专题30 一元一次不等式组（题型专练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以11类题型构建“定义-表示-求解-应用”完整知识链，每题型配套“典例+3变式”及四步解题法，强化推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义与表示|1+3|定义辨析/数轴表示法|概念生成→直观表达| |求解与整数解|1+3|三步解法/数轴标整法|解法掌握→解集应用| |参数与综合|7+21|四步参数法/错解复原/程序转化|基础拓展→跨知识综合|

专题30 一元一次不等式组 （题型突破·举一反三） 题型01 一元一次不等式组的定义 题型02 利用数轴表示不等式组的解集 题型03 解一元一次不等式组 题型04 一元一次不等式组的整数解 题型05 错解复原问题 题型06 新定义问题 题型07 由不等式组的解集求参数 题型08 由不等式组的整数解求参数 题型09 程序问题 题型10 不等式有解、无解问题 题型11 不等式组与方程组结合问题 ▌题型01 一元一次不等式组的定义 把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 【典例1】（2025春•武威期末）下列不是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一元一次不等式组的定义进行解答． 【解答】解：A、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； B、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； C、该不等式组中含有2个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项符合题意； D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； 故选：C． 【变式1-1】下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次不等式组的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据一元一次不等式组的定义逐一判断即可． 【解答】解：根据一元一次不等式组的定义可知①②⑥是一元一次不等式组． 故选：C． 【变式1-2】（2025春•城关区校级月考）下列各式是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一元一次不等式组的定义逐项判断即可． 【解答】解：根据一元一次不等式组的定义逐项判断如下： A、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； B、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； C、是一元一次不等式组，故该选项符合题意； D、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-3】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是　③④⑤　 ．（填序号） ①； ②； ③； ④﹣4x≤x＜5； ⑤； ⑥． 【分析】几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组，据此进行判断即可． 【解答】解：①中含有两个未知数，它不是一元一次不等式组； ②中x的最高次数为2，它不是一元一次不等式组； ③符合一元一次不等式组的定义，它是一元一次不等式组； ④符合一元一次不等式组的定义，它是一元一次不等式组； ⑤符合一元一次不等式组的定义，它是一元一次不等式组； ⑥中不是整式，它不是一元一次不等式组； 综上，③④⑤是一元一次不等式组， 故答案为：③④⑤． ▌题型02 利用数轴表示不等式组的解集 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的情况 【典例1】（2026春•青岛校级期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【解答】解：原式为：， ∵计算①得：x＜2，计算②得：x≥﹣1， ∴﹣1≤x＜2． 在数轴上表示为：﹣1处为实心点向右，2处为空心圈向左，取中间部分．观察选项，A符合． 故选：A． 【变式1-1】（2026春•武侯区校级期中）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，得到各自解集．再取两个解集的公共部分，对照数轴选出对应选项． 【解答】解：， 解不等式①得，x≤3， 解不等式②得，x＞2， ∴不等式组的解集为：2＜x≤3． 把不等式组的解集在数轴上表示，如图所示： 故选：B． 【变式1-2】（2026春•潜山市月考）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先解出不等式组的解集，将解集表示到数轴上，做出选择即可． 【解答】解：解不等式x+2＞0得：x＞﹣2， ∴原不等式组的解集为：﹣2＜x≤3， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选：A． 【变式1-3】（2026春•亳州期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先分别求解不等式组里的两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分得到不等式组解集，最后根据“大于用空心向右、小于等于用实心向左”在数轴上表示该解集即可． 【解答】解：， 解不等式①得：x＞﹣2， 解不等式②得：x≤1， ∴﹣2＜x≤1， 在数轴上表示为： 故选：A． ▌题型03 解一元一次不等式组 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集； （2）把各个不等式的解集在数轴上表示出来； （3）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集，如果各个不等式的解集没有公共部分，那么说这个一元一次不等式组无解. 【典例1】（2026春•富平县期末）解不等式组：，并将解集在如图所示的数轴上表示出来． 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤解答即可． 【解答】解：解不等式4（x﹣2）＜3x﹣4得：x＜4， 解不等式得：x≥﹣1， ∴原不等式组的解集为﹣1≤x＜4， 数轴表示如下： 【变式1-1】（2026•海淀区校级模拟）解不等式组：． 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【解答】解：， 解不等式3（x﹣1）≤4+2x，得x≤7， 解不等式2x，得x＞﹣1， ∴不等式组的解集为﹣1＜x≤7． 【变式1-2】（2026春•蒲城县期末）解不等式组，并在如图所示的数轴上表示其解集． 【分析】分别根据不等式的性质解两个不等式，找到这两个解集的公共部分，即为不等式组的解集，并在数轴上表示不等式组的解集即可． 【解答】解： 解不等式①，得：x＞﹣4， 解不等式②，得：x≤1， ∴原不等式组的解集为﹣4＜x≤1， 其解集在数轴上表示如下， ． 【变式1-3】（2026春•惠州期末）解不等式组及方程组： （1）解不等式组：． （2）解方程组：． 【分析】（1）根据解一元一次不等式组的步骤解答即可； （2）根据解一元一次不等式组的步骤解答即可． 【解答】解：（1）． 解不等式①，得x≥2， 解不等式②，得x＜4， ∴不等式组的解集为：2≤x＜4； （2）． ①×2+②×5得19x＝74， 解得x， 将x代入①得25y＝7， 解得y， ∴方程组的解为：． ▌题型04 一元一次不等式组的整数解 （1）先求范围：准确求解不等式组，得到未知数的取值范围（公共解集）。 （2）再取整数：在公共解集范围内，找出所有满足条件的整数。 （3）数轴标整：在数轴上标出解集后，直接圈出范围内的整数点，直观且不易遗漏。 （4）端点判断：注意端点是否包含（>或<含等号，>或<不含)，决定该端点整数是否可取。 【典例1】（2026春•浦东新区校级期末）解不等式组，并写出该不等式组的所有整数解． 【分析】分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到解集后取公共部分，再从中找出整数解． 【解答】解：， 解不等式5x﹣1＞3（x+3）得：x＞5， 解不等式得：x≤8， ∴不等式组解集：5＜x≤8， ∴原不等式组的所有整数解：6，7，8． 【变式1-1】（2026•张掖校级三模）解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分得不等式组的解集，最后求出正整数解即可． 【解答】解：解不等式1得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为：， 则原不等式组的正整数解为1，2，3． 【变式1-2】（2026春•广元期末）解不等式组，把该不等式组的解集在数轴上表示出来，并求出它的所有整数解的和． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式2x+1≤3x+3得：x≥﹣2， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， 数轴表示如下： ∴不等式组的整数解有﹣2、﹣1、0、1，和为﹣2﹣1+0+1＝﹣2． 【变式1-3】（2026•信都区校级模拟）不等式组，请按下列步骤完成解答．（1）解不等式3x﹣6＜5x﹣1，并在图中所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在图中所给的数轴上表示其解集； （3）不等式组的解集是　　 ； （4）不等式组的最小负整数解是　﹣2　 ． 【分析】（1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可； （2）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可； （3）根据（1）（2）所求在数轴上表示出对应的解集即可； （4）由不等式组的解集可得，最小负整数解，进行解答，即可． 【解答】解：（1）3x﹣6＜5x﹣1， 移项可得：3x﹣5x＜﹣1+6， 合并同类项得：﹣2x＜5， 系数化为1得：； 解集在数轴上表示： （2）， 移项可得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：x≤1． 解集在数轴上表示： （3）不等式组的解集为：． 故答案为：． （4）由解集可得，不等式组的最小负整数解为：﹣2． 故答案为：﹣2． ▌题型05 错解复原问题 （1）错解定位：分别检查每个不等式的求解过程，找出系数化1漏变号、移项忘变号等具体错误点； （2）公共部分复核：将正确的不等式解集在数轴上表示，重新确定公共部分，对比错误解集找出失误； （3） 分步检验：先单独验证每个不等式的解集是否正确，再验证公共部分取法是否正确； （4）代入验证：取错误解集中一个数值代入原不等式组，若不符合某个不等式，则说明该不等式求解有误。 【典例1】（2026•金凤区校级二模）请你阅读解题过程并完成相应任务．解不等式组：． 下面是某同学解不等式①的过程： 解：去括号，得x﹣3x+3≥5…第一步， 移项，得x﹣3x≥5﹣3…第二步， 合并同类项，得﹣2x≥2…第三步， 系数化为1，得x≥﹣1…第四步． （1）该同学的解答过程中第　四　 步出现了错误，错误原因是　不等式两边同时除以负数，不等号的方向没有改变，　 ；不等式①的正确解集是x≤﹣1　 ； （2）解不等式②，并求出不等式组的解集． 【分析】（1）观察解答过程可得答案； （2）根据解不等式的一般步骤求出不等式②的解集，再求不等式组的解集即可． 【解答】解：（1）观察解答过程知，该同学的解答过程中第四步出现了错误，错误原因是不等式两边同时除以负数，不等号的方向没有改变，不等式①的正确解集是x≤﹣1； 故答案为：四；不等式两边同时除以负数，不等号的方向没有改变；x≤﹣1； （2）去分母得：2（x﹣3）﹣10＜5（x+1）， 去括号得：2x﹣6﹣10＜5x+5， 移项得：2x﹣5x＜5+6+10， 合并同类项得：﹣3x＜21， 两边同时除以﹣3得：x＞﹣7， ∴不等式②的解集为x＞﹣7； ∴不等式组的解集为﹣7＜x≤﹣1． 【变式1-1】（2026•丛台区校级模拟）以下为小颖在解不等式组时草稿纸上演草的过程： 解不等式②，2（2x+2）≤3x+1…第一步 4x+4≤3x+1…第二步 4x﹣3x≤1﹣4…第三步 x≤﹣3…第四步 （1）小颖发现不等式②解的不对，请指出是第 　一　 步开始出现错误； （2）请你完成本题的解答： 解：解不等式①，得 x＞﹣2　 ， 解不等式②，得 x≤2　 ， 在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示； 所以原不等式组的解集为 　﹣2＜x≤2　 ． 【分析】（1）根据题目中的解答过程可知第一步出错了； （2）先求出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集． 【解答】解：（1）由题目中的解答过程可知， 第一步开始出现错误，理由是等号右边的1没有乘6， 故答案为：一； （2）解不等式①，得x＞﹣2， 解不等式②，得x≤2， 在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示； 所以原不等式组的解集为﹣2＜x≤2． 故答案为：x＞﹣2；x≤2；﹣2＜x≤2． 【变式1-2】（2026春•惠州期末）以下是乐乐解不等式组的部分过程． 解不等式①得，x﹣2x＜2．第一步 x＜﹣2．第二步 解不等式②得，2（2x+2）≤3x+1．第三步 4x+4≤3x+1．第四步 4x﹣3x≤1﹣4．第五步 x≤﹣3．第六步 … （1）填空：乐乐解不等式①从第　二　 步开始出现错误；解不等式②从第　三　 步开始出现错误； （2）请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 【分析】（1）根据不等式的性质即可判断； （2）根据解不等式组的步骤即可求解，再把解集表示在数轴上即可． 【解答】解：（1）解：乐乐解不等式①，第 二步两边同时除以负数，不等号方向未改变， ∴从第二步开始出现错误； 解不等式②，第三步去分母，1漏乘了6， ∴从第三步开始出现错误． 故答案为：二；三； （2）解不等式①，得x＞﹣2， 解不等式②，得x≤2， ∴不等式组的解集为﹣2＜x≤2， 在数轴上表示不等式组解集为： ． 【变式1-3】（2026•蓬江区校级二模）下面是小林同学解不等式组的部分过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：解不等式①：去分母，得10﹣x≥3x﹣6…第一步 移项，得﹣x﹣3x≥﹣6﹣10…第二步 合并同类项，得﹣4x≥﹣16…第三步 两边都除以﹣4，得x≥4．…第四步 任务一：上述解不等式①的过程中，第　四　 步出现了错误，其原因是　不等式两边都除以﹣4，不等号的方向应该改变　 ； 任务二：请写出解这个不等式组的正确的完整解答过程，并将不等式组的解集在数轴上表示出来． 【分析】本题考查解一元一次不等式组，掌握解法是解决问题的关键．任务一第四步错误，不等式两边都除以﹣4，不等号的方向应该改变；任务二先求出每个不等式的解集，再找出解集的公共部分，然后在数轴上画出不等式组的解集即可． 【解答】解：任务一： 第四步错误，不等式两边都除以﹣4，不等号的方向应该改变； 故答案为：四，不等式两边都除以﹣4，不等号的方向应该改变， 故答案为：四；不等式两边都除以﹣4，不等号的方向应该改变； 任务二： ， 解不等式①：x≤4， 解不等式②：得x＞1， ∴不等式组的解集为1＜x≤4， 不等式组的解集在数轴上的表示如图所示： ． ▌题型06 新定义问题 （1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运算； （2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新； （3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的； （4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常算就行。 【典例1】（2026春•龙口市期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程2x﹣3＝1与不等式x+3＞0，方程的解为x＝2，使得不等式也成立，则称“x＝2”为方程2x﹣3＝1和不等式x+3＞0的“梦想解”． （1）x＝﹣1是方程2x+3＝1和下列不等式　③　 的“梦想解”；（填序号） ①，②2（x+3）＜4，③． （2）若关于x，y的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且m为整数，求m的值． 【分析】（1）依据题意，根据“梦想解”的意义逐个计算可以得解； （2）依据题意，解方程组得，结合二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，从而是不等式组的解，可得，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，①∵x， ∴x＞1，故①不合题意； ②2（x+3）＜4， ∴2x＜﹣2， ∴x＜﹣1，故②不合题意； ③∵， ∴x﹣1＜6， ∴x＜7，故③符合题意． 故答案为：③； （2）由题意，解方程组得， ∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， ∴是不等式组的解， ∴， ∴﹣6＜m＜﹣3， ∵m为整数， ∴m＝﹣5或﹣4 【变式1-1】（2026春•广元期末）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程3x﹣6＝0的解是x＝2，同时x＝2也是不等式2x+5＞0的解，则方程3x﹣6＝0的解x＝2是不等式2x+5＞0的“内含解”． （1）判断方程4x+5＝x﹣1的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； （2）若关于x的方程x﹣m＝0的解是不等式组的“内含解”．且该不等式组恰好有3个整数解，求m的取值范围． 【分析】（1）先得出方程的解和不等式的解集，然后根据“内含解”的定义进行判断即可； （2）先得出方程和不等式组的解分别为x＝m，，然后根据题意可得，，进而求解即可． 【解答】解：（1）不是，理由： 解方程4x+5＝x﹣1得：x＝﹣2， 解不等式得：x＞2， ∴x＝﹣2不在x＞2范围内， ∴方程4x+5＝x﹣1的解不是不等式的“内含解”； （2）， 由①可得：x＞﹣1， 由②可得：， ∴不等式组的解集为， ∵该不等式组恰好有3个整数解，且该3个整数解分别为0，1，2， ∴， 解得：﹣2≤m＜1， 由方程x﹣m＝0可得x＝m，且方程x﹣m＝0的解是不等式组的“内含解”， ∴， 解得：﹣1＜m≤4， 综上所述：m的取值范围为﹣1＜m＜1． 【变式1-2】（2026春•赣榆区校级月考）对x，y定义一种新运算，规定：θ（x，y）＝2ax﹣by+1（其中a，b均为非零常数）．例如：θ（2，1）＝2a×2﹣b×1+1＝4a﹣b+1． （1）已知θ（﹣1，1）＝﹣2，θ（3，﹣1）＝12． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2026个整数解，求实数p的取值范围； （2）若不论m，n取何值时，θ（n﹣m，3m+2）+n的值都是一个定值，请求出该定值． 【分析】（1）①根据题意可得方程组，求解方程组即可； ②将①中a、b代入可得θ（x，y）＝4x+y+1，求解不等式组可得3≤m＜2p﹣3，再由不等式组恰好有2026个整数解，2028＜2p﹣3≤2029，求出p的范围即可； （2）由题可得θ（n﹣m，3m+2）＝（2a+1）n﹣（2a+3b）m﹣2b+1，则2a+1＝0，2a+3b＝0，求出a，b，即可求定值为． 【解答】解：（1）①∵θ（x，y）＝2ax﹣by+1， ∴， 解得； ②∵a＝2，b＝﹣1， ∴θ（x，y）＝4x+y+1， ∴， 解得3≤m＜2p﹣3， ∵不等式组恰好有2026个整数解， ∴2028＜2p﹣3≤2029， 解得p≤1016； （2）θ（n﹣m，3m+2）＝2a（n﹣m）﹣b（3m+2）+1＝（2a+1）n﹣（2a+3b）m﹣2b+1， ∵不论m，n取何值时，θ（n﹣m，3m+2）+n的值都是一个定值， ∴2a+1＝0，2a+3b＝0， 解得a，b， ∴定值为． 【变式1-3】（2026春•金湾区期末）阅读与思考 [新定义] 我们把非负实数a“四舍五入”到个位的值记为[a]，其规则定义如下：当n为非负整数时，若n﹣0.5≤a＜n+0.5，则[a]＝n；反之，若[a]＝n，则n﹣0.5≤a＜n+0.5． 例如：[0]＝[0.2]＝0，[3]＝3，[11.6]＝[12.4]＝12． [问题解决] （1）填空：[1.9]＝　2　 ，[π]＝　3　 ； （2）若[x+2]＝5，求x的取值范围； （3）在关于x，y的方程组中，若x，y满足，求[m]的值； （4）下列结论正确的有：　③　 ．（a，b均为非负实数） ①[2a]＝2[a]； ②[a+b]＝[a]+[b]； ③[2026a+1]＝[2026a]+1． 【分析】（1）直接根据新定义即可得出结果； （2）根据新定义，列出不等式组，进行求解即可； （3）根据方程组的解的情况，求出m的取值范围，再根据新定义，即可得出结果； （4）根据新定义，逐一进行判断即可． 【解答】解：（1）直接根据新定义可得： [1.9]＝2，[π]＝3； 故答案为：2，3； （2）根据新定义，列出不等式组可得： 5﹣0.5≤x+2＜5+0.5， ∴4.5≤x+2＜5.5， ∴2.5≤x＜3.5． （3）， ①﹣②得y﹣x＝m﹣2， ∵， ∴， ∴， ∴[m]＝4； （4）根据新定义，逐一进行判断如下： ①当a＝1.6时， ∵[2a]＝[3.2]＝3，[a]＝2， ∴2[a]＝4， ∴[2a]≠2[a]，故①错误； ②当a＝3.6，b＝3.7时， ∵[a+b]＝[7.3]＝7，[a]+[b]＝4+4＝8， ∴[a+b]≠[a]+[b]，故②错误； ③令[2026a]＝n，则有n﹣0.5≤2026a＜n+0.5， ∴n﹣0.5+1≤2026a+1＜n+0.5+1， ∴（n+1）﹣0.5≤2026a+1＜（n+1）+0.5， ∴[2026a+1]＝n+1， 即[2026a+1]＝[2026a]+1，故③正确． 故答案为：③． ▌题型07 由不等式组的解集求参数 （1） 解表参数：将不等式组的解集用含参数的代数式表示（如x>a、x≤b)； （2）对比定参：根据已知解集或解集特征（如无解、整数解个数），建立关于参数的不等式（组）求解； （3）数轴分析：在数轴上标出已知解集范围，反向推断参数所在位置，直观建立不等关系； （4）端点取舍：涉及“>”“<”时，需单独讨论端点能否取等，通过代入验证确定。 【典例1】（2026春•榆林期末）若关于x的不等式组的解集是x＜4，则m的取值范围为（　　） A．m≥9 B．m≥4 C．m≤9 D．m＞4 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤解答即可． 【解答】解：解3x﹣2＜10得：x＜4． 解x+5＜m得：x＜m﹣5． ∵不等式组的解集是x＜4， ∴m﹣5≥4， 解得m≥9． 故选：A． 【变式1-1】（2026春•利津县期末）不等式组解集为x≤6，则n取值范围是（　　） A．n≥6 B．n≤6 C．n＜6 D．n＞6 【分析】解第一个不等式得出其解集，再根据题意求得n的取值范围即可． 【解答】解：解第一个不等式得：x≤6， ∵原不等式组的解集为x≤6， ∴n＞6， 故选：D． 【变式1-2】（2026春•朝阳区校级期末）若关于x的不等式组的解集为1＜x＜2，则a+b的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到含a，b的解集，再对照已知解集求出a，b的值，最后计算a+b即可． 【解答】解：由可得， ∵不等式组的解集为1＜x＜2， ∴3﹣a＝2，1， 解得a＝1，b＝2， ∴a+b＝1+2＝3， 故选：C． 【变式1-3】（2026春•临潼区校级期末）关于x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】先分别求解两个不等式，再根据一元一次不等式组“同大取大”的解集确定规则，得到关于m的不等式，解出m的范围即可选出正确选项． 【解答】解：， 解不等式3（x﹣2）＞0，得x＞2， 解不等式x+2＞3m，得x＞3m﹣2， ∵由图可知，不等式组的解集为x＞2， ∴3m﹣2≤2， 解得． 故选：D． ▌题型08 由不等式组的整数解求参数 （1） 解不等式组； （2）根据整数解个数，画出数轴定区间，先在数轴上标出所有满足条件的整数，再确定参数所在区间的大致范围； （3）列不等式组锁定参数范围； （4）单独验证端点等号。 【典例1】（2026春•自贡期末）若关于x的不等式组恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．25 B．26 C．27 D．28 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再根据恰好只有2个整数解确定a的取值范围，找出范围内所有整数a，计算其和即可得到结果． 【解答】解：， 解不等式x﹣3＜0得x＜3， 解不等式3x+5＞a﹣x得， ∴不等式组的解集为， ∴这2个整数解为1，2， ∴， ∴5≤a＜9， ∴满足条件的整数a为5、6、7、8，整数a的和为5+6+7+8＝26． 故选：B． 【变式1-1】（2026春•青岛校级期中）若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围为（　　） A．2＜a＜3 B．2≤a＜3 C．1＜a＜3 D．1＜a≤2 【分析】先将两个不等式解出结合即可． 【解答】解：解不等式x+a＜3，得：x＜3﹣a， 解不等式3﹣2x≤7，得：x≥﹣2， ∴﹣2≤x＜3﹣a， ∴这3个整数解为﹣2，﹣1，0， ∴0＜3﹣a≤1， 由3﹣a＞0，得：a＜3， 由3﹣a≤1，得：a≥2， ∴a的范围为：2≤a＜3． 故选：B． 【变式1-2】（2026春•惠州期末）已知关于x的不等式组有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A．10＜a＜14 B．10≤a＜14 C．10＜a≤14 D．10≤a≤14 【分析】解不等式组得到，根据“有且仅有三个正整数解”确定正整数解为1、2、3，进而列出关于a的不等式；再解该不等式，得到a的取值范围． 【解答】解：， 由①得8x＜4+2a， ∴， 由②得：x≥1， ∴不等式组的解集为：， ∵关于x的不等式组有且仅有三个正整数解， ∴正整数解为 1，2，3． ∴， 由 ，得 12＜a+2，即 a＞10； 由 ，得 16≥a+2，即 a≤14． ∴10＜a≤14． 故选：C． 【变式1-3】（2026春•浠水县期末）如果关于x的不等式组有且只有三个整数解，且关于x的方程1+a＝3x有整数解，那么符合条件的所有整数a的和为（　　） A．﹣5 B．﹣6 C．﹣10 D．﹣11 【分析】先根据不等式组整数解的个数确定a的取值范围，再根据方程的解为整数找出符合条件的整数a，最后计算和即可． 【解答】解：∵不等式组有且只有三个整数解， ∴三个整数解为﹣3，﹣2，﹣1， 可得， 不等式两边同乘5得： ﹣5≤3+a＜0， 解得﹣8≤a＜﹣3， ∵方程1+a＝3x有整数解， ∴为整数，即1+a是3的倍数， 在﹣8≤a＜﹣3的整数中，符合条件的a为﹣7和﹣4， ∴符合条件的所有整数a的和为﹣7+（﹣4）＝﹣11． 故选：D． ▌题型09 程序问题 （1）翻译程序：写出“输入→输出”的表达式； （2）列不等式； （3）解一元一次不等式； （4）结合题意写答案。 【典例1】（2026春•芜湖校级期末）如图，七年级（1）班数学学习兴趣小组的同学们设计了一个计算机程序，规定从“输入一个值x”到判断“结果是否≥17”为一次运行过程．如果程序运行两次就停止，那么x的取值范围是（　　） A．x≥6 B． C． D．x＜6 【分析】根据程序运行两次就停止可得第一次输入x，其结果＜17；第二次输入（3x﹣1），其结果≥17，据此建立一个关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可． 【解答】解：由题意得：第一次输入x，其结果＜17；第二次输入（3x﹣1），其结果≥17， 即， 解得， 故选：C． 【变式1-1】（2026春•姜堰区校级月考）如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则x的取值范围为　4≤x＜8　 ． 【分析】由运算流程，结合题意可得关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可． 【解答】解：第一次运算结果为3x﹣4， 第二次运算结果为（3x﹣4）×3﹣4＝9x﹣16， 根据题意可得， 解得4≤x＜8， 故答案为：4≤x＜8． 【变式1-2】（2026春•衡水校级期末）在信息技术课上，王丽同学设计了如下运算程序： 按上述程序运行到“结果是否≥55”时，称为一次“操作”． （1）若一次“操作”就输出结果，求x的最小值； （2）若x＝5，则输出结果是　109　 ； （3）若三次“操作”才输出结果，求x的取值范围． 【分析】（1）根据程序框图列式为3x﹣2≥55，解不等式并确定其最小值即可； （2）根据程序框图列式计算，直至结果不小于55即可； （3）根据程序框图列得不等式组为，解不等式组即可． 【解答】解：（1）∵一次“操作”就输出结果， ∴3x﹣2≥55， 解得：x≥19， 则x的最小值为19； （2）若x＝5， 则3×5﹣2＝13＜55，返回继续运算， 3×13﹣2＝37＜55，返回继续运算， 3×37﹣2＝109＞55，输出结果， 故答案为：109； （3）∵三次“操作”才输出结果， ∴， 解得：3≤x＜7． 【变式1-3】（2026春•临潼区校级期末）编程课上，小宇设计了一个如图所示的运算程序图，按照程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于19”为一次运行． （1）若该程序只运行了1次就停止了，求x的取值范围； （2）若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围． 【分析】（1）根据题意可得不等式2x﹣3＞19，解不等式即可得到答案； （2）根据题意可得不等式组，解不等式组即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意得，2x﹣3＞19， 解得x＞11； （2）若该程序只运行了2次就停止了， 由题意得，， 解不等式①得x≤11， 解不等式②得x＞7， ∴原不等式组的解集为7＜x≤11， ∴x的取值范围为7＜x≤11． ▌题型10 不等式有解、无解问题 （1）解不等式组； （2）对比大小，列关系式 大于号的上界 ＜ 小于号的下界 ⇒ 有解 大于号的上界 ≥ 小于号的下界 ⇒ 无解； （3）单独验证端点等号； （4）写出参数范围。 【典例1】（2026春•广元期末）已知关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是（　　） A．m≤6 B．m＞6 C．m＜6 D．m≥6 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，依据口诀：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”即可得出答案． 【解答】解：由不等式组可得， ∵不等式组无解， ∴m≤6， 故选：A． 【变式1-1】（2026春•巴中期末）若不等式组有解，则实数a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a＜1 C．a≤1 D．a≥1 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组有解即两个解集存在公共部分，列出关于a的不等式即可求解． 【解答】解： 解2x﹣3＞5得：x＞4； 解得：x≤a+3； ∵不等式组有解，即两个解集存在公共部分， ∴4＜a+3，解得a＞1． 故选：A． 【变式1-2】（2026春•张家川县校级期末）若不等式组有解，则a的取值范围是（　　） A．a＞﹣1 B．a≥﹣1 C．a＜1 D．a≤1 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找并结合不等式组的解集可得答案． 【解答】解：解不等式x﹣a＜0，得：x＜a， 解不等式1﹣2x＜2﹣x，得：x＞﹣1， ∵不等式组有解， ∴﹣1＜x＜a， ∴a＞﹣1， 故选：A． 【变式1-3】（2026春•淮南期末）已知关于x的不等式组（其中a是常数）． （1）若该不等式组无解，则a的最小值是　4　 ； （2）若该不等式组所有整数解的和是9，则a的取值范围是　1＜a≤2或﹣6＜a≤﹣5　 ． 【分析】（1）先求出不等式组中两个不等式的解集，由不等式组无解得到a+2≥6，即可求解； （2）根据题意确定不等式组的整数解为5，4或5，4，3，2，1，0，﹣1，﹣2，﹣3， 然后得到不等式组3＜a+2≤4或﹣4＜a+2≤﹣3，求解即可． 【解答】解：（1）由﹣x+6＞0，解得x＜6， 若该不等式组无解，则a+2≥6， 解得a≥4， 即a的最小值是4； 故答案为：4； （2）由（1）知a+2≤x＜6， 若该不等式组所有整数解的和是9， 则其整数解为5，4或5，4，3，2，1，0，﹣1，﹣2，﹣3， 得3＜a+2≤4或﹣4＜a+2≤﹣3， 解得：1＜a≤2或﹣6＜a≤﹣5． 故答案为：1＜a≤2或﹣6＜a≤﹣5． ▌题型11 不等式组与方程组结合问题 （1） 解表参数：先将方程组用参数表示解； （2）转化为不等式组：根据解的范围或整数解条件，建立关于参数的不等式组求解； （3）代入消参：将解表达式直接代入不等关系，转化为只含参数的不等式； （4）数轴定范围：解出参数范围后，结合数轴和实际问题筛选最终值。 【典例1】（2026春•朝阳区校级月考）已知关于x、y的方程组的解为正数． （1）求m的取值范围； （2）化简|3m+2|﹣|m﹣5|﹣2（2m﹣4）． 【分析】（1）根据题意，得出关于m的不等式组，据此进行求解即可； （2）结合绝对值的性质进行计算即可． 【解答】解：（1）由得， ． 因为该方程组的解为正数， 所以， 解得； （2）因为， 则3m+2＞0，m﹣5＜0， 所以|3m+2|﹣|m﹣5|﹣2（2m﹣4）＝3m+2﹣（﹣m+5）﹣2（2m﹣4）＝3m+2+m﹣5﹣4m+8＝5． 【变式1-1】（2026春•科左后旗期末）已知关于x，y的方程组的解中x≤0，y＜0． （1）a的取值范围为　﹣2＜a≤3　 ． （2）化简：|a+2|+|3﹣a|． （3）在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式2ax+x＞2a+1的解集为x＜1？ 【分析】（1）把a看作已知数表示出方程组的解，根据x≤0，y＜0，求出a的范围即可； （2）根据（1）中的取值可解答； （3）先根据不等式的基本性质求出a的取值范围，再结合（1）中a的取值范围即可得到整数a的值． 【解答】解：（1）解方程组得， ∵x≤0，y＜0， ∴， 解不等式①，得a≤3， 解不等式②，得a＞﹣2， ∴不等式组的解集为﹣2＜a≤3，即a的取值范围为﹣2＜a≤3； 故答案为：﹣2＜a≤3； （2）由（1）可知，﹣2＜a≤3， ∴a+2＞0，3﹣a≥0， ∴原式＝a+2+3﹣a＝5； （3）原不等式变形可得（2a+1）x＞2a+1． ∵不等式的解集为x＜1， ∴2a+1＜0， 解得， 又∵﹣2＜a≤3， ∴， ∵a为整数， ∴a＝﹣1． ∴当a＝﹣1时，不等式2ax+x＞2a+1的解集为x＜1． 【变式1-2】（2026春•牡丹江期末）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． （1）求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式（2m+1）x﹣2m＜1的解为x＞1．求整数m的值． 【分析】（1）加减消元法解二元一次方程组得，由题意得，，然后解一元一次不等式组即可； （2）根据不等式的性质可知，2m+1＜0，然后求解作答即可． 【解答】解：（1）， ①+②得，2x＝﹣6+2m， 解得，x＝﹣3+m， 将x＝﹣3+m代入①得，﹣3+m+y＝﹣7﹣m， 解得，y＝﹣4﹣2m， ∴， ∵x为非正数，y为负数， ∴， 解③得，m≤3； 解④得，m＞﹣2； ∴m的取值范围为﹣2＜m≤3； （2）∵（2m+1）x﹣2m＜1， ∴（2m+1）x＜2m+1， ∵不等式的解为x＞1， ∴2m+1＜0，即， ∴m的取值为． ∵m为整数， ∴m＝﹣1． 【变式1-3】（2026春•九台区期末）已知关于x、y的方程组，若x的值为非负数，y的值为正数． （1）求m的取值范围； （2）在m的取值范围内，当m为何负整数时，不等式mx+x＜m+1的解集为x＞1，求m的值． 【分析】（1）先求出方程组的解，根据x的值为非负数和y的值为正数得出，求出m的范围即可； （2）不等式变为（m+1）x＜m+1，根据不等式的解集为x＞1求出m+1＜0，即可求出m的范围是﹣2≤m＜﹣1，再求出负整数m即可． 【解答】解：（1）解方程组得：， ∵x的值为非负数，y的值为正数， ∴， 解得：﹣2≤m， 即m的取值范围是：﹣2≤m； （2）mx+x＜m+1， （m+1）x＜m+1， ∵不等式mx+x＜m+1的解为x＞1， ∴m+1＜0， ∴m＜﹣1， ∵﹣2≤m， ∴﹣2≤m＜﹣1， ∵m为负整数， ∴m＝﹣2． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题30 一元一次不等式组 （题型突破·举一反三） ▌题型01 一元一次不等式组的定义 【典例1】C． 【变式1-1】C． 【变式1-2】C． 【变式1-3】③④⑤． ▌题型02 利用数轴表示不等式组的解集 【典例1】A． 【变式1-1】B． 【变式1-2】A． 【变式1-3】A． ▌题型03 解一元一次不等式组 【典例1】 【解答】解：解不等式4（x﹣2）＜3x﹣4得：x＜4， 解不等式得：x≥﹣1， ∴原不等式组的解集为﹣1≤x＜4， 数轴表示如下： 【变式1-1】 【解答】解：， 解不等式3（x﹣1）≤4+2x，得x≤7， 解不等式2x，得x＞﹣1， ∴不等式组的解集为﹣1＜x≤7． 【变式1-2】 【解答】解： 解不等式①，得：x＞﹣4， 解不等式②，得：x≤1， ∴原不等式组的解集为﹣4＜x≤1， 其解集在数轴上表示如下， ． 【变式1-3】 【解答】解：（1）． 解不等式①，得x≥2， 解不等式②，得x＜4， ∴不等式组的解集为：2≤x＜4； （2）． ①×2+②×5得19x＝74， 解得x， 将x代入①得25y＝7， 解得y， ∴方程组的解为：． ▌题型04 一元一次不等式组的整数解 【典例1】 【解答】解：， 解不等式5x﹣1＞3（x+3）得：x＞5， 解不等式得：x≤8， ∴不等式组解集：5＜x≤8， ∴原不等式组的所有整数解：6，7，8． 【变式1-1】 【解答】解：解不等式1得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为：， 则原不等式组的正整数解为1，2，3． 【变式1-2】 【解答】解：解不等式2x+1≤3x+3得：x≥﹣2， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， 数轴表示如下： ∴不等式组的整数解有﹣2、﹣1、0、1，和为﹣2﹣1+0+1＝﹣2． 【变式1-3】 【解答】解：（1）3x﹣6＜5x﹣1， 移项可得：3x﹣5x＜﹣1+6， 合并同类项得：﹣2x＜5， 系数化为1得：； 解集在数轴上表示： （2）， 移项可得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：x≤1． 解集在数轴上表示： （3）不等式组的解集为：． 故答案为：． （4）由解集可得，不等式组的最小负整数解为：﹣2． 故答案为：﹣2． ▌题型05 错解复原问题 【典例1】 【解答】解：（1）观察解答过程知，该同学的解答过程中第四步出现了错误，错误原因是不等式两边同时除以负数，不等号的方向没有改变，不等式①的正确解集是x≤﹣1； 故答案为：四；不等式两边同时除以负数，不等号的方向没有改变；x≤﹣1； （2）去分母得：2（x﹣3）﹣10＜5（x+1）， 去括号得：2x﹣6﹣10＜5x+5， 移项得：2x﹣5x＜5+6+10， 合并同类项得：﹣3x＜21， 两边同时除以﹣3得：x＞﹣7， ∴不等式②的解集为x＞﹣7； ∴不等式组的解集为﹣7＜x≤﹣1． 【变式1-1】 【解答】解：（1）由题目中的解答过程可知， 第一步开始出现错误，理由是等号右边的1没有乘6， 故答案为：一； （2）解不等式①，得x＞﹣2， 解不等式②，得x≤2， 在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示； 所以原不等式组的解集为﹣2＜x≤2． 故答案为：x＞﹣2；x≤2；﹣2＜x≤2． 【变式1-2】 【解答】解：（1）解：乐乐解不等式①，第 二步两边同时除以负数，不等号方向未改变， ∴从第二步开始出现错误； 解不等式②，第三步去分母，1漏乘了6， ∴从第三步开始出现错误． 故答案为：二；三； （2）解不等式①，得x＞﹣2， 解不等式②，得x≤2， ∴不等式组的解集为﹣2＜x≤2， 在数轴上表示不等式组解集为： ． 【变式1-3】 【解答】解：任务一： 第四步错误，不等式两边都除以﹣4，不等号的方向应该改变； 故答案为：四，不等式两边都除以﹣4，不等号的方向应该改变， 故答案为：四；不等式两边都除以﹣4，不等号的方向应该改变； 任务二： ， 解不等式①：x≤4， 解不等式②：得x＞1， ∴不等式组的解集为1＜x≤4， 不等式组的解集在数轴上的表示如图所示： ． ▌题型06 新定义问题 【典例1】 【解答】解：（1）由题意，①∵x， ∴x＞1，故①不合题意； ②2（x+3）＜4， ∴2x＜﹣2， ∴x＜﹣1，故②不合题意； ③∵， ∴x﹣1＜6， ∴x＜7，故③符合题意． 故答案为：③； （2）由题意，解方程组得， ∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， ∴是不等式组的解， ∴， ∴﹣6＜m＜﹣3， ∵m为整数， ∴m＝﹣5或﹣4 【变式1-1】 【解答】解：（1）不是，理由： 解方程4x+5＝x﹣1得：x＝﹣2， 解不等式得：x＞2， ∴x＝﹣2不在x＞2范围内， ∴方程4x+5＝x﹣1的解不是不等式的“内含解”； （2）， 由①可得：x＞﹣1， 由②可得：， ∴不等式组的解集为， ∵该不等式组恰好有3个整数解，且该3个整数解分别为0，1，2， ∴， 解得：﹣2≤m＜1， 由方程x﹣m＝0可得x＝m，且方程x﹣m＝0的解是不等式组的“内含解”， ∴， 解得：﹣1＜m≤4， 综上所述：m的取值范围为﹣1＜m＜1． 【变式1-2】 【解答】解：（1）①∵θ（x，y）＝2ax﹣by+1， ∴， 解得； ②∵a＝2，b＝﹣1， ∴θ（x，y）＝4x+y+1， ∴， 解得3≤m＜2p﹣3， ∵不等式组恰好有2026个整数解， ∴2028＜2p﹣3≤2029， 解得p≤1016； （2）θ（n﹣m，3m+2）＝2a（n﹣m）﹣b（3m+2）+1＝（2a+1）n﹣（2a+3b）m﹣2b+1， ∵不论m，n取何值时，θ（n﹣m，3m+2）+n的值都是一个定值， ∴2a+1＝0，2a+3b＝0， 解得a，b， ∴定值为． 【变式1-3】 【解答】解：（1）直接根据新定义可得： [1.9]＝2，[π]＝3； 故答案为：2，3； （2）根据新定义，列出不等式组可得： 5﹣0.5≤x+2＜5+0.5， ∴4.5≤x+2＜5.5， ∴2.5≤x＜3.5． （3）， ①﹣②得y﹣x＝m﹣2， ∵， ∴， ∴， ∴[m]＝4； （4）根据新定义，逐一进行判断如下： ①当a＝1.6时， ∵[2a]＝[3.2]＝3，[a]＝2， ∴2[a]＝4， ∴[2a]≠2[a]，故①错误； ②当a＝3.6，b＝3.7时， ∵[a+b]＝[7.3]＝7，[a]+[b]＝4+4＝8， ∴[a+b]≠[a]+[b]，故②错误； ③令[2026a]＝n，则有n﹣0.5≤2026a＜n+0.5， ∴n﹣0.5+1≤2026a+1＜n+0.5+1， ∴（n+1）﹣0.5≤2026a+1＜（n+1）+0.5， ∴[2026a+1]＝n+1， 即[2026a+1]＝[2026a]+1，故③正确． 故答案为：③． ▌题型07 由不等式组的解集求参数 【典例1】A． 【变式1-1】D． 【变式1-2】C． 【变式1-3】D． ▌题型08 由不等式组的整数解求参数 【典例1】B． 【变式1-1】B． 【变式1-2】C． 【变式1-3】D． ▌题型09 程序问题 【典例1】C． 【变式1-1】4≤x＜8． 【变式1-2】 【解答】解：（1）∵一次“操作”就输出结果， ∴3x﹣2≥55， 解得：x≥19， 则x的最小值为19； （2）若x＝5， 则3×5﹣2＝13＜55，返回继续运算， 3×13﹣2＝37＜55，返回继续运算， 3×37﹣2＝109＞55，输出结果， 故答案为：109； （3）∵三次“操作”才输出结果， ∴， 解得：3≤x＜7． 【变式1-3】 【解答】解：（1）由题意得，2x﹣3＞19， 解得x＞11； （2）若该程序只运行了2次就停止了， 由题意得，， 解不等式①得x≤11， 解不等式②得x＞7， ∴原不等式组的解集为7＜x≤11， ∴x的取值范围为7＜x≤11． ▌题型10 不等式有解、无解问题 【典例1】A． 【变式1-1】A． 【变式1-2】A． 【变式1-3】 【解答】解：（1）由﹣x+6＞0，解得x＜6， 若该不等式组无解，则a+2≥6， 解得a≥4， 即a的最小值是4； 故答案为：4； （2）由（1）知a+2≤x＜6， 若该不等式组所有整数解的和是9， 则其整数解为5，4或5，4，3，2，1，0，﹣1，﹣2，﹣3， 得3＜a+2≤4或﹣4＜a+2≤﹣3， 解得：1＜a≤2或﹣6＜a≤﹣5． 故答案为：1＜a≤2或﹣6＜a≤﹣5． ▌题型11 不等式组与方程组结合问题 【典例1】 【解答】解：（1）由得， ． 因为该方程组的解为正数， 所以， 解得； （2）因为， 则3m+2＞0，m﹣5＜0， 所以|3m+2|﹣|m﹣5|﹣2（2m﹣4）＝3m+2﹣（﹣m+5）﹣2（2m﹣4）＝3m+2+m﹣5﹣4m+8＝5． 【变式1-1】 【解答】解：（1）解方程组得， ∵x≤0，y＜0， ∴， 解不等式①，得a≤3， 解不等式②，得a＞﹣2， ∴不等式组的解集为﹣2＜a≤3，即a的取值范围为﹣2＜a≤3； 故答案为：﹣2＜a≤3； （2）由（1）可知，﹣2＜a≤3， ∴a+2＞0，3﹣a≥0， ∴原式＝a+2+3﹣a＝5； （3）原不等式变形可得（2a+1）x＞2a+1． ∵不等式的解集为x＜1， ∴2a+1＜0， 解得， 又∵﹣2＜a≤3， ∴， ∵a为整数， ∴a＝﹣1． ∴当a＝﹣1时，不等式2ax+x＞2a+1的解集为x＜1． 【变式1-2】 【解答】解：（1）， ①+②得，2x＝﹣6+2m， 解得，x＝﹣3+m， 将x＝﹣3+m代入①得，﹣3+m+y＝﹣7﹣m， 解得，y＝﹣4﹣2m， ∴， ∵x为非正数，y为负数， ∴， 解③得，m≤3； 解④得，m＞﹣2； ∴m的取值范围为﹣2＜m≤3； （2）∵（2m+1）x﹣2m＜1， ∴（2m+1）x＜2m+1， ∵不等式的解为x＞1， ∴2m+1＜0，即， ∴m的取值为． ∵m为整数， ∴m＝﹣1． 【变式1-3】 【解答】解：（1）解方程组得：， ∵x的值为非负数，y的值为正数， ∴， 解得：﹣2≤m， 即m的取值范围是：﹣2≤m； （2）mx+x＜m+1， （m+1）x＜m+1， ∵不等式mx+x＜m+1的解为x＞1， ∴m+1＜0， ∴m＜﹣1， ∵﹣2≤m， ∴﹣2≤m＜﹣1， ∵m为负整数， ∴m＝﹣2． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题30 一元一次不等式组 （题型突破·举一反三） 题型01 一元一次不等式组的定义 题型02 利用数轴表示不等式组的解集 题型03 解一元一次不等式组 题型04 一元一次不等式组的整数解 题型05 错解复原问题 题型06 新定义问题 题型07 由不等式组的解集求参数 题型08 由不等式组的整数解求参数 题型09 程序问题 题型10 不等式有解、无解问题 题型11 不等式组与方程组结合问题 ▌题型01 一元一次不等式组的定义 把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 【典例1】（2025春•武威期末）下列不是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次不等式组的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（2025春•城关区校级月考）下列各式是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是　 　 ．（填序号） ①； ②； ③； ④﹣4x≤x＜5； ⑤； ⑥． ▌题型02 利用数轴表示不等式组的解集 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的情况 【典例1】（2026春•青岛校级期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026春•武侯区校级期中）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026春•潜山市月考）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026春•亳州期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． ▌题型03 解一元一次不等式组 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集； （2）把各个不等式的解集在数轴上表示出来； （3）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集，如果各个不等式的解集没有公共部分，那么说这个一元一次不等式组无解. 【典例1】（2026春•富平县期末）解不等式组：，并将解集在如图所示的数轴上表示出来． 【变式1-1】（2026•海淀区校级模拟）解不等式组：． 【变式1-2】（2026春•蒲城县期末）解不等式组，并在如图所示的数轴上表示其解集． 【变式1-3】（2026春•惠州期末）解不等式组及方程组： （1）解不等式组：． （2）解方程组：． ▌题型04 一元一次不等式组的整数解 （1）先求范围：准确求解不等式组，得到未知数的取值范围（公共解集）。 （2）再取整数：在公共解集范围内，找出所有满足条件的整数。 （3）数轴标整：在数轴上标出解集后，直接圈出范围内的整数点，直观且不易遗漏。 （4）端点判断：注意端点是否包含（>或<含等号，>或<不含)，决定该端点整数是否可取。 【典例1】（2026春•浦东新区校级期末）解不等式组，并写出该不等式组的所有整数解． 【变式1-1】（2026•张掖校级三模）解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 【变式1-2】（2026春•广元期末）解不等式组，把该不等式组的解集在数轴上表示出来，并求出它的所有整数解的和． 【变式1-3】（2026•信都区校级模拟）不等式组，请按下列步骤完成解答．（1）解不等式3x﹣6＜5x﹣1，并在图中所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在图中所给的数轴上表示其解集； （3）不等式组的解集是　 　 ； （4）不等式组的最小负整数解是　 　 ． ▌题型05 错解复原问题 （1）错解定位：分别检查每个不等式的求解过程，找出系数化1漏变号、移项忘变号等具体错误点； （2）公共部分复核：将正确的不等式解集在数轴上表示，重新确定公共部分，对比错误解集找出失误； （3） 分步检验：先单独验证每个不等式的解集是否正确，再验证公共部分取法是否正确； （4）代入验证：取错误解集中一个数值代入原不等式组，若不符合某个不等式，则说明该不等式求解有误。 【典例1】（2026•金凤区校级二模）请你阅读解题过程并完成相应任务．解不等式组：． 下面是某同学解不等式①的过程： 解：去括号，得x﹣3x+3≥5…第一步， 移项，得x﹣3x≥5﹣3…第二步， 合并同类项，得﹣2x≥2…第三步， 系数化为1，得x≥﹣1…第四步． （1）该同学的解答过程中第　 　 步出现了错误，错误原因是　 　　 　 ；不等式①的正确解集是　 　； （2）解不等式②，并求出不等式组的解集． 【变式1-1】（2026•丛台区校级模拟）以下为小颖在解不等式组时草稿纸上演草的过程： 解不等式②，2（2x+2）≤3x+1…第一步 4x+4≤3x+1…第二步 4x﹣3x≤1﹣4…第三步 x≤﹣3…第四步 （1）小颖发现不等式②解的不对，请指出是第 　 　步开始出现错误； （2）请你完成本题的解答： 解：解不等式①，得 　 　 ， 解不等式②，得　 　， 在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示； 所以原不等式组的解集为 　 　 ． 【变式1-2】（2026春•惠州期末）以下是乐乐解不等式组的部分过程． 解不等式①得，x﹣2x＜2．第一步 x＜﹣2．第二步 解不等式②得，2（2x+2）≤3x+1．第三步 4x+4≤3x+1．第四步 4x﹣3x≤1﹣4．第五步 x≤﹣3．第六步 … （1）填空：乐乐解不等式①从第　 　 步开始出现错误；解不等式②从第　 　 步开始出现错误； （2）请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 【变式1-3】（2026•蓬江区校级二模）下面是小林同学解不等式组的部分过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：解不等式①：去分母，得10﹣x≥3x﹣6…第一步 移项，得﹣x﹣3x≥﹣6﹣10…第二步 合并同类项，得﹣4x≥﹣16…第三步 两边都除以﹣4，得x≥4．…第四步 任务一：上述解不等式①的过程中，第　 　步出现了错误，其原因是　 　　 　； 任务二：请写出解这个不等式组的正确的完整解答过程，并将不等式组的解集在数轴上表示出来． ． ▌题型06 新定义问题 （1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运算； （2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新； （3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的； （4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常算就行。 【典例1】（2026春•龙口市期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程2x﹣3＝1与不等式x+3＞0，方程的解为x＝2，使得不等式也成立，则称“x＝2”为方程2x﹣3＝1和不等式x+3＞0的“梦想解”． （1）x＝﹣1是方程2x+3＝1和下列不等式　　 　 的“梦想解”；（填序号） ①，②2（x+3）＜4，③． （2） 若关于x，y的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且m为整数，求m的值． 【变式1-1】（2026春•广元期末）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程3x﹣6＝0的解是x＝2，同时x＝2也是不等式2x+5＞0的解，则方程3x﹣6＝0的解x＝2是不等式2x+5＞0的“内含解”． （1）判断方程4x+5＝x﹣1的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； （2）若关于x的方程x﹣m＝0的解是不等式组的“内含解”．且该不等式组恰好有3个整数解，求m的取值范围． 【变式1-2】（2026春•赣榆区校级月考）对x，y定义一种新运算，规定：θ（x，y）＝2ax﹣by+1（其中a，b均为非零常数）．例如：θ（2，1）＝2a×2﹣b×1+1＝4a﹣b+1． （1）已知θ（﹣1，1）＝﹣2，θ（3，﹣1）＝12． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2026个整数解，求实数p的取值范围； （2）若不论m，n取何值时，θ（n﹣m，3m+2）+n的值都是一个定值，请求出该定值． 【变式1-3】（2026春•金湾区期末）阅读与思考 [新定义] 我们把非负实数a“四舍五入”到个位的值记为[a]，其规则定义如下：当n为非负整数时，若n﹣0.5≤a＜n+0.5，则[a]＝n；反之，若[a]＝n，则n﹣0.5≤a＜n+0.5． 例如：[0]＝[0.2]＝0，[3]＝3，[11.6]＝[12.4]＝12． [问题解决] （1）填空：[1.9]＝　 　 ，[π]＝　 　 ； （2）若[x+2]＝5，求x的取值范围； （3）在关于x，y的方程组中，若x，y满足，求[m]的值； （4）下列结论正确的有：　 　．（a，b均为非负实数） ①[2a]＝2[a]； ②[a+b]＝[a]+[b]； ③[2026a+1]＝[2026a]+1． ▌题型07 由不等式组的解集求参数 （1） 解表参数：将不等式组的解集用含参数的代数式表示（如x>a、x≤b)； （2）对比定参：根据已知解集或解集特征（如无解、整数解个数），建立关于参数的不等式（组）求解； （3）数轴分析：在数轴上标出已知解集范围，反向推断参数所在位置，直观建立不等关系； （4）端点取舍：涉及“>”“<”时，需单独讨论端点能否取等，通过代入验证确定。 【典例1】（2026春•榆林期末）若关于x的不等式组的解集是x＜4，则m的取值范围为（　　） A．m≥9 B．m≥4 C．m≤9 D．m＞4 【变式1-1】（2026春•利津县期末）不等式组解集为x≤6，则n取值范围是（　　） A．n≥6 B．n≤6 C．n＜6 D．n＞6 【变式1-2】（2026春•朝阳区校级期末）若关于x的不等式组的解集为1＜x＜2，则a+b的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3 【变式1-3】（2026春•临潼区校级期末）关于x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． ▌题型08 由不等式组的整数解求参数 （1） 解不等式组； （2）根据整数解个数，画出数轴定区间，先在数轴上标出所有满足条件的整数，再确定参数所在区间的大致范围； （3）列不等式组锁定参数范围； （4）单独验证端点等号。 【典例1】（2026春•自贡期末）若关于x的不等式组恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．25 B．26 C．27 D．28 【变式1-1】（2026春•青岛校级期中）若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围为（　　） A．2＜a＜3 B．2≤a＜3 C．1＜a＜3 D．1＜a≤2 【变式1-2】（2026春•惠州期末）已知关于x的不等式组有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A．10＜a＜14 B．10≤a＜14 C．10＜a≤14 D．10≤a≤14 【变式1-3】（2026春•浠水县期末）如果关于x的不等式组有且只有三个整数解，且关于x的方程1+a＝3x有整数解，那么符合条件的所有整数a的和为（　　） A．﹣5 B．﹣6 C．﹣10 D．﹣11 ▌题型09 程序问题 （1）翻译程序：写出“输入→输出”的表达式； （2）列不等式； （3）解一元一次不等式； （4）结合题意写答案。 【典例1】（2026春•芜湖校级期末）如图，七年级（1）班数学学习兴趣小组的同学们设计了一个计算机程序，规定从“输入一个值x”到判断“结果是否≥17”为一次运行过程．如果程序运行两次就停止，那么x的取值范围是（　　） A．x≥6 B． C． D．x＜6 【变式1-1】（2026春•姜堰区校级月考）如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则x的取值范围为　 　 ． 【变式1-2】（2026春•衡水校级期末）在信息技术课上，王丽同学设计了如下运算程序： 按上述程序运行到“结果是否≥55”时，称为一次“操作”． （1）若一次“操作”就输出结果，求x的最小值； （2）若x＝5，则输出结果是　 　 ； （3）若三次“操作”才输出结果，求x的取值范围． 【变式1-3】（2026春•临潼区校级期末）编程课上，小宇设计了一个如图所示的运算程序图，按照程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于19”为一次运行． （1）若该程序只运行了1次就停止了，求x的取值范围； （2）若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围． ▌题型10 不等式有解、无解问题 （1）解不等式组； （2）对比大小，列关系式 大于号的上界 ＜ 小于号的下界 ⇒ 有解 大于号的上界 ≥ 小于号的下界 ⇒ 无解； （3）单独验证端点等号； （4）写出参数范围。 【典例1】（2026春•广元期末）已知关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是（　　） A．m≤6 B．m＞6 C．m＜6 D．m≥6 【变式1-1】（2026春•巴中期末）若不等式组有解，则实数a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a＜1 C．a≤1 D．a≥1 【变式1-2】（2026春•张家川县校级期末）若不等式组有解，则a的取值范围是（　　） A．a＞﹣1 B．a≥﹣1 C．a＜1 D．a≤1 【变式1-3】（2026春•淮南期末）已知关于x的不等式组（其中a是常数）． （1）若该不等式组无解，则a的最小值是　 　 ； （2）若该不等式组所有整数解的和是9，则a的取值范围是　　 　　 　 ． ▌题型11 不等式组与方程组结合问题 （1） 解表参数：先将方程组用参数表示解； （2）转化为不等式组：根据解的范围或整数解条件，建立关于参数的不等式组求解； （3）代入消参：将解表达式直接代入不等关系，转化为只含参数的不等式； （4）数轴定范围：解出参数范围后，结合数轴和实际问题筛选最终值。 【典例1】（2026春•朝阳区校级月考）已知关于x、y的方程组的解为正数． （1）求m的取值范围； （2）化简|3m+2|﹣|m﹣5|﹣2（2m﹣4）． 【变式1-1】（2026春•科左后旗期末）已知关于x，y的方程组的解中x≤0，y＜0． （1）a的取值范围为　 　 ． （2）化简：|a+2|+|3﹣a|． （3）在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式2ax+x＞2a+1的解集为x＜1？ 【变式1-2】（2026春•牡丹江期末）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． （1）求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式（2m+1）x﹣2m＜1的解为x＞1．求整数m的值． 【变式1-3】（2026春•九台区期末）已知关于x、y的方程组，若x的值为非负数，y的值为正数． （1）求m的取值范围； （2）在m的取值范围内，当m为何负整数时，不等式mx+x＜m+1的解集为x＞1，求m的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $