专题2.1 有理数的加法与减法（15大题型+过关检测）（小模块.微专题.大压轴） 2026-2027学年数学人教版七年级上册

**基本信息** 以“模块-微专题-压轴”三级架构系统整合有理数加减法，通过典例变式实现从基础运算到素养提升的阶梯式突破，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算（模块1/6/10）|每模块1典例+3变式|加法法则“同号取同、异号取大减”，减法转化“减变加反”|从法则到混合运算，构建运算基础链| |综合应用（模块2-5/7-9）|含符号判断、运算律、数轴综合等|符号判断“绝对值比较法”，运算律“凑整/同号结合”|结合绝对值、数轴深化数感，体现数形结合| |微专题（1-3）|聚焦书写规范、简便计算、实际应用|省略加号规则，“分组/凑零”简便技巧|从运算技能到实际问题解决，培养应用意识| |压轴（1-2）|规律探究、新定义|归纳法找运算规律，新定义转化常规运算|提升逻辑推理与创新意识，对接中考压轴题型|

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题2.1 有理数的加法与减法》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 有理数加法的基本运算 模块9有理数的减法与数轴的综合应用 模块2 有理数加法中的符号判断 模块10 有理数加减混合运算的基本计算 模块3 有理数的加法运算律的应用 微专题1有理数加减混合运算中省略加号和括号的书写 模块4 有理数的加法在实际生活中的应用 微专题2有理数加减混合运算中的简便计算 模块5 有理数的加法与绝对值、数轴的综合 微专题3有理数加减混合运算的实际应用 模块6有理数减法的基本运算 压轴1 有理数加减混合运算中的规律 模块7有理数的减法概念的理解与辨析 压轴2 有理数加减混合运算中的新定义 模块8 有理数的减法在实际生活中的应用 通关检测·实战演练 知识梳理 · 基础溯源 知识点1：加法法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． （3）一个数同0相加，仍得这个数． 知识点2：加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变．即a＋b=b＋a 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变．即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 知识点3：减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即a－b=a＋（﹣）b 模块通关·举一反 三 【模块一】有理数加法的基本运算 【典例1】（1）计算：__________． （2）计算的结果是__________． （3）计算:－3＋(－1)的结果是_____． （4）计算： 7＋(－5)＝______． (5)计算：(-0.9)+(-2.7)＝______． (6)计算：3.8+(-8.4)＝______． (7)计算：(-0.5)+3＝______． (8)计算：3.92+1.78＝______． (9)计算：7+(-3.04)＝______． (10)计算：（-2.9）+(-0.31)＝______． (11)计算：-9.18)+6.18＝______． (12)计算：4.23+(-6.77)＝______． 【答案】（1）（2）24（3）-4（4）2(5)-3.6 (6)-4.6 (7)2.5 (8)5.7 (9)3.96 (10)-3.21 (11)-3 (12)-2.54 解（1）【详解】-2 故答案为：-2. （2）【详解】=24 故答案为：24 （3）【详解】-3+(-1)=-4， 故答案为：-4. （4）【详解】. 故答案为：2. （5）【详解】(-0.9)+(-2.7)＝-3.6；故答案为：-3.6 （6）【详解】3.8+(-8.4)＝-4.6； 故答案为：-4.6 （7）【详解】(-0.5)+3＝2.5； 故答案为：2.5 （8）【详解】3.92+1.78＝5.7； 故答案为：5.7 （9）【详解】7+(-3.04)＝3.96； 故答案为：3.96 （10）【详解】(-2.9)+(-0.31)＝-3.21；故答案为：-3.21 （11）(-9.18)+6.18＝-3； 故答案为：-3 （12）4.23+(-6.77)＝-2.54． 故答案为：-2.54 【变式1-1】．下列各式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的加法法则逐一计算即可判断． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的加法，有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0． 【变式1-2】计算： （1）     （2）      （3）      （4） 【答案】（1）18.96；（2）0；（3）；（4） 【分析】（1）根据有理数的加减运算法则即可求解；     （2）根据有理数的加减运算法则即可求解；      （3）根据有理数的加减运算法则即可求解；      （4）根据有理数的加减运算法则即可求解． 【详解】（1）==18.96；     （2）=0；      （3）=== （4）===． 【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 【变式1-3】若，．且，异号，则的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】由绝对值的性质，先求得x、y的值，再代入 x+y求值即可． 【详解】解：∵ |x|=3， |y|=4 ， ∴x=±3，y=±4， 又∵ x ， y 异号， ∴当x=3，y=-4时， x+y =-1； 当x=-3，y=4时， x+y=1． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质及有理数的加法，解题的关键是根据 x ， y 异号分情况讨论． 【模块二】有理数加法中的符号判断 【典例2】如果两个数的和是正数，那么（　　） A．这两个加数都是正数 B．一个加数为正数，另一个加数为0 C．一个加数为正数，另一个加数为负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值 D．以上皆有可能 【答案】D 【分析】根据有理数的加法法则分析判断即可． 【详解】解：如果两个数的和是正数，可能这两个加数都是正数，如； 一个数为正数，另一个加数为0，两个数的和是正数，如； 一个加数为正数，另一个加数为负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值，则两个数的和为正数，如． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法法则，理解并熟练掌握有理数的加法法则是解题关键． 【变式2-1】两个有理数的和为负数，那么这两个数一定（　　） A．都是负数 B．至少有一个是负数 C．有一个是0 D．绝对值不相等 【答案】B 【分析】根据有理数加法法则分析判断即可． 【详解】解：根据有理数加法法则可知，如果两个有理数的和为负数，可有三种情况：同负；一正一负且负数的绝对值大于正数的绝对值；一个负数和0．显然三种情况中，至少一个为负数． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数加法法则，理解并掌握有理数加法法则是解题关键． 【变式2-2】如图在数轴上有M、N两点，则两点表示的数字之和不可能（    ） A．2 B．－4 C．－3.45 D．－7 【答案】A 【分析】由图可知M在原点的右边，则M大于0，N在原点的右边，则N小于0，且M的绝对值小于N的绝对值，由此可知两个点表示的数字和应为负数，选出不可能的选项即可． 【详解】解：由图可知M在原点的右边，则M大于0， N在原点的右边，则N小于0， 且M的绝对值小于N的绝对值， ∴两个点表示的数字和应为负数， 故选A． 【点睛】本题考查有理数的加法运算，数轴上点的特征，以及绝对值的概念，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键． 【变式2-3】若，，且，则一定是（  ） A．负数 B．正数 C．0 D．无法确定符号 【答案】B 【分析】根据有理数加法法则：异号两数相加，取绝对值较大的数的正负号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值即可得出答案． 【详解】∵，，， ∴（异号两数相加，取绝对值大的符号）． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的加法，再进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定用的法则，在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． 【模块三】有理数的加法运算律的应用 【典例3】在计算时，佳佳的板演过程如下： 解：原式． 老师问：“佳佳同学在解答过程中运用了哪些运算律？” 甲同学回答说：“佳佳在解答过程中运用了加法交换律”； 乙同学回答说：“佳佳在解答过程中运用了加法结合律”； 丙同学回答说：“佳佳在解答过程中既运用了加法交换律，也运用了加法结合律”． 下列对甲、乙、丙三名同学说法判断正确的是（    ） A．甲同学说的对 B．乙同学说的对 C．丙同学说的对 D．甲、乙、丙说的都不对 【答案】C 【分析】根据加法运算律的定义进行解答即可． 【详解】解：由到既运用了加法交换律，也运用了加法结合律，所以丙同学说的对，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了加法的交换律和结合律，熟记加法交换律和结合律，，，是解题的关键． 【变式3-1】下列交换加数的位置的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据加法交换律逐项判断即可． 【详解】A．，故A错误． B．，故B错误． C．，故C错误． D．，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的加法运算律．注意在交换加数的位置时，一定要连同前面的符号一起移动． 【变式3-2】下列变形中，运用运算律正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用加法的交换律和结合律对每一个选项进行判断即可. 【详解】A、，故此选项错误； B、，故此选项正确； C、，故此选项错误； D、，故此选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了加法的交换律和结合律，注意在应用交换律和结合律时，每一个加数的符号不变. 【变式3-3】计算： (1)3+（−10）+9+（−12）+7 (2)（−0.19）+（−3.27）+（+6.19）+（−5）+2.27 (3)1+（−2）++ (4)4.4+（−）+（−7）+（−3）+（−2.4） (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)0 (6)0 【分析】（1）把同号的两数与互为相反数的两数先加，再进行计算即可； （2）把和为整数的两个数先加，再进行即可； （3）把和为整数的两数先加，再计算即可； （4）把和为整数的两数先加，再计算即可； （5）利用加法结合律计算即可； （6）将分数化为小数，再用加法结合律计算即可． 【详解】（1）解：3+（−10）+9+（−12）+7 ； （2）（−0.19）+（−3.27）+（+6.19）+（−5）+2.27 =0； （3）1+（−2）++ =0； （4）4.4+（−）+（−7）+（−3）+（−2.4） （5） ； （6） 【点睛】本题考查的是有理数的加法运算，有理数的加法的运算律，运算法则为：同号的两数相加，取与加数相同的正负号，再把绝对值相加，绝对值不相等的异号的两数相加，取绝对值较大的加数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0，0与一个数相加仍得这个数；掌握与理解法则是解本题的关键 【模块四】有理数的加法在实际生活中的应用 【典例4】如图，小明在某运动APP中，设定了每天的步数目标为8000步．该APP用目标线上方或下方的柱状图表示每天超过或少于目标数的步数，如14日，小明少于目标数的步数为500步，则从13日到16日这四天中小明一共走的步数为（　　） A．27200 B．32000 C．35800 D．36800 【答案】C 【分析】根据正负数的意义，将图中数据相加即可求解． 【详解】解：从13日到16日这四天中小明一共走的步数为（步） 故选：C． 【点睛】本题考查了正负数的意义，有理数的加减的应用，理解题意，列出算式是解题的关键． 【变式4-1】某种食品保存的温度为，以下几个温度中，适合这种食品储存的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正负数的意义，用得到食品保存的温度的范围即可求解． 【详解】解：依题意， 所以食品保存的温度范围为到： 故选：C 【点睛】本题考查了正负数的意义，有理数的加减运算，有理数的大小比较，求得食品保存的温度范围为到是解题的关键． 【变式4-2】下列问题情境，不能用加法算式表示的是（　　） A．水位先下降2cm，再上升10cm后的水位变化情况 B．某日最低气温为，温差为，该日最高气温 C．用10元纸币购买2元文具后找回的零钱 D．数轴上表示与10的两个点之间的距离 【答案】D 【详解】A、水位先下降2cm，再上升10cm后的水位变化情况，可以表示为：，不符合题意； B、某日最低气温为，温差为，该日最高气温，可以表示为：，不符合题意； C、用10元纸币购买2元文具后找回的零钱，可以表示为：，不符合题意； D、数轴上表示与10的两个点之间的距离为：，不能用加法算式表示，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查正负数的意义，以及有理数加法的实际应用．根据问题情境，正确的列出算式，是解题的关键． 【变式4-3】出租车司机小李某天下午的运营是在南北走向的大街进行的，假定向南为正，向北为负，他那天下午行驶里程（单位：km）如下： ＋15，－3，＋14，－11，＋10，＋4，－26 (1)小李在送第几位乘客时行驶的路程最远？ (2)小李送完最后一位乘客时所处的地点，在他最初出发地的什么方向？距离出发地多远？ (3)若汽车耗油量为0.1L/km，这天下午汽车一共耗油多少升？ 【答案】(1)小李在送最后一位乘客时行车里程最远； (2)在他最初出发地的正南方向，距离出发地3km； (3)这天下午汽车共耗油8.3升 【分析】（1）根据绝对值的意义，可得答案； （2）把那天下午小李行驶里程求和，根据结果即可得到答案； （3）根据单位耗油量乘行驶路程，可得答案． 【详解】（1）解：∵ |26|＞|+15|＞|+14|＞|﹣11|＞|+10|＞|+4|＞|﹣3|， ∴小李在送最后一位乘客时行车里程最远； （2）（＋15）＋（－3）＋（＋14）＋（－11）＋（＋10）＋（＋4）＋（－26） ＝[（＋15）＋（＋14）＋（＋10）＋（＋4）]＋[（－3）＋（－11）＋（－26）] ＝(＋43)＋（－40） ＝＋3， 答：小李送完最后一位乘客时所处的地点，在他最初出发地的正南方向，距离出发地3km． （3）0.1×（15+|﹣3|+14+|﹣11|+10+4+|﹣26|）＝8.3升， 答：若汽车耗油量为0.1L/km，这天下午汽车共耗油8.3升． 【点睛】本题考查了正数和负数、绝对值、有理数加法和乘法的实际应用等知识，理解正负数的意义，利用单位耗油量乘行驶路程是解题关键． 【模块五】有理数的加法与绝对值、数轴的综合 【典例5】a，b，c三个数的位置如图所示，下列结论错误的是（    ） A．b＋a＞0 B．b＋c＜0 C．a＋b＜0 D．a＋c＞0 【答案】A 【分析】根据数轴上点的位置判断出a，b，c的大小，利用有理数的加法法则逐一判断即可． 【详解】根据数轴上点的位置得：-4＜b＜-3＜-1＜a＜0＜1＜c，即|a|＜|c|＜|b|， ∴b+a＜0，故A选项错误，符合题意， b+c＜0，故B选项正确，不符合题意， a+b＜0，故C选项正确，不符合题意， a+c＞0，故D选项正确，不符合题意， 故选：A． 【点睛】此题考查了有理数的加法及数轴，正确判断a，b，c的大小，熟练掌握运算有理数加减法法则是解本题的关键． 【变式5-1】如图，若数轴上A，B两点对应的有理数分别为a，b，则的值可能是（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】C 【分析】由图可知，，且，则−2<a+b<0，故可确定a+b的可能值． 【详解】由图可知，，且，则−2<a+b<0，所以a+b的值可能是−1 故选：C 【点睛】本题考查了有理数的加法法则、利用数轴比较有理数的大小，正确理解题意是关键． 【变式5-2】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上对应位置可知，即可逐项判断． 【详解】解：根据数轴上对应位置可知， ∴，， 综上，C选项正确， 故选：C． 【点睛】本题考查数轴上的点表示的数、绝对值、有理数加法法则、有理数的大小比较等内容，根据数轴找到是解题的关键． 【变式5-3】已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且|a|=|b|，则下列结论中错误的是（    ） A．a+c<0 B．-a+b+c<0 C．|a+b|>|a+c| D．|a+b|<|a+c| 【答案】C 【分析】根据数轴得到c<b<0<a，|c|>|b|=|a|，再根据有理数加减法的计算法则即可求解． 【详解】A. ∵c<0<a，|c|>|a|， ∴a+c<0， 题干的说法正确，不符合题意； B. ∵a>0， ∴−a<0， 又∵b<0，c<0， ∴−a+b+c<0， 题干的说法正确，不符合题意； C. ∵c<b<0<a，|c|>|b|=|a|， ∴|a+b|<|a+c|， 题干的说法错误，符合题意； D. ∵−c>a>−b， ∴|a+b|<|a+c|， 题干的说法正确，不符合题意. 故选C. 【点睛】此题考查数轴，绝对值，解题关键解在于结合数轴进行解答. 【模块六】有理数减法的基本运算 【典例6】计算： (1)（﹣5）﹣（﹣6） 2)（﹣5）﹣（+6） 3)（﹣11）﹣0 (4)0﹣3 (5)（－8）＋（－9） (6)（－12）＋25 (7)7.24＋（－3.04） (8)（）＋（） (9)0–（–8） (10)－17－（－7） （11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）． 【答案】(1)1 (2)﹣11 (3)﹣11 (4)﹣3 (5) (6)13 (7)4.2 (8) (9)8 (10) （11）4；（12）-13；（13）60；（14）-12；（15）-11；（16）-20． 【详解】 （1）解：（﹣5）﹣（﹣6）＝﹣5+6＝1； （2）解：（﹣5）﹣（+6）＝﹣5+（﹣6）＝﹣11； （3）解：（﹣11）﹣0＝﹣11； （4）解：0﹣3＝0+（﹣3）＝﹣3． （5）解： （6）解： （7）解：； （8）解： （9）解： （10）解： （11）解：； （12）解：； （13）解：； （14）解：； （15）解：； （16）解：． 【变式6-1】下列计算正确的是（　　） A．7﹣（﹣7）＝0 B． C．0﹣4＝﹣4 D．﹣6﹣5＝﹣1 【答案】C 【分析】根据有理数的减法法则逐一计算可得． 【详解】解：A．7﹣（﹣7）＝7+7＝14，此选项计算错误； B．=﹣此选项计算错误； C．0﹣4＝0+（﹣4）＝﹣4，此选项计算正确； D．﹣6﹣5＝﹣6+（﹣5）＝﹣11，此选项计算错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查有理数的减法，将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）． 【变式6-2】．计算： （1） （2）； （3） （4） （5） （6） 【答案】（1）；（2）0；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】根据有理数减法运算法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，计算即可． 【详解】解：（1）原式＝； （2）原式＝； （3）原式＝； （4）原式＝； （5）原式＝； （6）原式＝． 【点睛】本题考查了有理数的减法法则以及绝对值，熟知运算法则是解本题的关键 【变式6-3】已知，则的值是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】先根据绝对值运算和求出a、b的值，再代入求值即可得． 【详解】， ， ， 或， （1）当时，， （2）当时，， 综上，的值是2或4， 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值运算、有理数的加减法运算，熟练掌握绝对值运算是解题关键． 【模块七】有理数的减法概念的理解与辨析 【典例7】下列四种说法：①减去一个数，等于加上这个数的相反数；②两个互为相反数的数和为0；③两数相减，差一定小于被减数；④如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的和或差等于零．其中正确的说法有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据有理数的减法运算法则对各小题分析判断即可得解． 【详解】①减去一个数等于加上这个数的相反数，故本小题正确； ②互为两个相反数的两数相加得零，故本小题正确； ③减数是负数时，差大于被减数，故本小题错误； ④如果两个数的绝对值相等，这两个数可能相等，也可能互为相反数，故本小题正确； 综上所述，正确的有①②④共3个． 故选B． 【点睛】本题考查了相反数的定义，有理数的减法，是基础题，熟记运算法则是解题的关键． 【变式7-1】下列说法正确的有（　　） ①所有的有理数都能用数轴上的点表示；②符号不同的两个数互为相反数；③有理数分为正数和负数；④两数相减，差一定小于被减数；⑤两数相加，和一定大于任何一个加数． A．4个 B．2个 C．1个 D．3个 【答案】C 【分析】分别利用有理数的加减运算法则和互为相反数的定义以及数轴分别分析得出答案． 【详解】解：①所有的有理数都能用数轴上的点表示，说法正确； ②只有符号不同的两个数叫做互为相反数，故此选项错误； ③有理数分为正数和负数、零，故此选项错误； ④两数相减，差一定小于被减数，两负数相减的不同，故此选项错误； ⑤两数相加，和一定大于任何一个加数，异号两数相加，则不同，故此选项错误． 故选C． 【点睛】此题主要考查了有理数的加减运算法则和互为相反数的定义以及数轴，正确把握相关定义是解题关键． 【变式7-2】若一个数与它的相反数在数轴上对应点间的距离为8个单位长度，则这个数是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】设这个数为，则它的相反数为，根据题意，分情况讨论即可． 【详解】设这个数为，则它的相反数为，依题意， ，， 或者，， 这个数是或， 故选B 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，掌握有理数的加减运算是解题的关键． 【变式7-3】设a是最大的负整数，b是最小的正整数，c是绝对值最小的有理数，则的值是（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据有理数的分类解得再代入计算解题． 【详解】解：a是最大的负整数，b是最小的正整数，c是绝对值最小的有理数， ， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的分类，有理数的减法等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【模块八】有理数的减法在实际生活中的应用 【典例8】下列表示东台某天早晨、中午和午夜的温度（单位：℃），则下列说法正确的是 （ ） A．午夜与早晨的温差是11℃ B．中午与午夜的温差是0℃ C．中午与早晨的温差是11℃ D．中午与早晨的温差是3℃ 【答案】C 【详解】试题分析：A．午夜与早晨的温差是﹣4﹣（﹣7）=3℃，故本选项错误； B．中午与午夜的温差是4﹣（﹣4）=8℃，故本选项错误； C．中午与早晨的温差是4﹣（﹣7）=11℃，故本选项正确； D．中午与早晨的温差是4﹣（﹣7）=11℃，故本选项错误． 故选C． 【变式8-1】某品牌的面粉袋上标有质量为的字样，下列4袋面粉中质量合格的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出一袋面粉的最大重量和最小重量即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴质量合格的面粉重量在至之间， ∴4袋面粉中质量合格的是． 故选：B 【点睛】本题考查的是正数和负数，有理数的加减运算的应用，根据题意正确理解面粉袋上标有质量为的字样是解题的关键． 【变式8-2】芝加哥与北京的时差是 -14 小时（负数表示同一时刻比北京晚），小明2019年11月4日7：00乘坐飞机从北京起飞，15小时后到达芝加哥，此时芝加哥的时间为________． 【答案】2019年11月4日8时 【分析】根据题意用7加上15求出北京时间然后减去14，然后根据有理数的减法和加法运算法则进行计算即可得解． 【详解】解：7+15-14=7+1=8， 所以到达芝加哥的时间为2019年11月4日8时． 故答案为：2019年11月4日8时． 【点睛】本题考查有理数的减法，读懂题目信息，表示出芝加哥的时间是解题的关键． 【变式8-3】．检查5个足球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 足球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/克 则最接近标准质量的是 _____号足球；质量最大的足球比质量最小的足球多 _____克． 【答案】 3 【分析】根据超过的记为正，不足的记为负，绝对值小的接近标准，可得最接近标准的球；根据质量最大的求减去质量最小的球，可得质量最大的足球比质量最小的足球多多少克． 【详解】解：，，，，， ∵， ∴最接近标准质量的是3号足球； （克）， 即质量最大的足球比质量最小的足球多克． 故答案为：3；． 【点睛】本题考查了正负数的意义，绝对值的意义，有理数的减法的应用，掌握正负数的意义是解题的关键． 【模块九】 有理数的减法与数轴的综合应用 【典例9】在数轴上点A，B，C，D对应的有理数分别是2，0，﹣1，﹣3，则其中两点之间距离最小的是（　　） A．A与C间的距离 B．A与D间的距离 C．B与C间的距离 D．B与D间的距离 【答案】C 【分析】分别计算A，B，C，D四个点中两两之间的距离，然后比较大小即可． 【详解】解：A、B两点之间的距离为：2﹣0＝2； A、C两点之间的距离为：2﹣(﹣1)＝3； A、D两点之间的距离为：2﹣(﹣3)＝5； B、C两点之间的距离为：0﹣(﹣1)＝1； B、D两点之间的距离为：0﹣(﹣3)＝3； C、D两点之间的距离为：﹣1﹣(﹣3)＝2； 所以其中两点之间距离最小的是B与C间的距离． 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离及有理数的减法运算、有理数的大小比较，正确地计算出两两之间的距离是解题的关键． 【变式9-1】数轴上与数所对应的点相距4个单位长度的点表示的数是　　 A．2 B．4 C． D．或2 【答案】D 【分析】根据题意得出两种情况：当点在表示−2的点的左边时，当点在表示−2的点的右边时，列出算式求出即可． 【详解】分为两种情况： ①当点在表示−2的点的左边时，数为−2−4＝−6； ②当点在表示−2的点的右边时，数为−2＋4＝2； 故选D． 【点睛】本题考查了数轴的应用，注意符合条件的有两种情况，不要漏数． 【变式9-2】有理数，在数轴上的对应的位置如图所示：则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形可知a，b的取值范围，则a＞|b|，根据有理数的加减法进行判断即可和答案. 【详解】∵-1<b<0， 又∵1<a<2， ∴a+b>0，a-b<0， 故A、B、C选项错误，D选项正确， 故选D． 【点睛】本题考查了数轴、有理数大小比较、有理数的加法、有理数的减法等，注意原点左边的为负数，右边的为正数．且绝对值越大到原点的距离就越大． 【变式9-3】若，在数轴上表示如图所示，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实数与数轴上的点之间的对应关系求解． 【详解】解：由数轴得：， ，故选项A错误； ，故选项B错误； ， ，故选项C错误； ， ，故选项D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，有理数的减法及绝对值的性质，解题的关键是利用好数轴． 【模块十】 有理数加减混合运算的基本计算 【典例10】直接写出计算结果： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 【答案】(1)-3 (2) (3)-8 (4) 【分析】（1）先去小括号，再进行有理数的加减运算即可； （2）先去小括号，再进行有理数的加减运算即可； （3）先去小括号，再进行有理数的加减运算即可； （4）先去小括号，再进行有理数的加减运算即可． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有括号的要先去括号这一运算法则． 【变式10-1】计算： (1)0﹣1+2﹣3+4﹣5； (2)﹣4.2+5.7﹣8.4+10.2； (3)﹣30﹣11﹣（﹣10）+（﹣12）+18； (4)； (5)； (6) 【答案】(1)﹣3 （2）3.3 (3)﹣25 (4)﹣ (5) (6) 【分析】（1）原式利用加法运算律变形后，相加即可得到结果； （2）原式利用加法运算律变形后，相加即可得到结果； （3）原式利用减法法则变形，再利用加法运算律变形后，相加即可得到结果； （4）原式利用减法法则变形，再利用加法运算律变形后，相加即可得到结果； （5）原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果； （6）原式利用减法法则变形，再利用加法运算律变形后，相加即可得到结果． （1）原式＝（2+4）+（﹣1﹣3﹣5）＝6﹣9＝﹣3； （2）原式＝（5.7+10.2）+（﹣4.2﹣8.4）＝15.9﹣12.6＝3.3； （3）原式＝﹣30﹣11+10﹣12+18＝（﹣30﹣11﹣12）+（10+18）＝﹣53+28＝﹣25； （4）原式＝＝＝； （5）原式＝＝＝＝； （6）原式＝＝＝=． 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式10-2】计算： (1)_____； (2)______；(3)______；(4)_______； (5)；(6)；(7)；(8) 【答案】(1) (2) (3)，，(4) (5) (6) (7) (8)0 【分析】（1）先去括号，然后计算减法运算即可； （2）先去括号，然后计算减法运算即可； （3）由绝对值的意义进行化简，即可得到答案； （4）由绝对值的意义进行化简，即可得到答案； （5）直接计算加减运算，即可得到答案； （6）先去括号，然后计算加减运算，即可得到答案； （7）先去括号，然后计算加减运算，即可得到答案； （8）先计算括号内的运算，然后去掉绝对值，再计算减法运算，即可得到答案． （1）解： ； （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） ．【点睛】本题考查了有理数的加减运算，绝对值的意义，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题． 【变式10-3】计算题 （1）     （2） （3）             （4） （5） （6） 【答案】（1）1；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）1002 【分析】（1）、（2）、（3）、（4）直接根据有理数加减混合运算法则求解即可； （5）先根据绝对值的性质去绝对值符号，然后再结合有理数加减混合运算法则求解即可； （6）先观察得出相邻两项之和为1，从而利用规律求解即可． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 （5）原式 （6）原式= 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的相关运算法则，并注意运算规律与顺序是解题关键． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】 有理数加减混合运算中省略加号和括号的书写 【典例11】把6﹣（+4）﹣（﹣7）+（﹣3）写成省略加号的和得形式为（　　） A．6﹣4+7+3 B．6+4﹣7﹣3 C．6﹣4+7﹣3 D．6﹣4﹣7+3 【答案】C 【分析】根据省略括号的法则：奇数个负号省略成负号，偶数个负号省略成正号写出即可． 【详解】解：6﹣（+4）﹣（﹣7）+（﹣3）＝6﹣4+7﹣3． 故选C． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算中省略括号的写法，解题的关键是熟练掌握省略的法则． 【变式11-1】把18﹣（+10）+（﹣7）﹣（﹣5）写成省略加号的形式是（　　） A．18﹣10﹣7﹣5 B．18﹣10﹣7+5 C．18+（﹣10）+（﹣7）+5 D．18+10﹣7﹣5 【答案】B 【分析】利用减法法则把减法化为加法写成省略加号的和的形式． 【详解】解： ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，掌握把有理数加减法统一成加法是解题关键． 【变式11-2】下列式子可读作“负10、负6、正3、负7的和”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中语句列出式子，再去括号即可得． 【详解】解：“负10、负6、正3、负7的和”用式子表示为， 观察四个选项可知，只有选项B符合， 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数加减中的去括号，熟练掌握去括号法则是解题关键． 【变式11-3】．不改变原式的值，则可变形为(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的加减法则进行计算即可求解． 【详解】解： = 故选B 【点睛】本题考查了有理数的加减法运算，掌握有理数的减法运算法则是解题的关键． 【微专题二】 有理数加减混合运算中的简便计算 【典例12】．计算时，运算律用得最为恰当的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的加减运算，凑整，即可求解． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的加减中运算中的简便运算，掌握有理数的运算律以及运算法则是解题的关键． 【变式12-1】．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)100 (2) (3)8 【分析】（1）把互为相反数的两数相加； （2）可把符号相同的数相加； （3）可把相加得到整数的数相加． 【详解】（1）解：， ， （2）解：， ， ， （3）解：， ， 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算的简便运算，合理地运用有理数的加法运算律使计算简化是解题的关键． 【变式12-2】计算的结果是（    ） A．-1009 B．-2018 C．0 D．-1 【答案】A 【分析】利用加法的结合律将原式整理成即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的加减法，解题的关键是掌握相应的运算法则． 【变式12-3】计算： (1)0﹣1+2﹣3+4﹣5； (2)﹣4.2+5.7﹣8.4+10.2； (3)﹣30﹣11﹣（﹣10）+（﹣12）+18； (4)； (5)； (6) 【答案】(1)﹣3(2)3.3(3)﹣25(4)﹣(5)(6) 【分析】（1）原式利用加法运算律变形后，相加即可得到结果； （2）原式利用加法运算律变形后，相加即可得到结果； （3）原式利用减法法则变形，再利用加法运算律变形后，相加即可得到结果； （4）原式利用减法法则变形，再利用加法运算律变形后，相加即可得到结果； （5）原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果； （6）原式利用减法法则变形，再利用加法运算律变形后，相加即可得到结果． （1）原式＝（2+4）+（﹣1﹣3﹣5）＝6﹣9＝﹣3； （2）原式＝（5.7+10.2）+（﹣4.2﹣8.4）＝15.9﹣12.6＝3.3； （3）原式＝﹣30﹣11+10﹣12+18＝（﹣30﹣11﹣12）+（10+18）＝﹣53+28＝﹣25； （4）原式＝＝＝； （5）原式＝＝＝＝； （6）原式＝＝＝=． 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【微专题三】 有理数加减混合运算的实际应用 【典例13】一只跳蚤在数轴上从原点O开始沿数轴左右跳动，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它第2021次落下时，落点处对应的数是(    ) A．－1011 B．1011 C．－2021 D．2021 【答案】B 【分析】数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可． 【详解】解：由题意得： ． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了数轴与图形的变化类，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 【变式13-1】某公司6天内货品进出仓库的吨数如下：（“＋”表示进库，“－”表示出库） ，，，，，． (1)经过这6天，仓库里的货品________．（填“增多了”或“减少了”） (2)经过这6天，仓库管理员结算时发现仓库里还剩货品，那么6天前仓库里有货品多少吨？ (3)如果货品进出仓库的装卸费都是每吨5元，那么这6天共需付多少元装卸费？ 【答案】(1)减少了 (2)吨 (3)元 【分析】（1）根据题意把各个数据相加，若得数为负，说明减少了，若得数为正，说明增加了； （2）剩下货品加上出的货品即为所求； （3）分别把这6天装卸的货物求出，再乘以装卸费用即为所求． 【详解】（1）解：（吨）， ∴经过这6天，仓库里的货品减少了， 故答案为：减少了； （2）（吨）， 答：6天前仓库里有货品吨； （3）（元） 答：这6天要付元装卸费． 【点睛】本题考查了有理数加减的混合运算，相反意义的量、有理数加法及应用，熟练掌握有理数的运算法则，理解题意是解此题的关键． 【变式13-2】出租车司机小李某天下午的营运全是在东莞大道的路上，如果规定向南为正，向北为负，他这天下午的行车里程如下： ． (1)当小李将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车地点的距离多少千米？此时，小李的位置是在出车地点的南面还是北面？ (2)若出租车每100千米耗油5升，每升油需要8元，问小李这天下午的行程需要花费多少油钱？ 【答案】(1)2千米，北面 (2)48元 【分析】（1）将小李这天下午的行车里程相加，所得的结果为正，则在出车地点的南面，否则，再北面； （2）将小李这天下午的行车里程的绝对值相加可得今天的总里程，再计算油费即可． 【详解】（1）解：（千米）， 答：小李距下午出车地点的距离2千米，在出车地点的北面． （2）（千米）， （元）， 答：小李这天下午的行程需要花费油钱48元． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算的实际应用，解题的关键是掌握正数和负数表示意义相反的量． 【变式13-3】小颖大学暑假期间在某玩具厂勤工俭学．厂里规定每周工作6天，每人每天需生产A玩具30个，每周生产180个．下表是小颖某周实际的生产情况（增产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 增减产值 (1)根据记录的数据可知小颖星期二生产玩具___________个； (2)根据记录的数据可知小颖本周实际生产玩具___________个； (3)该厂规定：每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元，少生产一个则倒扣2元；工资采用“每日计件工资制”或“每周计件工资制”．小颖本周应选择哪种工资形式更合算？请说明理由 ． 【答案】(1)23 (2)191 (3)选择每日计件工资制更合算，见解析 【分析】（1）根据记录可知，小颖星期二生产玩具（个）； （2）先把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，再加上计划生产量即可； （3）每日计件工资制：先计算每天的工资，再相加即可求解；每周计件工资制：用基本工资加上奖励工资即可求出本周工资，然后再比较即可． 【详解】（1）小颖星期二生产玩具（个）； 故答案为：23； （2）本周实际生产玩具：（个）； 故答案为：191； （3）每日计件工资制： = =（元）， 每日计件工资制，小颖本周的工资总额是元； 每周计件工资制： （元）， 每周计件工资制，小颖本周的工资总额是元； ， ∴小颖应选择每日计件工资制更合算． 【点睛】本题考查了正数与负数，有理数的混合运算，读懂表格数据，根据题意准确列式是解题的关键． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 有理数加减混合运算中的规律 【典例14】观察下列各式的特征：；；； ，根据规律，解决相关问题： （1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）； ①_____________； ②___________． （2）当时，___________；当时，__________． （3）有理数在数轴上的位置如图，则化简的结果为___________    A．    B．     C．     D． （4）合理的方法计算： 【答案】（1）①21-7；②；（2）a-b，b-a；（3）C；（4） 【分析】（1）①判断绝对值里边式子的正负即可得到结果； ②判断绝对值里边式子的正负即可得到结果； （2）根据绝对值的代数意义，由绝对值里边式子的正负计算即可得到结果； （3）利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：（1）①|7-21|=21-7； ②， （2）当a＞b时，|a-b|=a-b； 当a＜b时，|a-b|=b-a， 故答案为：a-b，b-a； （3）由数轴上点的位置得到a-2＜0， 则原式=2-a，故选C； （4）原式= = =． 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式14-1】点A1、A2、A3、…、An（n为正整数）都在数轴上．点A2在点A1的左边，且A1A2=1；点A3在点A2的右边，且A2A3=2；点A4在点A3的左边，且A3A4=3；…，点A2018在点A2017的左边，且A2017A2018=2017，若点A2018所表示的数为2018，则点A1所表示的数为_____． 【答案】3027． 【分析】根据题意得出规律：当n为奇数时，An-A1=，当n为偶数时，An=A1-，把n=2018代入求出即可. 【详解】解：根据题意得： 当n为奇数时，An-A1=，当n为偶数时，An-A1=-， 2018为偶数，代入上述规律, A2018-A1=-=-1009, 解得A1=3027． 故答案为3027. 【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，利用运算规律解决问题. 【变式14-2】观察下列各式： ； ； ； ． （1）根据上面各式的规律可得_________； （2）利用（1）的结论化简； （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）1 【分析】（1）根据各式规律确定出所求即可； （2）仿照（1）的结论确定出所求即可； （3）已知等式变形后，计算即可求出所求． 【详解】（1）（xn+1-1）÷（x-1）=xn+xn-1+…+x+1； 故答案为：xn+xn-1+…+x+1； （2）； （3）由可得， ， ∴， ∴． 【点睛】此题考查整式的除法，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式14-3】根据下列材料，回答问题： （1） 请根据以上各式完成下列题目： ①_______；②_______；（n为正整数） ③用简便方法计算：． （2），，，…… 请根据以上各式完成下列题目： ①______________；②______________；（n，d为正整数） ③用简便方法计算：． （3）从上述两个题目中，你有什么收获？试试下面的题目，你一定行！ ①；     ②． 【答案】（1）①；②；③；       （2）①；②；③；       （3）①；② 【分析】（1）①②根据题目中的等式，可以写出相应式子的值； ③根据所求式子的特点，先拆项，然后计算即可； （2）①②根据题目中的例子，可以求得所求式子的值； ③根据所求式子的特点，先拆项，然后计算即可； （3）根据所求式子的特点，先拆项，然后计算即可． 【详解】解：（1）由题意可得： ①； ②；（n为正整数） ③用简便方法计算： ； （2）由题意可得： ①； ②；（n，d为正整数） ③用简便方法计算： ； （3）① ； ② ； 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值． 【压轴二】有理数加减混合运算中的新定义 【典例15】对于有理数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，，则2和3关于1的“相对关系值”为3． (1)和6关于2的“相对关系值”为 ； (2)若a和3关于1的“相对关系值”为7，求a的值； (3)若和关于1的“相对关系值”为1，请求出的最大值． 【答案】(1)10 (2)或 (3)3 【分析】（1）根据“相对关系值”的概念求解即可； （2）根据题意列出方程求解即可； （3）先由题意建立关系式，再由关系式结合绝对值的非负性分别推出和的范围，进而化简关系式即可． 【详解】（1）根据题意得，． ∴和6关于2的“相对关系值”为10； （2）根据题意得，，即 ∴，解得或． （3）∵和关于1的“相对关系值”为1 ∴， 结合绝对值得非负性，可得：，， ，， 则当，时，+的值最大， 此时化简得：， 【点睛】本题考查以绝对值为背景的新定义问题，理解题意并结合绝对值的非负性对题目分析是解题关键． 【变式15-1】对于有理数，定义一种新运算“”，规定． 计算的值； ①当在数轴上的位置如图所示时，化简；    ②当时，是否一定有或者?若是，则说明理由；若不是，则举例说明． 【答案】（1）10；（2）①；②不一定，反例见解析． 【分析】（1）先根据新运算的定义列出运算式子，再计算有理数的加减法、化简绝对值即可得； （2）①先根据数轴的定义判断出，再化简绝对值即可得； ②根据绝对值运算、有理数的加减法，列出反例即可． 【详解】（1）由题意得：， ， ， ； （2）①从在数轴上的位置得：， 则， ， ， ； ②当，即时，不一定有或者， 例如：取， 则， ， 即此时等式成立，但且． 【点睛】本题考查了有理数的加减法、化简绝对值、数轴，读懂题意，掌握新运算的定义是解题关键． 【变式15-2】我们知道，表示数对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，如果数轴上两个点分别表示数，那么两点之间的距离为．利用此结论，回答下列问题： （1）数轴上表示3和－3的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示和－1的两点之间的距离为2，那么的值为 ； （3）直接写出的最小值为 ； （4）直接写出的最小值为 ； （5）简要求出的最小值． 【答案】（1）6；（2）-3或1；（3）6；（4）6；（5）2450 【分析】（1）根据两点间的距离公式求解可得； （2）根据绝对值的定义可得； （3）得出的几何意义，从而得到最小值； （4）得出的几何意义，从而得到最小值； （5）根据绝对值的几何意义可知：当x=50时值最小，然后去掉绝对值符号，再利用求和公式列式计算即可得解． 【详解】解：（1）数轴上表示3和－3的两点之间的距离是， 故答案为：6； （2）由题意可得： ， 则x的值为：-3或1； （3）∵表示数轴上表示点x到-2和4两点的距离和， ∴当x在-2到4之间时，有最小值，最小值为6； （4）表示数轴上表示点x到-2和1和4三点的距离和， ∴当x与1重合时，的值最小，最小值为6； （5）的中间一项是|x-50|， 当x=50时，有最小值， ∴ = =49+48+47+…+1+0+1+2+…+49 =2×（1+2+…+49） =2450． 【点睛】本题主要考查的是绝对值的意义的应用，理解并应用绝对值的定义及两点间的距离公式是解题的关键． 【变式15-3】定义：对于任意的有理数a，b， (1)探究性质： ①例：_________；_________；_________；________； ②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a，b的式子表示出的一般规律； (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值； ②将，，，……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，求出，10组数代入后可求得10个的值，则这10个值的和的最小值是　　． 【答案】(1)①，，，；②见解析，一般规律为 (2)①；② 【分析】（1）①根据定义即可求解；②举例，通过与以上几个比较，可以发现该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值； （2）①直接利用规律进行求解；②不妨设，则代数式中绝对值符号可直接去掉，代数式等于，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：①， ， ， ， ， 故答案为：，，，； ②例如：， ， 通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值， 用a，b的式子表示出一般规律为； （2）解：① ； ②不妨设，则代数式中绝对值符号可直接去掉， 代数式等于， 为偶数， 最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义，把所给代数式化简，找到新定义的运算规律，利用规律进行求解． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，分别求出各选项的值，作出选择即可． 【详解】A、，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算法则是解答本题的关键． 2.下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由加减运算，分别对每个选项进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、；故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的加减运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行判断． 3..在数轴上，与表示数﹣1的点的距离是2的点表示的数是（　　） A．1 B．3 C．±2 D．1或﹣3 【答案】D 【详解】该点可以在-1的左边或右边，则有-1-2=-3；-1+2=1． 故选D 4..若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用非负数的性质求出a与b的值，代入所求式子计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴a-1=0，b-3=0，即a=1，b=3， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5.如图，点A，B，C在数轴上，它们分别对应的有理数是，，，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上点的位置确定出a，b，c的正负及绝对值大小，利用有理数的加减法则判断即可． 【详解】解：根据数轴上点的位置得：a＜0＜b＜c，且|b|＜|a|＜|c|， ∴a+b＜0，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了有理数的减法，数轴，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 二 填空题 6.计算．（直接写出结果） ①_________            ②＝ _________ ③_________            ④ _________ ⑤________ ⑥＝ _________ ⑦_________             ⑧ ＝ _________ ⑨＝_________            ⑩＝_________ 【答案】①-2，②-11，③20，④-7，⑤1，⑥，⑦-16，⑧，⑨-5，⑩-2． 【分析】根据有理数的加减运算法则逐题计算即可求解． 【详解】解：①； ②=-11； ③； ④； ⑤； ⑥=； ⑦； ⑧=； ⑨=； ⑩=． 【点睛】本题主要考查有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算是解题的关键． 7.计算： ___________． 【答案】 【分析】先把整数与分数拆开分别计算，互为相反数先相加，再通分合并，约分即可． 【详解】解：， =， =， =． 故答案为． 【点睛】本题考查有理数的加减混合和运算，整数与分数部分拆分计算是解题关键． 8.计算：1﹣2+3﹣4+5﹣6+……+2021﹣2022＝_____． 【答案】-1011 【分析】所求的式子可以整理为：（1−2）＋（3−4）＋（5−6）＋…−2020＋（2021−2022），从而可求解． 【详解】解：1−2＋3−4＋5−6＋…−2020＋2021−2022 ＝（1−2）＋（3−4）＋（5−6）＋…−2020＋（2021−2022） ＝−1＋（−1）＋（−1）＋…＋（−1） ＝−1×1011 ＝−1011． 故答案为：−1011． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，有理数的加减混合运算，解答的关键是发现其存在的规律． 9.爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将，2，，4，，6，，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将4，6，，8这四个数填入了圆圈，则图中的值为_____________． 【答案】或 【分析】首先根据题意得出两个圈的和都是2，横、纵的和也是2，然后利用有理数的加减法计算，然后代入求解即可． 【详解】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d， ， ∵横、纵以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴两个圈的和都是2，横、纵的和也是2， 则，解得：， ，解得：， ，解得，： 当时，则， 当时，则， 综上所述，的值是或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查有理数的加减法，知道横竖以及两圈的和都是2是解题的关键． 10.幻方是一个古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方-九宫图．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，则图中“☆”代表的数字是________． 【答案】-3 【分析】先计算和：-7+1+9=3；再计算-5+9+□=3，-5+1+□=3，最后根据☆+□+□=3计算即可． 【详解】解：根据题意，得这个和为：-7+1+9=3； ∴-5+9+□=3，-5+1+□=3， ∴-5+9+□-5+1+□=6， ∴-5+9+□-5+1+□=6， ∴□+□=6， ∵☆+□+□=3， ∴☆=-3， 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了有理数加减的混合运算，正确理解题意，列式计算是解题的关键． 三解答题 11.计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)9(2) (3)0 (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解： （4）解：原式 【点睛】本题主要考查案例有理数的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减混合运算的运算顺序和运算法则，加法交换律和结合律在有理数范围内仍然适用． 12.计算 （1）             （2） （3）            （4） （5）       （6） （7）       （8） 【答案】（1）-28；（2）0；（3）-25.5；（4）；（5）；（6）；（7）；（8） 【分析】各式先化简符号，再利用加法结合律和交换律简化计算即可． 【详解】解：（1） = =-28； （2） = =0； （3） = = =-25.5； （4） = =； （5） = = =； （6） = = = =； （7） = = = =； （8） = = = = = 【点睛】本题主要考查有理数的加减运算，解题的关键是掌握有理数的加法的结合律与交换律． 13.某自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正．减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 七 增减 +5 -2 -5 +9 -10 +16 -9 （1）根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车多少辆？ （2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆？ （2）根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车多少辆？ （4）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得100元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖30元；少生产一辆扣40元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】（1）209（2）26（3）1404（4）140260. 【分析】（1）根据超产记为正，减产记为负，用基数200辆加上增减量即可. （2）增减辆最大的为产量最多的，增减量最小的为产量最少的，分别计算出来作差即可. （3）把增减量相加得到一周总的增减量，再加上一周平均总数1400辆即可. （4）根据每日任务量200辆的基础上计算出超产和减产的工资，再求和. 【详解】（1）超产记为正，减产记为负，所以星期四生产自行车200+9=209（辆）. （2）根据图示产量最多的一天是216辆，产量最少的一天是190辆，故产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车216-190=26（辆）. （3）根据题意，（辆），故该厂本周实际生产自行车1404辆. （4）由题意得元 所以该工厂工人这一周的工资总额是140260元.     故答案为（1）209（2）26（3）1404（4）140260. 【点睛】本题考查了正负数在实际生活中的应用，正要清楚相反意义的量为正负，因而此类问题比较常见，极为重要，要特别注意，理解题干的意思. 14.观察下列等式，①；②；③；…根据你发现的规律解答下列问题： （1）请写出第四个等式； （2）计算的值． 【答案】(1) ＝；(2) . 【分析】(1)由前三个式子可得出规律是若分母是相邻的两个自然数，分子是1，则结果等于这两个相邻自然数为分母，1为分子的两个分数之差，即可得出答案； (2)根据题干中的规律，将一个分数拆成两个分数的差，计算即可得出答案. 【详解】解：(1)由已知规律可得：＝； (2)===. 【点睛】本题考查了有理数找规律以及运算，根据题干中给出的式子找出规律是本题解题关键. 15.定义“”运算，例如： ； ； ． 观察上述运算，解答下列问题； (1)根据上述运算，归纳“”运算的法则： 两数进行“”运算时，同号______，异号______，并把绝对值______； 特别地，0与任何数进行“”运算或任何数与0进行“”运算都得这个数的______； (2)计算：______； (3)计算：； (4)通过发现“”运算满足加法交换律，请举例说明“”运算是否满足加法结合律． 【答案】(1)得正，得负，相加，相反数 (2)20 (3) 4)见解析 【分析】（1）根据上述计算，归纳“”运算的法则即可； （2）根据（1）中的法则进行计算即可； （3）根据（1）中的法则进行计算即可； （4）根据题意，举例说明即可． 【详解】（1）根据上述运算，归纳“”运算的法则： 两数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加； 特别地，0与任何数进行“”运算或任何数与0进行“”运算都得这个数的相反数； 故答案为：得正，得负，相加，相反数； （2）计算：． 故答案为：20； （3）计算： ； （4） 所以=， 所以满足结合律． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，正确理解新定义的运算法则是解题的关键． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题2.1 有理数的加法与减法》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 有理数加法的基本运算 模块9有理数的减法与数轴的综合应用 模块2 有理数加法中的符号判断 模块10 有理数加减混合运算的基本计算 模块3 有理数的加法运算律的应用 微专题1有理数加减混合运算中省略加号和括号的书写 模块4 有理数的加法在实际生活中的应用 微专题2有理数加减混合运算中的简便计算 模块5 有理数的加法与绝对值、数轴的综合 微专题3有理数加减混合运算的实际应用 模块6有理数减法的基本运算 压轴1 有理数加减混合运算中的规律 模块7有理数的减法概念的理解与辨析 压轴2 有理数加减混合运算中的新定义 模块8 有理数的减法在实际生活中的应用 通关检测·实战演练 知识梳理 · 基础溯源 知识点1：加法法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． （3）一个数同0相加，仍得这个数． 知识点2：加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变．即a＋b=b＋a 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变．即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 知识点3：减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即a－b=a＋（﹣）b 模块通关·举一反 三 【模块一】有理数加法的基本运算 【典例1】（1）计算：__________． （2）计算的结果是__________． （3）计算:－3＋(－1)的结果是_____． （4）计算： 7＋(－5)＝______． (5)计算：(-0.9)+(-2.7)＝______． (6)计算：3.8+(-8.4)＝______． (7)计算：(-0.5)+3＝______． (8)计算：3.92+1.78＝______． (9)计算：7+(-3.04)＝______． (10)计算：（-2.9）+(-0.31)＝______． (11)计算：-9.18)+6.18＝______． (12)计算：4.23+(-6.77)＝______． 【变式1-1】．下列各式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】计算： （1）     （2）      （3）      （4） 【变式1-3】若，．且，异号，则的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【模块二】有理数加法中的符号判断 【典例2】如果两个数的和是正数，那么（　　） A．这两个加数都是正数 B．一个加数为正数，另一个加数为0 C．一个加数为正数，另一个加数为负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值 D．以上皆有可能 【变式2-1】两个有理数的和为负数，那么这两个数一定（　　） A．都是负数 B．至少有一个是负数 C．有一个是0 D．绝对值不相等 【变式2-2】如图在数轴上有M、N两点，则两点表示的数字之和不可能（    ） A．2 B．－4 C．－3.45 D．－7 【变式2-3】若，，且，则一定是（  ） A．负数 B．正数 C．0 D．无法确定符号 【模块三】有理数的加法运算律的应用 【典例3】在计算时，佳佳的板演过程如下： 解：原式． 老师问：“佳佳同学在解答过程中运用了哪些运算律？” 甲同学回答说：“佳佳在解答过程中运用了加法交换律”； 乙同学回答说：“佳佳在解答过程中运用了加法结合律”； 丙同学回答说：“佳佳在解答过程中既运用了加法交换律，也运用了加法结合律”． 下列对甲、乙、丙三名同学说法判断正确的是（    ） A．甲同学说的对 B．乙同学说的对 C．丙同学说的对 D．甲、乙、丙说的都不对 【变式3-1】下列交换加数的位置的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】下列变形中，运用运算律正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】计算： (1)3+（−10）+9+（−12）+7 (2)（−0.19）+（−3.27）+（+6.19）+（−5）+2.27 (3)1+（−2）++ (4)4.4+（−）+（−7）+（−3）+（−2.4） (5)； (6)． 【模块四】有理数的加法在实际生活中的应用 【典例4】如图，小明在某运动APP中，设定了每天的步数目标为8000步．该APP用目标线上方或下方的柱状图表示每天超过或少于目标数的步数，如14日，小明少于目标数的步数为500步，则从13日到16日这四天中小明一共走的步数为（　　） A．27200 B．32000 C．35800 D．36800 【变式4-1】某种食品保存的温度为，以下几个温度中，适合这种食品储存的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】下列问题情境，不能用加法算式表示的是（　　） A．水位先下降2cm，再上升10cm后的水位变化情况 B．某日最低气温为，温差为，该日最高气温 C．用10元纸币购买2元文具后找回的零钱 D．数轴上表示与10的两个点之间的距离 【变式4-3】出租车司机小李某天下午的运营是在南北走向的大街进行的，假定向南为正，向北为负，他那天下午行驶里程（单位：km）如下： ＋15，－3，＋14，－11，＋10，＋4，－26 (1)小李在送第几位乘客时行驶的路程最远？ (2)小李送完最后一位乘客时所处的地点，在他最初出发地的什么方向？距离出发地多远？ (3)若汽车耗油量为0.1L/km，这天下午汽车一共耗油多少升？ 【模块五】有理数的加法与绝对值、数轴的综合 【典例5】a，b，c三个数的位置如图所示，下列结论错误的是（    ） A．b＋a＞0 B．b＋c＜0 C．a＋b＜0 D．a＋c＞0 【变式5-1】如图，若数轴上A，B两点对应的有理数分别为a，b，则的值可能是（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【变式5-2】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且|a|=|b|，则下列结论中错误的是（    ） A．a+c<0 B．-a+b+c<0 C．|a+b|>|a+c| D．|a+b|<|a+c| 【模块六】有理数减法的基本运算 【典例6】计算： (1)（﹣5）﹣（﹣6） 2)（﹣5）﹣（+6） 3)（﹣11）﹣0 (4)0﹣3 (5)（－8）＋（－9） (6)（－12）＋25 (7)7.24＋（－3.04） (8)（）＋（） (9)0–（–8） (10)－17－（－7） （11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）． 【变式6-1】下列计算正确的是（　　） A．7﹣（﹣7）＝0 B． C．0﹣4＝﹣4 D．﹣6﹣5＝﹣1 【变式6-2】．计算： （1） （2）； （3） （4） （5） （6） 【变式6-3】已知，则的值是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【模块七】有理数的减法概念的理解与辨析 【典例7】下列四种说法：①减去一个数，等于加上这个数的相反数；②两个互为相反数的数和为0；③两数相减，差一定小于被减数；④如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的和或差等于零．其中正确的说法有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式7-1】下列说法正确的有（　　） ①所有的有理数都能用数轴上的点表示；②符号不同的两个数互为相反数；③有理数分为正数和负数；④两数相减，差一定小于被减数；⑤两数相加，和一定大于任何一个加数． A．4个 B．2个 C．1个 D．3个 【变式7-2】若一个数与它的相反数在数轴上对应点间的距离为8个单位长度，则这个数是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式7-3】设a是最大的负整数，b是最小的正整数，c是绝对值最小的有理数，则的值是（    ） A．0 B． C．1 D． 【模块八】有理数的减法在实际生活中的应用 【典例8】下列表示东台某天早晨、中午和午夜的温度（单位：℃），则下列说法正确的是 （ ） A．午夜与早晨的温差是11℃ B．中午与午夜的温差是0℃ C．中午与早晨的温差是11℃ D．中午与早晨的温差是3℃ 【变式8-1】某品牌的面粉袋上标有质量为的字样，下列4袋面粉中质量合格的是(   ) A． B． C． D． 【变式8-2】芝加哥与北京的时差是 -14 小时（负数表示同一时刻比北京晚），小明2019年11月4日7：00乘坐飞机从北京起飞，15小时后到达芝加哥，此时芝加哥的时间为________． 【变式8-3】．检查5个足球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 足球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/克 则最接近标准质量的是 _____号足球；质量最大的足球比质量最小的足球多 _____克． 【模块九】 有理数的减法与数轴的综合应用 【典例9】在数轴上点A，B，C，D对应的有理数分别是2，0，﹣1，﹣3，则其中两点之间距离最小的是（　　） A．A与C间的距离 B．A与D间的距离 C．B与C间的距离 D．B与D间的距离 【变式9-1】数轴上与数所对应的点相距4个单位长度的点表示的数是　　 A．2 B．4 C． D．或2 【变式9-2】有理数，在数轴上的对应的位置如图所示：则（ ） A． B． C． D． 【变式9-3】若，在数轴上表示如图所示，则（  ） A． B． C． D． 【模块十】 有理数加减混合运算的基本计算 【典例10】直接写出计算结果： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 【变式10-1】计算： (1)0﹣1+2﹣3+4﹣5； (2)﹣4.2+5.7﹣8.4+10.2； (3)﹣30﹣11﹣（﹣10）+（﹣12）+18； (4)； (5)； (6) 【变式10-2】计算： (1)_____； (2)______；(3)______；(4)_______； (5)；(6)；(7)；(8) 【变式10-3】计算题 （1）     （2） （3）             （4） （5） （6） 专题攻坚·多题归一 【微专题一】 有理数加减混合运算中省略加号和括号的书写 【典例11】把6﹣（+4）﹣（﹣7）+（﹣3）写成省略加号的和得形式为（　　） A．6﹣4+7+3 B．6+4﹣7﹣3 C．6﹣4+7﹣3 D．6﹣4﹣7+3 【变式11-1】把18﹣（+10）+（﹣7）﹣（﹣5）写成省略加号的形式是（　　） A．18﹣10﹣7﹣5 B．18﹣10﹣7+5 C．18+（﹣10）+（﹣7）+5 D．18+10﹣7﹣5 【变式11-2】下列式子可读作“负10、负6、正3、负7的和”的是（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】．不改变原式的值，则可变形为(     ) A． B． C． D． 【微专题二】 有理数加减混合运算中的简便计算 【典例12】．计算时，运算律用得最为恰当的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】．计算： (1)； (2)； (3)． 【变式12-2】计算的结果是（    ） A．-1009 B．-2018 C．0 D．-1 【变式12-3】计算： (1)0﹣1+2﹣3+4﹣5； (2)﹣4.2+5.7﹣8.4+10.2； (3)﹣30﹣11﹣（﹣10）+（﹣12）+18； (4)； (5)； (6) 【微专题三】 有理数加减混合运算的实际应用 【典例13】一只跳蚤在数轴上从原点O开始沿数轴左右跳动，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它第2021次落下时，落点处对应的数是(    ) A．－1011 B．1011 C．－2021 D．2021 【变式13-1】某公司6天内货品进出仓库的吨数如下：（“＋”表示进库，“－”表示出库） ，，，，，． (1)经过这6天，仓库里的货品________．（填“增多了”或“减少了”） (2)经过这6天，仓库管理员结算时发现仓库里还剩货品，那么6天前仓库里有货品多少吨？ (3)如果货品进出仓库的装卸费都是每吨5元，那么这6天共需付多少元装卸费？ 【变式13-2】出租车司机小李某天下午的营运全是在东莞大道的路上，如果规定向南为正，向北为负，他这天下午的行车里程如下： ． (1)当小李将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车地点的距离多少千米？此时，小李的位置是在出车地点的南面还是北面？ (2)若出租车每100千米耗油5升，每升油需要8元，问小李这天下午的行程需要花费多少油钱？ 【变式13-3】小颖大学暑假期间在某玩具厂勤工俭学．厂里规定每周工作6天，每人每天需生产A玩具30个，每周生产180个．下表是小颖某周实际的生产情况（增产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 增减产值 (1)根据记录的数据可知小颖星期二生产玩具___________个； (2)根据记录的数据可知小颖本周实际生产玩具___________个； (3)该厂规定：每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元，少生产一个则倒扣2元；工资采用“每日计件工资制”或“每周计件工资制”．小颖本周应选择哪种工资形式更合算？请说明理由 ． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 有理数加减混合运算中的规律 【典例14】观察下列各式的特征：；；； ，根据规律，解决相关问题： （1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）； ①_____________； ②___________． （2）当时，___________；当时，__________． （3）有理数在数轴上的位置如图，则化简的结果为___________    A．    B．     C．     D． （4）合理的方法计算： 【变式14-1】点A1、A2、A3、…、An（n为正整数）都在数轴上．点A2在点A1的左边，且A1A2=1；点A3在点A2的右边，且A2A3=2；点A4在点A3的左边，且A3A4=3；…，点A2018在点A2017的左边，且A2017A2018=2017，若点A2018所表示的数为2018，则点A1所表示的数为_____． 【变式14-2】观察下列各式： ； ； ； ． （1）根据上面各式的规律可得_________； （2）利用（1）的结论化简； （3）若，求的值． 【变式14-3】根据下列材料，回答问题： （1） 请根据以上各式完成下列题目： ①_______；②_______；（n为正整数） ③用简便方法计算：． （2），，，…… 请根据以上各式完成下列题目： ①______________；②______________；（n，d为正整数） ③用简便方法计算：． （3）从上述两个题目中，你有什么收获？试试下面的题目，你一定行！ ①；     ②． 【压轴二】有理数加减混合运算中的新定义 【典例15】对于有理数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，，则2和3关于1的“相对关系值”为3． (1)和6关于2的“相对关系值”为 ； (2)若a和3关于1的“相对关系值”为7，求a的值； (3)若和关于1的“相对关系值”为1，请求出的最大值． 【变式15-1】对于有理数，定义一种新运算“”，规定． 计算的值； ①当在数轴上的位置如图所示时，化简；    ②当时，是否一定有或者?若是，则说明理由；若不是，则举例说明． 【变式15-2】我们知道，表示数对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，如果数轴上两个点分别表示数，那么两点之间的距离为．利用此结论，回答下列问题： （1）数轴上表示3和－3的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示和－1的两点之间的距离为2，那么的值为 ； （3）直接写出的最小值为 ； （4）直接写出的最小值为 ； （5）简要求出的最小值． 【变式15-3】定义：对于任意的有理数a，b， (1)探究性质： ①例：_________；_________；_________；________； ②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a，b的式子表示出的一般规律； (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值； ②将，，，……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，求出，10组数代入后可求得10个的值，则这10个值的和的最小值是　　． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.与相等的是（    ） A． B． C． D． 2.下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3..在数轴上，与表示数﹣1的点的距离是2的点表示的数是（　　） A．1 B．3 C．±2 D．1或﹣3 4..若，则的值是（　　） A． B． C． D． 5.如图，点A，B，C在数轴上，它们分别对应的有理数是，，，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 二 填空题 6.计算．（直接写出结果） ①_________            ②＝ _________ ③_________            ④ _________ ⑤________ ⑥＝ _________ ⑦_________             ⑧ ＝ _________ ⑨＝_________            ⑩＝_________ 7.计算： ___________． 8.计算：1﹣2+3﹣4+5﹣6+……+2021﹣2022＝_____． 9.爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将，2，，4，，6，，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将4，6，，8这四个数填入了圆圈，则图中的值为_____________． 10.幻方是一个古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方-九宫图．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，则图中“☆”代表的数字是________． 三解答题 11.计算： (1)； (2)； (3)； (4) 12.计算 （1）             （2） （3）            （4） （5）       （6） （7）       （8） 13.某自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正．减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 七 增减 +5 -2 -5 +9 -10 +16 -9 （1）根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车多少辆？ （2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆？ （2）根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车多少辆？ （4）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得100元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖30元；少生产一辆扣40元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 14.观察下列等式，①；②；③；…根据你发现的规律解答下列问题： （1）请写出第四个等式； （2）计算的值． 15.定义“”运算，例如： ； ； ． 观察上述运算，解答下列问题； (1)根据上述运算，归纳“”运算的法则： 两数进行“”运算时，同号______，异号______，并把绝对值______； 特别地，0与任何数进行“”运算或任何数与0进行“”运算都得这个数的______； (2)计算：______； (3)计算：； (4)通过发现“”运算满足加法交换律，请举例说明“”运算是否满足加法结合律． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $