专题09 一元一次不等式（组）中含参数问题的七类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09一元一次不等式（组）中含参数问题的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、根据一元一次不等式的定义求参数的值 类型二、根据一元一次不等式的解集求参数 类型三、利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围 类型四、利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 类型五、根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 类型六、整式方程（组）与一元一次不等式结合求参数的问题 类型七、整式方程（组）与一元一次不等式组结合求参数的问题 压轴专练 典例详解 类型一、根据一元一次不等式的定义求参数的值 方法总结 1. 紧扣定义：一元一次不等式必须满足：①只含一个未知数；②未知数次数为1；③是整式不等式。 2.列式求解：根据未知数指数为1且系数不为0，列出关于参数的方程与不等式求解。 解题技巧 1.系数非零：含未知数项的系数（含参数）必须满足不等于0，此为易忽略条件。 2.化简先行：若不等式含分母或括号，先化为最简形式，再对照定义列条件。 例1.(25-26七年级下·全国课后作业)若(m-)x网-3>0是关于x的一元一次不等式，则m= 【变式1-1】(25-26七年级下全国周测)若(m-)xm-+3>0是关于x的一元一次不等式，则m的值 为】 【变式1-2】(25-26七年级下·全国·课后作业)当k= 时，不等式(k-2025)x+2024+2>0是关于x的 一元一次不等式 【变式1-3】(25-26八年级下.全国周测)已知(k+3)x2+5<k-4是关于x的一元一次不等式，则k的值 为一，不等式的解集是， 1/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、根据一元一次不等式的解集求参数 方法总结 1.解表参数：将不等式的解集用含参数的代数式表示。 2.对比定参：将所得解集与已知解集（如x>3)进行对比，建立关于参数的方程或不等式求解。 解题技巧 1. 系数化1定方向：注意系数含参时，化1步骤需讨论参数正负，确定不等号是否反向。 2. 端点代入验证：求出参数后，将解集端点值代入原不等式检验等号是否成立，避免遗漏。 例2.关于x的不等式3x+a≤0的解集如图所示，则a的值是一 210 【变式21】如果不等式a-1x>5的解集是x<5 <。一'那么a的取值范围是 【变式2-2】已知如图是关于x的不等式2x-a>-3的解集，则a的值为， -3-2-1 01231 类型三、利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围 方法总结 1.先解含参不等式：将不等式解集用含参数a的代数式表示。 2.数轴定界：根据已知整数解的个数（如恰好有3个负整数解），在数轴上定位参数的取值范围，建立不 等式组求解。 解题技巧 1.画数轴定位：在数轴上标出已知整数解的位置，反向推断参数所在区间边界。 2.端点单独验：参数范围的端点值需单独代入验证，检查是否恰好满足整数解个数（含等号时是否多解 或少解) 例3.(24-25八年级下·山东青岛·月考)关于x的不等式2x-a<1只有2个正整数解，则a的取值范围为 【变式3-1】(24-25七年级下·内蒙古赤峰期末)关于x的不等式2x+b≤0恰有三个非负整数解，则b的取 值范围是一 【变式3-2】(25-26七年级上江苏苏州期中)关于x的不等式2x+a≥0的负整数解是-2，-1，则Q的取 值范围是 【变式3-3】(24-25七年级上江苏苏州月考)己知关于x的不等式2x+m<1恰好有3个正整数解，则m的 取值范围为 2/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型四、利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 方法总结 1.解表参数：解含参不等式组，用参数表示解集（如msn)。 2.数轴定界：根据整数解的个数，在数轴上定位参数的取值范围，建立关于参数的不等式组求解。 解题技巧 1.画数轴定位：在数轴上标出整数解位置，反向推断参数的边界范围。 2. 端点验证：参数范围的端点值需单独代入验证，检查是否恰好满足整数解个数（含等号时是否多解或 少解)。 2x-a>4 例4.(25-26九年级上·黑龙江七台河·期中)关于x的不等式组 6-2x≥0有5个整数解，则a的取值范围 是 [3x+62a 【变式41】(25-26八年级上重庆开学考试)已知关于x的不等式组+6≤4有且只有3个整数解，则a 、2 的取值范围是」 5(x+1)>3-a 【变式4-2】(24-25八年级下·陕西西安·月考)己知关于x的不等式组 x-2≤1- 1仅有三个整数解，则 2 2 α的取值范围是 3x-2>2(x-3 【变式4-3】(24-25七年级下·山东日照期末)若关于x的不等式组 的所有整数解的和为 x-1<m-2 -5,且m为整数，则m的值是 类型五、根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 方法总结 1.解表参数：解含参不等式组，用参数表示解集（如x>a、sb)。 2.情况对应：根据解集情况（如无解、有解、解集为特定范围）建立关于参数的不等式（组）求解。 解题技巧 1.数轴分析：在数轴上标出已知解集范围或“空集”条件，反向推断参数的边界。 2.端点检验：涉及“≥”“≤”时，端点单独代入验证，确定是否包含等号。 2x-5>-1 例5.(25-26九年级上黑龙江佳木斯期中)关于x的不等式组 无解，则实数a的取值范围 x-a≤1 是 5x<3x+2a 【变式5-1】(24-25七年级下·云南丽江期末)若关于x的不等式组 4x-1<3x-1 的解集为x<3,则a 3/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的取值范围是 【变式5-2】(24-25七年级下·青海海北期末)已知关于x的不等式组 x+4>3a+5 的解集为x>2,则a的 2x>4 取值范围是」 x+2>+1, 【变式5-3】(24-25七年级下·重庆丰都月考)若关于x的不等式组 32的解集为x<-2,求a的 4x+a<x-1 取值范围为一 类型六、整式方程（组与一元一次不等式结合求参数的问题 方法总结 1.先解整式方程：将方程（组）的解用参数表示。 2.再列不等式：根据解的范围条件（如x>0、ys2),建立关于参数的一元一次不等式（组）求解。 解题技巧 1.代入转化：将解表达式直接代入不等关系，转化为只含参数的不等式。 2.双验防错：求出参数范围后，回代原方程验证解的存在性（如分母不为0、系数非零）。 例6.(25.26八年级上四川成都月考)已知关于x的方程2(x-3)=,x+a)的解适合不等式-3x+1>2a, 则a的取值范围为」 x-3y=m-1 【变式6-1】(2025八年级上·重庆专题练习)已知关于x,y的方程组 x+y=-3+7·若方程组的解满足 x-y<6,则m的非正整数和为 「4x+y=3a+7 【变式6-2】(24-25七年级下山东德州期末)若关于x,y的二元一次方程组 2xr-y=a-1的解x,y满 足x+y>1,则满足题意的最小整数a是_ 3x+3y=m+3 【变式6-3】(25-26八年级上湖南湘西·开学考试)关于x,y的二元一次方程组 x-7y=m-5的解满足 x-y>2,则m的取值范围是一 类型七、整式方程（组与一元一次不等式组结合求参数的问题 方法总结 1. 先解整式方程：解方程（组），用参数表示未知数。 2.再列不等式组：将解代入题目给出的多个不等条件（如x>0、y<2),建立关于参数的一元一次不等 式组求解。 解题技巧 1.代入转化：把参数表达式直接代入每个不等关系，转化为纯参数不等式。 4/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.求交集：解出每个参数不等式的解集后，取公共部分，并结合方程实际意义（如分母不为0）确定最 终范围。 x+2y=4k 例7.(24-25七年级下·重庆·月考)若方程组 的解满足0<y-x<1,则k的取值范围是 2x+y=2k-1 y=3x+7 【变式7-1】(25-26八年级上·四川成都月考)如果关于x,y的二元一次方程组 n y=5x-11 有解，且关于 2 3x+7≥0 x的一元一次不等式组 5x-n≤2有且仅有4个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是」 3-2+x<x+3 【变式7-2】(25-26八年级上重庆月考)若实数m使关于x的不等式组 3 2 有解且至多有3个 2x-m -≤-1 2 整数解，且使关于y的方程2y=4y二m+2的解为非负数，则满足条件的所有整数m的和为」 3 x+12x+5 ≤ 【变式7-3】(25-26八年级上重庆月考)若整数a使关于x的不等式组{26至少有4个整数解， x-2>a 且使关于x、y的方程组 ax-2y=0 x+y=4 的解为整数，那么满足条件的整数a的和为一 压轴专练 一、单选题 1.(24-25八年级下.宁夏银川月考)已知(k+3)x2+5<-4是关于x的一元一次不等式，则k的值是() A.3 B.-3 C.3 D.无法确定 2.(25-26八年级下.全国·课后作业)已知关于x的方程2x+4=m-x的解为负数，则m的取值范围是() A.m<4 3 B.m>- C.m<4 D.m>4 3 3.(25-26八年级上·广西南宁，开学考试)如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式 恰有三个非负整数解，则a的取值范围是() 5/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.1<a≤2 B.2≤a<3 C.3≤a<4 D.3<a≤4 4.(25-26八年级上·黑龙江鹤岗·开学考试)若关于x的不等式2x-a≤0的正整数解只有1和2，则a的取 值范围是() A.4<a≤6 B.4≤a<6 C.2<a≤4 D.2≤a<4 x+1s2无解，则a的取值范围为() a-2<x 5.(25-26八年级上·陕西西安期末)若关于x的不等式组 A.a≥3 B.a≤3 C.a>3 D.a<3 x+3y=4-a 6.(24-25九年级上·湖北襄阳·自主招生)已知关于x、y的方程组 x-y=3a ，其中-3≤a≤1，给出下 列结论：① [x=1+4a 是方程组的解；②当a=-2时，x、y的值互为相反数；③若y≤1，则1≤x≤3；④ y=1+a S=3x-y+2a的最大值为11；其中正确的是() A.①② B.②③ C.②④ D.②③④ 二、填空题 7.(25-26七年级下·全国周测)若关于x的方程2x=7+m的解是正数，则m的取值范围为 8.(25-26七年级上江苏苏州月考)已知关于x的不等式(m-1)xm<2025是一元一次不等式，那么 m= 3 9.(2026七年级下.全国专题练习)已知关于x的不等式2x+ <3a的最大整数解为3，则a的取值范围 2 为」 5x-1)>5 10.(25-26八年级下·全国·期末)若关于x的不等式组 的解集是x>a,则a的取值范围 a-x<0 是 2x-y=4-a 11.(24-25七年级下湖北武汉·期末)已知关于x,y的方程组 ，若方程组的解满足x+y>0, x-2v=a 则a的取值范围为 xza 12.(25-26八年级下全国期中)已知关于的不等式组2x+1-1< 恰好有两个整数解，则实数a的取值 3 范围是 三、解答题 6/8 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 13.(24-25八年级下.甘肃张掖月考)已知(m-4)xm-引+2>6是关于x的一元一次不等式，求m的值. 14.(25-26七年级下，全国周测)已知关于x的不等式组 [x-2z2a 3 3x-a<11 (1)若这个不等式组有解，求α的取值范围. (2)若这个不等式组无解，求a的取值范围. x+y=-7-m 15.(25-26八年级上浙江金华·月考)己知方程组 的解满足x为非正数，y为负数. x-y=1+3m (1)求m的取值范围； (2)在(1)的条件下，若不等式(2m+1)x-2m<1的解为x>1.求整数m的值. 16.（24-25七年级下，安徽蚌埠月考)定义：若一个方程（组）的解也是一个一元一次不等式的解，我们称 这个方程（组）的解是这个不等式的“友好解”.例如：方程2x-1=1的解是x=1,同时x=1也是不等式 x+1>0的解，则称方程2x-1=1的解x=1是不等式x+1>0的“友好解. )方程2x+3)=12的解一元一次不等式≥1的友好解，（填是或不是） (2)若关于x,y的方程组 5x-y=4以-3的解是不等式6x-8y>-9的友好解，求k的取值范围， 2x+3y=5k+1 (3)方程2(x-2)=2的解是不等式4x+2<x+2m的“友好解”，求m的最小整数值. 17.(24-25七年级下·云南临沧期末)若不等式（组）有(n为自然数)个正整数解，则称这个不等式（组） x+2<7 为阶不等式（组）.例如：x≤2有2个正整数解，则称它为2阶不等式； x-2>- 有3个正整数解，则 称它为3阶不等式组，特殊地，如x<1,有0个正整数解，则称它为0阶不等式： x+1>2 (1)判断：x+1<6是几阶不等式？ 是几阶不等式组？ 2x-3<5 3x-6m<0 (2)已知关于x的不等式组 2+3x≥+9是4阶不等式组，求m的取值范围： 2 18.(25-26八年级上浙江绍兴期末)若一个不等式组M有解且解集为a<x<b(a<b),则称b-a为M的绝 对距离”，若M的绝对距离是不等式组N的解，则称不等式组N对于不等式组M“绝对包含” 2x-4<0 (1)已知关于x的不等式组A: 以及不等式组B:-3<x≤3，判断不等式组B是否对于不等式组A绝 1+x>0 对包含，并写出判断过程 x+n<8 (2)已知关于x的不等式组C: r>”和关于x的不等式组D: ,若不等式组D对于不等式组C绝对 x<m 2x+n>m 7/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 包含，当-3≤n<-2时，求满足条件的所有整数m的和 x+5>0 以及不等式组F x+2>m (3)已知关于x的不等式组E: 2x-1<4m+5 2x-m<2m+20'且不等式组F对于不等式 组E绝对包含，求m的取值范围. 8/8 专题09 一元一次不等式（组）中含参数问题的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、根据一元一次不等式的定义求参数的值 类型二、根据一元一次不等式的解集求参数 类型三、利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围 类型四、利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 类型五、根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 类型六、整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题 类型七、整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题 压轴专练 类型一、根据一元一次不等式的定义求参数的值 方法总结 1. 紧扣定义：一元一次不等式必须满足：①只含一个未知数；②未知数次数为1；③是整式不等式。 2. 列式求解：根据未知数指数为1且系数不为0，列出关于参数的方程与不等式求解。 解题技巧 1. 系数非零：含未知数项的系数（含参数）必须满足不等于0，此为易忽略条件。 2. 化简先行：若不等式含分母或括号，先化为最简形式，再对照定义列条件。 例1．（25-26七年级下·全国·课后作业）若是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数 的次数为且系数不为，列方程求解． 【详解】解：∵ 是关于的一元一次不等式， ∴未知数的次数，解得； 未知数的系数，解得． 综合以上两个条件，可得． 故答案为：． 【变式1-1】（25-26七年级下·全国·周测）若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】3 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，列出条件求解. 【详解】解：由题意，得 且 ， 解 ，得 或 ， 当 时，，不符合题意；当 时，，符合题意. 故答案为：3. 【变式1-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）当 时，不等式是关于的一元一次不等式． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，解题关键是同时满足“未知数的次数为”和“未知数的系数不为”这两个条件，避免遗漏系数不为的限制． 要使不等式是关于的一元一次不等式，需要满足两个核心条件：①未知数的次数为；②未知数的系数不为． 【详解】解：根据一元一次不等式的定义，我们列出条件： ①次数条件： ， 解得，即：或． ②系数条件： ， 解得． 综合两个条件，可得：． 故答案为：． 【变式1-3】（25-26八年级下·全国·周测）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ，不等式的解集是 ． 【答案】 3 【分析】根据“一元一次不等式”的定义，确定未知数的值．然后，将的值代入原不等式，解出不等式的解集． 【详解】解：①求的值： 根据一元一次不等式的定义，我们得到： 由，解得，∴或． ∵， ∴． 综上，． ②解不等式： 将代入原不等式，得： ． ∴的值为，不等式的解集是． 故答案为①②． 类型二、根据一元一次不等式的解集求参数 方法总结 1. 解表参数：将不等式的解集用含参数的代数式表示。 2. 对比定参：将所得解集与已知解集（如x > 3）进行对比，建立关于参数的方程或不等式求解。 解题技巧 1. 系数化1定方向：注意系数含参时，化1步骤需讨论参数正负，确定不等号是否反向。 2. 端点代入验证：求出参数后，将解集端点值代入原不等式检验等号是否成立，避免遗漏。 例2．关于的不等式的解集如图所示，则的值是 ． 【答案】3 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，根据题意得出不等式的解集是解题的关键．先用表示出不等式的解集，再由数轴上不等式的解集得出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解：解不等式得，， 由数轴上不等式的解集可知，， ， 解得， 故答案为：3． 【变式2-1】如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 由不等式的性质可知，不等式两边同时除以时，不等式方向改变了，由此可确定的符号，即可求解． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】已知如图是关于的不等式的解集，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．解不等式得出，结合数轴知，据此可得关于的方程，解之可得答案． 【详解】解：解不等式得：， 由数轴知不等式的解集为， ， 解得：， 故答案为：1． 类型三、利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围 方法总结 1. 先解含参不等式：将不等式解集用含参数a的代数式表示。 2. 数轴定界：根据已知整数解的个数（如恰好有3个负整数解），在数轴上定位参数的取值范围，建立不等式组求解。 解题技巧 1. 画数轴定位：在数轴上标出已知整数解的位置，反向推断参数所在区间边界。 2. 端点单独验：参数范围的端点值需单独代入验证，检查是否恰好满足整数解个数（含等号时是否多解或少解）。 例3．（24-25八年级下·山东青岛·月考）关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了一元一次不等式的整数解，求出不等式的解集是解本题的关键．表示出不等式的解集，根据解集中只有2个正整数解，确定出a的范围即可． 【详解】解：， 解得：， ∵关于的不等式只有2个正整数解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式3-1】（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）关于x的不等式恰有三个非负整数解，则b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解出不等式得，根据不等式有三个非负整数解知，求解可得． 本题主要考查一元一次不等式的整数解，根据不等式的解得到范围是解题的关键． 【详解】解：解不等式得：， 由题意可得：， ， 故答案为：． 【变式3-2】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的不等式的负整数解是，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式的解集求参数． 首先解不等式得到的取值范围，然后根据负整数解是和，确定和满足不等式，而不满足，从而得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：解不等式，得， 由于负整数解是，， 因此和满足不等式，即，得； 同时不满足不等式，即，得； 故的取值范围是． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25七年级上·江苏苏州·月考）已知关于的不等式恰好有3个正整数解，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解． 先求出不等式的解集，再根据解集求的取值范围即可． 【详解】解：解得， ∵关于的不等式恰好有3个正整数解， ∴， 解得：， 故答案为： 类型四、利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 方法总结 1. 解表参数：解含参不等式组，用参数表示解集（如m<x≤n）。 2. 数轴定界：根据整数解的个数，在数轴上定位参数的取值范围，建立关于参数的不等式组求解。 解题技巧 1. 画数轴定位：在数轴上标出整数解位置，反向推断参数的边界范围。 2. 端点验证：参数范围的端点值需单独代入验证，检查是否恰好满足整数解个数（含等号时是否多解或少解）。 例4．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是先求出不等式组的解集，再结合整数解的个数确定参数的范围． 先分别解出两个不等式的解集，再合并得到不等式组的解集，结合整数解的个数确定a的取值范围． 【详解】解不等式，得， 解不等式，得， 因此，不等式组的解集为， 设，则解集为， 由于有5个整数解，且，整数解为， 为确保这些整数解都在解集中，需满足，即， 为确保不在解集中，需满足， 因此，， 代入，得， 解该不等式： 左边，乘以2得，即， 右边，乘以2得，即． 故的取值范围为． 故答案为． 【变式4-1】（25-26八年级上·重庆·开学考试）已知关于的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式组整数解有且只有个，得出关于的不等式组是解此题的关键．先求出已知的不等式组解集，再根据不等式组整数解有且只有个，得出这个整数解，从而得出关于的不等式组，进而求解不等式组即可． 【详解】解：解不等式可得：， 解不等式可得：， 不等式组的解集为 ， 关于的不等式组有且只有个整数解， 这个整数解为，，， ，解得． 故答案为： ． 【变式4-2】（24-25八年级下·陕西西安·月考）已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题关键． 根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解是整数，可得答案． 【详解】解： 解①式得： 解②式得： ∵ 关于 x 的不等式组仅有三个整数解， ∴不等式组的解集为：即 0 ，1 ，2， ∴，解得： ． 故答案为：． 【变式4-3】（24-25七年级下·山东日照·期末）若关于的不等式组的所有整数解的和为，且为整数，则的值是 ． 【答案】0或3/3或0 【分析】本题考查解一元一次不等式组及其整数解，先解不等式，再根据不等式组解的情况得到m的取值范围，进而根据m为整数可得结论． 【详解】解：解不等式组，得， ∵该不等式组的所有整数解的和为， ∴该不等式组的整数解为和或、、、0、1， ∴或， ∴或， ∵为整数， ∴的值是0或3， 故答案为：0或3． 类型五、根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 方法总结 1. 解表参数：解含参不等式组，用参数表示解集（如x > a、x≤b）。 2. 情况对应：根据解集情况（如无解、有解、解集为特定范围）建立关于参数的不等式（组）求解。 解题技巧 1. 数轴分析：在数轴上标出已知解集范围或“空集”条件，反向推断参数的边界。 2. 端点检验：涉及“≥”“≤”时，端点单独代入验证，确定是否包含等号。 例5．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）关于x的不等式组无解，则实数a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查根据不等式组的解集，求参数的范围，先求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，得到关于的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得， ∵不等式组无解， ∴，解得； 故答案为：． 【变式5-1】（24-25七年级下·云南丽江·期末）若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是明确“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则． 用含a的式子表示出不等式的解，结合条件进行求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是， ． 故答案为：． 【变式5-2】（24-25七年级下·青海海北·期末）已知关于的不等式组的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和已知不等式组的解集得出关于的不等式是解题关键．先求出不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出关于的不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 关于的不等式组的解集为， ， 解得， 故答案为：． 【变式5-3】（24-25七年级下·重庆丰都·月考）若关于的不等式组的解集为，求的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及解集的确定，解题的关键是分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据已知的不等式组解集确定参数的取值范围． 先分别求解不等式组中的两个不等式，再结合已知的不等式组解集，确定的取值范围． 【详解】解：解不等式 ． ． ． ． ． 解不等式 ． ． ． 因为第一个不等式的解集是，第二个不等式的解集是，所以． 解这个不等式 ． ，即． ． 综上，的取值范围是． 故答案为：． 类型六、整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题 方法总结 1. 先解整式方程：将方程（组）的解用参数表示。 2. 再列不等式：根据解的范围条件（如x > 0、y≤2），建立关于参数的一元一次不等式（组）求解。 解题技巧 1. 代入转化：将解表达式直接代入不等关系，转化为只含参数的不等式。 2. 双验防错：求出参数范围后，回代原方程验证解的存在性（如分母不为0、系数非零）。 例6．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知关于x的方程的解适合不等式，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式的解，解题的关键是先求解关于的方程． 先求出方程的解，代入不等式求解即可． 【详解】解：∵， 解得：， ∵方程的解适合不等式， ∴将 代入不等式， 得 ， 解得 ， 故答案为：． 【变式6-1】（2025八年级上·重庆·专题练习）已知关于x，y的方程组．若方程组的解满足，则m的非正整数和为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的解法，掌握相关知识是解决问题的关键．将方程组两方程相加得到 ，即，代入条件 得 ，解得 ，非正整数包括负整数和零，满足条件的非正整数为 ，求和即可 【详解】解：∵ 方程组 ， ① + ② 得：   ∴ ， ∵ ∴ ∴ ∴ 则m的非正整数为， ∴  ． 故答案为：． 【变式6-2】（24-25七年级下·山东德州·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，则满足题意的最小整数a是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求不等式的整数解，把方程组中两个方程相减得到，再由题意可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 得， ∴， ∵关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足， ∴， ∴， ∴满足题意的最小整数a是． 故答案为：． 【变式6-3】（25-26八年级上·湖南湘西·开学考试）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，一元一次不等式的解法，掌握整体代入列不等式是解题的关键． 把两个方程相加可得：，求出，再整体代入解不等式即可得到答案． 【详解】解： 得：， ， ∴， ∴． 故答案为：． 类型七、整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题 方法总结 1. 先解整式方程：解方程（组），用参数表示未知数。 2. 再列不等式组：将解代入题目给出的多个不等条件（如x > 0、y < 2），建立关于参数的一元一次不等式组求解。 解题技巧 1. 代入转化：把参数表达式直接代入每个不等关系，转化为纯参数不等式。 2. 求交集：解出每个参数不等式的解集后，取公共部分，并结合方程实际意义（如分母不为0）确定最终范围。 例7．（24-25七年级下·重庆·月考）若方程组的解满足，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组的应用，方程组中两方程相减求得，由求出k的取值范围即可． 【详解】解：， 得，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式7-1】（25-26八年级上·四川成都·月考）如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】19 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组的整数解，由方程组得，根据方程组有解得，不等式组解得，根据不等式组有且只有个整数解得出，从而确定的取值范围，继而得出答案，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组有解， ∴联立得， ∴ ∴， 解不等式组得， ∵关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为，，，， ∴， 解得， ∴整数，，，，和为． 故答案为：19． 【变式7-2】（25-26八年级上·重庆·月考）若实数使关于的不等式组有解且至多有个整数解，且使关于的方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的和为 . 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式组的整数解，关键是准确熟练地解一元一次方程和一元一次不等式组．先根据不等式组求出的范围，然后再根据方程求出的范围，从而确定的可能值，最后求和. 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有解且至多有3个整数解， ∴， ∴ 解方程得 ， ∵方程的解为非负数， 所以， 解得： ∴， ∵是整数， ∴， ∴满足条件的所有整数m的和为. 故答案为：15. 【变式7-3】（25-26八年级上·重庆·月考）若整数a使关于x的不等式组至少有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据二元次一次方程组的解及一元一次不等式组的解集情况求参数．先解不等式组，根据至少有4个整数解，得出a的取值范围，再解二元一次方程组，根据解为整数，得出a的值，求和即可． 【详解】解： 解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组至少有4个整数解， , , 解关于x、y的方程组，得， 这个方程组的解为整数， 为整数， 又, 或或， 或或， 将a的值代入，对应的y的值分别为：5，6，8，满足y为正整数， 满足条件的整数a的和为：， 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25八年级下·宁夏银川·月考）已知是关于x的一元一次不等式，则k的值是（　　） A．3 B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，且含有未知数的项的次数为1的不等式叫做一元一次不等式，据此求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 先解方程求出关于的表达式，再根据解为负数列不等式求解. 【详解】解：解关于的方程得，， ∵ 该方程的解为负数， ，即， 解得：， 故选：C． 3．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有三个非负整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据不等式的解集情况求参数，在数轴上表示不等式的解集，根据数轴可得，再由不等式有三个非负整数解得到这三个非负整数解是0，1，2，据此可得答案． 【详解】解析：由数轴可得，， 该不等式恰有三个非负整数解，这三个非负整数解是0，1，2， ． 故选：B． 4．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）若关于x的不等式的正整数解只有1和2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的解求参数的取值范围等知识；解不等式得，根据解集只有正整数解1与2，即可求得的取值范围． 【详解】解：解，得：， ∵关于x的不等式的正整数解只有1和2， ∴， 解得：， 故选：B． 5．（25-26八年级上·陕西西安·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法． 先解两个不等式，再依据不等式组无解可以得出a的取值范围． 【详解】解：∵不等式组为， 解不等式①，得 解不等式②，， ∵关于的不等式组无解， ∴时， 解得． ∴不等式组无解时，． 故选：A． 6．（24-25九年级上·湖北襄阳·自主招生）已知关于x、y的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②当时，x、y的值互为相反数；③若，则；④的最大值为11；其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组，解不等式，求一次函数的最值等，先解方程组得到解为 ，再逐一验证各结论是否正确． 【详解】解：∵ 方程组为 ， 用得：， ∴ ， 代入⑥得：， ∴ ， ∴ 方程组的解为 ． 对于结论①：给定解为 ，与上述解不符，∴ ①错误； 对于结论②：当 时，，， ∴ ，，互为相反数，∴ ②正确； 对于结论③：∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ， 则 ，当 时 ，当 时 ，∴ ，∴ ③正确； 对于结论④：， ∵ ，∴ 当 时 ，最大值为11，∴ ④正确； 综上，②③④正确， 故选：D． 二、填空题 7．（25-26七年级下·全国·周测）若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程以及一元一次不等式，解题的关键是解一元一次不等式． 先解方程求的值，然后根据解是正数，求出的取值范围即可． 【详解】解：解原方程得． ∵原方程的解是正数，即， ， 解得． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于的不等式是一元一次不等式，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，正确记忆含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键． 根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，据此求解即可． 【详解】解：由题意可得：且， 解得：， 故答案为：． 9．（2026七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式的最大整数解为3，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤． 先解关于的不等式，再根据不等式的最大整数解是，列出关于的不等式，解不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 系数化为得：， ∵关于的不等式的最大整数解为， ， 解得：． 故答案为：． 10．（25-26八年级下·全国·期末）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“同大取大”的原则，结合已知的解集，确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式组 解不等式， ． 解不等式， 得． 已知不等式组的解集为，根据“同大取大”的原则，要使成为解集，必须满足． 故答案为:． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法和不等式组解集的确定。解题关键是熟练掌握“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则来确定参数的范围． 11．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）已知关于的方程组，若方程组的解满足，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，求出是解答本题的关键．先解方程组求出的值，再根据列不等式求解即可． 【详解】解：， ，得， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（25-26八年级下·全国·期中）已知关于的不等式组恰好有两个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先解出不等式组中第二个不等式的解集，再结合得到不等式组的整体解集．根据“恰好有两个整数解”这一条件，确定这两个整数解，进而分析得到实数的取值范围． 【详解】解：解不等式 ： 两边同乘得： ∴不等式组的解集为 ． 由于解集恰好有两个整数解，且 ，整数解最大为，因此整数解只能为和． 为确保包含整数，需 ； 为确保不包含整数，需 ． 故实数 的取值范围是 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解题关键是：正确解出不等式组的解集；根据整数解的个数，分析确定参数 的边界条件． 三、解答题 13．（24-25八年级下·甘肃张掖·月考）已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义．利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【详解】解：依题意得，且， 解得：或，且 ． 14．（25-26七年级下·全国·周测）已知关于x的不等式组 (1)若这个不等式组有解，求a的取值范围． (2)若这个不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，掌握不等式组有解和无解的判定条件，即大小小大中间找、大大小小找不到是解题的关键． （1）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据有解则两个解集有公共部分，建立关于的不等式，从而求出的取值范围； （2）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据无解则两个解集无公共部分的原则，建立关于的不等式，从而求出的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式，得， 解不等式，得． ∵这个不等式组有解， ∴， 解得， ∴的取值范围为． （2）解：由（1）得： ∵这个不等式组无解， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 15．（25-26八年级上·浙江金华·月考）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了方程组与不等式组相结合的问题，不等式的性质，求不等式组的整数解，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解的情况建立不等式组求解即可； （2）根据不等式的性质可得，求出该不等式的解集，结合（1）所求得到m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； ∵方程组的解满足为非正数，为负数， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴不等式的两边同时除以时，不等号的方向发生了改变， ∴， ∴， ∴， 又∵m为整数， ∴． 16．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）定义：若一个方程（组）的解也是一个一元一次不等式的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式的“友好解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)方程的解一元一次不等式的“友好解”；（填“是”或“不是”） (2)若关于x，y的方程组的解是不等式的“友好解”，求k的取值范围； (3)方程的解是不等式的“友好解”，求m的最小整数值． 【答案】(1)是 (2) (3)6 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可； （2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于k的不等式，求解即可； （3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出m的范围，进而求出m的最小整数值即可． 【详解】（1）解方程，解得， 解不等式，解得， 满足不等式， 方程的解是一元一次不等式的“友好解”， 故答案为：是； （2）解：， 由②－①，得． 由，得， ∴，解得； （3）解：解方程，得． 由题意，得是不等式的“友好解”， ∴，解得， ∴m的最小整数值为6． 17．（24-25七年级下·云南临沧·期末）若不等式（组）有（为自然数）个正整数解，则称这个不等式（组）为阶不等式（组）．例如：有2个正整数解，则称它为2阶不等式；有3个正整数解，则称它为3阶不等式组，特殊地，如，有0个正整数解，则称它为0阶不等式． (1)判断：是几阶不等式？是几阶不等式组？ (2)已知关于的不等式组是4阶不等式组，求的取值范围． 【答案】(1)4阶，2阶 (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，不等式的定义，理解新定义是解答关键. （1）根据题目中的新定义，求出正整数解，再进行求解； （2）先求出不等式的解集，再利用4阶不等式组的定义来求解. 【详解】（1）解：， 解得， 即不等式的正整数解为， 是4阶不等式； 解得， 它有正整数解为， 它是2阶不等式组； （2）解：解不等式组得. 不等式组是4阶不等式组， 有4个正整数解，为1，2，3，4， ， 解得. 18．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 【答案】(1)不等式组对于不等式组绝对包含，理由见解析； (2)； (3) 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及新定义的应用，关键是理解新定义，将问题转化为不等式组的解集及解的判断问题． （1）先求解不等式组的解集，计算其绝对距离，再判断该绝对距离是否属于不等式组的解集即可； （2）先确定不等式组的绝对距离，求解不等式组的解集，根据“绝对包含”的定义列出关于和的不等式，结合的取值范围确定整数的取值，最后求和； （3）分别求解不等式组和的解集，计算的绝对距离，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合不等式组有解的条件确定的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式组：，得， 其绝对距离为； 不等式组的解集为，且，即3是不等式组的解， 不等式组B对于不等式组绝对包含； （2）解：不等式组：有解， ，其绝对距离为； 解不等式组，得； 不等式组D对于不等式组绝对包含， 是的解，即， 由不等式①得， 解得：， ， ，此条件与不等式组C有解的条件一致， 由不等式②得； 又，且， 整数的取值为； 这些整数的和为； （3）解：解不等式组：，得， 不等式组有解， ，解得， 其绝对距离为； 解不等式组：，<x<， 不等式组有解， ，解得，该条件在时自动满足； 不等式组对于不等式组绝对包含， 是的解，即，解得， 结合， 的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $