专题2.2 有理数的乘法与除法（14大题型+过关检测） （小模块.微专题.大压轴）2026-2027学年数学人教版七年级上册

**基本信息** 以“模块-专题-压轴”三级进阶构建有理数乘除知识体系，融合运算技巧与实际应用，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本运算|典例1+10变式|分步符号法则+绝对值运算|从乘法法则到多因数运算| |符号判断|典例2+3变式|负因数个数奇偶判定法|符号法则与数轴综合应用| |实际应用|典例3+3变式|生活情境建模法|运算技能到实际问题解决| |倒数|典例4-5+6变式|倒数定义+性质应用|概念辨析到代数式求值| |简便计算|典例6+3变式|乘法分配律+凑整技巧|运算律到复杂计算优化| |综合运算|微专题1+压轴2|混合运算顺序+技巧迁移|单一运算到多法则综合应用|

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题2.2 有理数的乘法与除法》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 有理数乘法的基本运算 模块9有理数的除法在实际生活中的应用 模块2 有理数的乘法中的符号判断 模块10 有理数的乘除混合运算的基本计算 模块3 有理数的乘法的应用 模块11 有理数的乘除混合运算的实际应用 模块4 求一个数的倒数 微专题1有理数的加减乘除混合运算 模块5 根据倒数的性质求值 压轴1 有理数的加减乘除混合运算中的简便计算 模块6有理数的乘法的简便计算 压轴2 有理数的加减乘除混合运算的实际应用 模块7有理数的乘法与绝对值、数轴的综合 通关检测·实战演练 模块8 有理数除法的基本运算 知识梳理 · 基础溯源 知识点1：乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同0相乘，都得0． （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值． （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0． 知识点2：多个有理数相乘的符号法则 1.几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时， 积为正数,负的乘数的个数是奇数时，积为负。 2.几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0. 知识点3 乘法运算律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等．即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c． 知识点4 除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数． （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 知识点5 倒数 （1）定义：的两个数互为倒数． （2）性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数． 注意：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数为． 模块通关·举一反 三 【模块一】有理数乘法的基本运算 【典例1】计算： (1)9×(－6) (2)(－9)×6 (3)(－9)×(－6) (4)； (5)． 【答案】(1)-54 (2)-54 (3)54( 4) (5) 【详解】（1）解：9×(－6)=-54 （2）解：(－9)×6=-54 （3）解：(－9)×(－6)=54 （4）； （5）； 【变式1-1】在数、1、、5、中任取两个数相乘，其中最大的积是______，最小的积是______；任取三个数相乘，其中最大的积是______，最小的积是______． 【答案】 15 75 【分析】根据乘法法则，当偶数个负数相乘时积为正，当奇数个负数相乘时积为负，即可解决最大积和最小积的问题． 【详解】解：任取两个数相乘，其中最大的积是，最小的积是， 任取三个数相乘，其中最大的积是，最小的积是， 故答案为：15，，75，． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较、有理数的乘法，解题关键要掌握有理数的大小比较、有理数的乘法法则． 【变式1-2】下列计算中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的乘法法则及乘法的分配律，分别进行判断． 【详解】解：A、，正确； B、，应用了乘法分配律，正确； C、，有三个负因数，结果应为负数，错误； D、，逆用分配律，正确． 故选C． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘法法则及乘法的分配律，熟练掌握“几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正”． 【变式1-3】计算： （1）．     （2）． （3）．     （4）． （5）．         （6）． （7）．         （8）． （9）； （10） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或；（5）3； （6）；（7）；（8）2． （9）；（10）0 【分析】（1）根据有理数乘法的交换律即可得； （2）根据有理数乘法法则和交换律即可得；． （3）先将带分数化为假分数，再根据有理数乘法的结合律即可得； （4）方法一：先将小数化为分数、带分数化为假分数，再根据有理数乘法法则和结合律即可得；方法二：先将带分数化为假分数，再根据有理数乘法法则和结合律即可得； （5）根据有理数乘法的分配律即可得； （6）根据有理数乘法的分配律即可得； （7）先将写成，再根据有理数乘法的分配律即可得； （8）根据有理数乘法的分配律即可得． （9）根据有理数乘法运算法则，运用乘法交换律计算即可； （10）根据0乘以任何数都得0计算即可. 【详解】（1）原式， ， （2）原式， ， （3）原式， （4）方法一：原式， ， 方法二：原式， ， （5）原式， ， （6）原式， ， （7）原式， ， （8）原式， （9）； （10）． 【点睛】本题考查了有理数的乘法法则与运算律，熟记运算法则和运算律是解题关键 【模块二】有理数的乘法中的符号判断 【典例2】下列计算结果为正数是（    ） A．（-1）×（-2）×（-3） B．1×（-2）×（-3） C．（-1）×2×3 D．1×2×（-3） 【答案】B 【分析】根据有理数的乘法法则逐项排查即可． 【详解】解：A．（-1）×（-2）×（-3）＝-6，则A选项不符合题意； B．1×（-2）×（-3）＝6，则B选项符合题意； C．（-1）×2×3＝-6，则C选项不符合题意； D．1×2×（-3）＝-6，则D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘法运算，掌握有理数乘法的符号规律是解答本题的关键． 【变式2-1】下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法法则进行判断便可． 【详解】解：A．，选项不符合题意； B．，选项不符合题意； C．，选项不符合题意； D．，选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数乘法，关键是熟记和应用有理数法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数与零相乘积为零；几个不为零的数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数的个数为奇数时，积为负，负因数的个数为偶数时，积为正． 【变式2-2】已知，，则，的大小关系是______． 【答案】/ 【分析】根据有理数的乘法法则得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算中的符号问题是解题的关键． 【变式2-3】已知，，在数轴上的位置如图所示，有下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据数轴的性质可得，，再根据有理数的加减法与乘法法则逐个判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，，， 则，结论①正确； ，结论②正确； ，结论③错误； ，结论④错误； 综上，正确结论的个数是2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴、有理数的加减法与乘法，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 【模块三】有理数的乘法的应用 【典例3】出租车司机小明在东西向的大直街运营，若规定向东为正，向西为负，他今天共载了11名乘客，行车里程如下：（单位：千米） (1)他将最后一名乘客送到目的地时，距离出车时的地点多少千米？ (2)若汽油耗油量为a升/千米，今天小明开车共耗油多少升？（用含a的整式表示） (3)若出租车按物价部门规定收费：起步价9元（即：不超过，收9元），超过后，超过的部分是每行驶1千米再收元，小王今天共收入多少元？（不计油钱） 【答案】(1)千米 (2)升 (3)元 【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据单位耗油量乘以行驶路程，可得答案； （3）将每次收入相加可求解． 【详解】（1）解：（千米） 答：距离出车时地点为30千米． （2）解：（升） 答：小明共耗油升． （3）解：（元） 答：小王收入了元． 【点睛】本题考查了正数和负数，有理数混合运算的应用，理解题意，掌握有理数的加减混合运算的运算法则是解题关键． 【变式3-1】在互联网技术的影响下，幸福新村的村民小刘在网上销售蜜柚，原计划每天卖150千克，但实际每天的销量与计划销量相比有出入，如表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：千克）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据表中的数据可知前三天共卖出______千克； (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少千克？ (3)若每千克按6元出售，每千克蜜柚的运费为1元，那么小刘本周一共收入多少元？ 【答案】(1)448 (2)26千克 (3)5395元 【分析】（1）用前三天计划卖出的数量加上每天出入的数量即可； （2）找出卖出最多的与最少的斤数，相减即可； （3）把表格中的数据相加，再求出总销售量，乘以每千克的收入，计算即可求出答案． 【详解】（1）（千克）． 故前三天共卖出 448千克． 故答案为：448； （2）（千克）． 故销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售26千克； （3）（千克）， （元）． 答：小刘本周一共收入5395元． 【点睛】此题考查了正数与负数，以及有理数混合运算的应用，正确列出算式是解本题的关键． 【变式3-2】某食堂购进30袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如下表： 与标准重量偏差（单位：千克） 0 1 2 3 袋数 5 10 3 1 5 6 (1)这30袋大米最重的一袋与最轻的一袋重量相差多少千克？ (2)这30袋大米的总重量比标准总重量多或少了多少千克？ (3)大米的单价是每千克元，食堂购进大米总共花了多少钱？ 【答案】(1)5千克 (2)9千克 (3)元 【分析】（1）根据表中的数据及题意列式计算，即可求解； （2）根据表中的数据及题意列式计算，即可求解； （3）首先求得大米的总重量，再乘以单价，即可求解 【详解】（1）解：（千克）， 答：这30袋大米最重的一袋与最轻的一袋重量相差5千克 （2）解：（千克）， 答：这30袋大米的总重量比标准总重量多了9千克 （3）解：这30袋大米的总重量为（千克）， 食堂购进大米总共花了（元）． 答：食堂购进大米总共花了元． 【点睛】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意，准确列出算式是解决本题的关键． 【变式3-3】某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元） +3 售出斤数 20 35 10 30 15 5 50 (1)第一周超市售出的百香果单价最高的是星期___________，最高单价是___________元； (2)这一周超市出售此种百香果的收益如何？（盈利或亏损的钱数）？ (3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式： 方式一：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打八折； 方式二：每斤售价10元； 为了给小明酿百香果蜜，张阿姨决定买35斤百香果，通过计算说明哪种方式购买更省钱． 【答案】(1)六；15 (2)这一周超市出售此种百香果盈利135元 (3)选择方式一购买更省钱 【分析】（1）通过看图表的每斤价格相对于标准价格，可直接得结论； （2）计算总进价和总售价，比较即可； （3）计算两种购买方式，比较得结论． 【详解】（1）解：这一周超市售出的百香果单价最高的是星期六，最高单价是（元）． 故答案为：六；15． （2）解：（元）， （元）， （元）； 答：这一周超市出售此种百香果盈利135元． （3）解：方式一：（元）， 方式二：（元）， ∵， ∴选择方式一购买更省钱． 【点睛】本题主要考查了正负数的应用及有理数的计算．计算本题的关键是看懂图表，理解图表．盈利就是总售价大于总进价，亏损就是总售价小于总进价． 【模块四】求一个数的倒数 【典例4】．的倒数是(    ) A． B．2023 C． D． 【答案】C 【分析】根据相乘等于1的两个数互为倒数，即可求解． 【详解】解：的倒数是， 故选：C． 【点睛】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解题的关键． 【变式4-1】分数的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】解：根据乘积为1的两个互为倒数可知， 分数的倒数是， 故选：D． 【点睛】本题考查了倒数的定义，解题关键是明确乘积为1的两个数互为倒数 【变式4-2】．下列各组数中，互为倒数的一组数是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】带分数化为假分数，乘积为1的两个数互为倒数，把一个分数分子、分母交换位置可得到原数的倒数． 【详解】A. ，，故不符合题意； B. 和，故不符合题意； C. 和，故不符合题意； D. 和，，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查倒数的定义；将带分数化为假分数是解题的关键． 【变式4-3】下面各组数中互为倒数的是（    ） A．和 B．和2 C．和 D．和 【答案】B 【分析】根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数，判断两个数是不是互为倒数，就是看这两个数的乘积是不是1，据此解答即可 【详解】A.∵，∴和不互为倒数，故不符合题意； B. ∵，∴和2互为倒数，符合题意； C. ∵，∴和不互为倒数，故不符合题意； D. ∵，∴和不互为倒数，故不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了倒数的意义，理解倒数的意义是解题的关键 【模块五】根据倒数的性质求值 【典例5】若a是绝对值最小的数，b是最大的负整数，c是倒数等于它本身的数，则（    ） A．0 B． C．0或 D．或1 【答案】C 【分析】根据0是绝对值最小的数，是最大的负整数， 的倒数等于它本身，代入即可求解． 【详解】解：∵是绝对值最小的数，是最大的负整数，是倒数等于它本身的数， ∴，，， ∴ 或； 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数加减混合运算、绝对值、倒数，解决本题的关键是不要丢结果． 【变式5-1】如果 互为相反数，互为倒数，m是最大的负整数，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】由题意知，再代入计算即可． 【详解】解：由题意知， 则原式 ＝ ＝0， 故选：C． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 【变式5-2】若a，b，c，d是不为零的实数，且a，b互为相反数，c，d互为倒数，则的值____． 【答案】1 【分析】根据互为相反数的两个数相加得零，互为倒数的两个数乘积为，即可得出答案． 【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数， ∴，， ∴ ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了相反数的性质以及倒数的定义，熟知互为相反数的两个数相加得零，互为倒数的两个数乘积为是解本题的关键． 【变式5-3】若a与b互为相反数，x与y互为倒数，，值为多少？ 【答案】4 【分析】利用a与b互为相反数，x与y互为倒数可得，，因为 ，所以，代入计算即可． 【详解】解：因为a与b互为相反数， ， 因为x与y互为倒数， ， ， ， ； 故答案为：4． 【点睛】本题考查相反数，倒数，绝对值；解题的关键是掌握相反数的性质，倒数的性质以及绝对值的性质． 【模块六】有理数的乘法的简便计算 【典例6】．计算：__________． 【答案】 【分析】根据有理数的乘法进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键． 【变式6-1】下列运算过程中有错误的个数是（ ） ； （2）﹣4×（﹣7）×（﹣125）=﹣（4×125×7）； ； （4）[3×（﹣2）]×（﹣5）=3×2×5． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】试题分析：根据乘法分配律，乘法运算法则，乘法结合律进行解答． 解：（1）根据乘法分配律，（3﹣4）×2=3×2﹣4×2，所以错误； （2）根据乘法运算法则，﹣4×（﹣7）×（﹣125）=﹣（4×125×7），所以正确； （3）9=10﹣，9×15=（10﹣）×15=150﹣，所以正确； （4）根据乘法结合律及乘法法则，[3×（﹣2）]×（﹣5）=3×（﹣2）×（﹣5）=3×2×5，所以正确． 故有一个错误． 故选A． 考点：有理数的乘法． 【变式6-2】减去它的，再减去余下的，再减去余下的，…依次类推，一直减到余下的，则最后剩下的数是(     ) A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，把2019看做单位“1”，减去它的后还剩2019×（1-），再减去余下的还剩2019×（1- ）×（1- ），…，减去剩下的 后还剩2019×（1-）×（1- ）×…×（1- ），在计算过程中，应注意约分，使计算简便． 【详解】解：2019×（1-）×（1- ）×…×（1- ） =2019× =2019× =1. 故选：A. 【点睛】本题考查学生观察、分析能力，解题关键是把2019看做单位“1”，一步步推出最后答案，解决问题． 【变式6-3】计算： (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1)1 (2) (3) (4)2 【详解】（1）解：原式 （2）原式 (3)解：原式 ． (4)解： 【点睛】本题考查了有理数的乘法运算：先算乘除，再加减运算；有括号先算括号 【模块七】有理数的乘法与绝对值、数轴的综合 【典例7】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据a、b在数轴上的位置判断出，，，然后一一判断即可． 【详解】解：A.∵，， ∴，故选项A结论正确，不符合题意； B. ∵，， ∴，故选项B结论正确，不符合题意； C. ∵，， ∴，故选项C结论正确，不符合题意； D. ∵，， ∴，故选项D结论错误，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了有理数的加减乘法运算，解题的关键是掌握有理数的运算法则和数轴上的点表示数的特点． 【变式7-1】有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从数轴可以得出，且，据此对每个选项进行分析判断即可． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴，故A选项错误，不符合题意； ，故B选项错误，不符合题意； ，故C选项正确，符合题意； ，故D选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了数轴、绝对值、有理数的乘法及加法等知识，掌握数轴上点的特征是解题的关键． 【变式7-2】有理数ɑ、b在数轴上位置如图，则下式成立的（    ）． A． B．>0 C．<0 D． 【答案】C 【分析】结合题意，根据数轴的性质，得，；再结合有理数运算的性质，通过计算即可得到答案． 【详解】根据题意得：， ∴， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、有理数运算的性质，从而完成求解． 【变式7-3】实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，如果，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据|a|=|b|，确定原点的位置，根据实数与数轴，有理数的运算法则即可解答． 【详解】解：∵|a|=|b|， ∴原点在a，b的中间， 如下图， 由图可得：|a|＜|c|，a＜0，b＞0，c＞0， ∴A、a+c＞0，此选项正确，故不符合题意； B、a−b＜0，此选项错误，故此选项符合题意； C、 b+c＞0，此选项正确，故此选项不符合题意； D、ac＜0，此选项正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值，有理数的乘法、加法、减法，解题的关键是确定原点的位置． 【模块八】有理数除法的基本运算 【典例8】直接写出得数 (1)÷5= (2)×4= (3)÷2= (4)6÷= (5)+= (6)÷= (7)÷= (8)÷= (9)÷= (10)－= 【答案】(1) (2) (3) (4)9 (5) (6) (7)1 (8) (9) (10) 【分析】根据分数的加减乘除运算法则计算即可． 【详解】（1）÷5=； （2）×4=； （3）÷2=； （4）6÷=； （5）+=+=； （6）÷==； （7）÷=1； （8）÷=； （9）÷=÷=； （10）－=－=． 【点睛】本题考查分数的加减乘除，属于基本的计算，在平时注意积累经验，逐步提高运算的速度和准确性． 【变式8-1】计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把除法转化为乘法，利用乘法分配律简便运算； （2）先算括号内，再算乘除，最后计算加法 【详解】（1） ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序是解决问题的关键，注意利用运算律简便运算． 【变式8-2】计算 (1) (2) 【答案】(1)22 (2)-11 【详解】(1) （2）解：原式. 【变式8-3】下面是小明的计算过程，请仔细阅读，并解答下面的问题． 计算： 解：原式=……第一步      =……第二步      =……第三步 解答过程是否有错，若有，错在第几步？错误原因是什么？最后请写出正确的过程． 【答案】见解析 【分析】根据有理数的运算顺序和运算法则判断即可得；依据混合运算顺序和运算法则判断即可得；由乘除同级运算应该从左到右依次计算和两数相除同号得正判断可得；先计算括号内的数，然后化除为乘再进行有理数的乘法运算． 【详解】解：解答过程有错．错在第二步和第三步． 第二步运算顺序错误，乘除同级运算应该从左到右依次计算； 第三步有理数的除法法则运用错误，两数相除，同号得正． 正确过程： 解：原式= = = 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 【模块九】 有理数的除法在实际生活中的应用 【典例9】某冷冻厂一个冷库的室温是，现有一批食品需要在的室温下保存，如果该厂这个冷库每小时能降温，则降到所需温度需要（    ） A．6小时 B．7小时 C．8小时 D．9小时 【答案】A 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：（小时）， 则降到所需温度需要6小时． 故选：A． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算的应用，根据题意列出算式是解本题的关键 【变式9-1】两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗的座位，已知火车上的座位的排法如图所示，那么下列座位号码符合要求的是（　　） A．48，49 B．62，63 C．75，76 D．84，85 【答案】D 【分析】根据图形中的数据变化，可得被5除余1的数，和能被5整除的座位号靠窗，座位连在一起，且有一个靠窗的座位，通过分析选项即可得结论． 【详解】解：由已知图形中座位的排列顺序， 可得：被5除余1的数，和能被5整除的座位号靠窗， 由于两位旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗的座位， ，故A选项不符合； ，故B选项不符合； ，故C选项不符合； ，故D符合， 故选：D． 【点睛】本题考查了数据的变化规律，对数据的处理，并能正确找出其中的规律是解题的关键． 【变式9-2】把25枚棋子放入下图的三角形内，那么一定有一个小三角形中至少放入（    ）枚． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】把4个小三角形看做4个抽屉，把25枚棋子看做25个元素，每个抽屉需要放25÷4=6……1枚，剩下一个不管怎么放，总有一个抽屉里至少放6+1=7枚，得出结果． 【详解】解：， （枚）， 故选：B 【点睛】抽屉原理的解答思路是：要从最不利的情况考虑，准确的建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数=元素总个数÷抽屉数+1”解答． 【变式9-3】砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎……按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止，操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共________个． 【答案】3 【分析】先把金蛋编号，减去第一轮为3倍数的金蛋后，再把金蛋编号，减去第二轮为3倍数的金蛋后，再次把金蛋编号，减去第三轮为3倍数的金蛋后，直至编号小于66位置，根据编号大于66的次数即可求解． 【详解】解：第一轮把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，210 第一轮有1个编号为66号的金蛋 ∴第一轮后剩下个金蛋； 把第一轮后剩下140个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，140 第二轮有1个编号为66号的金蛋 ， ∴第二轮剩下个金蛋； 把第二轮后剩下94个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，94 第三轮有1个编号为66号的金蛋 ， ∴第三轮剩下个金蛋； ∵， ∴第四轮编号最大63，没有编号为66的金蛋， ∴一共有3个编号为66的金蛋． 故答案为3． 【点睛】本题考查砸蛋游戏编号问题，实质是有理数除法与减法混合运算，找出编号大于66的次数是解题关键． 【模块十】 有理数的乘除混合运算的基本计算 【典例10】．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数加减混合运算法则，乘除运算法则逐项进行判断即可． 【详解】解：A.，故A正确，不符合题意； B.，故B错误，符合题意； C.，故C正确，不符合题意； D.，故D正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数的运算，解题的关键是熟练掌握有理数的加、减、乘、除运算法则． 【变式10-1】直接写出计算结果． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）将带分数化为整数和分数部分后，进而进行加减运算即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可； （3）将带分数化为假分数后，进行有理数的乘法运算即可； （4）将带分数化为假分数后，变除为乘进行有理数的乘法运算即可； （5）根据有理数的乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， （2）解：， （3）解：， （4）解：， （5）解：， 【点睛】本题主要考查有理数加减乘除的运算方法以及有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算顺序及运算法则．有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【变式10-2】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算进行计算； （2）根据有理数的加减混合运算进行计算； （3）根据乘法分配律进行计算； （4）根据有理数的乘除混合运算进行计算； （5）根据有理数的混合运算进行计算； （6）根据乘法分配律进行计算； （7）根据乘法分配律进行计算；． （8）根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： ； （5）解： （6）解： （7）解： （8）解： 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数运算法则以及运算顺序是解题的关键． 【变式10-3】（1）计算：_____________． （2）_____． （3）计算：的结果为______． （4）计算的结果是_____． （5）计算：的结果是___________ 【答案】（1） （2） （3） （4）9 （5） 【详解】（1）解：， （2）解：原式 （3） （4）解：原式 （5）解：． 【模块十一】 有理数的乘除混合运算的实际应用 【典例11】出租车司机小李某天上午运营全是在某条南北走向的路上进行的，如果规定向北为正，向南为负，这天上午他的行车里程（单位：千米）如下：． 起步价 （3千米以内） 超过3千米部分每千米费用 （不足1千米以1千米计） 等候费 （不足1分钟以1分钟计） （单价：元） 11 2.5 每4分钟2.5元 (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在出发点___________（南/北）___________千米； (2)若汽车耗油量是0.2升/千米，小李接送这六位乘客，出租车共耗油多少升？ (3)小李师傅接到第三位乘客后，刚好遇上高峰期，遇红灯及堵车等候时间约为32分钟，问第三位乘客需支付车费多少元？ 【答案】(1)南；1 (2)出租车共耗油8.8升 (3)第三位乘客需要支付41元 【分析】（1）根据题意将所有数据加起来即可； （2）根据题意将所有里程的绝对值加起来乘以油耗即可； （3）根据给出的表格进行计算即可． 【详解】（1）根据题意可得：， 则将最后一位乘客送到目的地时，小李在出发点的南方1千米， 故答案为：南；1； （2）根据题意可得： （千米）， ∴（升）， 答：出租车共耗油8.8升； （3）根据题意可得： （元）， 答：第三位乘客需要支付41元． 【点睛】本题考查了有理数混合运算的应用和绝对值，解决本题的关键是读懂题意并准确的计算． 【变式11-1】有个写运算符号的游戏：在“”中的每个“□”内，填入+，-，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果． (1)请计算琪琪填入符号后得到的算式：； (2)嘉嘉填入符号后得到的算式是，一不小心擦掉了□里的运算符号，但她知道结果是，请推算□内的符号.（请写出计算过程） 【答案】(1) (2)-，过程见解析 【分析】(1)原式先计算括号内的，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值； (2)根据题意，据此即可确定出所求即可． 【详解】（1）解： （2）解：根据题意得：， ， ， ， ， □内的符号为“-”． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式11-2】从甲地运活鸡500只到乙地，每运到一只活鸡给运费5元，如果死一只，不但不给运费还要赔偿20元，现共得运费2200元，问有多少只鸡死在途中？ 【答案】有12只鸡死在途中 【分析】假设一只没死则可得运费为5×500=2500元，实际得到2200元，相差2500-2200=300元，如果死一只，不但不给运费还要赔偿20元，每死一只鸡运费相差25元．死的鸡的只数等于总运费差除以每死一只鸡运费损失的钱即可． 【详解】解：（5×500-2200）÷（5+20） =300÷25， =12（只）； 答：有12只鸡死在途中． 【点睛】此题考查了鸡兔同笼问题的衍生题——运费问题，解题的关键是用假设替换法求出扣掉的运费再列式求解． 【变式11-3】1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即： 如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为 【答案】10或64 【分析】根据得数为1，可倒推出第5次计算后得数一定是2，第4次计算后得4，依此类推，直至倒退到第1次前的数即可． 【详解】解：如图，利用倒推法可得： 由第6次计算后得1，可得第5次计算后的得数一定是2， 由第5次计算后得2，可得第4次计算后的得数一定是4， 由第4次计算后得4，可得第3次计算后的得数是1或8，其中1不合题意，因此第3次计算后一定得8 由第3次计算后得8，可得第2次计算后的得数一定是16， 由第2次计算后得16，可得第1次计算后的得数是5或32， 由第1次计算后得5，可得原数为10， 由第1次计算后32，可得原数为64， 故答案为：10或64． 【点睛】考查有理数的运算，掌握计算法则是正确计算的前提，理解题意是重中之重． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】有理数的加减乘除混合运算 【典例12】计算题： (1)； (2) ； (3)； (4)； (5)； (6)．（用简便计算） 【答案】(1)(2)0(3)-3(4)4(5)(6) 【分析】（1）根据有理数的加法可以解答本题； （2）根据有理数的加减法可以解答本题； （3）根据乘法分配律简便计算； （4）先去掉绝对值，然后根据有理数的乘除法即可解答本题； （5）根据乘法分配律简便计算； （6）把写成，再用乘法分配律简便计算． 【详解】（1）解： （2）解：    =0； （3）解： （4）解： =4； （5）解： （6）解： 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化 【变式12-1】计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】(1)根据有理数的加减运算法则及绝对值的概念运算即可； (2)将带分数拆成整数部分和分数部分，然后再将整数部分结合，分数部分结合，进行简便运算； (3)同(2)中思路结合有理数的加减运算法则运算即可； (4)同(2)中思路结合有理数的加减运算法则运算即可； (5)先全部化成假分数的形式，然后再根据有理数的乘除运算法则运算即可； (6)按照有理数的运算法则从左往右依次运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 （5）解：原式 （6）解：原式 【点睛】本题考查了有理数的加减乘除四则运算法则，注意运算顺序：先乘除，后加减即可． 【变式12-2】计算： ； ． 【答案】；． 【详解】分析：（1）原式变形后，约分即可得到结果； （2）原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可得到结果． 详解：原式； 原式． 点睛：此题考查了有理数的除法，以及有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式12-3】用适当的方法计算： （1）0.36＋(－7.4)＋0.5＋(－0.6)＋0.14； （2）(－2.125)＋＋(－3.2)； （3）. （4）|－0.75|＋(－3)－(－0.25)＋. （5） 【答案】（1）-7；（2）3；（3）；（4）-1；（5） 【分析】利用有理数混合运算法则以及简便算法解答即可，利用加法交换律解（1）（2）（3）（4）更简便. 【详解】(1)0.36＋(－7.4)＋0.5＋(－0.6)＋0.14； 解：原式＝(0.36＋0.14)＋[(－7.4)＋(－0.6)]＋0.5 ＝0.5＋(－8)＋0.5＝－7. (2)(－2.125)＋(＋3)＋(＋5)＋(－3.2)； 解：原式＝[(－2.125)＋(＋5)]＋[(＋3)＋(－3.2)]＝3. (3)(－2)＋(＋3)＋(－3)＋(＋2)＋(－1)＋(＋1). 解：原式＝[(－2)＋(－3)]＋[(＋3)＋(＋2)]＋[(－1)＋(＋1)] ＝(－6)＋6＋(－)＝－. （4）|－0.75|＋(－3)－(－0.25)＋|－|＋. 解：原式＝0.75－3＋0.25＋＋ ＝(0.75＋0.25)＋(＋)－3 ＝1＋1－3＝－1. (5)(－81)÷(＋3)×(－)÷(－1)； 解：原式＝－81÷×÷ ＝－81××× ＝－10 . 【点睛】本题考查有理数的混合运算及简便算法，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键. 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 有理数的加减乘除混合运算中的简便计算 【典例13】数学老师布置了一道思考题，计算：．下面是两位同学的解法． 小华的解法：． 小明的解法：原式的倒数为：． 所以． (1)请你判断：　　同学的解答正确． (2)请你运用上述两位同学中的正确解法计算：． 【答案】(1)小明 (2) 【分析】（1）根据题目中小华和小明的解答过程，可以发现小明的解答过程正确，从而可以解答本题； （2）仿照小明的解答过程，可以先求出所求式子的倒数的结果，然后再写出所求式子的结果即可． 【详解】（1）解：由题目中的解答过程可知： 小明同学的解答正确， 故答案为：小明； （2）解：原式的倒数为： ， ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【变式13-1】解答下列问题：（老师在黑板上的讲解如下）利用运算律有时能进行简便计算． 例1.； 例2.． (1)请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）： ①； ②． (2)计算：． 方方同学的计算过程如下： 原式． 请你判断方方同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． 【答案】(1)①；② (2)方方同学的计算过程不正确，正确的计算过程见解析 【分析】（1）①首先将写成的形式，然后使用乘法分配律计算；②提取公因数，先计算括号内的，再进行简便运算即可． （2）根据有理数的混合运算顺序，先算括号里面的，再根据除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：① ； ② ． （2）解：方方同学的计算过程不正确， 正确的解法为：． 【点睛】本题考查了简便计算中的乘法分配律和乘法分配律的逆用、有理数的混合运算，掌握简便计算中的拆项和合并项的方法、运算顺序是解题的关键． 【变式13-2】简便运算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先去括号，然后根据有理数加法的交换律求解即可； （2）根据有理数乘法的分配律求解即可； （3）根据有理数乘法的交换律求解即可； （4）根据有理数乘法的结合律求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【点睛】本题主要考查了有理数的简便计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【变式13-3】观察下列等式： ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）猜想并写出： （其中为正整数）； （2）直接写出下列各式的计算结果： = ； （3）探究并计算：. 【答案】(1);(2);(3). 【分析】(1)利用分母是两个连续自然数的乘积,分子是1的分数可以拆成分子是1,分母是这两个自然数的差,由此得出答案即可; (2)利用发现的规律拆项抵消计算得出答案即可; (3)利用得出的规律变形,计算即可得到结果. 【详解】解：（1）由题意知 ； （2）由（1）知，原式= ； （3）原式= ； 【点睛】本题考查的是有理数的运算能力和学生的归纳总结能力．解题关键是会从材料中找到数据之间的关系，并利用数据之间的规律总结出一般结论，然后利用结论直接解题．找出本题中的规律是裂项相消，是解决此题的关键． 【压轴二】 有理数的加减乘除混合运算的实际应用 【典例14】．“爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏．千门万户曈曈日，总把新桃换旧符．”春节将至，置办年货是中国寻常百姓家不可或缺的大事．小明随妈妈去置办年货，购买了灯笼、窗花、坚果，其中灯笼每只20元，窗花每张8元，坚果每包150元，若小明和妈妈一共用了428元（三种年货都有购买），则最多能买灯笼 只． 【答案】6 【分析】先根据题意算出至少每种年货都买一件的价钱，用总价钱减去至少每种年都买一件的价钱后，剩余的价钱就是重复购买年货的价钱，再根据各种年货的价格推算出如何购买才能使总价钱正好是剩余的钱，推算出最多能再买灯笼的数量，再加上原来至少买的1只即可． 【详解】解：先用总价钱减去至少每种年货都买一件的价钱： (元)， 剩余的250元是三种年货中重复购买部分的价钱， 根据题意，重复购买的年货单价乘它的数量之和必须等于250元； (只)…10（元），即250元不是全部都买灯笼，则有可能买窗花或坚果，当250元减去买窗花或坚果的价钱后，剩余买灯笼的价钱必须能整除20， 因为20是整十数， 所以，只有再买1包坚果后剩余的钱能整除20： (元) ， (只)， 5+1=6(只)， 最多能买灯笼6只． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了有理数的运算在实际问题中的应用，根据题意正确列式并分类讨论，是解题的关键． 【变式14-1】某公司6天内货品进出仓库的吨数如下：（“+”表示进库，“”表示出库） ，，，，， (1)经过这6天，仓库里的货品是________（填“增多了”或“减少了”） (2)经过这6天，仓库管理员结算发现仓库还有货品430吨，那么6天前仓库里有货品多少吨？ (3)如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少元装卸费？ 【答案】(1)减少了 (2)6天前仓库里有货品470吨 (3)这6天要付850元装卸费 【分析】（1）将这6天进库数与出库数相加，即可得出答案； （2）用这6天仓库减少的货物数加上这6天还剩下的货物数即可得出答案； （3）求出这6天进出仓库的货物数，然后用进出仓库的总货物数×每吨装卸费，即可得出答案． 【详解】（1）解： ∵， ∴经过这6天，仓库里的货品减少了． （2）解：（吨）， 答：6天前仓库里有货品470吨． （3）解：（元）， 答：这6天要付850元装卸费． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． 【变式14-2】如图，已知点A、点B是直线上的两点，厘米，点C在线段AB上，且厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过 秒时线段PQ的长为8厘米． 【答案】3或13或1 或 【分析】分四种情况讨论：（1）点P、Q都向右运动时， （2）点P、Q都向左运动时， （3）点P向左运动，点Q向右运动时， （4）点P向右运动，点Q向左运动时，再列式计算即可. 【详解】解： 厘米，点C在线段AB上，且厘米． （厘米） （1）点P、Q都向右运动时， （8-5）÷（2-1） =3÷1 =3（秒） （2）点P、Q都向左运动时， （8+5）÷（2-1） =13÷1 =13（秒） （3）点P向左运动，点Q向右运动时， （8-5）÷（2+1） =3÷3 = 1 （秒） （4）点P向右运动，点Q向左运动时， （8+5）÷（2+1） =13÷3 =（秒） ∴经过3、13、 1 或 秒时线段PQ的长为8厘米． 故答案为：3或13或1 或 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，有理数的加减乘除混合运算的实际应用，理解题意，列出正确的运算式，清晰的分类讨论，都是解本题的关键. 【变式14-3】某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过元，不享受优惠；（2）一次性购物超过元，但不超过元一律折；（3）一次性购物超过元一律折．某人两次购物分别付款元、元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款 元． 【答案】或/308或280 【分析】先计算付款252元时，可能使用的折扣；再根据可能的尾部分别计算即可． 【详解】解：252÷0.9=280（元）， 252÷0.8=315（元）， 可知，付款252元时，两种折扣都存在，故分两种情况： ①消费超过100元，不足300元时，是按照9折付款的， 252÷0.9=280（元）， 280+70=350（元）， 350×0.8=280（元）； ②消费超过300元时，是按照8折付款的： 252÷0.8=315（元）， 315+70=385（元）， 385×0.8=308（元）， 所以，一次性付款需要280元或308元． 故答案为：280或308 【点睛】本题考查了打折销售的运用，分类讨论思想在数学实际问题中的运用，解答时分析清楚打折销售的几种情况是解答本题的关键． 通关检测·实战演练 一 选择题 1．的倒数是（    ） A．2022 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用倒数的定义得出答案． 【详解】解：， 是的倒数， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．相乘等于1的两个数互为倒数． 2．已知a，b都是有理数，如果，且，则下列说法中一定正确的是（　　） A．a，b都为负数 B．a是正数 C．a，b的值可能为负数 D．a的绝对值一定比b的绝对值大 【答案】A 【分析】利用有理数的加法，除法法则判断即可． 【详解】解：∵a，b都是有理数，如果，且， ∴a，b都为负数．无法确定a的绝对值与b的绝对值的大小， ∴B，C，D都不符合题意 故选：A． 【点睛】此题考查了有理数的除法，加法的运算符号的确定，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．若数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴可得，的符号和绝对值的大小关系，根据有理数的乘法、减法法则分别对选项进行验证． 【详解】由图可知：， ∴，故A选项错误； ∴，故B选项错误； ∴，故C选项错误； ∴，故D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴，有理数的知识，解题的关键是掌握数轴的性质，有理数的乘法、减法法则． 4．若|a|=1，|b|=4，且ab＜0，则a＋b的值为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】通过ab＜0可得a、b异号，再由|a|=1，|b|=4，可得a=1,b=﹣4或者a=﹣1,b=4；就可以得到a＋b的值 【详解】解：∵|a|=1，|b|=4， ∴a=±1，b=±4， ∵ab＜0， ∴a+b=1-4=-3或a+b=-1+4=3， 故选A. 【点睛】本题主要考查了绝对值的运算，先根据题意确定绝对值符号中数的正负再计算结果，比较简单． 5．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，则下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴的性质可得，，再判断各选项中式子的正负即可． 【详解】解：根据数轴可知：，， ∴，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确， 故选：A． 【点睛】本题考查数轴的认识，根据点A、B在数轴上的位置得到，是解题的关键． 二 填空题 6.计算：_________． 【答案】 【分析】直接根据有理数的四则混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算法则，灵活运用有理数的四则混合运算法则是解答本题的关键． 7.已知有理数，，，，请你通过有理数的加减乘除混合运算，使得运算结果最大，则这个最大结果为__________． 【答案】 【分析】根据有理数的四则混合运算法则编排、计算即可． 【详解】最大的组合为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，掌握有理数的四则混合运算法则是解答本题的关键． 8.若定义，则________． 【答案】49 【分析】根据新定义运算的法则计算即可． 【详解】． 故答案为：49． 【点睛】本题考查新定义的运算，有理数的混合运算．掌握新定义运算的法则是解题关键． 9.已知：，，，…… （1）请按以上规律接着写出：______； （2）计算：______． 【答案】 【分析】（1）依据题干规律直接列式即可； （2）依据题干给出的等式，将原式变型，再计算即可． 【详解】（1）依据题干规律直接列式为：， 故答案为：； （2） ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，准确分析计算是解题的关键． 10.“点的规则是四个数用且只用一次进行加、减、乘、除四则运算，使结果等”．现在有四个有理数，，，，运用上述规则列出算式_____． 【答案】 【分析】由“24点”游戏规则，根据，，，，列出算式 ，利用有理数的混合运算法则计算，其结果为24，可得出此算式满足题意． 【详解】解：， 按上述规则写出的算式为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘 除，最后算加减，有括号先算括号里边，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运 算法则计算． 三 解答题 11．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)1； (2)； (3)； (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．用简便方法计算： (1)； (2)． （3）．(+－)×(－60) （4）．计算： （5）．用简便方法计算：． 【答案】(1) (2)（3）10（4）（5） 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （3）解：原式=×(－60)+×(－60)－×(－60) =－15+(－25)+50 =10 . （4）解： ． （5）解： ． 13（1）已知，，且，，求的值． （2）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，的值． 【答案】（1）11．（2）1 【详解】（1）解：∵，， ∴，． ∵，， ∴，， ∴． （2）解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数， ∴，， ∴． 答：的值为1． 14．学习有理数的乘法后，老师给同学们一道这样的题目：计算，看谁算的又快又对． 小瑞很快给出了他的解法：原式=． 小晨经过思考后也给出了他的解法： 原式= = （                     ） = = ． (1)请补全小晨的解题过程，并在括号里写出他用了什么运算原理? (2)你还有不同于小瑞、小晨的解法吗? (3)用你认为最合适的方法计算： 【答案】(1)见解析 (2)有，具体见解析 (3) 【分析】（1）根据乘法分配律计算即可补全； （2）将改为，再根据乘法分配律计算即可； （3）根据（2）的计算方法同理计算即可． 【详解】（1）原式= =（乘法分配律） = =． 故答案为：，乘法分配律，，； （2）有，如下： 原式= =（乘法分配律） = =； （3） ． 【点睛】本题考查有理数的乘法．掌握乘法分配律是解题关键． 15.某公园划船项目收费标准如下： 船型 两人船（限乘两人） 四人船（限乘四人） 六人船（限乘六人） 八人船（限乘八人） 每船租金（元/小时） 100 110 140 160 某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为 元． 【答案】410 【分析】根据题意直接分五种情况，分别进行分析计算即可得出结论． 【详解】解：∵共有18人， 当租两人船时，∴18÷2=9（艘），∵每小时100元，∴租船费用为100×9=900元， 当租四人船时，∵18÷4=4余2人，∴要租4艘四人船和1艘两人船，∵四人船每小时110元， ∴租船费用为110×4+100=540元， 当租六人船时，∵18÷6=3（艘），∵每小时140元，∴租船费用为140×3=420元， 当租八人船时，∵18÷8=2余2人，∴要租2艘八人船和1艘两人船，∵8人船每小时160元， ∴租船费用160×2+100=420元 当租1艘四人船，1艘六人船，1艘八人船，110+140+160=410元 ∵900＞540＞420＞410， ∴当租1艘四人船，1艘六人船，1艘八人船费用最低是410元. 故答案为：410. 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算与有理数的大小比较，注意运用分类讨论的思想解决问题是解答本题的关键． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题2.2 有理数的乘法与除法》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 有理数乘法的基本运算 模块9有理数的除法在实际生活中的应用 模块2 有理数的乘法中的符号判断 模块10 有理数的乘除混合运算的基本计算 模块3 有理数的乘法的应用 模块11 有理数的乘除混合运算的实际应用 模块4 求一个数的倒数 微专题1有理数的加减乘除混合运算 模块5 根据倒数的性质求值 压轴1 有理数的加减乘除混合运算中的简便计算 模块6有理数的乘法的简便计算 压轴2 有理数的加减乘除混合运算的实际应用 模块7有理数的乘法与绝对值、数轴的综合 通关检测·实战演练 模块8 有理数除法的基本运算 知识梳理 · 基础溯源 知识点1：乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同0相乘，都得0． （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值． （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0． 知识点2：多个有理数相乘的符号法则 1.几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时， 积为正数,负的乘数的个数是奇数时，积为负。 2.几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0. 知识点3 乘法运算律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等．即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c． 知识点4 除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数． （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 知识点5 倒数 （1）定义：的两个数互为倒数． （2）性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数． 注意：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数为． 模块通关·举一反 三 【模块一】有理数乘法的基本运算 【典例1】计算： (1)9×(－6) (2)(－9)×6 (3)(－9)×(－6) (4)； (5)． 【变式1-1】在数、1、、5、中任取两个数相乘，其中最大的积是______，最小的积是______；任取三个数相乘，其中最大的积是______，最小的积是______． 【变式1-2】下列计算中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】计算： （1）．     （2）． （3）．     （4）． （5）．         （6）． （7）．         （8）． （9）； （10） 【模块二】有理数的乘法中的符号判断 【典例2】下列计算结果为正数是（    ） A．（-1）×（-2）×（-3） B．1×（-2）×（-3） C．（-1）×2×3 D．1×2×（-3） 【变式2-1】下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知，，则，的大小关系是______． 【变式2-3】已知，，在数轴上的位置如图所示，有下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【模块三】有理数的乘法的应用 【典例3】出租车司机小明在东西向的大直街运营，若规定向东为正，向西为负，他今天共载了11名乘客，行车里程如下：（单位：千米） (1)他将最后一名乘客送到目的地时，距离出车时的地点多少千米？ (2)若汽油耗油量为a升/千米，今天小明开车共耗油多少升？（用含a的整式表示） (3)若出租车按物价部门规定收费：起步价9元（即：不超过，收9元），超过后，超过的部分是每行驶1千米再收元，小王今天共收入多少元？（不计油钱） 【变式3-1】在互联网技术的影响下，幸福新村的村民小刘在网上销售蜜柚，原计划每天卖150千克，但实际每天的销量与计划销量相比有出入，如表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：千克）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据表中的数据可知前三天共卖出______千克； (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少千克？ (3)若每千克按6元出售，每千克蜜柚的运费为1元，那么小刘本周一共收入多少元？ 【变式3-2】某食堂购进30袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如下表： 与标准重量偏差（单位：千克） 0 1 2 3 袋数 5 10 3 1 5 6 (1)这30袋大米最重的一袋与最轻的一袋重量相差多少千克？ (2)这30袋大米的总重量比标准总重量多或少了多少千克？ (3)大米的单价是每千克元，食堂购进大米总共花了多少钱？ 【变式3-3】某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元） +3 售出斤数 20 35 10 30 15 5 50 (1)第一周超市售出的百香果单价最高的是星期___________，最高单价是___________元； (2)这一周超市出售此种百香果的收益如何？（盈利或亏损的钱数）？ (3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式： 方式一：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打八折； 方式二：每斤售价10元； 为了给小明酿百香果蜜，张阿姨决定买35斤百香果，通过计算说明哪种方式购买更省钱． 【模块四】求一个数的倒数 【典例4】．的倒数是(    ) A． B．2023 C． D． 【变式4-1】分数的倒数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】．下列各组数中，互为倒数的一组数是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式4-3】下面各组数中互为倒数的是（    ） A．和 B．和2 C．和 D．和 【模块五】根据倒数的性质求值 【典例5】若a是绝对值最小的数，b是最大的负整数，c是倒数等于它本身的数，则（    ） A．0 B． C．0或 D．或1 【变式5-1】如果 互为相反数，互为倒数，m是最大的负整数，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【变式5-2】若a，b，c，d是不为零的实数，且a，b互为相反数，c，d互为倒数，则的值____． 【变式5-3】若a与b互为相反数，x与y互为倒数，，值为多少？ 【模块六】有理数的乘法的简便计算 【典例6】．计算：__________． 【变式6-1】下列运算过程中有错误的个数是（ ） ； （2）﹣4×（﹣7）×（﹣125）=﹣（4×125×7）； ； （4）[3×（﹣2）]×（﹣5）=3×2×5． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-2】减去它的，再减去余下的，再减去余下的，…依次类推，一直减到余下的，则最后剩下的数是(     ) A．1 B． C． D． 【变式6-3】计算： (1)； (2)． (3) (4) 【模块七】有理数的乘法与绝对值、数轴的综合 【典例7】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】有理数ɑ、b在数轴上位置如图，则下式成立的（    ）． A． B．>0 C．<0 D． 【变式7-3】实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，如果，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【模块八】有理数除法的基本运算 【典例8】直接写出得数 (1)÷5= (2)×4= (3)÷2= (4)6÷= (5)+= (6)÷= (7)÷= (8)÷= (9)÷= (10)－= 【变式8-1】计算： (1)； (2). 【变式8-2】计算 (1) (2) 【变式8-3】下面是小明的计算过程，请仔细阅读，并解答下面的问题． 计算： 解：原式=……第一步      =……第二步      =……第三步 解答过程是否有错，若有，错在第几步？错误原因是什么？最后请写出正确的过程． 【模块九】 有理数的除法在实际生活中的应用 【典例9】某冷冻厂一个冷库的室温是，现有一批食品需要在的室温下保存，如果该厂这个冷库每小时能降温，则降到所需温度需要（    ） A．6小时 B．7小时 C．8小时 D．9小时 【变式9-1】两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗的座位，已知火车上的座位的排法如图所示，那么下列座位号码符合要求的是（　　） A．48，49 B．62，63 C．75，76 D．84，85 【变式9-2】把25枚棋子放入下图的三角形内，那么一定有一个小三角形中至少放入（    ）枚． A．6 B．7 C．8 D．9 【变式9-3】砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎……按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止，操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共________个． 【模块十】 有理数的乘除混合运算的基本计算 【典例10】．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】直接写出计算结果． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ． 【变式10-2】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【变式10-3】（1）计算：_____________． （2）_____． （3）计算：的结果为______． （4）计算的结果是_____． （5）计算：的结果是___________ 【模块十一】 有理数的乘除混合运算的实际应用 【典例11】出租车司机小李某天上午运营全是在某条南北走向的路上进行的，如果规定向北为正，向南为负，这天上午他的行车里程（单位：千米）如下：． 起步价 （3千米以内） 超过3千米部分每千米费用 （不足1千米以1千米计） 等候费 （不足1分钟以1分钟计） （单价：元） 11 2.5 每4分钟2.5元 (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在出发点___________（南/北）___________千米； (2)若汽车耗油量是0.2升/千米，小李接送这六位乘客，出租车共耗油多少升？ (3)小李师傅接到第三位乘客后，刚好遇上高峰期，遇红灯及堵车等候时间约为32分钟，问第三位乘客需支付车费多少元？ 【变式11-1】有个写运算符号的游戏：在“”中的每个“□”内，填入+，-，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果． (1)请计算琪琪填入符号后得到的算式：； (2)嘉嘉填入符号后得到的算式是，一不小心擦掉了□里的运算符号，但她知道结果是，请推算□内的符号.（请写出计算过程） 【变式11-2】从甲地运活鸡500只到乙地，每运到一只活鸡给运费5元，如果死一只，不但不给运费还要赔偿20元，现共得运费2200元，问有多少只鸡死在途中？ 【变式11-3】1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即： 如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为 专题攻坚·多题归一 【微专题一】有理数的加减乘除混合运算 【典例12】计算题： (1)； (2) ； (3)； (4)； (5)； (6)．（用简便计算） 【变式12-1】计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式12-3】用适当的方法计算： （1）0.36＋(－7.4)＋0.5＋(－0.6)＋0.14； （2）(－2.125)＋＋(－3.2)； （3）. （4）|－0.75|＋(－3)－(－0.25)＋. （5） 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 有理数的加减乘除混合运算中的简便计算 【典例13】数学老师布置了一道思考题，计算：．下面是两位同学的解法． 小华的解法：． 小明的解法：原式的倒数为：． 所以． (1)请你判断：　　同学的解答正确． (2)请你运用上述两位同学中的正确解法计算：． 【答案】(1)小明 (2) 【变式13-1】解答下列问题：（老师在黑板上的讲解如下）利用运算律有时能进行简便计算． 例1.； 例2.． (1)请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）： ①； ②． (2)计算：． 方方同学的计算过程如下： 原式． 请你判断方方同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． 【变式13-2】简便运算： (1) (2) (3) (4) 【变式13-3】观察下列等式： ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）猜想并写出： （其中为正整数）； （2）直接写出下列各式的计算结果： = ； （3）探究并计算：. 【答案】(1);(2);(3). 【压轴二】 有理数的加减乘除混合运算的实际应用 【典例14】．“爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏．千门万户曈曈日，总把新桃换旧符．”春节将至，置办年货是中国寻常百姓家不可或缺的大事．小明随妈妈去置办年货，购买了灯笼、窗花、坚果，其中灯笼每只20元，窗花每张8元，坚果每包150元，若小明和妈妈一共用了428元（三种年货都有购买），则最多能买灯笼 只． 【变式14-1】某公司6天内货品进出仓库的吨数如下：（“+”表示进库，“”表示出库） ，，，，， (1)经过这6天，仓库里的货品是________（填“增多了”或“减少了”） (2)经过这6天，仓库管理员结算发现仓库还有货品430吨，那么6天前仓库里有货品多少吨？ (3)如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少元装卸费？ 【变式14-2】如图，已知点A、点B是直线上的两点，厘米，点C在线段AB上，且厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过 秒时线段PQ的长为8厘米． 【变式14-3】某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过元，不享受优惠；（2）一次性购物超过元，但不超过元一律折；（3）一次性购物超过元一律折．某人两次购物分别付款元、元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款 元． 通关检测·实战演练 一 选择题 1．的倒数是（    ） A．2022 B． C． D． 2．已知a，b都是有理数，如果，且，则下列说法中一定正确的是（　　） A．a，b都为负数 B．a是正数 C．a，b的值可能为负数 D．a的绝对值一定比b的绝对值大 3．若数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 4．若|a|=1，|b|=4，且ab＜0，则a＋b的值为（ ） A． B． C．3 D． 5．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，则下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 二 填空题 6.计算：_________． 7.已知有理数，，，，请你通过有理数的加减乘除混合运算，使得运算结果最大，则这个最大结果为__________． 8.若定义，则________． 9.已知：，，，…… （1）请按以上规律接着写出：______； （2）计算：______． 10.“点的规则是四个数用且只用一次进行加、减、乘、除四则运算，使结果等”．现在有四个有理数，，，，运用上述规则列出算式_____． 三 解答题 11．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 12．用简便方法计算： (1)； (2)． （3）．(+－)×(－60) （4）．计算： （5）．用简便方法计算：． 13（1）已知，，且，，求的值． （2）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，的值． 14．学习有理数的乘法后，老师给同学们一道这样的题目：计算，看谁算的又快又对． 小瑞很快给出了他的解法：原式=． 小晨经过思考后也给出了他的解法： 原式= = （                     ） = = ． (1)请补全小晨的解题过程，并在括号里写出他用了什么运算原理? (2)你还有不同于小瑞、小晨的解法吗? (3)用你认为最合适的方法计算： 15.某公园划船项目收费标准如下： 船型 两人船（限乘两人） 四人船（限乘四人） 六人船（限乘六人） 八人船（限乘八人） 每船租金（元/小时） 100 110 140 160 某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为 元． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $