已知，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用区间表示集合的交集. 【详解】，集合，根据交集的定义可知，. 故选：B 39．（2026高三·上海·期中）已知集合，，则______． 【答案】 【分析】直接由交集的概念、区间的表示即可得解. 【详解】因为，，所以. 故答案为：. 考点五 同一个函数的判断 策略方法 1.核心逻辑 两函数相同充要条件：定义域完全相同+对应关系完全相同；值域相同不能作为判断依据。 2.解题步骤 (1)第一步对比定义域，定义域不一样直接判定不是同一函数； (2)定义域相同时，等价变形化简两个解析式（变形不能改变定义域）； (3)化简后表达式完全一致，则为同一个函数；否则不是。 (4)自变量字母不影响判断，和是同一个函数。 3.易错提醒 (1)只看解析式一样，忽略定义域不同； (2)化简时随意约分、平方，改变原式定义域造成误判。 题型训练 40．（2026高一·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】选项A：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故C错误； 选项D：的定义域是， 去绝对值分段得， 定义域和表达式均和一致，是同一函数，故D正确． 41．【多选】（假期必刷4函数的概念及其表示）下列各组函数是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【分析】结合同一函数的定义，逐一判断两个函数的定义域与对应关系是否一致即可得. 【详解】选项A：和的定义域都是全体实数，对应法则相同，是同一函数； 选项B：的定义域是；要求分母不为0，定义域是，二者定义域不同，不是同一函数； 选项C：，定义域是；的分段表达式即为，定义域也是，定义域和对应法则都相同，是同一函数； 选项D：的定义域满足，即， 化简得：， 与的对应法则不同，不是同一函数. 42．【多选】（2026高一·广西河池·期中）下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于选项A： ∵ 的定义域为，，定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项B： ∵ 的定义域为，化简后为，而的定义域为，二者定义域不同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 对于选项C： ∵ 的定义域为，的定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项D： ∵ ，定义域为；的定义域为，化简后为，二者定义域和对应法则均不相同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 综上，正确选项为A、C. 43．（2026高一·安徽淮北·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，C错误； 对于D，的定义域为，的定义域为，， 所以表示同一函数，D正确. 44．（2026高一·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用相等函数的定义从函数三要素角度分析即可. 【详解】对于A，当为奇数时，， 所以，与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于B，为偶数时，，所以， 与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于C，与都可化为， 且定义域均为，故是同一个函数； 对于D，与的定义域都是， 是关于的二次函数，而是关于的函数， 当时为一次函数，当时为常数函数， 两函数对应关系不相同，故不是同一个函数. 故选：D. 45．（2026高一·天津和平·期中）下列各组函数为同一个函数的是________． ①， ②， ③， ④，且 【答案】③④ 【分析】若为同一个函数，则需要两个函数的三要素，即定义域、值域、对应法则都相等，以此判断即可. 【详解】①的定义域为R，的定义域为，故不是同一个函数； ②的定义域为R，的定义域为，故不是同一个函数； ③ ，且定义域为，值域为， ，且定义域为，值域为， 函数三要素一致，故是同一个函数； ④定义域为，值域为， 定义域为，值域为， 函数三要素一致，故是同一个函数. 故答案为：③④ 考点六 求函数的值域 策略方法 求函数的值域常见的方法有： （1）观察法：对解析式简单变形观察，利用熟知的初等函数的值域，求解； （2）配方法：函数是二次函数，可采用配方法结合图像或单调性求解； （3）分离常数法：反解法，函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，求解； （4）换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域． （5）基本不等式法：通过对解析式变形，利用基本不等式求最值； （6）判别式法：通过对解析式变形，将看成自变量，看成常数，关于的方程有解，利用判别式法求解． 题型训练 （一）一次、二次、反比例函数的值域 46．（2026高一·四川成都·阶段检测）函数，的值域是___________. 【答案】 【分析】根据自变量取值代入计算即可得出结果. 【详解】将分别代入计算可得. 所以函数的值域为. 故答案为： 47．（2026高一·天津滨海新区·期中）已知，则的值域为________． 【答案】 【分析】由二次函数的性质得出值域. 【详解】由，开口向上，对称轴为， 当时，，当时，， 则的值域为. 故答案为：. 48．（2026高一·天津·期中）函数的值域为___________； 【答案】 【分析】根据题意结合二次函数最值分析求解即可. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 所以函数的值域为. 故答案为：. 49．（2.2函数的表示法课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可； （2）利用二次根式的意义求出值域； （3）利用二次函数的性质求出值域； （4）根据不等式性质运算求解即可． 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为． （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为． （3）函数图象的对称轴为， 当时，， 所以函数的值域为． （4）因为，则，可得， 所以在的值域为． （二）根式型值域 50．（2026高一·福建漳州·期中）函数的最大值为________． 【答案】 【详解】由，解得，的定义域为，且. 由柯西不等式得，，当且仅当即时等号成立； ，即的最大值为. 51．（2026高一·河北保定·阶段检测）函数的值域为______. 【答案】 【分析】令，则可得，化简函数解析式，利用二次函数的值域求解即可. 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值，即. 所以其值域为. 52．（2026高一·江苏·阶段检测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，且，设，由得到，将函数两边平方，得到，设，利用二次函数的图像求出的范围，将代入得到，根据的范围求出的范围，根据的范围和求出的范围即可得解. 【详解】，，，， 设，则， 可得， 设，则 ，，，，， ，，，， 的值域为. 故选：C. （三）分式型值域 53．（2026高一·吉林长春·专题练习）函数的值域为_____. 【答案】 【分析】采用分离常数法对函数解析式进行变形，根据其结构特点即可求出值域. 【详解】要使函数有意义，则，所以定义域为. . 因为，所以. 所以函数的值域为. 故答案为：. 54．（2026高一·天津·阶段检测）函数的最小值为________ 【答案】5 【分析】构造基本不等式，利用基本不等式求得函数的最小值即可. 【详解】由题意得函数， 因为，所以. 所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以，且当时，函数取得最小值，最小值为. 故答案为：. 55．（2026高二·云南曲靖·期末）函数的值域为__________． 【答案】 【分析】利用换元法、配方法，结合反比例函数的性质进行求解即可. 【详解】令， 因为函数在上单调递减， 所以，且， 所以函数的值域为. 56．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是______． 【答案】 【分析】根据已知函数的性质，运用换元法化简不等式，结合的值域构造不等式，解不等式求函数的值域． 【详解】令，则，原函数化为：， 整理得即，当时显然不合题意； 当时，， ，即，等价于，解得， 原函数的值域为. 57．（2026高三·全国·一轮复习）分别求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用分离常数法、换元法，以及二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）， ，所以， 故函数的值域为． （2）令（），则， 则（）， 结合二次函数的性质可得，，当时有最大值4， 所以函数的值域为. （3）∵， 则，即原函数值域为， （4）， 因为, 即函数值域为． （四）根据值域求参数 策略方法 1.核心逻辑 已知函数输出范围，反向约束解析式中参数，保证函数最值、边界与值域匹配。 2.解题步骤 (1)用配方法、分离常数法写出函数最值表达式； (2)结合题干给出值域，列等式/不等式； (3)解出参数，回代检验值域是否完全符合。 3.易错提醒 只满足最值，忽略区间端点能否取到。 题型训练 58．（2026高二·黑龙江·期末）已知函数的定义域与值域都为，则实数的值为______ 【答案】 【分析】利用二次函数的定义域即为满足条件的解集，即可判断开口方向和二次函数的零点，从而得到参数的两个关系式，再利用值域中的最大值，即为二次函数的最大值开方，则再得到一个相等关系，从而利用消元法，即可解得参数. 【详解】由于的值域为，所以， 的定义域为，则方程的两根为， 所以， 则抛物线的对称轴为 ， 故答案为：. 59．【多选】（2026高一·四川绵阳·期末）若，函数的值域是，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ABD 【分析】根据二次函数的值域性质，结合基本不等式逐一判断即可. 【详解】当时，，显然此时函数的值域不是，不符合题意； 当时，，对称轴为， 因为二次函数的值域是，且， 所以有，因此选项AB正确， 若且，所以由二次函数的对称性可得， 因此选项C不正确； 由，因为，当且仅当时取等号， 所以选项D正确， 故选：ABD 60．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数的值域是，则______，______． 【答案】 3 【分析】首先将函数变形为，这个方程组有解，则判别式大于0，再由韦达定理即可求的结果. 【详解】将函数变形为． 当时，这个关于x的方程有解， 则，即． 由题设知，是方程的两个根， 根据韦达定理，得，， 解得，． 当时，，也满足题意． 故答案为：   61．（2026高一·上海·阶段检测）已知，若函数的值域为，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出函数值域包含的范围即可. 【详解】由函数的值域为，得函数值域包含， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 62．（2026高一·福建福州·阶段检测）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二次函数知识及题意画出图形，数形结合可得答案． 【详解】结合题意：函数 所以图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为， 所以，易知：， 由图可知,要使函数的定义域是，值域为， 则的取值范围是， 故选：B. （五）根据值域求定义域 策略方法 1.核心逻辑 令函数等于值域边界，解出自变量，划分区间筛选符合条件的。 2.解题步骤 (1)设（值域上下界），解对应方程； (2)结合函数单调性划分区间，判断哪些能让函数落在指定值域； (3)取所有符合条件的集合，写出定义域。 3.易错提醒 解方程后不分段验证，多取不符合值域的自变量。 题型训练 63．已知函数的值域为，则的定义域不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的值域为结合二次函数的对称性可求出相应的定义域. 【详解】令，解得，令，解得， 由函数的图象关于轴对称的性质，得的定义域可能为，或，则BCD可能； 而，的定义域不可能是，A不可能. 故选：A 64．【多选】（2026高一·广东深圳·期中）已知定义域为D的函数其值域为，则定义域D可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先作出函数图象；再利用数形结合思想，注意区间端点，即可得出答案. 【详解】先作出函数在R上的图象，如图所示：    结合函数图象可知当函数值域为时，选项A、D正确. 故选：AD. 65．【多选】（2026高一·广东广州·期中）已知函数的值域是，则它的定义域可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对四个选项依次求解相应的值域，得到答案. 【详解】A选项，当时，，故，A错误； B选项，当时，，故，B正确； C选项，当时，，故，C正确； D选项，当时，，故，D正确. 故选：BCD 66．（2026高三·福建厦门·阶段检测）若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论解不等式即可. 【详解】由函数的值域是， 所以当时，， 当时， 即，解得， 所以函数的定义域为：， 故选：D $