第01讲 随机抽样、统计图表、用样本估计总体（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦随机抽样、统计图表、用样本估计总体三大核心考点，按“概念—方法—应用”逻辑构建知识体系，涵盖分层抽样计算、频率分布直方图数字特征、百分位数及方差线性变换等高频考向。通过命题透视研判趋势、知识精讲拆解要点、题型破译归纳技巧、真题训练强化应用的教学流程，帮助学生系统梳理统计知识，突破抽样计算、图表分析等关键难点。 资料以“考情导向、素养落地”为特色，如分层抽样教学结合消费者购买偏好情境，引导学生用数学思维建立比例模型；频率分布直方图数字特征计算采用“公式推导—典例演示—变式训练”三步法，培养数据观念。设置基础到综合的分层练习及真题溯源模块，确保学生高效掌握必拿分题型，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第01讲 随机抽样、统计图表、用样本估计总体 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 随机抽样 知识点2 用样本估计总体 题型破译 (含超链接） 题型1随机抽样、分层抽样 【方法技巧】分层抽样的计算 题型2根据统计图表分析信息 题型3频率分布直方图的频数、频率、样本容量 题型4百分位数 【方法技巧】计算一组n个数据的第百分位数 题型5频率分布直方图计算平均数、众数、中位数、百分位数 题型6平均数与方差的线性变换性质 题型7分层抽样的方差问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 几个数的数字特征 全国一卷T1（5分） 全国二卷T1（5分） _______ 频率分布直方图 全国二卷T15（1）（6分） ________ 全国II卷T4（5分） 考情分析 近三年考情显示，高考对随机抽样、统计图表、用样本估计总体考查稳定，题型以选择、解答为主，难度偏低。高频考点为分层抽样计算、频率分布直方图数字特征、样本平均数与方差，偶尔结合百分位数、统计图辨析出题。多结合实际生活情境命题，侧重公式基础运算，极少出现复杂综合变形，属于必拿分基础题型。 复习目标 1.熟练掌握简单随机抽样、分层抽样的定义与比例计算； 2.能读懂各类统计图表，会用频率分布直方图求众数、中位数、平均数； 3.熟记均值、方差公式及线性变换性质，规范计算百分位数。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 知●识●解●构 知识点1 随机抽样 一、抽样调查基础概念 1.总体：统计中，考察对象某一数值指标的全体组成的_________。 2.个体：构成总体的每一个考察_________。 3.样本：从总体中抽取一部分_________组成的集合；样本容量指样本中个体的_________。 二、简单随机抽样 1.定义：设总体共有个个体，从中逐个_________抽取个个体作为样本（），若每一个个体被抽到的可能性均等，该抽样方式称为简单随机抽样，抽取的样本为简单随机样本。 2.两种常用方法 ①抽签法：将全部个体编号制作号签，充分搅拌后依次抽取次得到样本；适合总体数量_________的场景。 ②随机数表法：借助随机数表、随机数骰子或计算机生成_________完成抽样；适合总体数量_________的情况，若总体、样本容量都极大，操作会比较繁琐。 3.四大核心特征 ①有限性：总体包含的个体总数有限，方便利用样本分析整体； ②逐一性：_________抽取个体，实操简便； ③不放回性：抽取过程_________选取同一个体，便于计算分析； ④等可能性：所有个体被抽取的概率相等，保证抽样公平。 三、分层抽样 1.定义与适用条件：抽样时把总体划分为互不重叠的若干层，依照固定_________从每一层独立抽取个体，合并各层样本得到总样本，即分层抽样。 适用于总体由差异明显的多个部分构成的情况。 2.常见题型与解题思路 ①求单层抽取数量：根据该层个体占总体的_________计算； ②已知单层容量求总体容量：依靠分层抽样“按_________抽取”的特点列比例方程求解； ③核心公式：。 3.注意事项 每层抽取的个体数量可以不相等，但必须严格遵循抽样比例；设层数为，样本容量为，第层个体数，总体容量，每层抽取数量需匹配对应比例关系。 自主检测 1．期中考试后,为了分析高一年级1000名学生的学习成绩,从中随机抽取了200名学生的成绩单,就这个问题来说,下面说法中正确的是（   ） A．1000名学生是总体 B．每名学生是个体 C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D．样本容量是200 2．某工厂共有男职工1200人，女职工800人，现按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全厂职工中抽出一个容量为200的样本进行健康调查．若样本按比例分配，则应抽取男职工的人数为（    ） A．80 B．100 C．120 D．200 知识点2 用样本估计总体 一、频率分布直方图 1.基础计算公式（频数、频率、样本容量） ①_________； ②，_________，_________； ③频率分布直方图内所有小矩形面积之和等于_________。 2.利用直方图计算数字特征 ①众数：高度最高的小长方形底边中点对应的_________； ②中位数：将直方图面积平分为左右各_________的数值，设中位数为，通过累加一侧矩形面积等于列式求解； ③平均数：直方图的加权重心，等于每个小矩形面积乘以自身底边_________，再全部相加。 二、四类基础统计图表对比 1.扇形图：直观展示各类数据占全部数据的_________； 2.条形图：体现不同类别离散数据的_________、频率大小； 3.折线图：反映数据随时间变化的增减趋势； 4.频率分布直方图：专门处理连续型分组数据，体现区间内数据分布疏密。 补充区分：条形图适配离散数据，直方图适配连续分组数据。 三、百分位数 1.定义：一组数据的第百分位数满足两个条件：至少的数据_________该数，同时至少的数据_________该数。 2.个数据求第百分位数标准步骤 ①将原始数据_________依次排序；②计算；③判断：若_________整数，向上取邻近整数，对应项数据即为百分位数；若_________整数，取第项与第项数据的平均值。 3.四分位数 中位数本质是第百分位数；常用四分位数包含第百分位数，三者将有序数据均分为四段。 四、样本数字特征：众数、中位数、平均数、方差、标准差 （1）众数、中位数、平均数 1.众数：一组数据中出现频次_________的数，代表数据的多数水平； 2.中位数：数据排序后，中间单个数值（_________个数据）或中间两数平均值（_________个数据），代表数据中间水平； 3.平均数：个样本数据的算术平均值，反映整体平均水平，可灵活变形用于计算。 （2）标准差与方差 1.标准差：描述样本数据与平均数的平均距离，记作； 设样本数据，为平均数，则标准差公式：_________ 2.方差：标准差的平方，二者刻画数据离散程度效果一致，实际应用中更常使用标准差。 3.规律：方差、标准差数值越大，数据波动、离散程度越_________；数值越小，数据越_________。 （3）平均数与方差的线性变换性质 设原数据平均数，方差： 1.数据：平均数，方差不变仍为； 2.数据：平均数，方差； 3.数据：平均数_________，方差_________。 （4）分层随机抽样的总均值、总方差 设总体分为两层： 第一层：样本量，均值，方差； 第二层：样本量，均值，方差； 总样本量，总均值，总方差。 1.总样本平均数：_________ 2.分层合并方差：_________ 3.分层方差计算步骤 ①先代入两层数据，计算整体总平均数； ②分别算出每层均值与总均值差值的平方； ③分层方差、层间偏差分别乘对应样本量加权求和，再除以总样本容量得到总方差。 自主检测 3．样本数据3，3，4，5，6，7，7，8的第80百分位数为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．若数据1，2，10，11的平均数为，方差为，数据4，5，7，8的平均数为，方差为，则________，________．（请从“<”“>”“=”中选择合适的填入） 题●型●破●译 题型1 随机抽样、分层抽样 例1-1（2026·吉林松原·二模）下面的抽样方法是简单随机抽样的是（    ） A．盒中装有个小球，某人一次抽取个小球 B．从个产品中随机逐个抽取个进行产品合格检测 C．从自然数中逐个抽取个数 D．老师从班里名同学中点了名同学参加数学竞赛 例1-2（2025·四川绵阳·二模）为调研消费者对不同动漫角色的购买偏好，根据统计数据得到角色A购买者有600位，角色B购买者有650位，角色C购买者有750位．现采用按比例分层随机抽样的方法抽取160人进行调研，则应抽取的角色A购买者的人数是（   ） A．60 B．52 C．48 D．72 方法技巧 分层抽样的计算 先确定抽样比，然后把各层个体数乘以抽样比，即得各层要抽取的个体数． （1）抽样比＝＝； （2）层1的容量∶层2的容量∶层3的容量＝样本中层1的容量∶样本中层2的容量∶样本中层3的容量． 【变式1-1】（2025·湖南益阳·二模）（多选）某年级某班有24名女生和30名男生，准备随机抽取9名学生参加学情调研，那么（    ） A．若采用抽签法进行抽取，可能抽到9名男生 B．若采用抽签法进行抽取，男生甲被抽到的概率为 C．若采用按比例分层抽样进行抽取，女生乙被抽到的概率为 D．若采用按比例分层抽样进行抽取，男生甲和女生乙被抽到的概率不同 【变式1-2】（2025·江苏泰州·模拟预测）某高中学校共有学生2700人，其中高一900人，高二1000人，其余为高三学生．该校为了调查学生的睡眠情况，采用分层随机抽样的方式，从高一与高二的学生中共抽取38人，则应从高三学生中抽取（    ） A．20人 B．18人 C．16人 D．12人 【变式1-3】（2025·广东深圳·三模）某中学高一年级有人，高二年级有人，高三年级有人．现用分层随机抽样方法从三个年级中抽取人，则抽取的高一年级学生的人数比抽取的高三年级学生人数多________人． 题型2 根据统计图表分析信息 例2-1（2025·湖北黄石·三模）小明记录了某年1月至11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据、整理并绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，下列说法错误的是（    ） A．月跑步里程最小值出现在2月 B．2月至6月的月跑步里程逐月增加 C．9月至11月的月跑步里程的平均数大于20 D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更大 例2-2（2025·安徽滁州·模拟预测）（多选）年月至月我国规模以上工业天然气产量保持平稳，日均产量亿立方米与当月增速如图所示，则（     ）    备注：日均产品产量是以当月公布的我国规模以上工业企业总产量除以该月日历天数计算得到． A．年月份我国规模以上工业天然气产量增速比上月放缓个百分点 B．年月至年月我国规模以上工业天然气产量增速的极差为 C．年月份我国规模以上工业天然气产量为亿立方米 D．年月至年月我国规模以上工业天然气产量的分位数为亿立方米 【变式2-1】（2026·四川广元·模拟预测）某学校组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，校团委从参加这五个社团的学生中随机选取部分学生进行问卷调查，选取的学生情况绘制成如下不完整的两个统计图，则选取的学生中，绘画社团的学生数为（    ） A．16 B．18 C．20 D．25 【变式2-2】（2026·四川遂宁·一模）（多选）某学校对高一学生预选科进行调查统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选择物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（     ） A．该校高一学生总人数为800 B．该校高一学生中选择物化政组合的人数为90 C．该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数少 D．按选科组合用分层随机抽样从该校高一学生抽取40人，则生史地组合应抽取8人 【变式2-3】（2025·安徽马鞍山·三模）（多选）的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．划分等级为：日均值在以下，空气质量为一级：日均值在，空气质量为二级：日均值超过为超标．如图是某地12月1日至10日的日均值（单位：）变化的折线图，关于日均值说法正确的是（   ） A．这10天的日均值的第75百分位数为60 B．前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差 C．这10天的日均值的中位数为41 D．前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差 题型3 频率分布直方图的频数、频率、样本容量 例3-1（2025·河北衡水·模拟预测）重庆一中为调查该校学生对于数学史的了解情况，组织了一次数学史知识竞赛，并从该学校2500名参赛学生中随机抽取了100名学生，并统计了这100名学生成绩情况（满分100分，其中80分及以上为优秀），得到了样本频率分布直方图（如图），根据频率分布直方图推测，这2500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为（     ） A．200 B．600 C．700 D．900 例3-2（2025·江苏盐城·模拟预测）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图．在考核成绩为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在中的学生应抽取的人数为______．    【变式3-1】（2025·福建南平·一模）某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了位居民，获得了他们某月的用水量（单位：立方米）数据（用水量均在内），将所得数据分成组：，，，，，，，整理得到频率分布直方图如图所示，若该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于立方米的人数为（    ） A．15万 B．20万 C．25万 D．30万 【变式3-2】（2025·广东中山·三模）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，，，，，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有人，第三组中没有疗效的有人，则第三组中有疗效的人数为_______ 【变式3-3】（2025·江西宜春·一模）某幼儿园根据部分同年龄段儿童的身高数据绘制了如图所示的频率分布直方图，其中身高（单位：cm）的变化范围是，样本数据分组为，，，，． (1)已知样本中身高在的人数是60，求出样本容量的数值； (2)根据频率分布直方图提供的数据，现用分层抽样的方法从身高在，，内的儿童中共抽出28名儿童参加活动，求三个组内分别要抽取的儿童数． 题型4 百分位数 例4-1（2025·湖北随州·一模）10个数据的75%分位数是（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 例4-2（2025·山东泰安·二模）某影院连续天的观影人数（单位：百人）依次为，，，，，，，，，，则下列关于这天观影人数的结论正确的是（ ） A．众数为120 B．平均数为140 C．中位数为130 D．第百分位数为170 方法技巧 计算一组个数据的的第百分位数 （1）按从小到大排列原始数据． （2）计算． （3）若不是整数而大于的比邻整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数． 【变式4-1】（2025·河南南阳·一模）为提高学生学习数学的热情，实验中学举行高二数学竞赛，以下数据为参加数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，则这10人成绩的第80百分位数是（    ） A．83 B．83.5 C．84 D．70 【变式4-2·变角度】（2025·黑龙江伊春·二模）某学习小组6名学生在一次数学测验中的得分（单位：分）如下．这6人成绩的第百分位数是n．若在该小组随机选取两名学生，则得分都比n低的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·四川南充·一模）某校高二（1）班有30名女生，其身高数据（单位：）按从小到大排序如下： 151   152   154   154   154   155   156   156   158   158   160   160   161   161   162 162   162   163   163   164   164   165   165   166   166   167   168   169   170   171 则这30名同学身高数据的第70百分位数为________． 题型5 频率分布直方图计算平均数、众数、中位数、百分位数 例5-1（2025·四川内江·二模）（多选）某超市对一批散装零食进行质量抽检，在所有商品中随机抽取了200件进行统计，抽取商品的质量都在50克至100克之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（    ） A．直方图中的值为0.030 B．估计这批零食的平均质量为84克 C．估计这批零食质量的样本数据的30%分位数为75克 D．在被抽取的零食中，质量在区间的件数为60件 例5-2（2026·广东韶关·模拟预测）人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷.截至2026年3月，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景.某网站组织经常使用豆包的人进行了AI知识竞赛.从参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示. (1)填空：______； (2)求样本数据的第35百分位数； (3)已知直方图中成绩在内的平均数为85；成绩在内的平均数为95.求成绩在内的平均数. 【变式5-1】（2025·海南海口·模拟预测）为了了解某次数学测验学生的得分情况，数学老师从甲、乙两个班分别随机选取若干名学生成绩，整理后作出图表.甲班所选取同学成绩作出图（1），且图中；乙班所选取同学成绩作出图（2），且图中有一个数字污损不清.则下列说法正确的是（    ）      A． B．若图（2）（多选）中现有数据的平均数和污损前相等，则图（2）污损前数据的众数为76 C．若直方图中每个数据都用该区间的中点值代替，则估计甲班同学成绩的平均数为76 D．估计乙班同学成绩的75%分位数为85 【变式5-2】（2025·湖南衡阳·一模）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流. (1)应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？ (2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示. （i）估计该直播平台商家平均日利润的75百分位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）； （ii）若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数. 【变式5-3】（2025·江苏淮安·二模）（多选）从参加环保知识竞赛的学生中抽出 60 名学生，将其成绩 〔均为整数〕整理后画出的频率直方图如图所示，则（    ）    A．估计 这一组的频数是15 B．估计这组数据的众数74.5 C．估计该次环保知识竞赛的平均成绩是72.5 D．估计这组数据的中位数是72.8 题型6 平均数与方差的线性变换性质 例6-1（2025·湖北黄冈·三模）若数据，，，的平均数与方差分别为，，则数据，，，，，，，，，的平均数为_________，方差为_________． 例6-2（2025·辽宁抚顺·二模）（多选）已知，，…，的极差为6，平均值为2，中位数为1，方差为3.若（，2，…，n），设，，…，的极差为，平均值为，中位数为p，方差为t，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·河北承德·二模）经过简单随机抽样获得的样本数据为，，…，，且数据，，…，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则所有的数据（）都为0 C．若，则（）的平均数为7 D．若，则（）的方差为12 【变式6-2】（2025·辽宁朝阳·二模）（多选）已知甲组数据，，…，的平均数为，方差为：乙组数据，，…，的平均数为，方差为．且，，…，．现将甲、乙两组数据合并成一组新数据，记为丙组，其平均数为，方差为，则（     ） A． B．若，，则 C．若甲组数据的众数为2，则乙组数据的众数为5 D．若甲组数据的中位数为，则乙组数据的中位数为 【变式6-3】（2025·辽宁沈阳·二模）（多选）已知一组从小到大排列的数据，，，…，的平均数为，方差为，极差为，中位数为．由这组数据得到一组新数据，，，…，，其中，则（    ） A．若，则 B．新数据的极差为 C．新数据的平均数为 D．新数据的方差为 题型7 分层抽样的方差问题 例7-1（2025·云南曲靖·模拟预测）（多选）某校为了解高一年级学生的身高情况，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，抽取了男生人，其平均数和方差分别为和．抽取了女生人，其平均数和方差分别为和．由这些数据，可计算出总样本平均数与总样本方差分别是（    ） A． B． C． D． 例7-2（2026·江苏宿迁·模拟预测）据网络平台最新数据，截止到2025年6月5日15时，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超158.91亿元，成为首部进入全球票房榜前五，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取20000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图． (1)估计观看此电影的观众的年龄的众数、平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)已知落在的平均年龄是27岁，方差是7，落在的平均年龄为36岁，方差是4，求两组年龄合并后的平均数和方差； 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记两组数据总的样本平均数为，则总的样本方差． 【变式7-1】（2026·山东淄博·一模）吉林市一中学有男生900人，女生600人．在“书香校园”活动中，为了解全校学生的读书时间，按性别比例分层随机抽样的方法抽取100名学生，其中男生、女生每天读书时间的平均值分别为60分钟和80分钟，方差分别为10和15．结合上述数据估计该校学生每天读书时间的方差为__________． 【变式7-2】（2025·四川眉山·模拟预测）某校采用分层随机抽样采集了高一、高二、高三年级学生的身高情况，部分调查数据如下： 年级 样本量 样本平均数 样本方差 高一 100 167 120 高二 100 170 150 高三 100 173 150 则总的样本方差等于（   ） A．140 B．142 C．144 D．146 【变式7-3】（2025·江苏苏州·二模）“2026郑开国际马拉松”已在春季成功举行，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)若面试成绩，从高到低排序，前43%的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分； (2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40，据此估计这次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·全国一卷·高考真题）样本数据的中位数为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 2．（2025·全国二卷·高考真题）样本数据2，8，14，16，20的平均数为（   ） A．8 B．9 C．12 D．18 3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 4．（2026·北京·高考真题）现从全校学生中随机抽取200人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下： 成绩分组 人数 40 60 60 32 8 以频率估计概率，完成下列问题： (1)求数学成绩低于120分的概率； (2)从学校随机抽取4人，求2人不低于120且2人小于94的概率； (3)每组数据取左端、中间、右端，比较、、的大小关系． 5．（2026·全国二卷·高考真题）从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图： (1)估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； (2)设为1件这种电子产品首次出现故障的时间小于365天的概率估计值． （ⅰ）求； 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（    ） A．平均数为3，中位数为2 B．平均数为2，方差为2.4 C．中位数为3，众数为2 D．中位数为3，方差为2.8 2．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.    （1）直方图中x的值为________； （2）在被调查的用户中，用电量落在区间内的户数为________. 3．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本.如果样本按比例分配，那么男、女运动员应各抽取多少名？ 4．某学校有高中学生500人，其中男生320人，女生180人.有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为173.5，方差为17，女生样本的均值为163.83，方差为30.03. （1）根据以上信息，能够计算出总样本的均值和方差吗？为什么？ （2）如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗？ （3）如果已知男、女的样本量都是25，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗？它们分别作为总体均值和方差的估计合适吗？为什么？ 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 随机抽样、统计图表、用样本估计总体 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 随机抽样 知识点2 用样本估计总体 题型破译 (含超链接） 题型1随机抽样、分层抽样 【方法技巧】分层抽样的计算 题型2根据统计图表分析信息 题型3频率分布直方图的频数、频率、样本容量 题型4百分位数 【方法技巧】计算一组n个数据的第百分位数 题型5频率分布直方图计算平均数、众数、中位数、百分位数 题型6平均数与方差的线性变换性质 题型7分层抽样的方差问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 几个数的数字特征 全国一卷T1（5分） 全国二卷T1（5分） _______ 频率分布直方图 全国二卷T15（1）（6分） ________ 全国II卷T4（5分） 考情分析 近三年考情显示，高考对随机抽样、统计图表、用样本估计总体考查稳定，题型以选择、解答为主，难度偏低。高频考点为分层抽样计算、频率分布直方图数字特征、样本平均数与方差，偶尔结合百分位数、统计图辨析出题。多结合实际生活情境命题，侧重公式基础运算，极少出现复杂综合变形，属于必拿分基础题型。 复习目标 1.熟练掌握简单随机抽样、分层抽样的定义与比例计算； 2.能读懂各类统计图表，会用频率分布直方图求众数、中位数、平均数； 3.熟记均值、方差公式及线性变换性质，规范计算百分位数。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 知●识●解●构 知识点1 随机抽样 一、抽样调查基础概念 1.总体：统计中，考察对象某一数值指标的全体组成的集合。 2.个体：构成总体的每一个考察元素。 3.样本：从总体中抽取一部分个体组成的集合；样本容量指样本中个体的数量。 二、简单随机抽样 1.定义：设总体共有个个体，从中逐个不放回抽取个个体作为样本（），若每一个个体被抽到的可能性均等，该抽样方式称为简单随机抽样，抽取的样本为简单随机样本。 2.两种常用方法 ①抽签法：将全部个体编号制作号签，充分搅拌后依次抽取次得到样本；适合总体数量较少的场景。 ②随机数表法：借助随机数表、随机数骰子或计算机生成随机数完成抽样；适合总体数量较多的情况，若总体、样本容量都极大，操作会比较繁琐。 3.四大核心特征 ①有限性：总体包含的个体总数有限，方便利用样本分析整体； ②逐一性：逐个抽取个体，实操简便； ③不放回性：抽取过程不重复选取同一个体，便于计算分析； ④等可能性：所有个体被抽取的概率相等，保证抽样公平。 三、分层抽样 1.定义与适用条件：抽样时把总体划分为互不重叠的若干层，依照固定比例从每一层独立抽取个体，合并各层样本得到总样本，即分层抽样。 适用于总体由差异明显的多个部分构成的情况。 2.常见题型与解题思路 ①求单层抽取数量：根据该层个体占总体的比例计算； ②已知单层容量求总体容量：依靠分层抽样“按比例抽取”的特点列比例方程求解； ③核心公式：。 3.注意事项 每层抽取的个体数量可以不相等，但必须严格遵循抽样比例；设层数为，样本容量为，第层个体数，总体容量，每层抽取数量需匹配对应比例关系。 自主检测 1．期中考试后,为了分析高一年级1000名学生的学习成绩,从中随机抽取了200名学生的成绩单,就这个问题来说,下面说法中正确的是（   ） A．1000名学生是总体 B．每名学生是个体 C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D．样本容量是200 【答案】D 【详解】A.总体是1000名学生的学习成绩，A错； B.个体是每名学生的成绩，B错； C.所抽取的样本是200名学生的成绩，不是每名学生的成绩，C错； D.样本容量是200，D正确. 2．某工厂共有男职工1200人，女职工800人，现按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全厂职工中抽出一个容量为200的样本进行健康调查．若样本按比例分配，则应抽取男职工的人数为（    ） A．80 B．100 C．120 D．200 【答案】C 【详解】因为工厂男职工女职工， 所以抽取的男职工人数人. 知识点2 用样本估计总体 一、频率分布直方图 1.基础计算公式（频数、频率、样本容量） ①； ②，，； ③频率分布直方图内所有小矩形面积之和等于。 2.利用直方图计算数字特征 ①众数：高度最高的小长方形底边中点对应的横坐标； ②中位数：将直方图面积平分为左右各的数值，设中位数为，通过累加一侧矩形面积等于列式求解； ③平均数：直方图的加权重心，等于每个小矩形面积乘以自身底边中点横坐标，再全部相加。 二、四类基础统计图表对比 1.扇形图：直观展示各类数据占全部数据的百分比； 2.条形图：体现不同类别离散数据的频数、频率大小； 3.折线图：反映数据随时间变化的增减趋势； 4.频率分布直方图：专门处理连续型分组数据，体现区间内数据分布疏密。 补充区分：条形图适配离散数据，直方图适配连续分组数据。 三、百分位数 1.定义：一组数据的第百分位数满足两个条件：至少的数据小于或等于该数，同时至少的数据大于或等于该数。 2.个数据求第百分位数标准步骤 ①将原始数据从小到大依次排序；②计算；③判断：若不是整数，向上取邻近整数，对应项数据即为百分位数；若是整数，取第项与第项数据的平均值。 3.四分位数 中位数本质是第百分位数；常用四分位数包含第百分位数，三者将有序数据均分为四段。 四、样本数字特征：众数、中位数、平均数、方差、标准差 （1）众数、中位数、平均数 1.众数：一组数据中出现频次最高的数，代表数据的多数水平； 2.中位数：数据排序后，中间单个数值（奇数个数据）或中间两数平均值（偶数个数据），代表数据中间水平； 3.平均数：个样本数据的算术平均值，反映整体平均水平，可灵活变形用于计算。 （2）标准差与方差 1.标准差：描述样本数据与平均数的平均距离，记作； 设样本数据，为平均数，则标准差公式： 2.方差：标准差的平方，二者刻画数据离散程度效果一致，实际应用中更常使用标准差。 3.规律：方差、标准差数值越大，数据波动、离散程度越强；数值越小，数据越集中稳定。 （3）平均数与方差的线性变换性质 设原数据平均数，方差： 1.数据：平均数，方差不变仍为； 2.数据：平均数，方差； 3.数据：平均数，方差。 （4）分层随机抽样的总均值、总方差 设总体分为两层： 第一层：样本量，均值，方差； 第二层：样本量，均值，方差； 总样本量，总均值，总方差。 1.总样本平均数： 2.分层合并方差： 3.分层方差计算步骤 ①先代入两层数据，计算整体总平均数； ②分别算出每层均值与总均值差值的平方； ③分层方差、层间偏差分别乘对应样本量加权求和，再除以总样本容量得到总方差。 自主检测 3．样本数据3，3，4，5，6，7，7，8的第80百分位数为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】数据从小到大排列为3，3，4，5，6，7，7，8，共8个数据， ，则第80百分位数为第7位数据7. 4．若数据1，2，10，11的平均数为，方差为，数据4，5，7，8的平均数为，方差为，则________，________．（请从“<”“>”“=”中选择合适的填入） 【答案】 = > 【详解】， 所以， ， 所以. 题●型●破●译 题型1 随机抽样、分层抽样 例1-1（2026·吉林松原·二模）下面的抽样方法是简单随机抽样的是（    ） A．盒中装有个小球，某人一次抽取个小球 B．从个产品中随机逐个抽取个进行产品合格检测 C．从自然数中逐个抽取个数 D．老师从班里名同学中点了名同学参加数学竞赛 【答案】B 【详解】对于A，一次抽取3个，不是逐个抽取，不符合简单随机抽样“逐个抽取”的要求； 对于B，从100个（有限总体）产品中“随机逐个抽取”10个，每个产品被抽到的概率相等，满足简单随机抽样的全部条件； 对于C，自然数是无限总体，简单随机抽样要求总体个体数有限，因此不符合； 对于D，老师主观点名，不是随机抽取，带有主观倾向性，不满足随机性要求． 例1-2（2025·四川绵阳·二模）为调研消费者对不同动漫角色的购买偏好，根据统计数据得到角色A购买者有600位，角色B购买者有650位，角色C购买者有750位．现采用按比例分层随机抽样的方法抽取160人进行调研，则应抽取的角色A购买者的人数是（   ） A．60 B．52 C．48 D．72 【答案】C 【详解】设应抽取的角色A购买者的人数为，则，所以， 所以应抽取的角色A购买者的人数为48． 方法技巧 分层抽样的计算 先确定抽样比，然后把各层个体数乘以抽样比，即得各层要抽取的个体数． （1）抽样比＝＝； （2）层1的容量∶层2的容量∶层3的容量＝样本中层1的容量∶样本中层2的容量∶样本中层3的容量． 【变式1-1】（2025·湖南益阳·二模）（多选）某年级某班有24名女生和30名男生，准备随机抽取9名学生参加学情调研，那么（    ） A．若采用抽签法进行抽取，可能抽到9名男生 B．若采用抽签法进行抽取，男生甲被抽到的概率为 C．若采用按比例分层抽样进行抽取，女生乙被抽到的概率为 D．若采用按比例分层抽样进行抽取，男生甲和女生乙被抽到的概率不同 【答案】AC 【详解】因为抽签法是简单随机抽样，抽样是随机的，班里有30名男生， 所以存在抽到9名男生的可能性，故A正确； 总共有名学生，采用抽签法时，男生甲被抽到的概率为， 故B错误； 在按比例分层随机抽样中，女生应抽取的人数为名， 女生乙被抽到的概率为，故C正确； 在按比例分层随机抽样中，每个个体被抽到的概率是相等的，都等于， 所以男生甲和女生乙被抽到的概率相同，故D错误. 故选：AC 【变式1-2】（2025·江苏泰州·模拟预测）某高中学校共有学生2700人，其中高一900人，高二1000人，其余为高三学生．该校为了调查学生的睡眠情况，采用分层随机抽样的方式，从高一与高二的学生中共抽取38人，则应从高三学生中抽取（    ） A．20人 B．18人 C．16人 D．12人 【答案】C 【详解】由题意可得，高一900人，高二1000人， 则高一高二总占总人数占比为，高三占总人数比例为， 又因为高一与高二的学生中共抽取38人， 设高三学生抽取人，则，解得. 【变式1-3】（2025·广东深圳·三模）某中学高一年级有人，高二年级有人，高三年级有人．现用分层随机抽样方法从三个年级中抽取人，则抽取的高一年级学生的人数比抽取的高三年级学生人数多________人． 【答案】10 【详解】三个年级总人数为， 所以抽样比为， 因此抽取的高一年级学生人数为， 抽取的高三年级学生人数为， 故高一年级抽取人数比高三年级多(人). 题型2 根据统计图表分析信息 例2-1（2025·湖北黄石·三模）小明记录了某年1月至11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据、整理并绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，下列说法错误的是（    ） A．月跑步里程最小值出现在2月 B．2月至6月的月跑步里程逐月增加 C．9月至11月的月跑步里程的平均数大于20 D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更大 【答案】D 【详解】由折线图可知月跑步里程最小值出现在2月，故A正确，不符合题意； 2月至6月的月跑步里程逐月增加，故B正确，不符合题意； 9月至11月的月跑步里程最小值为20，则平均数大于20，故C正确，不符合题意； 1月到5月的月跑步里程相对于6月至11月更均匀，波动性更小，故D错误，符合题意． 例2-2（2025·安徽滁州·模拟预测）（多选）年月至月我国规模以上工业天然气产量保持平稳，日均产量亿立方米与当月增速如图所示，则（     ）    备注：日均产品产量是以当月公布的我国规模以上工业企业总产量除以该月日历天数计算得到． A．年月份我国规模以上工业天然气产量增速比上月放缓个百分点 B．年月至年月我国规模以上工业天然气产量增速的极差为 C．年月份我国规模以上工业天然气产量为亿立方米 D．年月至年月我国规模以上工业天然气产量的分位数为亿立方米 【答案】ABD 【详解】对于A，2021年12月份我国规模以上工业天然气产量当月增速为2.3个百分点， 11月份增速为个百分点，比上月放缓2.1个百分点，故A正确； 对于B，2021年4月至12月我国规模以上工业天然气产量当月增速的极差为，故B正确； 对于C，2021年7月我国规模以上工业天然气产量为亿立方米，故C错误； 对于D，2021年4月至12月我国规模以上工业天然气日均产量从小到大为5.1，5.1，5.2，5.3，5.4，5.6，5.7，5.9，6.2， 因为，所以该组数据的分位数为5.3亿立方米．故D正确. 【变式2-1】（2026·四川广元·模拟预测）某学校组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，校团委从参加这五个社团的学生中随机选取部分学生进行问卷调查，选取的学生情况绘制成如下不完整的两个统计图，则选取的学生中，绘画社团的学生数为（    ） A．16 B．18 C．20 D．25 【答案】C 【详解】由条形统计图可知，演讲社团的人数为30，由扇形统计图可知， 演讲社团的人数占选取学生总人数的，所以选取的学生总人数为. 由扇形统计图可知，舞蹈社团和英语协会的人数占比均为， 所以舞蹈社团和英语协会的人数均为； 又由条形统计图可知，合唱社团的人数为70， 所以绘画社团的学生数为. 【变式2-2】（2026·四川遂宁·一模）（多选）某学校对高一学生预选科进行调查统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选择物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（     ） A．该校高一学生总人数为800 B．该校高一学生中选择物化政组合的人数为90 C．该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数少 D．按选科组合用分层随机抽样从该校高一学生抽取40人，则生史地组合应抽取8人 【答案】AD 【详解】对于A，该校高一学生总人数为人，A正确； 对于B，该校高一学生中选择物化生组合的人数为人， 所以选择物化地和物化政组合的人数为人， 因为选择物化地和物化政组合的人数相等，所以选择物化政组合的人数为人，B错误； 对于C，选择物理的人数有人，选择历史的人数有人， 所以该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数多，C错误； 对于D，生史地组合应抽取人，D正确. 【变式2-3】（2025·安徽马鞍山·三模）（多选）的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．划分等级为：日均值在以下，空气质量为一级：日均值在，空气质量为二级：日均值超过为超标．如图是某地12月1日至10日的日均值（单位：）变化的折线图，关于日均值说法正确的是（   ） A．这10天的日均值的第75百分位数为60 B．前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差 C．这10天的日均值的中位数为41 D．前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差 【答案】ABD 【详解】首先从折线图提取10天的PM2.5日均值，按日期顺序为：30,41,32,34,40,80,78,60,45,48， 将全部数据从小到大排序得：30,32,34,40,41,45,48,60,78,80，逐一判断选项： 选项A：因为，故，不是整数，向上取整得到位置为， 排序后第项为，因此第百分位数为，选项A正确. 选项B：前5天数据为，极差为； 后5天数据为，极差为，显然，B正确. 选项C：10个数据的中位数是第5项和第6项的平均值， 即，C错误. 选项D：前5天数据全部集中在区间，波动程度很小； 后5天数据分布在区间，数值差异大，波动程度远高于前5天， 因此前5天的方差小于后5天的方差，D正确. 题型3 频率分布直方图的频数、频率、样本容量 例3-1（2025·河北衡水·模拟预测）重庆一中为调查该校学生对于数学史的了解情况，组织了一次数学史知识竞赛，并从该学校2500名参赛学生中随机抽取了100名学生，并统计了这100名学生成绩情况（满分100分，其中80分及以上为优秀），得到了样本频率分布直方图（如图），根据频率分布直方图推测，这2500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为（     ） A．200 B．600 C．700 D．900 【答案】C 【详解】样本中竞赛成绩为优秀的学生频率为， 则这2500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为. 例3-2（2025·江苏盐城·模拟预测）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图．在考核成绩为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在中的学生应抽取的人数为______．    【答案】 【详解】因为，所以， 所以考核成绩在的频率为，成绩在的频率为，在的频率为， 因为样本容量为，所以考核成绩在的学生人数为， 成绩在的学生人数为，在的学生人数为， 这组学生总人数为， 设在考核成绩在的学生中抽取人，由分层抽样的定义可知，抽样比为， 则，故应在考核成绩为的学生中抽取人. 【变式3-1】（2025·福建南平·一模）某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了位居民，获得了他们某月的用水量（单位：立方米）数据（用水量均在内），将所得数据分成组：，，，，，，，整理得到频率分布直方图如图所示，若该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于立方米的人数为（    ） A．15万 B．20万 C．25万 D．30万 【答案】A 【详解】由频率分布直方图知，在随机调查的位居民中， 月均用水量不低于立方米的频率为， 因该市有万居民， 故全市居民中月均用水量不低于立方米的人数为万. 【变式3-2】（2025·广东中山·三模）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，，，，，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有人，第三组中没有疗效的有人，则第三组中有疗效的人数为_______ 【答案】 【详解】由题可知，样本总数为， 则第三组的人数为， 又第三组中没有疗效的有人，则有疗效的人数为人. 【变式3-3】（2025·江西宜春·一模）某幼儿园根据部分同年龄段儿童的身高数据绘制了如图所示的频率分布直方图，其中身高（单位：cm）的变化范围是，样本数据分组为，，，，． (1)已知样本中身高在的人数是60，求出样本容量的数值； (2)根据频率分布直方图提供的数据，现用分层抽样的方法从身高在，，内的儿童中共抽出28名儿童参加活动，求三个组内分别要抽取的儿童数． 【答案】(1) (2)，， 【分析】 【详解】（1）解：由频率分布直方图，可得身高在的频率为：， 因为身高在人数是，所以样本容量. （2）解：由频率分布直方图可知，组距为，根据所有小矩形的面积之和为， 所以，解得 身高在，，内的频率分别为： ，，， 这三组的人数分别为， 这三组的总人数为，故抽样比为， 则三个组内分别要抽取的儿童数为 第一组（名），第二组（名），第三组（名）， 所以三个组内分别要抽取的儿童数为名. 题型4 百分位数 例4-1（2025·湖北随州·一模）10个数据的75%分位数是（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【详解】因为，所以第75%分位数是第个数，即 例4-2（2025·山东泰安·二模）某影院连续天的观影人数（单位：百人）依次为，，，，，，，，，，则下列关于这天观影人数的结论正确的是（ ） A．众数为120 B．平均数为140 C．中位数为130 D．第百分位数为170 【答案】B 【详解】这10个数从小到大排列为：80，90，120，120，130，160，160，160，180，200， 选项A，众数为160，错误. 选项B，平均数为，正确. 选项C，中位数为，错误. 选项D，，因此第百分位数为第8个数160，错误. 方法技巧 计算一组个数据的的第百分位数 （1）按从小到大排列原始数据． （2）计算． （3）若不是整数而大于的比邻整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数． 【变式4-1】（2025·河南南阳·一模）为提高学生学习数学的热情，实验中学举行高二数学竞赛，以下数据为参加数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，则这10人成绩的第80百分位数是（    ） A．83 B．83.5 C．84 D．70 【答案】B 【详解】成绩按从小到大排列为. ， 第80百分位数为第个和第个数据的算术平均数，即. 【变式4-2·变角度】（2025·黑龙江伊春·二模）某学习小组6名学生在一次数学测验中的得分（单位：分）如下．这6人成绩的第百分位数是n．若在该小组随机选取两名学生，则得分都比n低的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】6个数据排序为，第百分位数， 向上取整为4，故， 比n低的数为， 随机选2人的总组合数为， 均低于n的组合数为，概率为． 【变式4-3】（2026·四川南充·一模）某校高二（1）班有30名女生，其身高数据（单位：）按从小到大排序如下： 151   152   154   154   154   155   156   156   158   158   160   160   161   161   162 162   162   163   163   164   164   165   165   166   166   167   168   169   170   171 则这30名同学身高数据的第70百分位数为________． 【答案】164.5/ 【详解】由题意得，则第70百分位数为第和第个数字的平均数， 则第70百分位数为. 题型5 频率分布直方图计算平均数、众数、中位数、百分位数 例5-1（2025·四川内江·二模）（多选）某超市对一批散装零食进行质量抽检，在所有商品中随机抽取了200件进行统计，抽取商品的质量都在50克至100克之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（    ） A．直方图中的值为0.030 B．估计这批零食的平均质量为84克 C．估计这批零食质量的样本数据的30%分位数为75克 D．在被抽取的零食中，质量在区间的件数为60件 【答案】ABD 【详解】根据商品的质量都在50克至100克之间的频率和为1可得，解得，所以A正确； 对于B：估计这批零食的平均质量为克，故B正确； 对于C：， 估计这批零食质量的样本数据的30%分位数为克，故C错误． 对于D：在被抽取的零食中，质量在区间的件数为件，故D正确． 例5-2（2026·广东韶关·模拟预测）人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷.截至2026年3月，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景.某网站组织经常使用豆包的人进行了AI知识竞赛.从参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示. (1)填空：______； (2)求样本数据的第35百分位数； (3)已知直方图中成绩在内的平均数为85；成绩在内的平均数为95.求成绩在内的平均数. 【答案】(1)0.005 (2)75 (3)89 【分析】 【详解】（1），解得. （2）成绩在的频率为； 成绩在的频率为； 成绩在的频率为， 故样本数据的第35百分位数在，设该数为， 则，解得，故样本数据的第35百分位数为. （3）由题意，成绩在，内的人数分别为30，20， 所以成绩在内的平均数为：， 所以，成绩在内的平均数为89. 【变式5-1】（2025·海南海口·模拟预测）为了了解某次数学测验学生的得分情况，数学老师从甲、乙两个班分别随机选取若干名学生成绩，整理后作出图表.甲班所选取同学成绩作出图（1），且图中；乙班所选取同学成绩作出图（2），且图中有一个数字污损不清.则下列说法正确的是（    ）      A． B．若图（2）（多选）中现有数据的平均数和污损前相等，则图（2）污损前数据的众数为76 C．若直方图中每个数据都用该区间的中点值代替，则估计甲班同学成绩的平均数为76 D．估计乙班同学成绩的75%分位数为85 【答案】BCD 【详解】选项A：因为，所以设，则， 由题意得， 所以，解得， 所以，故A错误； 选项B：图（2）中现有数据为58,64,66,73,76,83,85,88,91， 平均数为， 因为现有数据的平均数和污损前相等，所以被污损数字为6，成绩为76， 则图（2）污损前数据的众数为76，故B正确； 选项C：甲班同学成绩的平均数，故C正确； 选项D：设被污损成绩为a，则， 所以乙班同学的成绩为58,64,66,73,76,a,83,85,88,91， 则，所以乙班同学成绩的75%分位数为85，故D正确. 故选：BCD 【变式5-2】（2025·湖南衡阳·一模）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流. (1)应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？ (2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示. （i）估计该直播平台商家平均日利润的75百分位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）； （ii）若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数. 【答案】(1)小吃类28家，生鲜类12家 (2)（i）75百分位数为487.5元，平均数为440元，（ii）个数为280 【分析】 【详解】（1）根据分层抽样知： 应抽取小吃类家，生鲜类家， 所以应抽取小吃类28家，生鲜类12家. （2）（i）根据题意可得，解得， 设75百分位数为x，因为，第四组频率为0.2， 所以，解得， 所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元. 平均数为， 所以该直播平台商家平均日利润的平均数为440元. （ii）， 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280. 【变式5-3】（2025·江苏淮安·二模）（多选）从参加环保知识竞赛的学生中抽出 60 名学生，将其成绩 〔均为整数〕整理后画出的频率直方图如图所示，则（    ）    A．估计 这一组的频数是15 B．估计这组数据的众数74.5 C．估计该次环保知识竞赛的平均成绩是72.5 D．估计这组数据的中位数是72.8 【答案】ABD 【详解】对于A，频率；频数，A正确； 对于B，一组的频率最大，人数最多，则众数为，B正确； 对于C，平均分为： ，C错误； 对于D，前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，所以中位数在区间内， 设中位数为，所以中位数为72.8，D正确. 故选：ABD. 题型6 平均数与方差的线性变换性质 例6-1（2025·湖北黄冈·三模）若数据，，，的平均数与方差分别为，，则数据，，，，，，，，，的平均数为_________，方差为_________． 【答案】 【详解】因为数据，，，的平均数与方差分别为，， 所以，，，的平均数与方差分别为，. 又， ， 所以， . 所以，，，，，，，，，的平均数为； 方差为 . 例6-2（2025·辽宁抚顺·二模）（多选）已知，，…，的极差为6，平均值为2，中位数为1，方差为3.若（，2，…，n），设，，…，的极差为，平均值为，中位数为p，方差为t，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】选项A：极差为数据最大值与最小值的差，给每个数据加2后，新数据的最大值和最小值均增加2，差值不变，故，错误. 选项B：因为，所以，正确. 选项C：将原数据从小到大排序后，中位数为中间位置的数值，给所有数据加2不改变排序，中位数对应数值也加2，故，正确. 选项D：方差衡量数据的离散程度，给所有数据加常数不改变离散程度，故，错误. 【变式6-1】（2026·河北承德·二模）经过简单随机抽样获得的样本数据为，，…，，且数据，，…，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则所有的数据（）都为0 C．若，则（）的平均数为7 D．若，则（）的方差为12 【答案】CD 【详解】由方差的定义，,故A错误； 若，则，但不一定为，故B错误； 若，则的平均数为，故C正确； 若，则的方差为，故D正确． 【变式6-2】（2025·辽宁朝阳·二模）（多选）已知甲组数据，，…，的平均数为，方差为：乙组数据，，…，的平均数为，方差为．且，，…，．现将甲、乙两组数据合并成一组新数据，记为丙组，其平均数为，方差为，则（     ） A． B．若，，则 C．若甲组数据的众数为2，则乙组数据的众数为5 D．若甲组数据的中位数为，则乙组数据的中位数为 【答案】ACD 【详解】对于A，由于故，即，A正确， 对于B，由于，，故，，，，故B错误， 对于C， 若甲组数据的众数为2，则乙组数据的众数为5，C正确， 对于D， 若甲组数据的中位数为，则乙组数据的中位数为，D正确 【变式6-3】（2025·辽宁沈阳·二模）（多选）已知一组从小到大排列的数据，，，…，的平均数为，方差为，极差为，中位数为．由这组数据得到一组新数据，，，…，，其中，则（    ） A．若，则 B．新数据的极差为 C．新数据的平均数为 D．新数据的方差为 【答案】BD 【详解】对于A，当时，这组数据的中位数应是，故A 错误； 对于B，依题意，，新数据依次为， 则新数据的极差为，故B正确； 对于C，新数据的平均数为： ，故C错误； 对于D，依题意，， 因，由上分析知新数据的平均数为， 故新数据的方差为 ，故D正确. 题型7 分层抽样的方差问题 例7-1（2025·云南曲靖·模拟预测）（多选）某校为了解高一年级学生的身高情况，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，抽取了男生人，其平均数和方差分别为和．抽取了女生人，其平均数和方差分别为和．由这些数据，可计算出总样本平均数与总样本方差分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】 选项AB：总样本平均数为各层平均数按样本量权重加权的结果，计算得，故A正确，B错误； 选项CD：分层随机抽样总样本方差为 ，故C正确，D错误. 例7-2（2026·江苏宿迁·模拟预测）据网络平台最新数据，截止到2025年6月5日15时，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超158.91亿元，成为首部进入全球票房榜前五，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取20000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图． (1)估计观看此电影的观众的年龄的众数、平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)已知落在的平均年龄是27岁，方差是7，落在的平均年龄为36岁，方差是4，求两组年龄合并后的平均数和方差； 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记两组数据总的样本平均数为，则总的样本方差． 【答案】(1)众数为，平均数为，中位数为； (2)平均数，方差. 【分析】 【详解】（1）由频率分布直方图可知，最高矩形对应的区间为， 所以众数为该区间的中点值，即. 平均数为： . 因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为，所以中位数位于区间内. 设中位数为，则， 解得. 故估计观看此电影的观众的年龄的众数为，平均数为，中位数为. （2）由频率分布直方图可知，落在的频率为，落在的频率为. 设落在的样本量为，落在的样本量为，则，即，则. 由题意知，，；，. 则合并后的平均数. 合并后的方差 . 故两组年龄合并后的平均数为，方差为. 【变式7-1】（2026·山东淄博·一模）吉林市一中学有男生900人，女生600人．在“书香校园”活动中，为了解全校学生的读书时间，按性别比例分层随机抽样的方法抽取100名学生，其中男生、女生每天读书时间的平均值分别为60分钟和80分钟，方差分别为10和15．结合上述数据估计该校学生每天读书时间的方差为__________． 【答案】108 【详解】设该校男生、女生每天读书时间的平均值分别为，方差分别为，该校全体学生每天读书时间的平均值为，方差为， 学校有男生900人，女生600人，从中抽取100人，则抽样比为， 其中抽取男生（人），抽取女生（人）， 则（分钟）， . 【变式7-2】（2025·四川眉山·模拟预测）某校采用分层随机抽样采集了高一、高二、高三年级学生的身高情况，部分调查数据如下： 年级 样本量 样本平均数 样本方差 高一 100 167 120 高二 100 170 150 高三 100 173 150 则总的样本方差等于（   ） A．140 B．142 C．144 D．146 【答案】D 【详解】由题意，总的样本平均数为， 所以总的样本方差为 【变式7-3】（2025·江苏苏州·二模）“2026郑开国际马拉松”已在春季成功举行，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)若面试成绩，从高到低排序，前43%的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分； (2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40，据此估计这次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题可知，，解得， 由题中所给的频率分布直方图可知，第四组与第五组的频率之和为，第三组、第四组与第五组的频率之和为， ，故优秀候选者成绩的最低分落在第三组. 设优秀候选者成绩的最低分为分，则，解得， 故估计优秀候选者成绩的最低分为分； （2）各组频率之比为，用分层抽样的方法选取20人，则第二组抽取的人数为人，第四组抽取的人数为人， 设第二组面试者的成绩为样本1，第四组面试者的成绩为样本2.记样本1的容量，平均数，方差为，记样本2的容量，平均数，方差， 这两组所有面试者的总平均数为：， 这两组所有面试者的方差为：， 故估计这次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差为. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·全国一卷·高考真题）样本数据的中位数为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【详解】将已知数据从小到大排序为，则中位数为. 2．（2025·全国二卷·高考真题）样本数据2，8，14，16，20的平均数为（   ） A．8 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【详解】样本数据的平均数为. 故选：C. 3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 【答案】BD 【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小， 例如：，可得； 例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：举反例说明，例如：，则平均数， 标准差， ，则平均数， 标准差，显然，即， 所以的标准差不小于的标准差，这一论断不成立，故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD. 4．（2026·北京·高考真题）现从全校学生中随机抽取200人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下： 成绩分组 人数 40 60 60 32 8 以频率估计概率，完成下列问题： (1)求数学成绩低于120分的概率； (2)从学校随机抽取4人，求2人不低于120且2人小于94的概率； (3)每组数据取左端、中间、右端，比较、、的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由已知样本中数学成绩低于分的频率为， 所以数学成绩低于分的概率为， （2）从学校随机抽取一人，该学生成绩不低于分的概率为， 小于分的概率为， 所以从学校随机抽取人，人不低于且人小于的概率为， （3）每组数据取左端的值记为，， 每组数据取中间的值记为，， 每组数据取右端的值记为，， 由已知，，，，， 所以， 由已知，，，，， 所以， ，，，，， 所以， ， 所以. 5．（2026·全国二卷·高考真题）从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图： (1)估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； (2)设为1件这种电子产品首次出现故障的时间小于365天的概率估计值． （ⅰ）求； （ⅱ）该厂向某用户销售100件这种电子产品，记X为这100件电子产品中首次出现故障的时间小于365天的件数，假设，求，． 【答案】(1)第一四分位数为 ，中位数为 ； (2)（ⅰ）；（ⅱ），． 【分析】 【详解】（1）由直方图可知，的频率为， 的频率为， 故第一四分位数在上，设为，则，解得； 的频率为， 的频率为， 故中位数在上，设为，则，解得. 故第一四分位数为370，中位数为381； （2）由直方图可知，小于365天的频率为，故， 根据二项分布的期望和方差公式， ， 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（    ） A．平均数为3，中位数为2 B．平均数为2，方差为2.4 C．中位数为3，众数为2 D．中位数为3，方差为2.8 【答案】B 【详解】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误； 对于B，若平均数为2，且出现6点，则方差， 则平均数为2，方差为时，一定没有出现点数6，故B正确； 对于C，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故C错误； 对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3， 平均数为， 方差为， 可以出现点数6，故D错误； 故选：B． 2．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.    （1）直方图中x的值为________； （2）在被调查的用户中，用电量落在区间内的户数为________. 【答案】 0.0044 70 【解析】（1）由小矩形面积和为1，可求得的值； （2）计算用电量落在区间内的频率，再乘以100. 【详解】（1）由，得. （2）户数为. 故答案为：0.0044；70 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查样本估计总体的思想，考查数据处理能力，求解时注意频率分布直方图中的横轴与纵轴对应的量. 3．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本.如果样本按比例分配，那么男、女运动员应各抽取多少名？ 【答案】男生16人，女生12人 【解析】先计算得到抽取比例为，再计算得到答案. 【详解】田径队运动员的总人数是，要得到28人的样本，占总体的比例为， 于是应该在男运动员中随机抽取（人）， 在女运动员中随机抽取（人）. 【点睛】本题考查了分层抽样，属于简单题. 4．某学校有高中学生500人，其中男生320人，女生180人.有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为173.5，方差为17，女生样本的均值为163.83，方差为30.03. （1）根据以上信息，能够计算出总样本的均值和方差吗？为什么？ （2）如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗？ （3）如果已知男、女的样本量都是25，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗？它们分别作为总体均值和方差的估计合适吗？为什么？ 【答案】（1）不能，见解析；（2）能，170.02，43.24；（3）168.67,46.89，不合适，见解析. 【分析】 【详解】（1）不能，因为本题没有给出男、女生的样本量，或者男、女生样本量的比例，故无法计算出总样本的均值和方差.. （2）总样本的均值为. 总样本的方差. （3）总样本的均值为. 总样本的方差为. 不能作为总体均值和方差的估计，因为分层抽样中未按比例抽样，总体中每个个体被抽到的可能性不完全相同，因而样本的代表性差. 【点睛】本题考查用样本估计总体，掌握抽样分析中能用样本估计总体所必须具备的条件是总体中每个个体被抽取的概率应相等，即等可能． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $