3.5一元一次不等式组的特殊解问题-浙教版数学2025-2026学年八年级上册培优训练

一元一次不等式组的特殊解问题-浙教版数学2025-2026学年八年级上册培优训练 一、选择题 1．若关于的不等式组的解集中的任意的值，都能使不等式成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．已知关于x的不等式组的整数解为1，2（其中m，n为整数），则满足条件的共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 3．关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．关于的不等式组恰好有个整数解，则满足（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．已知关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是　 　． 6． 不等式组的整数解有　 　个． 7．若关于x的不等式组恰有4个整数解，关于t的分式方程的解也为整数，则所有满足条件的整数a的和为　 　． 8．定义新运算为：对于任意实数a、b都有a⊕b=（a-b）b-1，等式右边都是通常的加法、减法、乘法运算，比如1⊕2=（1-2）×2-1=-3．若不等式组恰有4个整数解，实数a的取值范围是 　 　． 9． 对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是　 　． 10．若不等式有解，则实数最小值是　 　 ． 三、解答题 11． （1）已知关于的不等式组的解为，则的值为　 　. （2）若关于的不等式有两个整数解，则的取值范围是　 　. （3）若不等式组无解，则不等式组的解是　 　. 12．对于 定义一种新运算 ，规定： （其中 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如： （1）已知 ①求 的值； ②若关于 的不等式组 恰好有三个整数解，求实数 的取值范围. （2）若 对于任意不相等的实数 都成立，求 与 满足的关系式. 13．定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或． （1）方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为； （2）已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； （3）已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”求的值． 14．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． （1）在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是　 　；（填序号） （2）关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求k的取值范围； （3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求m的取值范围． 答案解析部分 一、选择题 1．若关于的不等式组的解集中的任意的值，都能使不等式成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题 【解析】【解答】解： 解不等式得： 解不等式得： 当时，则， 当时，则，不等式组无解 故答案为：C. 【分析】先分别解不等式得出两个不同的解集，因为不等式组的解集为，所以要分类讨论，即当或时，则可分别联立关于的不等式组，现分别解不等式组即可. 2．已知关于x的不等式组的整数解为1，2（其中m，n为整数），则满足条件的共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题 【解析】【解答】解：解不等式得，； 解不等式得，； ∵不等式组的整数解为1，2， ∴，且， 则，． ∵，为整数， ∴，，8，9， ∴满足条件的（m，n）共有3对． 故选：C. 【分析】根据所给不等式组的整数解为1，2，得出，的取值范围，再根据，为整数即可解决问题． 3．关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元一次不等式组的特殊解 【解析】【解答】解：解不等式得，， 解不等式得，， ∵关于x的不等式组有四个整数解， ∴ 该不等式组的解集为8＜x＜2-4a， ∵的四个整数是9，10，11，12， ∴， 解得， ∴a的取值范围是， 故答案为：A． 【分析】首先根据解不等式的步骤分别解出不等式中每一个不等式的解集，再根据不等式组有且只有四个整数解，结合口诀“大小小大中间找”得到该不等式组的解集，然后找出解集范围内的四个整数解，即可得出a的取值范围． 4．关于的不等式组恰好有个整数解，则满足（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题 【解析】【解答】解：， 对于，解得：， 对于，解得：， 不等式组的解集为， 该不等式组恰好有个整数解， 其整数解是和， ， 对于，解得：， 对于，解得：， ， 故选：． 【分析】本题主要考查含参不等式组的整数解问题。解决此类问题要先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数反推参数的取值范围。具体步骤包括：先算出，然后由恰好有两个整数解得到3和4，于是确定，即可求出a的取值范围。 二、填空题 5．已知关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是　 　． 【答案】 【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题 【解析】【解答】解： 解不等式组 得： ∵不等式组的整数解共有4个， ∴不等式组的整数解分别为：-2，-1，0，1， 故答案为： . 【分析】解不等式组可得 再根据整数解共有4个，即可得出a的取值范围. 6． 不等式组的整数解有　 　个． 【答案】2 【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解 【解析】【解答】解： 解①得 解②得 ∴不等式组的解集为 ∴整数解为：2，3，共2个 故答案为：2. 【分析】先解每一个不等式，再求出不等式组得解集，最后找到整数解，解答即可. 7．若关于x的不等式组恰有4个整数解，关于t的分式方程的解也为整数，则所有满足条件的整数a的和为　 　． 【答案】 【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；已知分式方程的解求参数 【解析】【解答】解：， 由①得：， 由②得：， ∵该不等式组有四个整数解， ∴不等式组的解集为，即x=2、1、0、-1， ∴， 解得：， ∵， 解得：，且， ∴， 分式方程的解为整数，且， 或， 则满足题意整数之和为． 故答案为：． 【分析】首先根据不等式组的计算方法，先求出x的取值范围，进而确定a的取值范围；然后将分式方程中t的值用a来表示，结合即可得出a的整数取值，最后求和即可。 8．定义新运算为：对于任意实数a、b都有a⊕b=（a-b）b-1，等式右边都是通常的加法、减法、乘法运算，比如1⊕2=（1-2）×2-1=-3．若不等式组恰有4个整数解，实数a的取值范围是 　 　． 【答案】-10≤a＜-4 【知识点】一元一次不等式组的特殊解；二元一次方程（组）的新定义问题 【解析】【解答】解：由x⊕1≤2得：（x-1）×1-1≤2， 解得x≤4， 由2x⊕3＞a得：（2x-3）×3-1＞a， 解得， ∴， ∵恰有4个整数解， ∴， 解得-10≤a＜-4． 故答案为：-10≤a＜-4． 【分析】本考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的方法，列出关于a的不等式.先求出不等式组的解集，根据恰有4个整数解列出关于a的不等式，即可解得a的范围． 9． 对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是　 　． 【答案】-17≤p＜-7 【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解 【解析】【解答】解：由新定义运算法则可得 由①得a≤1， 由②得， ∵此不等式恰有3个整数解， ∴，且三个整数解为1、0、-1， ∴ 解得-17≤p＜-7. 故答案为：-17≤p＜-7 . 【分析】首先根据新定义运算法则列出关于字母a的不等式组，根据解不等式的步骤分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后结合“此不等式恰有3个整数解”及“大小小大中间找”求出该不等式组的解集及三个整数解，进而即可得出关于字母p的不等式组，求解可得p的取值范围. 10．若不等式有解，则实数最小值是　 　 ． 【答案】4 【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式组的特殊解 【解析】【解答】解：当x＜1时， ，-2(x-1)-3(x-3)≤a， 解得，x≥， ∵ x＜1， ∴＜1， ∴ a＞6； 当1≤x≤3时， ∴2(x-1)-3(x-3)≤a， 解得，x≥7-a， ∴1≤7-a≤3， 解之：4≤a≤6； 当x＞3时，原不等式变形为 2（x-1）+3（x-3）≤a， 解之：x≤， ∴＞3， 解之：a＞4， ∴实数a的最小值为4. 故答案为：4. 【分析】分情况讨论：当x＜1时，可缓解绝对值，可得到不等式的解集为x≥，代入可得到关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围；当1≤x≤3时，可得到x≥7-a，据此可得到关于a的不等式，然后求出a的取值范围；当x＞3时可得到x≤，据此可得到关于a的不等式，然后求出a的取值范围；根据a的取值范围，可得到a的最小值. 三、解答题 11． （1）已知关于的不等式组的解为，则的值为　 　. （2）若关于的不等式有两个整数解，则的取值范围是　 　. （3）若不等式组无解，则不等式组的解是　 　. 【答案】（1）-1 （2） （3） 【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解 【解析】【解答】解：（1）解关于x得不等式组 组， 由①得x＞2+a， 由②得x＜， ∴该不等式组的解集为：， 又∵该不等式组的解集为：-1＜x＜1， ∴， 解得， ∴（a+b）2023=（-3+2）2023=-1； 故答案为：-1； （2）∵ 若关于x的不等式a＜x＜2有两个整数解， ∴这两个整数解为1、0， ∴a得取值范围为：-1≤a＜0； 故答案为：-1≤a＜0； （3）∵ 不等式组无解 ， ∴a＞b， ∴-a＜-b， ∴3-a＜3-b， ∴ 不等式组的解集是3-a＜x＜3-b. 故答案为：3-a＜x＜3-b. 【分析】（1）将a、b作为字母系数，解不等式组中的两个不等式，用含a、b的式子表示出该不等式组的解集，结合题干给出的不等式组的解集，可得关于字母a、b得方程组，求解得出a、b得值，再代入待求式子，根据含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算可得答案； （2）写出该不等式组的两个整数解为1与0，可以确定a在-1与0之间，再确定是否能取到等号即可得出字母a的取值范围； （3）由“大大小小无解了”判断出a＞b，进而根据不等式的性质得出3-a＜3-b，最后根据“大小小大中间找”得出不等式组的解集. 12．对于 定义一种新运算 ，规定： （其中 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如： （1）已知 ①求 的值； ②若关于 的不等式组 恰好有三个整数解，求实数 的取值范围. （2）若 对于任意不相等的实数 都成立，求 与 满足的关系式. 【答案】（1）解：①根据题意得： 解得： ②根据题意得： 由①得： ； 由②得： ， 不等式组的解集为 不等式组恰好有3个整数解，即 解得 ； （2）解：由 ，得到 整理得： 对任意实数 都成立， ，即 【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解 【解析】【分析】(1)①根据题目所给的运算顺序，将已知的两值代入即可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值；②将已知的运算代入不等式组即可得关于m的不等式组，解不等式组求得m的取值范围，再根据不等式组恰好有3个整数解，即可求出k的取值范围； (2)根据题意可得出以a、b为系数关于x、y的关系式，由题意可求出a、b所满足的关系式即可. 13．定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或． （1）方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为； （2）已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； （3）已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”求的值． 【答案】（1）或 （2）解：与它的“交换系数方程”组成的方程组为：①或②， 解方程组①，得， 由，得， 因此方程组①的解为， 解方程组②，得， 由，得， 方程组②的解为， 与它的“交换系数方程”组成的方程组为， 将代入，得， ．​​​​​​ （3）解：关于，的二元一次方程的“交换系数方程”为，或，当与的各系数相等时， 可得方程组， 解方程组可得，与m为整数不符，不合题意； 当与的各系数相等时， 可得方程组， 解得， ∵， ∴，即 解得， ∵m为整数， ∴．​​​​​​ 【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组；一元一次不等式组的特殊解；加减消元法解二元一次方程组 【解析】【解答】（1）解：由题意知，方程的“交换系数方程”为或， 方程与它的“交换系数方程”组成的方程组为： ①或②， 解方程组①，得， 解方程组②，得， 故答案为：或. 【分析】（1）先根据定义写出方程的“交换系数方程”，联立组成方程组，解方程组即可；（2）先求出与它的“交换系数方程”组成的方程组的解，代入，得到p，m，n的关系，再代入即可求解； （3）先写出的“交换系数方程”，令的各未知数的系数与2个“交换系数方程”的对应系数相等，得到2个方程组，最后求出符合条件的m的值即可． （1）解：由题意知，方程的“交换系数方程”为或， 方程与它的“交换系数方程”组成的方程组为： ①或②， 解方程组①，得， 解方程组②，得， 故答案为：或； （2）解：与它的“交换系数方程”组成的方程组为： ①或②， 解方程组①，得， 由，得， 因此方程组①的解为， 解方程组②，得， 由，得， 方程组②的解为， 与它的“交换系数方程”组成的方程组为， 将代入，得， ． （3）解：关于，的二元一次方程的“交换系数方程”为，或， 当与的各系数相等时， 可得方程组， 解方程组可得，与m为整数不符，不合题意； 当与的各系数相等时， 可得方程组， 解得， ∵， ∴，即 解得， ∵m为整数， ∴． 14．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． （1）在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是　 　；（填序号） （2）关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求k的取值范围； （3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求m的取值范围． 【答案】（1）②③ （2）解： 关于x的方程的解为，不等式组的解集为， 所以， 解得； （3）解： 关于x的方程 的解为，不等式组的解集为， 所以， 解得； 因为不等式组有3个整数解，所以，解得 所以. 【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；定义新运算 【解析】【解答】解：（1）① ， 2x+2-x=-3， x=-5， ②， x+1-3=3x， 2x=-2， 解得x=-1， ③ ， 2x=7， 解得x=3.5， ， 解不等式①得x＞-4， 解不等式②得：x≤4， ∴不等式组的解集为：-4＜x≤4， ∴不等式组的“关联方程”是②③. 故答案为：②③； 【分析】（1）先解方程①②③，再解不等式组，然后根据新定义判断即可； （2）先解方程，再解不等式组，根据新定义可得，解之即可； （3）先解方程得，再解不等式组，根据新定义可得，求出m的范围，再根据不等式组有3个整数解，可得，求出m的范围，再求其公共部分即可. 学科网（北京）股份有限公司 $