四川省达州市铁路中学2026-2027学年八年级上学期开学自测数学模拟试题

**基本信息** 四川省达州市铁路中学八年级开学自测数学模拟试题，分A、B卷（100+50分），覆盖勾股定理、实数、概率等核心知识，通过生活情境（如爬山路程、小鸟飞行）和文化素材（赵爽弦图）考查数学眼光与思维，适配开学衔接检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|勾股数（第1题）、无理数识别（第2题）、必然事件（第3题）|基础概念辨析，结合简单计算| |填空题|10题40分|概率计算（第9题）、平方根性质（第12题）、长方体表面最短路径（第23题）|小切口深挖掘，联系空间观念| |解答题|8题78分|勾股定理证明（第18题“双求法”）、几何动态探究（第26题）、代数与图形结合（第25题）|综合题注重推理与模型意识，如第18题通过赵爽弦图渗透文化，第26题以几何变换培养创新思维|

四川省达州市铁路中学2026-2027学年八年级上学期开学自测数学模拟试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．0.6，0.8，1 B．3，4，5 C．， D．1，2， 2．下列实数：，，，，3.14，0，，，1.010010001…（每相邻两个1之间0的个数依次增加1），其中无理数有（　　）个 A．3 B．4 C．5 D．6 3．下列事件中，属于必然事件的是（　　） A．任意画一个三角形，它的内角和是200° B．掷一枚骰子，朝上一面的点数为2 C．抛出的篮球会下落 D．一名运动员每次命中靶心 4．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（　　） A．6米 B．8米 C．10米 D．12米 5．如图所示，已知直线a∥b，∠1＝120°，∠2＝62°，则∠3的度数为（　　） A．58° B．59° C．60° D．62° 6．如图，OA＝5，过点A作直线l⊥OA，点B在直线l上，AB＝2，以点O为圆心，以OB长为半径作弧，与OA的延长线交于点C，则点C表示的实数是（　　） A． B． C．7 D．29 7．清明假期第一天天气晴朗，小明与爸爸去爬山．小明与爸爸同时从山脚出发，由于爸爸有爬山经验，始终保持着较慢的速度匀速运动到山顶．小明刚开始的时候比爸爸速度快，累了之后减速继续爬山，和爸爸相遇再爬了半个小时后加速追赶爸爸，最终爸爸用2个小时爬上了山顶，小明比爸爸晚了6分钟到达．如图，横坐标为时间，纵坐标为爬山的路程．则下列说法错误的是（　　） A．爸爸的爬山速度为3km/h B．1.5小时的时候爸爸与小明的距离为0.5km C．山脚到山顶的总路程为6km D．小明最后一段速度为3km/h 8．如图，AD为△ABC的中线，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，若∠DBE＝40°，则∠DEF的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．在一个不透明的口袋中装有6个红球和若干个白球，每个球除颜色外都相同，随机摸出一个球是红球的概率为，则白球的个数为　　 ． 10．已知（x+2）（2x﹣m）的结果不含x的一次项，则m的值是 　　 ． 11．一个等腰三角形的周长为32，设它的腰长为x，底边长为y，则y与x之间的关系式为y＝　　 ． 12．已知一个正数的两个平方根分别是5﹣a和2a﹣1，那么a的值为　　 ，这个正数为　　 ． 13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若CA＝4，CB＝3，则CD＝　　 ． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．计算或解方程：（1）； （2）（1+2m）2﹣（3+2m）（﹣3+2m）； （3）4x2﹣20＝0； （4）49（x+1）2+75＝300． 15．如图，把一块直角三角形（△ABC，∠ACB＝90°）土地划出一个三角形（△ADC）后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米． （1）求证：∠ADC＝90°； （2）求图中阴影部分土地的面积． 16．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写出作法），并解答下列问题． （1）作△ABC关于直线MN的轴对称图形△A1B1C1； （2）在MN上画出点P，使得PA+PB的和最小； （3）求△ABC的面积． 17．如图，在等边三角形ABC的三边上分别取点D、E、F，使得AD＝BE＝CF． （1）试判断△DEF的形状，并说明理由； （2）若AB＝12，且BD＝2AD，求△DEF的周长． 18．综合与实践：【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角△ABC和△DEA如图2放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC＝∠DEA＝90°，显然BC⊥AD． （1）请用a，b，c，分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2＝c2． （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，则△ABC面积为 　　 ． （3）如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝5，AC＝6，BC＝7，设BD＝x，求x的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．若a2﹣2ka+9是一个完全平方式，则k＝　　 ． 20．已知，则x+y的平方根是 　　 ． 21．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若直角三角形两直角边分别为6和8，则图中阴影部分的面积为_______. 22．根据图中的程序，当输入x为64时，输出y的值是_______. 23．如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为3cm，4cm，5cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是 　　 cm． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．已知一个数m的两个平方根分别为a和． （1）求m的值； （2）如图在数轴上，若点A表示的数是a，点M表示的数是m，点B表示的数是b，点B在点A的左侧且满足BA＝2AM，求的平方根． 25．【阅读材料】众所周知，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能表现一些代数中的数量关系，运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在某次数学活动课上，王老师准备了若干张如图1所示的甲，乙两种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，现用甲种纸片一张，乙种纸片一张，将甲种纸片放置在乙种纸片内部右下角，如图所示． 【理解应用】（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式； 【拓展升华】（2）利用（1）中的等式解决下列问题． ①已知（a﹣b）2＝4，b2＝9，且a＞b，求a2的值； ②已知（4044x﹣2）•2022x＝2021，求（1﹣2022x）2+20222x2的值． 26．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，点E是BC上一点，连接DE、AE，∠AED＝∠ABC，点F是AE上一点，且EF＝DE，连接CF． （1）如图1，若CE＝BD＝2，BC＝6，求CF的长度； （2）如图2，若CE＝AD，点G为CF上一点，连接EG，且∠CEG＝∠EAB，求证：AE＝2GE； （3）如图3，若CE＝AD，EF，∠ABC＝45°，当CF取得最小值时，请直接写出△ABE的面积． 参考答案 四川省达州市铁路中学2026-2027学年八年级上学期开学自测数学模拟试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．0.6，0.8，1 B．3，4，5 C．， D．1，2， 【解答】解：A、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意； B、32+42＝52，是勾股数，符合题意； C、三个数都不是整数，不是勾股数，不符合题意； D、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 2．下列实数：，，，，3.14，0，，，1.010010001…（每相邻两个1之间0的个数依次增加1），其中无理数有（　　）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：是有理数，是有理数， 无理数有：，，1.010010001…（每相邻两个1之间0的个数依次增加1），共3个， 故选：A． 3．下列事件中，属于必然事件的是（　　） A．任意画一个三角形，它的内角和是200° B．掷一枚骰子，朝上一面的点数为2 C．抛出的篮球会下落 D．一名运动员每次命中靶心 【解答】解：A、“任意画一个三角形，它的内角和是200°”是不可能事件，不符合题意； B、“掷一枚骰子，朝上一面的点数为2”是随机事件，不符合题意； C、“抛出的篮球会下落”是必然事件，符合题意； D、“一名运动员每次命中靶心”是随机事件，不符合题意； 故选：C． 4．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（　　） A．6米 B．8米 C．10米 D．12米 【解答】解：两棵树的高度差为8﹣2＝6（米），间距为8米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离10（米）． 故选：C． 5．如图所示，已知直线a∥b，∠1＝120°，∠2＝62°，则∠3的度数为（　　） A．58° B．59° C．60° D．62° 【解答】解：∵∠1＝120°，∠2＝62°， ∴∠CAD＝120°﹣62°＝58°， ∵a∥b， ∴∠3＝∠CAD＝58°． 故选：A． 6．如图，OA＝5，过点A作直线l⊥OA，点B在直线l上，AB＝2，以点O为圆心，以OB长为半径作弧，与OA的延长线交于点C，则点C表示的实数是（　　） A． B． C．7 D．29 【解答】解：在Rt△AOB中，OA＝5，AB＝2， 根据勾股定理得：OC＝OB， 则点C表示的实数是． 故选：B． 7．清明假期第一天天气晴朗，小明与爸爸去爬山．小明与爸爸同时从山脚出发，由于爸爸有爬山经验，始终保持着较慢的速度匀速运动到山顶．小明刚开始的时候比爸爸速度快，累了之后减速继续爬山，和爸爸相遇再爬了半个小时后加速追赶爸爸，最终爸爸用2个小时爬上了山顶，小明比爸爸晚了6分钟到达．如图，横坐标为时间，纵坐标为爬山的路程．则下列说法错误的是（　　） A．爸爸的爬山速度为3km/h B．1.5小时的时候爸爸与小明的距离为0.5km C．山脚到山顶的总路程为6km D．小明最后一段速度为3km/h 【解答】解：A、由图象可知，爸爸的爬山速度为3km/h，故A正确，不符合题意； B、小明累了之后减速继续爬山，此时速度是（3﹣2）÷（1﹣0.5）＝2km/h， ∴1.5小时的时候，小明爬山的路程为：2+2×（1.5﹣0.5）＝4（km）， 1.5小时的时候，爸爸爬山的路程为：3×1.5＝4.5（km）， ∴1.5小时的时候，爸爸与小明的距离是4.5﹣4＝0.5（km），故B正确，不符合题意； C、爸爸的爬山速度为3km/h，爸爸用2个小时爬上了山顶， ∴山脚到山顶的总路程为6km，故C正确，不符合题意； D、小明最后一段速度为（6﹣4）÷（21.5）（km/h），故D错误，符合题意； 故选：D． 8．如图，AD为△ABC的中线，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，若∠DBE＝40°，则∠DEF的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【解答】解：∵DE平分∠ADB，DF平分∠ADC， ∴，， ∴， ∵BE⊥DE，CF⊥DF， ∴∠BED＝∠DFC＝90°， ∴∠DBE+∠BDE＝90°， ∴∠DBE＝∠CDF， ∵AD为△ABC的中线， ∴BD＝DC， ∴△BDE≌△DCF（AAS）， ∴BE＝DF， ∵∠BED＝∠EDF＝90°，DE＝ED， ∴△BDE≌△FED（SAS）， ∴∠EFD＝∠DBE＝40°， ∴∠DEF＝180°﹣∠EDF﹣∠EFD＝50°， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．在一个不透明的口袋中装有6个红球和若干个白球，每个球除颜色外都相同，随机摸出一个球是红球的概率为，则白球的个数为　8个　 ． 【解答】解：由题意知，袋中球的总个数为614（个）， 则白球的个数为14﹣6＝8（个）， 故答案为：8个． 10．已知（x+2）（2x﹣m）的结果不含x的一次项，则m的值是 　4　 ． 【解答】解：（x+2）（2x﹣m） ＝2x2﹣mx+4x﹣2m ＝2x2+（4﹣m）x﹣2m， ∵结果不含x的一次项， ∴4﹣m＝0， ∴m＝4， 故答案为：4． 11．一个等腰三角形的周长为32，设它的腰长为x，底边长为y，则y与x之间的关系式为y＝　﹣2x+32　 ． 【解答】解：∵2x+y＝32， ∴y＝32﹣2x，即x＜16， 故答案为：﹣2x+32． 12．已知一个正数的两个平方根分别是5﹣a和2a﹣1，那么a的值为　﹣4　 ，这个正数为　81　 ． 【解答】解：由题意可得：（5﹣a）+（2a﹣1）＝0， a＝﹣4， ∴这个正数是：[5﹣（﹣4）]2＝81． 故答案为：﹣4，81． 13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若CA＝4，CB＝3，则CD＝　　 ． 【解答】解：由勾股定理得：AB5， ∵△ABC的面积AB•CDAC•BC， ∴5×CD＝3×4， ∴CD． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．计算或解方程：（1）； （2）（1+2m）2﹣（3+2m）（﹣3+2m）； （3）4x2﹣20＝0； （4）49（x+1）2+75＝300． 【解答】解：（1）原式＝41+4﹣2 ＝21+4﹣2 ＝3； （2）原式＝1+4m+4m2﹣（4m2﹣9） ＝1+4m+4m2﹣4m2+9 ＝4m+10； （3）∵4x2﹣20＝0， ∴4x2＝20， ∴x2＝5， ∴； （4）∵49（x+1）2+75＝300， ∴49（x+1）2＝225， ∴， ∴或， ∴，． 15．如图，把一块直角三角形（△ABC，∠ACB＝90°）土地划出一个三角形（△ADC）后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米． （1）求证：∠ADC＝90°； （2）求图中阴影部分土地的面积． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，BC＝12米，AB＝13米， ∴AC5（米）， ∵CD＝3米，AD＝4米， ∴AD2+CD2＝AC2＝25， ∴∠ADC＝90°； （2）解：图中阴影部分土地的面积AC×BCAD×CD5×124×3＝24（平方米）． 16．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写出作法），并解答下列问题． （1）作△ABC关于直线MN的轴对称图形△A1B1C1； （2）在MN上画出点P，使得PA+PB的和最小； （3）求△ABC的面积． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，连接AB1，交直线MN于点P，连接PB， 此时PA+PB＝PA+PB1＝AB1，为最小值， 则点P即为所求． （3）△ABC的面积为． 17．如图，在等边三角形ABC的三边上分别取点D、E、F，使得AD＝BE＝CF． （1）试判断△DEF的形状，并说明理由； （2）若AB＝12，且BD＝2AD，求△DEF的周长． 【解答】解：（1）△DEF是等边三角形， 理由：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠B＝∠C＝60°， ∵点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且AD＝BE＝CF， ∴AB﹣AD＝BC﹣BE， ∴BD＝CE， 在△DBE和△ECF中， ， ∴△DBE≌△ECF（SAS）， ∴DE＝EF，∠BDE＝∠CEF， ∴∠BED+∠CEF＝∠BED+∠BDE＝180°﹣∠B＝120°， ∴∠DEF＝180°﹣（∠BED+∠CEF）＝60°， ∴△DEF是等边三角形． （2）在AB上截取BH＝BE，连接EH， ∵∠B＝60°， ∴△BEH是等边三角形， ∴EH＝BH，∠BEH＝∠BHE＝60°， ∵BD＝2AD，且AD＝BE， ∴BD＝2BE＝2BH＝BH+DH， ∴BH＝DH， ∴EH＝DH， ∴∠HDE＝∠HED， ∵∠BHE＝∠HDE+∠HED＝2∠HED＝60°， ∴∠HED＝30°， ∴∠BED＝∠BEH+∠HED＝90°， ∵AB＝BD+AD＝3AD＝12， ∴AD＝BE＝4， ∴BD＝2×4＝8， ∵△DEF是等边三角形， ∴DF＝EF＝DE4， ∴DF+EF+DE＝3DF＝12， ∴△DEF的周长是12． 18．综合与实践：【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角△ABC和△DEA如图2放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC＝∠DEA＝90°，显然BC⊥AD． （1）请用a，b，c，分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2＝c2． （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，则△ABC面积为 　6　 ． （3）如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝5，AC＝6，BC＝7，设BD＝x，求x的值． 【解答】（1）证明：∵，，， S四边形ABCD＝S梯形AEDC+S△BED， ∴， ∴， ∴a2+b2＝c2； （2）解：， 故答案为：6； （3）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得： AD2＝AB2﹣BD2＝52﹣x2＝25﹣x2 ∵BD+CD＝BC＝7， ∴CD＝BC﹣BD＝7﹣x 在Rt△ACD中，由勾股定理得 AD2＝AC2﹣CD2＝62﹣（7﹣x）2＝﹣13+14x﹣x2 ∴25﹣x2＝﹣13+14x﹣x2， ∴． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．若a2﹣2ka+9是一个完全平方式，则k＝　±3　 ． 【解答】解：∵多项式a2﹣2ka+9是一个完全平方式， ∴﹣2ka＝±2•a•3， 解得：k＝±3． 故答案为：±3． 20．已知，则x+y的平方根是 　±2　 ． 【解答】解：∵，且根号下不能为负， ∴x﹣3≥0，3﹣x≥0， ∴x＝3， ∴y＝1， ∴x+y＝4， ∴x+y的平方根是±2， 故答案为：±2． 21．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若直角三角形两直角边分别为6和8，则图中阴影部分的面积为___24____. 【解答】解：将阴影部分分割如图所示： 根据直角三角形的三边为6、8、10． 所以阴影部分的面积为2×10+2×2＝24． 故答案为：24． 22．根据图中的程序，当输入x为64时，输出y的值是_______. 【解答】解：当输入x为64时， y8，8是有理数， 2，2是有理数， ∴y， ∴当输入的x＝64时，输出的值是，． 故答案为：． 23．如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为3cm，4cm，5cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是 　　 cm． 【解答】解：设定字母如图所示： ①如图1，展开后连接AB，则AB就是在表面上从A到B的最短距离， 在Rt△ABM中，由勾股定理得：； ②如图2，展开后连接AB，则AB就是在表面上从A到B的最短距离， 在Rt△ADB中，由勾股定理得：； ③如图3，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离， 在Rt△ANB中，由勾股定理得：． ∵ ∴蚂蚁爬行的最短路程是． 故答案为：． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．已知一个数m的两个平方根分别为a和． （1）求m的值； （2）如图在数轴上，若点A表示的数是a，点M表示的数是m，点B表示的数是b，点B在点A的左侧且满足BA＝2AM，求的平方根． 【解答】解：（1）∵一个数m的两个平方根分别为a和a﹣2， ∴a+a﹣20， 解得a， ∴m＝a2＝10； （2）∵点A表示的数是，点M表示的数是10，点B表示的数是b，点B在点A的左侧， ∴ABb，AM＝10， ∵BA＝2AM， ∴b＝2（10）， 解得b＝320， ∴b﹣328 ＝320﹣328 ＝8； ∴b﹣328的立方根是2． 25．【阅读材料】众所周知，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能表现一些代数中的数量关系，运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在某次数学活动课上，王老师准备了若干张如图1所示的甲，乙两种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，现用甲种纸片一张，乙种纸片一张，将甲种纸片放置在乙种纸片内部右下角，如图所示． 【理解应用】（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式； 【拓展升华】（2）利用（1）中的等式解决下列问题． ①已知（a﹣b）2＝4，b2＝9，且a＞b，求a2的值； ②已知（4044x﹣2）•2022x＝2021，求（1﹣2022x）2+20222x2的值． 【解答】解：（1）图2中阴影部分的面积为：（y﹣x）2， 还可以表示为：y2﹣x2﹣2x（y﹣x）， ∴（y﹣x）2＝y2﹣x2﹣2x（y﹣x）， ∴（y﹣x）2＝y2﹣2xy+x2． （2）①∵（a﹣b）2＝4， ∴a﹣b＝±2， ∵a＞b， ∴a﹣b＝2， ∵b2＝9， ∴b＝±3， ∴a＝b+2＝5或﹣1， ∴a2＝25或1． ②设a＝1﹣2022x，b＝2022x， 则a+b＝1，2ab＝﹣2021， ∴原式＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝1+2021 ＝2022． 26．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，点E是BC上一点，连接DE、AE，∠AED＝∠ABC，点F是AE上一点，且EF＝DE，连接CF． （1）如图1，若CE＝BD＝2，BC＝6，求CF的长度； （2）如图2，若CE＝AD，点G为CF上一点，连接EG，且∠CEG＝∠EAB，求证：AE＝2GE； （3）如图3，若CE＝AD，EF，∠ABC＝45°，当CF取得最小值时，请直接写出△ABE的面积． 【解答】解：（1）如图， ∵∠AED＝∠ABC，∠AED+∠1+∠3＝180°，∠ABC+∠1+∠2＝180°， ∴∠2＝∠3， 在△CEF和△BDE中， ， ∴△CEF≌△BDE（SAS）， ∴CF＝BE， ∵CE＝BD＝2，BC＝6， ∴CF＝BE＝BC﹣CE＝4； （2）如图，延长EG到P，使得EP＝EA，连接PF， ∵∠CEG＝∠EAB，∠4+∠CEG＝∠B+∠EAB， ∴∠4＝∠B， 又∠B＝∠5， ∴∠4＝∠5， 在△PEF和△AED中， ， ∴△PEF≌△AED（SAS）， ∴∠EAB＝∠P，AD＝PF， ∵∠EAB＝∠CEG，AD＝CE， ∴∠P＝∠CEG，PF＝CE， 在△PGF和△EGC中， ， ∴△PGF≌△EGC（AAS）， ∴GE＝GP， ∴AE＝PE＝2GE； （3）如图，延长ED至点M，使DE＝DM，连接AM， 则EF＝ED＝DM， ∵∠AED＝∠ABC，∠AED+∠CEF+∠BED＝180°，∠ABC+∠BDE+∠BED＝180°， ∴∠CEF＝∠BDE， ∵∠ADM＝∠BDE， ∴∠CEF＝∠ADM， 在△CEF和△ADM中， ， ∴△CEF≌△ADM（SAS）， ∴CF＝AM， ∴当AM⊥AE时，AM最小，即CF最小， ∵∠ABC＝45°＝∠AED， ∴此时△AEM为等腰直角三角形， ∵D为EM的中点， ∴∠EADEAM＝45°，AD⊥EM， ∴∠AED＝90°，即△ABE为等腰直角三角形， ∴△ADE和△BDE均为等腰直角三角形， ∵EF＝DE， ∴BEDE， ∴S△ABE2． 学科网（北京）股份有限公司 $