专题05 有理数章末56道压轴题型专训（8大题型）-2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学有理数章末复习讲义通过8大题型分类框架系统梳理知识体系，涵盖数轴数形综合、绝对值非负性等核心内容，以经典例题呈现知识脉络，突出数形结合、规律探究等重难点内在联系。 讲义亮点在于压轴题型分层设计，如数轴移动综合应用题（例36-42）培养几何直观与推理意识，正负数实际应用（例15-21）联系生活培养应用意识，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

专题05 有理数章末56道压轴题型专训（8大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、数轴数形综合 1 题型二、绝对值非负性拓展 2 题型三、正负数实际应用 3 题型四、有理数规律探究 4 题型五、数轴整点探究 5 题型六、数轴移动综合应用题 6 题型七、相反数的应用 7 题型八、绝对值几何意义一一距离最值问题 8 【经典例题一 数轴数形综合】 1．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）数轴上点A，B分别表示有理数a，b，这两点之间的距离记为，即．利用数形结合思想回答下列问题： (1)表示2和5的两点之间的距离为______，表示2和的两点之间的距离为______； (2)表示x和的两点之间的距离为__________；（用含有x的式子表示） (3)求的最小值为__________； (4)求的最小值为__________． 【答案】(1)3，5 (2) (3)8 (4) 【分析】本题主要考查了绝对值的意义、数轴上两点之间的距离等知识， （1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （2）结合数轴上两点之间的距离公式，即可获得答案； （3）结合题意分析，可知表示x的点在表示和5的点之间时，的值最小，即可获得答案； （4）分析可知，当表示的点位于数轴上表示1的点和表示2025的点中间位置，即时，取最小值，然后求解即可． 【详解】（1）解：表示2和5的两点之间的距离为， 表示2和的两点之间的距离为． 故答案为：3，5． （2）表示x和的两点之间的距离为． 故答案为：． （3），即数轴上表示的点到表示的点的距离与到表示5的点的距离之和，当表示的点位于表示的点与表示5的点之间时，距离最小， 则的最小值为． 故答案为：8． （4）结合题意，可知为数轴上表示的点到表示1的点的距离， 为数轴上表示的点到表示2的点的距离， 为数轴上表示的点到表示3的点的距离， …， 为数轴上表示的点到表示2025的点的距离， 当表示的点位于数轴上表示1的点和表示2025的点中间位置，即时， 取最小值， 此时 ． ． 故答案为：． 2．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）综合与实践：【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和9两点之间的距离是_______；数轴上表示6和的两点之间的距离是_______； 【独立思考】： （2）数轴上表示y和的两点之间的距离表示为_______； （3）试用数轴探究：当时m的值为_______． 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （4）利用数轴求出的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？ 【答案】[问题情境]（1）， [独立思考]（2）；（3）或；（4）3； 【分析】本题主要考查数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离的计算，绝对值的性质，理解两点之间距离的计算方法是解题的关键． [问题情境] （1）根据材料提示的计算方法计算即可； [独立思考] （2）根据材料提示的计算方法计算即可； （3）根据材料提示方法，绝对值的性质计算即可； （4）根据题意，画出数轴，可得当表示数的点在表示数的点的左边，或表示数的点的右边的位置时，的值大于，由此即可求解． 【详解】解：[问题情境] （1），， 故答案为：，； [独立思考] （2）， 故答案为：； （3）， ∵， ∴或， 解得，或， 故答案为：或； （4）表示数的点到表示数的点的距离与数的点到表示数的点的距离之和，如图所示， ∵表示数的点到表示数的点的距离为， ∴当表示数的点在表示数的点的左边，或表示数的点的右边的位置时，的值大于， ∴取得最小值时，表示数的点在，最小值为，此时可取的整数有． 3．（25-26七年级上·安徽六安·阶段检测）数轴是一个非常重要的数学工具，它是“数形结合”的基础，如图，现有一木棍紧贴着数轴放置，左端点A与表示的点重合，右端点B与原点重合． (1)如图1，将木棍沿着数轴负方向平移使得点B与表示的点重合，则平移后的点A表示的数为 ；将木棍沿着数轴正方向平移使得点A与原点重合，则平移后的点B表示的数为 ． (2)如图2，M是木棍上任意一点，是木棍按照（1）沿着数轴负方向平移后的对应点，是木棍按照（1）沿着数轴正方向平移后的对应点，设对应的有理数为，对应的有理数为，则 ． (3)小明问爷爷现在的年龄是多少，爷爷说：“我像你这么大时，你还有40年才出生；等你到我这个年纪时，我已经110岁高龄了．”问小明和爷爷现在的年龄各是多少？ 【答案】(1)； (2)6 (3)爷爷现在的年龄是60岁，小明现在的年龄10岁． 【分析】本题考查了数轴和数轴上两点间的距离，对数轴和数轴上两点间距离公式的概念的正确理解是解题的关键． （1）求得，由题意即可求出点、点所表示的数； （2）由（1），据此结合木棒的长，求得；；据此求解即可； （3）借助数轴，把小明与爷爷的年龄差看作木棒，把爷爷比小明大看作点移动到点，此时点所对应的数为，接下来可把小明比爷爷大时看作点移动到点，此时点所对应的数为110，据此可求出爷爷比小明大的岁数，进而可知爷爷和小明的年龄． 【详解】（1）解：由题意得， 将木棍沿着数轴负方向平移使得点B与表示的点重合，则平移后的点A表示的数为；将木棍沿着数轴正方向平移使得点A与原点重合，则平移后的点B表示的数为； 故答案为：；； （2）解：设M对应的数为， 由题意得；； ∴， 故答案为：6； （3）解：由图可知，把小明与爷爷的年龄差看作木棒，类似爷爷是小明现在年龄时看作当点移动到点时，此时点所对应的数位， 当点移动到点时，此时点所对应的数为110， 爷爷比小明大（岁， 爷爷的年龄为（岁， 小明的年龄为（岁， 答：爷爷现在的年龄是60岁，小明现在的年龄10岁． 4．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想． ①若数轴上点，点表示的数分别为，其中表示点和点之间的距离．若位置不确定时，则，若点在的右侧，即，则； ②点向右运动个单位长度后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度后，点表示的数为：． 【问题情境】如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． (1)表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为______； (2)运动秒后，点表示的数为______；点表示的数为______；（用含的式子表示）；并求的距离． (3)当点在点左侧时，是否存在常数，使的值为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，， (3)存在常数，使的值为定值 【分析】本题考查了数轴的应用、整式加减的应用，理解题意，能用式子表示出点所表示的数是解题关键． （1）根据点在点的左侧，即可得的距离； （2）根据在数轴上点表示数，点表示数1，点、点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度在数轴上同时向左运动，即可求解； （3）先根据时间和速度分别求出运动秒后，点、点和点所表示的数，从而可得、的值，再根据整式的加减法则进行化简，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：在数轴上点表示数，点表示数1， 运动之前，的距离为， 故答案为：； （2）解：在数轴上点表示数，点表示数1，点、点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度在数轴上同时向左运动， 运动秒后，点所表示的数为，点所表示的数为， 故答案为：，； 的距离为； （3）解：在数轴上点表示数9，点以每秒4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动， 运动秒后，点所表示的数为， 当点在点左侧时，， ， 当时，即时，结果与无关，即的值为定值， 存在常数，使的值为定值． 5．（25-26七年级上·安徽芜湖·阶段检测）综合与实践 【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫作数形结合思想． 【回归课本】 （1）在数轴上，如果A，B两点分别表示互为相反数的两个数，点A在点B的左侧，并且两点之间的距离是5，那么这两个点表示的数分别是多少？ 【拓展延伸】 （2）在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点A运动到对应的点时． ①求A，B两点之间的距离； ②C是数轴上一点，对应的数是x，当A，C两点之间的距离与B，C两点之间的距离之和为最小值时，x可取的整数共有多少个？请直接写出答案． 【规律探究】 （3）点（n为正整数）都在数轴上，点在原点O的左边，且，O两点之间的距离为1，点在点的右边，且，两点之间的距离为2，点在点的左边，且，两点之间的距离为3……依照上述规律，请直接写出点，表示的数． 【答案】（1）A，B两点表示的数分别是和；（2）①A，B两点之间的距离是个单位长度；②x可取的整数共有22个；（3）点表示的数为，点表示的数为1013 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、列代数式，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用两点之间的距离公式结合相反数的定义即可求解； （2）①先求得运动的时间，再求得A，B两点之间的距离； ②先判断当C点在A，B两点之间时，A，C两点之间的距离与B，C两点之间的距离之和为最小值，据此求解即可； （3）先找到规律，求得表示的数为（n为奇数），表示的数为（n为偶数），据此求解即可． 【详解】解：（1）因为A，B两点分别表示互为相反数的两个数， 所以A，B两点在原点异侧. 因为A，B两点之间的距离是5， 所以， 因为点A在点B的左侧，所以A，B两点表示的数分别是和； （2）①因为（秒）， ， ， 所以此时A，B两点之间的距离是个单位长度； ②由题意，当C点在A，B两点之间时，A，C两点之间的距离与B，C两点之间的距离之和为最小值， 此时，x可取的整数共有22个； （3）点，分别表示的数为，1013. 因为点在原点O的左边，且，O两点之间的距离为1， 所以点表示的数是， 因为点在点的右边，且，两点之间的距离为2， 所以点表示的数是1， 因为点在点的左边，且，两点之间的距离为3， 所以点表示的数是， 因为点在点的右边，且，两点之间的距离为4， 所以点表示的数是2， …… 所以表示的数为（n为奇数），表示的数为（n为偶数）， 所以点表示的数为，点表示的数为1013． 6．（25-26六年级上·山东淄博·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法，请同学们利用数形结合的思想研究绝对值的几何意义． 【阅读理解】 的几何意义是数轴上x对应的点与原点之间的距离；的几何意义是数轴上x对应的点与2对应的点之间的距离；的几何意义是数轴上x对应的点与对应的点之间的距离加上x对应的点与2对应的点之间的距离，即线段与的长度之和，如下图． 【发现问题】在数轴上，点A，B，P分别表示的是，2，x，当点P在数轴上运动时，是否有最小值？ 【探究问题】 (1)点A到点B的距离是________，若，则________． (2)请结合点在数轴上的位置，思考P点可能的3种情况： ①当点P在点A的左侧时，_____3；（用“”“”“”回答）， ②当点P在点B的右侧时，______3；（用“”“”“”回答）， ③当点P在之间（包括在点A，B上）时，____3；（用“”“”“”回答）， 【解决问题】 (3)根据刚才的探究，的最小值是________． 【应用问题】 (4)①请利用数轴，探索时x的值； ②请直接写出的最小值． 【答案】(1)3；5或 (2)①；②；③ (3)3 (4)①或3；② 【分析】本题考查了数轴，理解题意是解决本题的关键． （1）根据题意求解即可； （2）①根据题意可得；②根据题意可得；③根据题意可得； （3）由（2）进行计算即可； （4）①分别讨论当时和当时进行计算即可；②根据题意可得，当时，有最小值并进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得，点A到点B的距离是， 由可得，x与2的距离为3， ∵， ∴或， 故答案为：3，5或； （2）解：根据题意得，当点P在点A的左侧时，， 故答案为：； ②当点P在点B的右侧时，； 故答案为：； ③当点P在之间（包括在点A，B上）时，； 故答案为：； （3）解：由（2）可得，当x在和2之间时， ∴的最小值是， 故答案为：3； （4）解：①∵表示x与两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 当时，表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离为1，表示与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离为4， ∴， ∴符合题意， 当时，表示3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离为4，表示3与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离为1， ∴， ∴符合题意． 综上所述：当时，x的值是：或3 ②根据题意可得，当时，有最小值， 最小值为： ． 7．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）【知识储备】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________； (2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）； (3)通过计算说明，当时，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请确定哪个点是哪两个点的中点，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4，5 (2) (3)当时，不存在一点为另外两点的中点，理由： 解：三点中不存在一点为另外两点的中点， 当时， 点A表示的数为， 点B表示的数为， 点C表示的数为， ∴，，， ∵， ∴三点中不存在一点为另外两点的中点． 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系． （1）根据数轴两点间的距离，即可求解； （2）根据题意得：t秒钟过后，点A表示的数为； （3）点B表示的数为，点C表示的数为，分三种情况讨论，结合线段的中点表示的数为，即可求解； 【详解】（1）解：点A表示数，点B表示数1，点表示数9， ∴的距离为； B点与C点的中点D表示的数为； 故答案为：4，5； （2）点以每秒2个单位长度的速度在数轴上同时向左运动， 运动t秒后，点A表示的数为； 故答案为：； （3）略 【经典例题二 绝对值非负性拓展】 8．（25-26七年级上·全国·期末）已知与互为相反数，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查有理数的混合运算，绝对值的非负性，根据互为相反数的两数之和为0，以及非负性求出的值，再根据有理数的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：因为与互为相反数， 所以， 所以， 所以． 所以． 9．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）（1）已知，且，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了绝对值的非负性． （1）由已知得，，代入计算即可； （2）根据绝对值的非负性得到，，可知，． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴，， 则，； （2）解：∵，，且， ∴，， ∴，． 10．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）已知与互为相反数． (1)则______，______； (2)若，求x的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的定义，解绝对值方程． （1）根据绝对值具有非负性，且互为相反数的两个数之和为零可知，，即可得到，； （2）将 和 的值代入方程 ，解绝对值方程即可得到 的值． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ，． 故答案为：，； （2）解：由（1）知 ，， 代入 ，得 ， ∴ 或 ， ∴ 或 ． 11．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）小亮同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)若，，请你分别求出m、n的值； (2)试计算的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）利用绝对值的定义及相反数的定义求得m，n的值即可； （2）结合（1）中所求结果，根据定义的新运算列式计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， 解得：； （2）解：，， ． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： (1)当_____时，有最小值，这个最小值是_____． (2)当_____时，有最大值，这个最大值是_____． 【答案】(1)，0 (2)1， 【分析】（1）仅当时，有最小值； （2）,要使得有最大值，则只需满足即可. 【详解】（1）解：根据题意得：， 仅当时， 即,. 当时，有最小值，这个最小值为0. （2）解：， ， 仅当时，即， ， 当时，有最大值，这个最大值为2025. 【点睛】本题考查了绝对值的非负性质，熟练掌握绝对值的相关运算是解本题的关键. 13．（25-26七年级上·河北沧州·期中）如图，数轴上的点，分别表示有理数，，且，．    (1)求，的值； (2)，两点相距多少个单位长度？ (3)若点在数轴上，且点到点的距离是点到点的距离的，求点表示的数； (4)点从点出发，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，，依次操作次后，求点表示的数． 【答案】(1)，； (2)； (3)或； (4)． 【分析】本题主要考查绝对值和数轴及两点间的距离公式，根据题意分类讨论思想的运用是解题的关键． （）根据绝对值的定义结合由数轴得出的符号即可得； （）根据数轴上两点间的距离公式即可得； （）设点表示的数为，则，，根据题意得，然后求出的值即可； （）根据移动的方向和距离，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，，且由数轴可知，， ∴，； （2）解：， ∴，两点相距个单位长度； （3）解：设点表示的数为， ∴，， ∵点到点的距离是点到点的距离的， ∴， ∴或， 解得：或， ∴点表示的数为或； （4）解： ， 所以操作次后，点表示的数为． 14．（25-26七年级上·广东汕头·阶段检测）如图是一个不完整的数轴（未标出原点），在数轴上有A和B两点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，a和b满足的关系式为，点C在数轴上运动，表示的数为c． (1)a=______，b=______； (2)当点B与点C之间的距离是点A与点B之间的距离的时，求数c； (3)在点C到点A和点B的距离中，当一个距离是另一个距离的3倍时，直接写出数c． 【答案】(1)，5； (2)数c为8或2 (3)数c为9或3或或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，数轴，两点间的距离公式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程再求解． （1）根据绝对值和偶次方的非负性解答即可． （2）根据（1）中的数据，算出，得出点B与点C之间的距离为3，分为点C在点B的左侧和右侧解答即可． （3）分为当点C到点A的距离是点C到点B的距离的3倍时，和当点C到点B的距离是点C到点A的距离的3倍时，列绝对值方程解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， 故答案为：，5； （2）解：根据点A表示的数为，点B表示的数为5， 补全数轴如图： ∴， ∴点B与点C之间的距离， ∴数c为或． （3）解：根据题意可得， 当点C到点A的距离是点C到点B的距离的3倍时，， ∴，或 解得：或3； 当点C到点B的距离是点C到点A的距离的3倍时，， ∴或 解得：或； 综上：数c为9或3或或． 【经典例题三 正负数实际应用】 15．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）对于有理数，，如果，，那么的结果是正数还是负数？为什么？ 【答案】 正数，理由：， ， 又， ， ， 即， 的结果是正数． 【分析】本题考查了正数和负数，熟练掌握正数和负数的定义是解答本题的关键． 由，可得，因为，所以，据此可得答案． 【详解】略 16．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米） (1)收工时该检修小组在A地的什么方向？距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 【答案】(1)收工时该检修小组在A地的西方，距离A地3千米 (2)该检修小组这一天行驶的总路程为45千米 【分析】（1）将所记录的数据求和，和为正数则在A地的东方，如果为负数则在西方，其绝对值是距A的距离； （2）求出所记录数据的绝对值的和即为所行的所有的路程． 【详解】（1）解：（千米）， ， 答：收工时该检修小组在A地的西方，距离A地3千米， （2）解：（千米）， 答：该检修小组这一天行驶的总路程为45千米． 【点睛】此题考查正数和负数的应用，解题的关键在于结合实际运用相关定义． 17．（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）某班级抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录的结果如下（单位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣8、+1、5、+10．这10名同学中， (1)最高分是多少？ (2)最低分是多少？ (3)10名同学的平均成绩是多少？ 【答案】(1)92分 (2)70分 (3)分 【分析】（1）根据正负数的意义，可得答案； （2）根据正负数的意义，可得答案； （3）根据平均数的意义，可得答案． 【详解】（1）最高分是分； （2）最低分是分； （3）10名同学的平均成绩是分． 【点睛】本题考查了正数和负数，利用正负数的意义超出的分数记为正数，不足的分数记为负数是解题关键． 18．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（千克） ﹣3 ﹣2 ﹣1.5 0 1 2.5 筐数 1 8 2 3 2 4 (1)20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？ (3)若白菜每千克售价3元，则出售这20筐白菜可卖多少元？ 【答案】(1)5.5千克 (2)不足10千克 (3)1470元 【分析】（1）将最大的正数与最小负数相减即可； （2）将每个正数，负数与对应的数量相乘，并相加可得到总重量与标准总重量的差值； （3）先计算出总重量，再乘以单价即可． 【详解】（1）解：最重的一筐比标准重2.5千克，最轻的一筐比标准轻3克， 故最重的一筐比最轻的一筐重：（千克）， 答：最重的一筐比最轻的一筐重5.5千克． （2）解：， 答：20筐白菜总计不足10千克， （3）解：（元）， 答：出售这20筐白菜可卖1470元． 【点睛】本题考查正负数的应用，能够熟练掌握正负数的实际意义是解决本题的关键． 19．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）《道路交通安全法实施条例》规定：在一个记分周期（12个月）内扣满12分，将扣留其机动车驾驶证．如果超速50%以上扣12分；超速20%以上未达50%扣6分；超速10%以上未达20%扣3分．刘师傅以100千米/时的速度行驶在公路上，前方出现限速标志（如图）．如果他保持原来的速度继续行驶，他将受到扣几分的处罚？（通过计算说明） 【答案】6分 【分析】根据实际背景解决问题，，然后参考条例要求可以查看处罚标准 【详解】根据图片所示，限速应该是80千米/时，而刘师傅以100千米/时的速度行驶在公路上 ∴刘师傅超速 ∴依照《道路交通安全法实施条例》规定：超速20%以上未达50%扣6分，因此刘师傅超速，应该被扣6分 答：刘师傅将受到扣6分的处罚 【点睛】本题关键是抓住考查百分比，理解百分比的计算方式，通过题意即可解决问题 20．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）如图1，一只甲虫在的方格（每一格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右为正，向下向左为负．例如：从A到B记为：；从C到D记为：其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向]． (1)填空：（___，____）；（___，____）； (2)若甲虫的行走路线为：，请计算甲虫走过的路程． (3)若这只甲虫去Q处的行走路线依次为：，请依次在图2上标出点M、N、Q的位置． 【答案】(1) (2)16 (3) 如图2所示： 【分析】（1）根据规定结合图形写出即可； （2）根据甲虫的运动路线列式计算即可得解； （3）根据运动路线标注解答即可； 【详解】（1）根据题意得出：； 故答案为：． （2）∵甲虫的行走路线为：， ∴甲虫走过的路程为：； （3）略 【点睛】本题考查了正数和负数，读懂题目信息，理解正负数的意义以及写法的规定是解题的关键． 21．（25-26七年级上·河南南阳·期末）聪聪和慧慧为了合理计划自己的开支，每天坚持记录自己当天的收支情况如下表，是她们上周各天收支情况（记收入为正，单位：元） 一 二 三 四 五 六 日 结余 聪聪 10 －5.20 0 －4.80 5 －3 －2 慧慧 8 0 0 －6 －1 0 0 根据上表回答下列问题： (1)分别说出聪聪这一行中10，0，－2各数的实际意义． (2)把上表补充完整． 【答案】(1) 10是收入10元，0是收支平衡，-2是支出了2元． (2)-4，1 【分析】（1）10意义是收入10元，0意义是收支平衡，-2意义是支出了2元． （2）先计算聪聪本周日的收支数等于本周的结余数-2减去周一到周六的收支总和，结果为-4，慧慧本周的结余数等于本周一到周日的收支总和，结果为1，然后填入下表． 【详解】（1）略 （2）聪聪周日的收支情况为：-2-（10-5.20+0-4.80+5-3）=-2-2=-4， 慧慧本周的结余情况为：8+0+0-6-1+0+0=1， 根据计算完成下表 一 二 三 四 五 六 日 结余 聪聪 10 －5.20 0 －4.80 5 －3 -4 －2 慧慧 8 0 0 －6 －1 0 0 1 【点睛】本题考查了有理数加减的应用，解决问题的关键是清楚知道收支的正负，熟练进行有理数的加减运算．（1）按收入为正，支出为负回答．（2）先计算出聪聪本周日的收支数据，慧慧本周的结余数据，而后填表． 【经典例题四 有理数规律探究】 22．（25-26七年级上·山西晋城·阶段检测）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）； （2）； （3）； （4）； 问：①当前面有2023个负号，化简后结果是多少？ ②当前面有2024个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 【答案】（1）2；（2）；（3）；（4）；问：①；②，规律见详解 【分析】本题考查了利用相反数的定义化简，熟记概念并仔细观察化简结果与负号的关系是解题的关键． （1）根据相反数的定义进行化简即可； （2）根据相反数的定义进行化简即可； （3）根据相反数的定义进行化简即可； （4）根据相反数的定义进行化简即可； 问：①根据前面的计算结果猜想即可得解； ②根据前面的计算结果猜想即可得解． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； 问：①当前面有2023个负号，化简后结果是； ②当前面有2024个负号，即前面有2025个负号，化简后结果， 总结规律：一个数的前面有奇数个负号，化简的结果等于它的相反数，有偶数个负号，化简的结果等于它本身． 23．（25-26七年级上·广东珠海·阶段检测）请观察下列算式，找出规律并填空 ，，， (1)第10个算式是______，第n个算式为______． (2)计算： (3)根据以上规律解答下题： 若有理数a，b满足，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据规律即可写出第10个算式及第n个算式； （2）根据（1）的规律，将所求的式子变形为，再求解即可； （3）根据所给的算式，可找出规律：；现根据所给的式子，利用两个非负数的和等于，则每一个非负数等于0，可求出、，再把、的值代入所求式子，利用公式进行计算即可． 【详解】（1）解：第10个算式是：，第n个算式为， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解：， ，， ． 【点睛】本题主要是寻找规律，再根据有理数的混合运算计算，并利用了两个非负数的和等于0，则每一个非负数等于0的知识，解题的关键是探索出等式的一般规律，并能灵活应该规律运算． 24．（25-26七年级上·全国·课后作业）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）　　 ；　　 ；　　 ；　　 ；　　 ； （2）当前面有个负号时，化简后的结果是 　　 ；当前面有个负号时，化简后的结果是 　　 ；你能总结出什么规律？ （3）计算：． 【答案】（）；；；；；（），；总结规律：一个数的前面有奇数个符号，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个符号，化简后的结果等于它本身；（）． 【分析】本题主要考查了化简多重符号，相反数的定义，有理数的加法，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． （）根据相反数的定义分别化简即可； （）根据前面的结果猜想即可求解； （）根据（）的规律得出算是，然后通过有理数加法法则即可求解． 【详解】解：（） ；；；；； 故答案为：，，，，； （）根据（）可得，当前面有个负号时，化简后的结果是，当前面有个负号时，化简后的结果是， 总结规律：一个数的前面有奇数个符号，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个符号，化简后的结果等于它本身， 故答案为：，； （）根据（）的规律可得， ． 25．（25-26七年级上·广东广州·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律，如果数轴上点、在数轴上分别表示有理数、，那么、两点之间的距离表示为．例如数轴上表示和的两点之间的距离可表示为． (1)已知数轴上点表示的数为，点表示数为，则线段的长度是______． (2)表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题： 若，求的值；的最小值是多少，这时候的取值范围． 【答案】(1) (2)或；， 【分析】此题考查了绝对值的几何意义，画出数轴数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离进行计算即可； （2）①由题意知，，表示数轴上和两点间的距离，表示数轴上和2两点间的距离，然后结合数轴即可得出答案；②同①结合数轴即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，； 故答案为：5； （2）解：①由题意知，，表示数轴上和两点间的距离；表示数轴上和2两点间的距离，如图所示： 不妨设点E表示为，点F表示为2，点表示的数为， 数轴上到点E的距离和到点F的距离之和为7的点表示的数是或3， ∴当时，或3； ②由题意知，，表示数轴上和两点间的距离；表示数轴上和2两点间的距离，如图所示： 不妨设点E表示为，点F表示为2，点表示的数为，那么， 当在左边时，； 当在右边时，； 当时，，此时取最小值5． 的最小值是5，这时候的取值范围是． 26．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点M点、N表示的数分别为m、n，则M、N两点之间的距离，线段MN的中点表示的数为．如图，数轴上点M表示的数为，点N表示的数为3．    (1)直接写出：线段的长度是______，线段的中点表示的数为______ (2)x表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，直接回答：有最小值是______． 【答案】(1)4/1 (2)4 【分析】（1）根据两点间的距离公式求解； （2）利用数形结合的方法求解． 【详解】（1）解：，线段的中点表示的数为：， 故答案为：4，1； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， ， 有最小值为：4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义与数轴的认识，熟练掌握数轴上两点间的距离是解题的关键． 27．（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，分别用数表示，那么两点之间的距离为，反过来式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题． ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______； ②数轴上表示和的两点和之间的距离是______，如果，那么为______； (2)探索规律：①当有最小值是______； ②当有最小值是______； ③当有最小值是______； (3)知识迁移：最大值是______，最小值是______． 【答案】(1)①3；4；②；1或 (2)①1；②2；③4 (3)， 【分析】此题主要考查了数轴上两点之间的距离，理解数轴上点所表示的数为，点所表示的数为，则及其几何意义，以及“两点之间，线段最短”是解答此题的关键，分类讨论是解答此题的易错点． （1）①理解并掌握及其几何意义，即可求解；②理解并掌握及其几何意义，即可求解； （2）①理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”， 然后即可求解；②理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”， 然后即可求解；③理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”，然后即可求解； （3）理解表示的几何意义，然后分类讨论数的点在表示数点的左侧、数的点在表示数，5两点之间、数的点在表示数点的右侧，然后即可求解最大值和最小值． 【详解】（1）解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是：； 数轴上表示1和的两点之间的距离是：， 故答案为：3；4． ②数轴上表示和的两点A和B之间的距离是：， 当，则， ∴或， 由解得：， 由解得：， ∴的值为：1或， 故答案为：；1或； （2）解：①∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离； 的几何意义是：在数轴上表示数x、2两点间的距离； ∴的几何意义是：在数轴上表示数x、1两点间的距离与数轴上表示数、2两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： ∴当表示数的点在数轴上表示数1，2两点构成的线段上时，为最小，最小值为数轴上表示数1，2两点之间的距离，即为， 即有最小值是1． 故答案为：1． ②∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当数轴上表示数的点与表示2的点重合时，为最小，最小值为数轴上表示数1，3两点之间的距离，即为， 即有最小值是2， 故答案为：2； ③∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离、数轴上表示数、4两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当表示数的点在数轴上表示数2，3两点构成的线段上时， 的值为最小值，最小值为数轴上表示数1，4两点之间的距离与数轴上表示数2，3两点之间的距离之和，即为， 即有最小值是4． 故答案为：4； （3）解：∵表示的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离与数轴上表示数、5两点间的距离之差， ①当在数轴上表示数的点在表示数点的左侧时，即， 则，， ∴，， ∴； ②当在数轴上表示数的点在表示数，5两点之间时，即， 则，， ∴，， ∴， ③当在数轴上表示数的点在表示数点的右侧时，即， 则，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最大值是，的最小值是． 故答案为：9；． 28．（25-26七年级上·江西萍乡·阶段检测）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离． (1)如图，数轴上表示2和7的两点之间的距离是 ；数轴上表示1和4的两点之间的距离是 ；数轴上表示和2的两点之间的距离是 ； 【类比探究】 (2)若点表示的数是，点表示的数是，则点、之间的距离为 ； 【拓展应用】 (3)若数轴上分别表示和的两点和之间的距离是24，则 ； (4)若数轴上表示的点位于表示与2的两点之间，求的值； (5)利用数轴分析，若是整数，且满足，则满足条件的所有的值的和为 ． 【答案】(1)5；3；5 (2) (3)22或 (4)6 (5) 【分析】（1）利用数轴上两点之间的距离：数轴上任意不同的两点，这两点间的距离=右边的数-左边的数，即可得到结果； （2）利用题干中数轴上两点之间的距离的意义和绝对值的意义解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法和题干中数轴上两点之间的距离的意义解答即可； （4）利用题干中数轴上两点之间的距离的意义和绝对值的意义化简运算即可； （5）利用分类讨论的思想方法和题干中数轴上两点之间的距离的意义解答即可． 【详解】（1）数轴上表示2和7的两点之间的距离是5；数轴上表示1和4的两点之间的距离是3；数轴上表示和2的两点之间的距离是5； （2）若点表示的数是，点表示的数是，则点、之间的距离为； （3）∵数轴上分别表示和的两点和之间的距离是24， ∴， ∴或， ∴或； （4）数轴上表示的点位于表示与2的两点之间， ∴， ∴，， ∴ ； （5）数轴上表示和2的两点之间的距离是5， ∴满足的值在数轴上表示的点位于表示与2的两点之间， ∵是整数， ∴-3，，，0，1，2． ∴满足条件的所有的值的和为：． 【点睛】本题考查了数轴上两点间距离和绝对值问题，理解两点间距离并正确化简绝对值是解题关键． 【经典例题五 数轴整点探究】 29．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这个数轴上任意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数为（    ） A．3个 B．4个 C．3个或4个 D．4个或5个 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．利用数轴知识解答． 【详解】解：当起点在整点时，盖住的整点个数为； 当起点不在整点时，设线段的区间为，其中a不是整数，则盖住的整点个数为． 线段盖住的整点个数为4或5． 故选：D． 30．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 【答案】C 【分析】分线段的端点在整点上和不在整点上两种情况讨论，据此得出规律即可解答本题． 【详解】解：依题意得：①当线段的端点在整点上时，覆盖11个数； ②当线段的端点不在整点，即在两个整点之间时覆盖10个数． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分类讨论思想和数形结合思想的应用，取一个较小的整数，然后画出图形得出规律是解决此题的关键． 31．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的火柴棒，该火柴棒能盖住3个整点，则这根火柴棒的长度为_____厘米． 【答案】3或2 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是找出长度为n（n为正整数）的线段盖住n或个整点，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，分端点是否与整点重合两种情况来考虑是关键． 由于若火柴棒的端点恰好与整点重合，则1厘米长的线段盖住2个整点，若火柴棒的端点不与整点重合，则1厘米长的线段盖住1个整点，据此分析即可求解． 【详解】解：长度为n（n为正整数）的线段盖住n或个整点，． ∴长度为m的火柴棒能盖住的3个整点时，火柴棒的长度厘米或，即厘米， 故答案为：3或2． 32．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴规定单位长度为，若在这条数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整点有_____个． 【答案】或/11或10 【分析】根据当线段起点在整点时与不在整点时，分类讨论，即可求解． 【详解】解：依题意得：①当线段起点在整点时覆盖个数， ②当线段起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖个数， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，分类讨论是解题的关键． 33．（25-26七年级上·全国·随堂练习）定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020的线段． (1)某数轴的单位长度是1，求盖住的整点的个数； (2)若将数轴的单位长度改为2，求盖住的整点的个数． 【答案】(1)2021或2020个 (2)1011或1010个 【分析】本题主要考查了数轴的应用．对于多解问题要注意分类讨论． （1）以线段的端点与数轴上的整点是否重合进行讨论可得结论． （2）先用，得出相当于多少个单位，再进行分类讨论即可得出结论． 【详解】（1）∵数轴的单位长度是1，， ∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有2019个整点． ∴线段共盖住了2021个整点． 若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有2020个整点． 综上，线段盖住的整点的个数为2021或2020个． （2）（个单位）， ∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有1009个整点． ∴线段共盖住了1011个整点． 若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有1010个整点． 综上，线段盖住的整点的个数为1011或1010个． 34．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 【答案】(1) (2) (3)当在之间时，点表示的数为，；当在点左边时，点P表示的数为， 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数是，，，，，； （3）分两种情况讨论：当在之间时，，点表示的数为，此时；当在点左边时，，点P表示的数为，此时． 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴点到点的距离与点到点的距离之和为， ∴点为点、的“格距点”， ∴， 故答案为：； （2）解：∵整点为点、的“格距点”， ∴，即在线段上， ∴整点所表示的数是，，，，，，共个， 故答案为：； （3）解：①当在之间时，， 点表示的数为：， 此时； ②当在点左边时，， 点P表示的数为：， 此时． 35．（25-26七年级上·浙江温州·期中）七年级数学兴趣小组开展数学微项目学习，他们决定研究温州轻轨的运行． 素材一 如图1是温州轨道2号线的轻分线路图，为了研究方便，轻轨运行过程中速度看成匀速，每相邻两站的间距都可近似看成相等．且相邻两站间轻轨的运行时间都为3分钟，每站停靠时间为30秒．    素材二 小安用数轴上的动点P来表示轻轨的运行，他以东山站为原点建立了如图2所示的数轴．其中数字1表示上东路站，数字2代表上望站．以此类推，动点P每运动到一个整点时．都需要暂停30秒，代表轻轨到达停靠．    问题解决 探究1 如图2，数字4表示______站 探究2 （1）如图，若小瑞从东山站出发往天河方向，出发时间为t分钟，当分钟时，此时小瑞离东山站距离多远？ （2）若P从原点出发，运动t分钟到数字4和数字5之间（不含数字4和数字5），求P点在数轴上表示的数（用含t的代数式表示）． 探究3 若小瑞在上望站上车，坐轻轨往天河方向，同时小安在鲍田站上车，往东山方向坐轻轨．若两辆轻轨恰好同时从上望站和鲍田站出发，出发多久后两人在数轴上刚好相距个单位长度． 【答案】探究1：汀田站，探究2：小瑞离东山站的距离为：，探究3：或 【分析】本题考查了数轴的应用．理解轻轨在数轴上的运动规律是解题的关键． 探究1：根据题目所给信息，以东山站为原点建立数轴，数字依次对应不同站点，按照顺序可直接得出数字4表示站点； 探究2：（1）先计算出轻轨实际运行时间，然后按照每站之间运行需要3分钟得到轻轨速度为，按照速度时间得出距离即可； （2）从原点出发到数字4和5之间，经过4个间隔，每个间隔运行3分钟，停靠4次，每次分钟得出总共用时，然后根据速度时间距离，用含的代数式表示4和5之间的距离，再加上个站点的距离即可； 探究3：分相遇前和相遇后两种情况讨论， 相距时，相遇前两辆轻轨一共走了，相遇后两辆轻轨一共走了，据此计算出相应的时间即可． 【详解】探究1：汀田站     探究2：（1）每相邻两站的运行时间为3分钟，每站停靠时间为30秒即分钟． 当时行驶的时间为分钟 所以小瑞离东山站的距离为：     （2）总共用时分钟， 所以此时P表示的数为：     探究3：分两种情况 （1）相遇前相距个单位长度 出发时间     （2）相遇后相距个单位长度 出发时间 【经典例题六 数轴移动综合应用题】 36．（25-26七年级上·全国·单元复习）如下图，在数轴上有三个点A，B，C，请回答下列问题： (1)将点B向左平移3个单位长度后，三个点所表示的数谁最小？是多少？ (2)怎样移动A，B两点中的一个点，才能使这两个点所表示的数互为相反数？请列举出所有移动方式． (3)怎样移动A，B，C三点中的两个点，才能使三个点所表示的数都相同？请列举出所有移动方式． 【答案】(1)点B所表示的数最小，是 (2) 解：要移动两点中的一个点，使这两个点所表示的数互为相反数． ①点不动，将点向右平移个单位长度； ②点不动，将点向右平移个单位长度． (3) 解：要移动三点中的两个点，使三个点所表示的数都相同． ①点不动，将点向左平移个单位长度，点向左平移个单位长度； ②点不动，将点向右平移个单位长度，点向左平移个单位长度； ③点不动，将点向右平移个单位长度，点向右平移个单位长度， 【分析】本题考查了数轴以及数轴上点的移动和数的大小改变规律：左减右加． （1）根据题意可得出三点所表示的数，再得出将点沿数轴向左移动个单位长度后表示的数，再比较出各数的大小即可； （2）分不动，移动；不动，移动两种情况讨论即可得出； （3）移动三个数中的两点，使个数重合即可；即①把两点移到点处；②把两点移到点处；③把两点移到点处． 【详解】（1）解：将点向左平移个单位长度后，点所表示的数为． ， 点所表示的数最小，是． （2）略 （3）略 37．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题． (1)A、B、C三个点分别表示什么数？它们到原点的距离分别是多少？ (2)怎样移动A、B、C三点中的两个点，才能使三个点表示的数相同？移动方法唯一吗？若不是，请任意选择一种回答． 【答案】(1)A表示的是﹣4，到原点的距离是4；B表示的是﹣2，到原点的距离是2；C表示的是3，到原点的距离是3； (2)将A向右移动2个单位，将C向左移动5个单位，移动方法不唯一． 【分析】（1）根据数轴上的点和数是一一对应关系进行作答即可； （2）根据A、B间的距离是2，A、C间的距离是7，B、C间的距离是5即可解答. 【详解】（1）解：（1）A表示的是﹣4，到原点的距离是4； B表示的是﹣2，到原点的距离是2； C表示的是3，到原点的距离是3． （2）解：将A向右移动2个单位，将C向左移动5个单位，移动方法不唯一． 【点睛】本题考查了数轴，数轴包括原点、正方向、单位长度，利用数形相结合的思想是解题的关键. 38．（25-26七年级上·福建福州·期中）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题： (1)将A点向左移动5个单位长度，这是的点表示的数是___________； (2)怎样移动A、B、C中的其中1个点，才能使点C恰好是线段的中点？请写出三种移动的方法． 方法一（移动A点）：___________， 方法二（移动B点）：___________， 方法三（移动C点）：___________． 【答案】(1) (2) 当点A移动时，此时只需将A向左移动8个单位即可． 当点B移动时，此时只需将B向左移动8个单位即可． 当点C移动时，此时只需要将C向右移动4个单位即可． 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数、数轴上两点之间、数轴上点的平移是距离等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据平移特点列式计算即可； （2）根据三种方法，分别运用平移法则解答即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为4， ∴将点A向左移动5个单位长度，这时的点表示的数是． 故答案为：． （2）略 39．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1cm，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为16；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为4，由此可得到木棒长为　 　cm． （2）图中点A所表示的数是　 　，点B所表示的数是　 　． （3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题： 一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要36年才出生；你若是我现在这么大，我已经114岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 【答案】（1）4；（2）8，12；（3）爷爷现在64岁． 【分析】（1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是16-4=12（cm），依此可求木棒长为4cm； （2）根据木棒长为4cm，将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为16；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为4，依此可求出A，B两点所表示的数； （3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒AB，类似爷爷若是小红现在这么大看做当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为-36，小红若是爷爷现在这么大看做当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为114，所以可知爷爷比小红大[114-（-36）]÷3=50，可知爷爷的年龄． 【详解】解：（1）由数轴观察知，三根木棒长是16-4=12（cm）， 则木棒长为：12÷3=4（cm）． 故答案为：4； （2）∵木棒长为4cm，将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为16， ∴B点表示的数是12， ∵将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为4， ∴A点所表示的数是8． 故答案为：8，12； （3）借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒AB， 类似爷爷若是小红现在这么大看做当A点移动到B点时， 此时B点所对应的数为-36， 小红若是爷爷现在这么大看做当B点移动到A点时， 此时A点所对应的数为114， ∴可知爷爷比小红大[114-（-36）]÷3=50， 可知爷爷的年龄为114-50=64（岁）． 故爷爷现在64岁． 【点睛】本题综合考查了数轴，借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． 40．（25-26七年级上·甘肃武威·期中）【问题背景】 数轴体现了数形结合的数学思想，如图，点在数轴上表示的数为，点在点右侧，到点的距离为8． （1）点表示的数为___________； 【初步探究】 （2）动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向数轴正半轴移动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向数轴负半轴移动，当点移动到原点时，求、两点之间的距离； 【拓展应用】 （3）青青利用软件制作了2只电子蟋蟀甲和乙，蟋蟀甲从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向数轴负半轴移动，同时蟋蟀乙从点1出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向数轴正半轴移动，若在这2只电子蟋蟀之间的数轴上有两点，随着2只电子蟋蟀的移动而移动，且点到原点的距离始终是点到蟋蟀甲的距离的2倍，点到蟋蟀乙的距离始终是点到原点的距离的2倍，青青说：“当蟋蟀甲移动到点时，点到点的距离也是点到点之间距离的2倍．”请你通过计算判断青青的说法是否正确． 【答案】（1）5； （2）4； （3）青青的说法正确： 当蟋蟀甲移动到点时，用时，此时蟋蟀乙位于的位置， 设点表示的数为， 则， ∴（舍）或； 点表示的数为，则， ∴（舍）或； ∴点到点的距离为，点到点之间距离为， ∴点到点的距离也是点到点之间距离的2倍， ∴青青的说法正确． 【分析】本题考查了绝对值方程，数轴上两点间的距离，数轴上点的运动，用数轴表示有理数等知识点． （1）由数轴上两点间的距离公式求解； （2）先求出点移动到原点用时，即可求出点的位置，再由两点间的距离公式求解； （3）先求出甲移动到点时，此时蟋蟀乙位于数的位置，设点表示的数为，则，设点表示的数为，则，解方程求出的位置，再分别求出点到点的距离和点到点之间距离即可判断． 【详解】解：（1）点表示的数为：， 故答案为：5； （2）点移动到原点，用时， 则点的位置为：， ∴、两点之间的距离为； （3）略 41．（25-26七年级上·河北沧州·阶段检测）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，沿数轴做移动游戏．游戏规则：两人先进行“石头，剪刀，布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀） 第一局 第二局 第三局 第四局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 布 … 乙的手势 石头 布 布 … (1)从初始位置开始，第一局结束后甲在数轴上对应的数为______，乙在数轴上对应的数为______； (2)若第四局结束后，乙在数轴上对应的数是2，则乙第四局的手势是什么？此时甲与乙在数轴上相距多少个单位长度？ (3)从初始位置开始，假如完成了10局游戏，且甲、乙每次都有输有赢．设乙赢了n（n为正整数）次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值； (4)从初始位置开始，若进行了k（k为正整数）局后，甲、乙在数轴上相距2个单位长度，请直接写出k的值． 【答案】(1)，5 (2)乙的手势是布，4个单位长度 (3) (4)7或5 【分析】（1）根据题意，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，第一局时平局，甲在数轴上对应的数为，乙在数轴上对应的数为，解答即可； （2）三局后甲对应的数为，乙对应的数为．第四局游戏结束后，乙在数轴上对应的数是2，且，解答即可． （3）根据乙赢了n次，则乙输了次，则10局游戏结束后，乙停留的位置表示的数，由他最终停留的位置对应的数为m，故，根据n是正整数，利用绝对值解答即可． （4）甲、乙每移动一次，甲、乙的距离变化（相遇前缩小，相遇后扩大）2个单位长度． 最终甲与乙的位置相距2个单位长度，则共需变化14个单位长度或10个单位长度， 或，解答即可． 本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的四则运算，绝对值的应用，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，第一局时平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； 故甲在数轴上对应的数为，乙在数轴上对应的数为， 故答案为：，5． （2）解：从前三局来看，甲一平一胜一负， 三局后甲对应的数为，乙对应的数为． 第四局游戏结束后，乙在数轴上对应的数是2，且， 故第四局游戏的结果是乙向西移动1个单位长度， 所以第四局游戏为平局，即乙第四局的手势是布； 第四局游戏结束后甲对应的数为，乙在数轴上对应的数是2， 故， 所以此时甲与乙在数轴上相距4个单位长度． （3）解；乙赢了n次，则乙输了次 10局游戏结束后，乙停留的位置表示的数， 由他最终停留的位置对应的数为m， 故． 因为n为正整数， 当时，， 当时，， 故时，该位置距离原点O最近． （4）解：k的值为7或5． 初始位置时甲、乙两人相距12个单位长度． 若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度； 若甲赢，则甲向东移动4个单位长度；同时乙向东移动2个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度； 若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度， 所以甲、乙每移动一次，甲、乙的距离变化（相遇前缩小，相遇后扩大）2个单位长度． 最终甲与乙的位置相距2个单位长度，则共需变化14个单位长度或10个单位长度， 或， 所以k的值为7或5． 42．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化 (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是_______． A．（+3）+（+2）＝+5       B．（+3）+（﹣2）＝+1 C．（﹣3）﹣（+2）＝﹣5     D．（﹣3）+（+2）＝﹣1 ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2021次时，落在数轴上的点表示的数是　　． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2021的点与表示　的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示　　B点表示　　． ③一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣17、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，求点C表示的数． 【答案】(1)①D；② (2)①；②；1010；③ 【分析】（1） ①以原点为标准，向左移动为负数，向右移动为正数，即可得出答案； ②根据前边几次跳动得出规律，再将2021代入可得； （2） ①根据表示-1的点与表示3的点重合，可得出翻折的点在1处，根据此规律即可求出答案； ②根据规律以及两点的距离为2018得出方程组，解出即可求得答案； ③通过来推出对应的实数的值，再结合翻折点的规律即可求出答案． 【详解】（1）①∵向负方向移动3个单位长度为-3，向正方向移动2个单位长度为+2 ∴（﹣3）+（+2）＝﹣1 故选择：D． ②第1次向左跳1个单位为-1 第2次向右跳2个单位为1 第3次向左跳3个单位为-2 第4次向右跳4个单位为2 第5次向左跳5个单位为-3 第6次向右跳6个单位为3...... 可得出奇数次的数为，偶数次的数为 将2021代入得： 故2021次的数为-1011． （2）①∵表示-1的点与表示3的点重合 ∴翻折的点为 ∴点2021对应的点为 解得：n=-2019 故2021与表示-2019的点重合． ②∵数轴上A、B两点之间的距离为2018，设A,B在数轴上所对应的数为a,b， ∴ 根据①得： 联合两式解得：a=-1008,b=1010 故A表示的点为-1008，B表示的点为1010． ③∵点A对应的点落在点B的右边，并且，A'在数轴上表示的数为m, ∴ ∴C点为 故C表示的数为-3． 【点睛】本题考查了数轴表示数的定义，掌握数轴上两点之间的距离公式是解决问题的关键． 【经典例题七 相反数的应用】 43．（25-26七年级上·全国·课堂例题）化简 (1)化简下列各数： ①﹣[﹣（+1）]； ②﹣[+（﹣8）]； ③﹣（﹣a）； ④﹣[﹣（﹣a）]． (2)化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“﹣”的个数有什么关系？ 【答案】(1)①1，②8，③a，④﹣a； (2)当“﹣”的个数是奇数时，化简结果为负数；当“﹣”的个数是偶数时，化简结果为正数． 【分析】（1）根据相反数定义进行计算即可得出答案． （2）根据规律发现结果与“﹣”的个数有着密切联系，即可得出答案． 【详解】（1）解：①原式＝﹣（﹣1）＝1． ②原式＝﹣（﹣8）＝8． ③原式＝a． ④原式＝﹣a． （2）化简结果的符号与“﹣”的个数有着密切联系，当“﹣”的个数是奇数时，化简结果为负数；当“﹣”的个数是偶数时，化简结果为正数． 【点睛】本题主要考查了相反数，熟练掌握相反数的性质进行求解是解决本题的关键． 44．（25-26七年级上·广东广州·期中）（1）-（+1.1）表示什么？-（-7）呢？ （2）-（-9.8）呢？它们的结果应是多少？ 【答案】（1）1.1的相反数，-7的相反数；（2）-9.8的相反数，-（-9.8）=9.8 【分析】（1）根据相反数的意义进行求解即可； （2）根据相反数的定义、去括号的符号变化进行求解即可． 【详解】解：（1）-（+1.1）表示1.1的相反数，-（-7）表示-7的相反数； （2）-（-9.8）表示-9.8的相反数，-（-9.8）=9.8． 【点睛】本题主要考查相反数的定义和意义，解题的关键是正确理解相反数的定义． 45．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知：有理数m所表示的点到点3距离4个单位，互为相反数，且都不为零，互为倒数.求：的值. 【答案】 【分析】根据数轴上两点之间的距离，相反数的定义，倒数的定义，分别求出的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵有理数所表示的点到点3距离4个单位长度 ∴或， ∵互为相反数且都不为零，互为倒数 ∴ 原式 当时，原式 当时，原式 故答案为： 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，相反数及倒数的定义，利用分类讨论的思想正确代入计算是解题关键． 46．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知数在没有标明单位长度的数轴上的对应点的位置如图所示． (1)指出数的正负性； (2)在数轴上标出的相反数的对应点的位置； (3)若与的对应点相隔2024个单位长度，则数是多少？ 【答案】(1)为负数，为正数 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查有理数与数轴，相反数，数轴上两点间的距离： （1）根据数在原点的哪一侧，进行判断即可； （2）根据相反数在数轴上在原点的两侧且到原点的距离相等，标出点的位置即可； （3）根据相反数在数轴上在原点的两侧且到原点的距离相等，求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，数在原点左侧，数在原点右侧， 故为负数，为正数； （2）的对应点的位置，如图所示． （3）因为与的对应点相隔2024个单位长度， 所以与的对应点都距离原点1012个单位长度． 又因为为负数， 所以． 47．（25-26七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：    (1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？ (2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是正数还是负数？ 【答案】(1) (2)正数 【分析】（1）根据互为相反数的定义确定出点的位置，再根据数轴写出点表示的数即可； （2）根据互为相反数的定义确定出点的位置，再根据数轴写出点表示的数即可． 【详解】（1）点表示的数是；    （2）点表示的数是0.5为正数．    【点睛】本题考查了相反数，数轴，熟练掌握相反数的定义并确定出原点的位置是解题的关键． 48．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图是一个正方体的表面展开图，它的每一个面上都写有一个数，并且相对的两个面的数字互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】根据相对的两个面的两个数字互为相反数列出等式，进一步得到a，b，c的值，代入求值即可． 【详解】解：因为相对的两个面的两个数字互为相反数， 所以，， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了灵活运用正方体的相对面解答问题，代数式求值，相反数的概念，解题的关键是得到a，b，c的值． 49．（25-26七年级上·四川泸州·阶段检测）已知表示数a的点在数轴上的位置如图所示． (1)在数轴上表示出a的相反数的位置． (2)若数a与其相反数相距20个单位长度，则a表示的数是多少？ (3)在（2）的条件下，若数b表示的数与数a的相反数表示的点相距5个单位长度，求b表示的数是多少？ 【答案】(1) 解：如图： (2)a表示的数是﹣10； (3)b表示的数是5或15 【分析】（1）根据相反数的定义在数轴上表示出来即可； （2）根据题意列出方程，求出方程的解即可； （3）分为两种情况，列出算式，求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意可列式， ﹣a﹣a＝20， 解得a＝﹣10． 即a表示的数是﹣10． （3）解：∵﹣a＝10， 当b在﹣a的右边时，b表示的数是10+5＝15， 当b在﹣a的左边时，b表示的数是10﹣5＝5， ∴b表示的数是5或15． 【点睛】本题考查了数轴，相反数，数轴上两点间的距离的应用，解题的关键是能根据题意列出算式和方程． 【经典例题八 绝对值几何意义一一距离最值问题】 50．（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，数轴上有点三点． (1)用“”将连接起来． (2) 1， 0（填“”“”，“”） (3)求下列各式的最小值： ①的最小值为 ； ②的最小值为 ； ③当 时，的最小值为 ． 【答案】(1) (2)， (3)①2；②③， 【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义、数轴上两点之间的距离、利用数轴判断式子的正负，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据数轴即可得出答案； （2）由数轴可得，从而即可得出答案； （3）①由的意义即可得出最小值；②由的意义，结合即可得解；③由的意义，结合即可得解． 【详解】（1）解：由数轴可得：； （2）解：由数轴可得：， ，， 故答案为：，； （3）解：①的意义是数轴上表示数的点到表示数，到表示数的点的距离之和， 故的最小值为， 故答案为：； ②的意义是数轴上表示数的点到表示数，到表示数的点的距离之和， ， 故的最小值为， 故答案为：； ③的意义是数轴上表示数的点到表示数，到表示数，到表示数的点的距离之和， 故当时，的值最小，为， 故答案为：． 51．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，请你利用数轴回答下列问题： (1)数轴上表示2和4两点之间的距离是　 ，数轴上表示﹣1和2的两点之间的距离是　 ； (2)数轴上表示x和﹣3的两点A、B之间的距离＝　 ，如果＝2，则x的值为　 ； (3)的最小值为　 ； (4)的最大值为　 ． 【答案】(1)2；3 (2)，﹣1或﹣5 (3)10 (4) 【分析】对于（1），根据题意得出，，再计算即可； 对于（2），表示两点之间的距离，进而得到方程，求解即可； 对于（3），由所表示的意义可得答案； 对于（4），由所表示的意义，结合数轴上两点距离的计算方法进行计算即可． 【详解】（1），. 故答案为：2，3； （2）表示x和-3两点之间的距离是.根据题意可知， 解得或. 故答案为：-1或-5； （3）所表示的意义为数轴上表示数x的点到表示﹣1，﹣2，3，4四个点距离之和，当时，这个距离之和最小，最小值为. 故答案为：10； （4）所表示的意义为数轴上表示数x的点到表示，2两点距离之差，当时，这个距离之差最大，最大值为. 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴上两点距离，解绝对值方程，绝对值的几何意义，掌握两点之间的距离是解题的关键． 52．（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）阅读下面材料：点、在数轴上分别表示有理数、，在数轴上、两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示和3两点之间的距离是__________，数轴上表示和4的两点之间的距离是__________； (2)数轴上表示和2的两点之间的距离为7，求表示的数； (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2)9或 (3)当，即表示有理数的点在和5之间时，它的最小值为8 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注意分类思想在解题中的运用． （1）根据两点间距离公式求解即可； （2）根据两点间距离公式列方程求解即可； （3）根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后计算即可得解 【详解】（1）解：数轴上表示-2和3两点之间的距离是， 数轴上表示和4的两点之间的距离是， 故答案为：，； （2）解：数轴上表示和2的两点之间的距离为， 或， 故答案为：9或． （3）解：数轴上表示和的两点之间的距离是，     数轴上表示和5的两点之间的距离是，     数轴上表示和5的两点之间的距离是，     在数轴上的几何意义是：表示有理数的点到及到5的距离之和， 当，即表示有理数的点在和5之间时，它的最小值为8． 53．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 【答案】(1)；； (2)； (3)； (4)或； (5)有最大值和最小值 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的几何意义、绝对值的化简以及利用分类讨论思想求解绝对值表达式的最值问题，关键是将绝对值表达式转化为数轴上点与点之间的距离问题，借助几何意义简化计算与分析． （1）根据数轴上两点间距离的计算方式，将给定的、值代入，通过求两数差的绝对值，直接计算出、两点的距离； （2）从（1）的具体计算实例中归纳规律，提炼出数轴上两点间的距离与表示两点的数、的数量关系； （3）的几何意义是数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再根据几何特征确定当在和3之间(包括端点)时距离和最小，进而找出该范围内的整数即可； （4）先将转化为，明确其几何意义为数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再结合几何性质得出该距离和的最小值为两点间的距离，结合最小值为7列方程求解的值； （5）先明确和的几何意义，再根据在数轴上的位置分左侧、与6之间、6右侧三类情况进行绝对值的化简，计算每类情况下表达式的值或取值范围，最终确定式子的最大值和最小值． 【详解】（1）解：当，时，、两点的距离为； 当，时，、两点的距离为； 故答案为：；； （2）解：由数轴上两点距离的定义，可得和、的数量关系为；故答案为：； （3）解：表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之和，当在和之间(包括端点)时，距离之和最小，此时整数为；故答案为：； （4）解：，其几何意义是数轴上表示的点到表示和的点的距离之和， 当在这两点之间时，距离之和最小， 最小值为， 则或，解得或； 故答案为：或； （5）解：表示数轴上点到的距离，表示数轴上点到的距离． ①当点在的左侧， ，， ； ②当点在与之间（包含端点）， ，， ， 此时； ③当点在的右侧， ，， ． 综上，式子有最值，最大值为，最小值为． 54．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）阅读下面材料：小牛在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的个数：称为数列：，其中为整数且．定义．例如，若数列，2，3，4，5，则．根据以上材料，回答下列问题： (1)已知数列，5，3，求； (2)已知数列，其中为4个互不相等的整数，且，，，直接写出所有满足条件的数列； (3)已知数列中5个数均为非负数，且．直接写出的最大值和最小值及对应的数列． 【答案】(1)9 (2)数列为：5，6，7，9；5，6，8，9；5，7，8，9； (3)的最大值为30，对应数列为：30，0，0，0，0或0，0，0，0，30；最小值为0，对应数列为：6，6，6，6，6． 【分析】（1）根据定义，代入数据即可求出结论； （2）由题意可得，、在5到9之间，再根据为4个互不相等的整数，求解即可； （3）由，然后进行分类讨论即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：可看成3条线段的长度和， ， 、在5到9之间， 为4个互不相等的整数， 数列为：5，6，7，9；5，6，8，9；5，7，8，9； （3）解：数列中5个数均为非负数， ∴当时，取得最小值0； 当，或时， 取得最大值，且最大值为， 即， 的最大值为60，对应数列为：或；最小值为0，对应数列为：6，6，6，6，6． 【点睛】本题考查了绝对值及有理数，准确理解题意，熟练掌握新定义是解题的关键． 55．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)应用一：已知如图，点A在数轴上表示为，数轴上任意一点B表示的数为x，则两点的距离可以表示为______． (2)应用二：若点B表示的整数为x，则当x为______时，与的值相等； (3)应用三：表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为______，此时所有符合条件的整数x的和为______． (4)应用四：令，则M的最小值为______，当M取得最小值时，整数x的值是______． 【答案】(1) (2) (3)7； (4)11； 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，理解绝对值的几何意义是解题关键． （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据题意可得数轴上表示的数与表示4和的数的距离相等，则数轴上表示的数是表示4和的数的中点，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可得当时，有最小值，据此化简绝对值求出最小值，再求出符合题意的x的值的和即可； （4）根据题意可以将分为两组数之和，分别为和，分别表示x的范围，据此解答即可． 【详解】（1）解：∵点A在数轴上表示为，数轴上任意一点B表示的数为x， ∴两点的距离可以表示为， 故答案为：； （2）解：∵与的值相等， ∴表示x的数与表示4和的数的距离相等， ∴表示x的数是表示4和的数的中点， ∴， 故答案为：； （3）解：∵表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴整数x有， ∴所有符合条件的整数x的和为 ， 故答案为：7；； （4）解：将分为两组： （最小值为，x在到3之间）； （最小值为，x在到1之间）； 由上述可得，当x在到1之间时，两组同时取最小值， ∴M最小值为， ∴整数x的值为到1之间的整数：． 故答案为：11；． 56．（25-26七年级上·广西柳州·期末）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数、，那么A、B之间的距离可表示为． 问题1：点A、B、C在数轴上分别表示有理数：、、3，那么A到B的距离是_________，A到C的距离是_________．（直接填最后结果） 问题2：点A、B、C在数轴上分别表示有理数、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为_________（用含绝对值的式子表示）． 问题3：利用数轴探究： ①设，当的值取在不小于且不大于3的范围时，的值是不变的，而且是的最小值，这个最小值是_________；当的值取在_________的范围时，最小； ②找出满足的的所有值是_________． 【答案】问题1：4，8；问题2：；问题3：①4；；②4，； 【分析】本题考查了绝对值的几何意义及数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的几何意义是解题关键． 问题1：根据材料直接计算即可； 问题2：根据材料表示出来并化简即可； 问题3：①根据x的范围去掉绝对值符号即可得到最小值；②分三种情况讨论：x在和3之间（包含端点），x在3的右侧，x在左侧． 【详解】解：问题1：A到B的距离是，A到C的距离是， 故答案为：4，8； 问题2：A到B的距离与A到C的距离之和可表示为， 故答案为：； 问题3：①对于， 当的值取在不小于且不大于3的范围时， ； 对于， 当的值取在不小于且不大于2的范围时，的值保持不变，且为其最小值， 这个最小值为； 故答案为：4；； ②设点A、B、C在数轴上分别表示数、、， 则表示A到B的距离与A到C的距离之和为6， 结合数轴可知，当A在B、C之间（包含B、C）时，不符合题意， 当A在B右侧时，，解得； 当A在C左侧时，，解得； 故答案为：4，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 有理数章末56道压轴题型专训（8大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、数轴数形综合 1 题型二、绝对值非负性拓展 2 题型三、正负数实际应用 3 题型四、有理数规律探究 4 题型五、数轴整点探究 5 题型六、数轴移动综合应用题 6 题型七、相反数的应用 7 题型八、绝对值几何意义一一距离最值问题 8 【经典例题一 数轴数形综合】 1．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）数轴上点A，B分别表示有理数a，b，这两点之间的距离记为，即．利用数形结合思想回答下列问题： (1)表示2和5的两点之间的距离为______，表示2和的两点之间的距离为______； (2)表示x和的两点之间的距离为__________；（用含有x的式子表示） (3)求的最小值为__________； (4)求的最小值为__________． 2．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）综合与实践：【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和9两点之间的距离是_______；数轴上表示6和的两点之间的距离是_______； 【独立思考】： （2）数轴上表示y和的两点之间的距离表示为_______； （3）试用数轴探究：当时m的值为_______． 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （4）利用数轴求出的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？ 3．（25-26七年级上·安徽六安·阶段检测）数轴是一个非常重要的数学工具，它是“数形结合”的基础，如图，现有一木棍紧贴着数轴放置，左端点A与表示的点重合，右端点B与原点重合． (1)如图1，将木棍沿着数轴负方向平移使得点B与表示的点重合，则平移后的点A表示的数为 ；将木棍沿着数轴正方向平移使得点A与原点重合，则平移后的点B表示的数为 ． (2)如图2，M是木棍上任意一点，是木棍按照（1）沿着数轴负方向平移后的对应点，是木棍按照（1）沿着数轴正方向平移后的对应点，设对应的有理数为，对应的有理数为，则 ． (3)小明问爷爷现在的年龄是多少，爷爷说：“我像你这么大时，你还有40年才出生；等你到我这个年纪时，我已经110岁高龄了．”问小明和爷爷现在的年龄各是多少？ 4．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想． ①若数轴上点，点表示的数分别为，其中表示点和点之间的距离．若位置不确定时，则，若点在的右侧，即，则； ②点向右运动个单位长度后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度后，点表示的数为：． 【问题情境】如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． (1)表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为______； (2)运动秒后，点表示的数为______；点表示的数为______；（用含的式子表示）；并求的距离． (3)当点在点左侧时，是否存在常数，使的值为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 5．（25-26七年级上·安徽芜湖·阶段检测）综合与实践 【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫作数形结合思想． 【回归课本】 （1）在数轴上，如果A，B两点分别表示互为相反数的两个数，点A在点B的左侧，并且两点之间的距离是5，那么这两个点表示的数分别是多少？ 【拓展延伸】 （2）在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点A运动到对应的点时． ①求A，B两点之间的距离； ②C是数轴上一点，对应的数是x，当A，C两点之间的距离与B，C两点之间的距离之和为最小值时，x可取的整数共有多少个？请直接写出答案． 【规律探究】 （3）点（n为正整数）都在数轴上，点在原点O的左边，且，O两点之间的距离为1，点在点的右边，且，两点之间的距离为2，点在点的左边，且，两点之间的距离为3……依照上述规律，请直接写出点，表示的数． 6．（25-26六年级上·山东淄博·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法，请同学们利用数形结合的思想研究绝对值的几何意义． 【阅读理解】 的几何意义是数轴上x对应的点与原点之间的距离；的几何意义是数轴上x对应的点与2对应的点之间的距离；的几何意义是数轴上x对应的点与对应的点之间的距离加上x对应的点与2对应的点之间的距离，即线段与的长度之和，如下图． 【发现问题】在数轴上，点A，B，P分别表示的是，2，x，当点P在数轴上运动时，是否有最小值？ 【探究问题】 (1)点A到点B的距离是________，若，则________． (2)请结合点在数轴上的位置，思考P点可能的3种情况： ①当点P在点A的左侧时，_____3；（用“”“”“”回答）， ②当点P在点B的右侧时，______3；（用“”“”“”回答）， ③当点P在之间（包括在点A，B上）时，____3；（用“”“”“”回答）， 【解决问题】 (3)根据刚才的探究，的最小值是________． 【应用问题】 (4)①请利用数轴，探索时x的值； ②请直接写出的最小值． 7．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）【知识储备】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________； (2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）； (3)通过计算说明，当时，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请确定哪个点是哪两个点的中点，若不存在，请说明理由． 【经典例题二 绝对值非负性拓展】 8．（25-26七年级上·全国·期末）已知与互为相反数，求的值． 9．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）（1）已知，且，求的值； （2）若，求的值． 10．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）已知与互为相反数． (1)则______，______； (2)若，求x的值． 11．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）小亮同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)若，，请你分别求出m、n的值； (2)试计算的值． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： (1)当_____时，有最小值，这个最小值是_____． (2)当_____时，有最大值，这个最大值是_____． 13．（25-26七年级上·河北沧州·期中）如图，数轴上的点，分别表示有理数，，且，．    (1)求，的值； (2)，两点相距多少个单位长度？ (3)若点在数轴上，且点到点的距离是点到点的距离的，求点表示的数； (4)点从点出发，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，，依次操作次后，求点表示的数． 14．（25-26七年级上·广东汕头·阶段检测）如图是一个不完整的数轴（未标出原点），在数轴上有A和B两点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，a和b满足的关系式为，点C在数轴上运动，表示的数为c． (1)a=______，b=______； (2)当点B与点C之间的距离是点A与点B之间的距离的时，求数c； (3)在点C到点A和点B的距离中，当一个距离是另一个距离的3倍时，直接写出数c． 【经典例题三 正负数实际应用】 15．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）对于有理数，，如果，，那么的结果是正数还是负数？为什么？ 16．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米） (1)收工时该检修小组在A地的什么方向？距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 17．（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）某班级抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录的结果如下（单位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣8、+1、5、+10．这10名同学中， (1)最高分是多少？ (2)最低分是多少？ (3)10名同学的平均成绩是多少？ 18．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（千克） ﹣3 ﹣2 ﹣1.5 0 1 2.5 筐数 1 8 2 3 2 4 (1)20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？ (3)若白菜每千克售价3元，则出售这20筐白菜可卖多少元？ 19．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）《道路交通安全法实施条例》规定：在一个记分周期（12个月）内扣满12分，将扣留其机动车驾驶证．如果超速50%以上扣12分；超速20%以上未达50%扣6分；超速10%以上未达20%扣3分．刘师傅以100千米/时的速度行驶在公路上，前方出现限速标志（如图）．如果他保持原来的速度继续行驶，他将受到扣几分的处罚？（通过计算说明） 20．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）如图1，一只甲虫在的方格（每一格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右为正，向下向左为负．例如：从A到B记为：；从C到D记为：其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向]． (1)填空：（___，____）；（___，____）； (2)若甲虫的行走路线为：，请计算甲虫走过的路程． (3)若这只甲虫去Q处的行走路线依次为：，请依次在图2上标出点M、N、Q的位置． 21．（25-26七年级上·河南南阳·期末）聪聪和慧慧为了合理计划自己的开支，每天坚持记录自己当天的收支情况如下表，是她们上周各天收支情况（记收入为正，单位：元） 一 二 三 四 五 六 日 结余 聪聪 10 －5.20 0 －4.80 5 －3 －2 慧慧 8 0 0 －6 －1 0 0 根据上表回答下列问题： (1)分别说出聪聪这一行中10，0，－2各数的实际意义． (2)把上表补充完整． 【经典例题四 有理数规律探究】 22．（25-26七年级上·山西晋城·阶段检测）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）； （2）； （3）； （4）； 问：①当前面有2023个负号，化简后结果是多少？ ②当前面有2024个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 23．（25-26七年级上·广东珠海·阶段检测）请观察下列算式，找出规律并填空 ，，， (1)第10个算式是______，第n个算式为______． (2)计算： (3)根据以上规律解答下题： 若有理数a，b满足，求的值． 24．（25-26七年级上·全国·课后作业）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）　　 ；　　 ；　　 ；　　 ；　　 ； （2）当前面有个负号时，化简后的结果是 　　 ；当前面有个负号时，化简后的结果是 　　 ；你能总结出什么规律？ （3）计算：． 25．（25-26七年级上·广东广州·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律，如果数轴上点、在数轴上分别表示有理数、，那么、两点之间的距离表示为．例如数轴上表示和的两点之间的距离可表示为． (1)已知数轴上点表示的数为，点表示数为，则线段的长度是______． (2)表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题： 若，求的值；的最小值是多少，这时候的取值范围． 26．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点M点、N表示的数分别为m、n，则M、N两点之间的距离，线段MN的中点表示的数为．如图，数轴上点M表示的数为，点N表示的数为3．    (1)直接写出：线段的长度是______，线段的中点表示的数为______ (2)x表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，直接回答：有最小值是______． 27．（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，分别用数表示，那么两点之间的距离为，反过来式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题． ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______； ②数轴上表示和的两点和之间的距离是______，如果，那么为______； (2)探索规律：①当有最小值是______； ②当有最小值是______； ③当有最小值是______； (3)知识迁移：最大值是______，最小值是______． 28．（25-26七年级上·江西萍乡·阶段检测）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离． (1)如图，数轴上表示2和7的两点之间的距离是 ；数轴上表示1和4的两点之间的距离是 ；数轴上表示和2的两点之间的距离是 ； 【类比探究】 (2)若点表示的数是，点表示的数是，则点、之间的距离为 ； 【拓展应用】 (3)若数轴上分别表示和的两点和之间的距离是24，则 ； (4)若数轴上表示的点位于表示与2的两点之间，求的值； (5)利用数轴分析，若是整数，且满足，则满足条件的所有的值的和为 ． 【经典例题五 数轴整点探究】 29．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这个数轴上任意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数为（    ） A．3个 B．4个 C．3个或4个 D．4个或5个 30．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 31．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的火柴棒，该火柴棒能盖住3个整点，则这根火柴棒的长度为_____厘米． 32．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴规定单位长度为，若在这条数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整点有_____个． 33．（25-26七年级上·全国·随堂练习）定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020的线段． (1)某数轴的单位长度是1，求盖住的整点的个数； (2)若将数轴的单位长度改为2，求盖住的整点的个数． 34．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 35．（25-26七年级上·浙江温州·期中）七年级数学兴趣小组开展数学微项目学习，他们决定研究温州轻轨的运行． 素材一 如图1是温州轨道2号线的轻分线路图，为了研究方便，轻轨运行过程中速度看成匀速，每相邻两站的间距都可近似看成相等．且相邻两站间轻轨的运行时间都为3分钟，每站停靠时间为30秒．    素材二 小安用数轴上的动点P来表示轻轨的运行，他以东山站为原点建立了如图2所示的数轴．其中数字1表示上东路站，数字2代表上望站．以此类推，动点P每运动到一个整点时．都需要暂停30秒，代表轻轨到达停靠．    问题解决 探究1 如图2，数字4表示______站 探究2 （1）如图，若小瑞从东山站出发往天河方向，出发时间为t分钟，当分钟时，此时小瑞离东山站距离多远？ （2）若P从原点出发，运动t分钟到数字4和数字5之间（不含数字4和数字5），求P点在数轴上表示的数（用含t的代数式表示）． 探究3 若小瑞在上望站上车，坐轻轨往天河方向，同时小安在鲍田站上车，往东山方向坐轻轨．若两辆轻轨恰好同时从上望站和鲍田站出发，出发多久后两人在数轴上刚好相距个单位长度． 【经典例题六 数轴移动综合应用题】 36．（25-26七年级上·全国·单元复习）如下图，在数轴上有三个点A，B，C，请回答下列问题： (1)将点B向左平移3个单位长度后，三个点所表示的数谁最小？是多少？ (2)怎样移动A，B两点中的一个点，才能使这两个点所表示的数互为相反数？请列举出所有移动方式． (3)怎样移动A，B，C三点中的两个点，才能使三个点所表示的数都相同？请列举出所有移动方式． 37．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题． (1)A、B、C三个点分别表示什么数？它们到原点的距离分别是多少？ (2)怎样移动A、B、C三点中的两个点，才能使三个点表示的数相同？移动方法唯一吗？若不是，请任意选择一种回答． 38．（25-26七年级上·福建福州·期中）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题： (1)将A点向左移动5个单位长度，这是的点表示的数是___________； (2)怎样移动A、B、C中的其中1个点，才能使点C恰好是线段的中点？请写出三种移动的方法． 方法一（移动A点）：___________， 方法二（移动B点）：___________， 方法三（移动C点）：___________． 39．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1cm，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为16；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为4，由此可得到木棒长为　 　cm． （2）图中点A所表示的数是　 　，点B所表示的数是　 　． （3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题： 一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要36年才出生；你若是我现在这么大，我已经114岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 40．（25-26七年级上·甘肃武威·期中）【问题背景】 数轴体现了数形结合的数学思想，如图，点在数轴上表示的数为，点在点右侧，到点的距离为8． （1）点表示的数为___________； 【初步探究】 （2）动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向数轴正半轴移动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向数轴负半轴移动，当点移动到原点时，求、两点之间的距离； 【拓展应用】 （3）青青利用软件制作了2只电子蟋蟀甲和乙，蟋蟀甲从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向数轴负半轴移动，同时蟋蟀乙从点1出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向数轴正半轴移动，若在这2只电子蟋蟀之间的数轴上有两点，随着2只电子蟋蟀的移动而移动，且点到原点的距离始终是点到蟋蟀甲的距离的2倍，点到蟋蟀乙的距离始终是点到原点的距离的2倍，青青说：“当蟋蟀甲移动到点时，点到点的距离也是点到点之间距离的2倍．”请你通过计算判断青青的说法是否正确． 41．（25-26七年级上·河北沧州·阶段检测）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，沿数轴做移动游戏．游戏规则：两人先进行“石头，剪刀，布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀） 第一局 第二局 第三局 第四局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 布 … 乙的手势 石头 布 布 … (1)从初始位置开始，第一局结束后甲在数轴上对应的数为______，乙在数轴上对应的数为______； (2)若第四局结束后，乙在数轴上对应的数是2，则乙第四局的手势是什么？此时甲与乙在数轴上相距多少个单位长度？ (3)从初始位置开始，假如完成了10局游戏，且甲、乙每次都有输有赢．设乙赢了n（n为正整数）次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值； (4)从初始位置开始，若进行了k（k为正整数）局后，甲、乙在数轴上相距2个单位长度，请直接写出k的值． 42．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化 (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是_______． A．（+3）+（+2）＝+5       B．（+3）+（﹣2）＝+1 C．（﹣3）﹣（+2）＝﹣5     D．（﹣3）+（+2）＝﹣1 ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2021次时，落在数轴上的点表示的数是　　． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2021的点与表示　的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示　　B点表示　　． ③一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣17、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，求点C表示的数． 【经典例题七 相反数的应用】 43．（25-26七年级上·全国·课堂例题）化简 (1)化简下列各数： ①﹣[﹣（+1）]； ②﹣[+（﹣8）]； ③﹣（﹣a）； ④﹣[﹣（﹣a）]． (2)化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“﹣”的个数有什么关系？ 44．（25-26七年级上·广东广州·期中）（1）-（+1.1）表示什么？-（-7）呢？ （2）-（-9.8）呢？它们的结果应是多少？ 45．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知：有理数m所表示的点到点3距离4个单位，互为相反数，且都不为零，互为倒数.求：的值. 46．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知数在没有标明单位长度的数轴上的对应点的位置如图所示． (1)指出数的正负性； (2)在数轴上标出的相反数的对应点的位置； (3)若与的对应点相隔2024个单位长度，则数是多少？ 47．（25-26七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：    (1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？ (2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是正数还是负数？ 48．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图是一个正方体的表面展开图，它的每一个面上都写有一个数，并且相对的两个面的数字互为相反数，求的值． 49．（25-26七年级上·四川泸州·阶段检测）已知表示数a的点在数轴上的位置如图所示． (1)在数轴上表示出a的相反数的位置． (2)若数a与其相反数相距20个单位长度，则a表示的数是多少？ (3)在（2）的条件下，若数b表示的数与数a的相反数表示的点相距5个单位长度，求b表示的数是多少？ 【经典例题八 绝对值几何意义一一距离最值问题】 50．（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，数轴上有点三点． (1)用“”将连接起来． (2) 1， 0（填“”“”，“”） (3)求下列各式的最小值： ①的最小值为 ； ②的最小值为 ； ③当 时，的最小值为 ． 51．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，请你利用数轴回答下列问题： (1)数轴上表示2和4两点之间的距离是　 ，数轴上表示﹣1和2的两点之间的距离是　 ； (2)数轴上表示x和﹣3的两点A、B之间的距离＝　 ，如果＝2，则x的值为　 ； (3)的最小值为　 ； (4)的最大值为　 ． 52．（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）阅读下面材料：点、在数轴上分别表示有理数、，在数轴上、两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示和3两点之间的距离是__________，数轴上表示和4的两点之间的距离是__________； (2)数轴上表示和2的两点之间的距离为7，求表示的数； (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．     53．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 54．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）阅读下面材料：小牛在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的个数：称为数列：，其中为整数且．定义．例如，若数列，2，3，4，5，则．根据以上材料，回答下列问题： (1)已知数列，5，3，求； (2)已知数列，其中为4个互不相等的整数，且，，，直接写出所有满足条件的数列； (3)已知数列中5个数均为非负数，且．直接写出的最大值和最小值及对应的数列． 55．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)应用一：已知如图，点A在数轴上表示为，数轴上任意一点B表示的数为x，则两点的距离可以表示为______． (2)应用二：若点B表示的整数为x，则当x为______时，与的值相等； (3)应用三：表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为______，此时所有符合条件的整数x的和为______． (4)应用四：令，则M的最小值为______，当M取得最小值时，整数x的值是______． 56．（25-26七年级上·广西柳州·期末）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数、，那么A、B之间的距离可表示为． 问题1：点A、B、C在数轴上分别表示有理数：、、3，那么A到B的距离是_________，A到C的距离是_________．（直接填最后结果） 问题2：点A、B、C在数轴上分别表示有理数、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为_________（用含绝对值的式子表示）． 问题3：利用数轴探究： ①设，当的值取在不小于且不大于3的范围时，的值是不变的，而且是的最小值，这个最小值是_________；当的值取在_________的范围时，最小； ②找出满足的的所有值是_________． 学科网（北京）股份有限公司 $