第01讲 平面向量的概念及线性运算（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦平面向量概念及线性运算，涵盖向量定义、线性运算、共线定理等核心考点，以概念-运算-定理的逻辑链条搭建知识框架。通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生系统掌握向量几何意义及运算规律，突破线性拆分与共线应用难点。 资料采用题型分层设计与方法技巧归纳，如通过“爪子定理”简化线性运算，结合变式训练变考法、变载体，培养学生数学思维与逻辑推理能力。设置真题溯源与课本典例链接，确保复习针对性，助力学生高效构建解题模型，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第01讲 平面向量的概念及线性运算 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 向量的有关概念 知识点2 向量的线性运算 知识点3 向量共线定理 题型破译 (含超链接） 题型1 元素与集合的关系 题型1 平面向量的概念与表示 题型2 向量的几何表示 题型3 相等向量及其应用 题型4 平面向量线性运算 【方法技巧】平面向量线性运算的解题策略 题型5 根据向量的线性运算求参数 题型6 平面向量共线定理与点共线问题 【方法技巧】利用向量共线定理解题的策略 题型7 平行向量（共线向量）求参数 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 平面向量的相关概念 全国Ⅰ卷T5（5分） 平面向量的线性运算 全国一卷T6（5分） 全国Ⅰ卷T3（5分） 考情分析 平面向量概念与线性运算包含向量定义、相等共线判定及加减数乘运算，常结合几何图形转化求解；小题常考基础考点，出题频次平稳； 近三年考情显示，本节侧重向量线性拆分、共线条件应用，依托图形考查逻辑转化能力。 复习目标 1了解向量的实际背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的几何表示 2掌握向量的加、减运算并理解其几何意义 3掌握向量的数乘运算并理解其几何意义以及两个向量共线的含义 4理解向量的线性运算性质及其几何意义 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 向量的有关概念 （1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． （2）零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． （3）单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 自主检测下列说法中，正确的是（    ） A．模为的向量与任意向量共线 B．单位向量只有一个 C．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 D．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 【答案】A 【详解】对A，模为的向量为零向量，零向量与任意向量共线，故A正确； 对B，单位向量的模为，但方向为任意方向，故B错误； 对C，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故C错误； 对D，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故D错误． 故选：A． 知识点2 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 自主检测下列结果不是零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以A不符合题意； 对于B中，由，所以B符合题意； 对于C中，由，所以C不符合题意； 对于D中，由，所以D不符合题意. 故选：B. 知识点3 向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa. 【注意】当a≠0时，定理中的实数λ才唯一． 必记结论 （1）P为线段AB的中点，O为平面内任意一点⇔＝(＋). （2）若＝v＋μ(μ，v为常数)，O不在直线AB上，则P，A，B三点共线的充要条件是μ＋v＝1. （3）若G为△ABC的重心，则有 ①＋＋＝0；②＝(＋). （4）对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|(向量三角不等式) 自主检测已知向量，，，，，则一定共线的三点是（   ） A．A，B，D B．A，B，C C．A，C，D D．B，C，D 【答案】A 【分析】利用向量的共线定理一一判断即可. 【详解】因为，故A，B，D三点共线，A对； 因为，，故，不一定共线，B错； 因为，，所以，不一定共线，C错； 因为，，则，不一定共线，D错. 故选：A. 题●型●破●译 题型1 平面向量的概念与表示 例1-1（多选）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．零向量的长度是0 B．向量是有向线段 C．若，则 D．若是共线的单位向量，则 【答案】AC 【详解】对于A，由零向量的定义可知，A正确； 对于B，向量可以用有向线段表示，不能说向量是有向线段，B错误； 对于C，由向量相等的定义可知，C正确； 对于D，若是共线的单位向量，则或，D错误． 故选：AC 例1-2（25-26高三上·广东河源·阶段检测）下列关于平面向量的说法中，正确的是（    ） A．长度相等的两个向量一定是相等向量 B．方向相同或相反的两个向量叫做共线向量 C．零向量没有方向 D．平行向量的方向一定相同 【答案】B 【详解】对于A，相等向量必须长度相等方向相同，故A错误； 对于B，由共线向量的定义得方向相同或相反的两个向量叫做共线向量，故B正确； 对于C，零向量的方向是任意的，并非没有方向，故C错误； 对于D，平行向量的方向可以相同，也可以相反，故D错误. 故选：B. 【变式训练1-1·变考法】（2026·广东广州·阶段测试）（多选）给出下列命题，则（    ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若，，则 C．若为非零向量，则与同向 D．已知，为实数，若，则与共线 【答案】AC 【详解】选项A：相等向量可以通过平移重合，因此若两个相等向量起点相同，其终点必然相同，A正确； 选项B：当时，和可以是任意向量，不一定平行，B错误； 选项C：是与同向的单位向量，C正确； 选项D：当时，恒成立，此时和可以是任意向量，不一定共线，D错误. 故选：AC 【变式训练1-2·变考法】已知平面向量，，则“或”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量的基本概念，结合充分，必要条件，即可判断选项. 【详解】若或，则，反过来，若，两个向量的方向不确定，不能推出或， 所以“或”是“”的充分不必要条件. 故选：A 题型2 向量的几何表示 例2-1 如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且． （1）画出所有满足条件的向量； （2）求的最大值与最小值． 【答案】（1）答案见解析 （2）最大值为，最小值为． 【分析】根据向量的模的定义和勾股定理来确定点C 的位置，从而画出符合要求的向量，再通过观察图形计算的最大值和最小值. 【详解】（1）画出所有满足条件的向量，即（，2，…，8），如图所示． （2）由（1）所画的图知，当点C位于点或的位置时，取得最小值； 当点C位于点或的位置时，取得最大值， 故的最大值为，最小值为． 【变式训练2-1·变情境】（2025·河南·三模）若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西方向，且，则向量表示（    ） A．从点O出发，朝北偏西方向移动 B．从点O出发，朝北偏西方向移动 C．从点O出发，朝北偏西方向移动2km D．从点O出发，朝北偏西方向移动2km 【答案】C 【分析】以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系，标出题中所给信息，再利用向量加法的平行四边形法则求出即可. 【详解】以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，依题意可得， 设，因为，所以四边形OACB为菱形， 则，则为正三角形，所以， 故向量表示从点O出发，朝北偏西方向移动2km. 故选：C 题型3 相等向量及其应用 例3-1已知向量，不共线，实数，满足，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由已知结合平面向量基本定理可求，，进而求出答案. 【详解】由，不共线，实数，满足， 得，解得，，所以. 故选：A 例3-2如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）： （1）与向量相等的向量； （2）与向量共线的向量． 【答案】（1）， （2），，，，，，． 【分析】（1）根据向量相等的概念直接求解；（2）根据共线向量的概念直接求解即可. 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，四边形是矩形， 所以，又，所以 ， 与向量相等的向量有，. （2）与共线的向量有，，，，，，． 【变式训练3-1·变考法】已知四边形满足条件，且，其形状是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】由，分析出四边形一组对边平行且相等，又由，分析出四边形对角线相等，即可得到结果. 【详解】由，可知且， 则四边形为平行四边形， 又由，可知四边形为矩形， 故选:B. 【变式训练3-2·变载体】平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），且四边形ABCD为平行四边形，那么D点的坐标为（    ） A．（3，3） B．（﹣5，1） C．（3，﹣1） D．（﹣3，3） 【答案】A 【分析】利用，求得点的坐标. 【详解】设D（x，y），∵点A，B，C的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2）， 且四边形ABCD为平行四边形，∴，∴（x，y﹣1）=（3，2），解得x=3，y=3， ∴D点的坐标为（3，3）. 故选：A. 【变式训练3-3】如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中： （1）分别写出与，相等的向量； （2）写出与的相反向量； （3）写出与模相等的向量. 【答案】（1），（2），（3），，，，，， 【详解】（1）由题意，． （2）由题意，与的相反向量为：，． （3）由题意，与模相等的向量为：，，，，，，． 【变式训练3-4·变考法】设，，，为平面内的四点，且，，. （1）若，求点的坐标； （2）设向量，若与平行，求实数的值. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设点，则,. 因为，所以，即得.所以点的坐标为. （2）由题意得，所以，. 因为，所以，解得. 题型4 平面向量线性运算 例4-1已知ABCD为平行四边形，E为BC的中点，记，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C. 例4-2在中，点在线段上，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：根据向量的运算法则，先用、表示，再用、表示，整理化简即可； 法二：取中点，根据向量的运算法则，先用、表示，再用、表示，整理化简即可. 【详解】（法一）根据题意，因为，根据平面向量的运算法则，可得. （法二）取中点，由题意可知，为中点，如图， 则. 故选：B 例4-3【新思维】（25-26高三上·四川成都·期中）如图，在梯形中，，，． （1）用，表示； （2）若与交于点，用，表示． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）结合图形，运用向量的加法、减法和数乘运算即可； （2）方法一，利用三角形相似，将其用表示出来，再由（1）即可求得； 方法二，利用向量共线，将用两种形式表示出来，列出方程组，求解即得. 【详解】（1）由图，． （2）设，则 ． 设，则，则，解得， 所以． 方法二：            （方法一）延长，交的延长线于. 易证，则，得， 易证，则， 设，则，，得， 得， 所以. 方法技巧 平面向量线性运算的解题策略 （1）向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义. （2）[爪子定理]在△ABC中，D为BC上一点，若=，则=+. 【变式训练4-1】在中，点D为的中点，点O为的重心，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，连接，因为点O为的重心，则为的三等分点，且， 所以， 故选：A. 【变式训练4-2】如图，在正六边形中，点满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义，用表示，即可得答案. 【详解】由题设及正六边形的结构特征知，，且，， 又，所以. 故选：B 【变式训练4-3·变考法】（25-26高三上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在梯形中，，，分别为，的中点，为线段的四等分点（靠近点），记，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量加法的三角形法则，将 表示为 ，结合已知条件求出 和 关于基底向量 的表达式，代入计算即可. 【详解】由题意可知，在梯形中，， 又因为，，， 所以 ，即， 则，， 又因为的中点，则， 因为线段的四等分点（靠近点 ）， 则。 因为为的中点，所以， 所以 . 故选：A 【变式训练4-4·变载体】（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）已知等边三角形内接于，为线段的中点，为线段的中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】选项A、B：等边三角形中，为中点，外心在中线上， 且满足，因此，是中点，故. 则，故A正确、B错误； 选项C、D：由上述推导过程可得，故C正确、D错误. 故选：CA 【变式训练4-5·原创题】已知，为两个不共线的向量，，，则_____________.（用，表示） 【答案】 【详解】因为，所以. 故答案为：. 题型5 根据向量的线性运算求参数 例5-1（2026·湖南邵阳·阶段测试）设为所在平面内一点，．若，则的值为（     ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【详解】，所以，即，即,即. 故选：D 例5-2（【新角度】25-26高三上·广东中山·阶段测试）（多选）如图， 在中，为的中点， ，与交于点，若 ，则下面对于的描述正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】， 因为，所以，即， 由三点共线，所以，即，故A正确； 又为的中点，所以，即， 由三点共线，所以，即，故C正确； 则由，可解得，，故B错误；，故D错误. 故选：AC 【变式训练5-1】（2026高一·全国·专题练习）在平行四边形中，分别是的中点，若，则______，______． 【答案】 【分析】如图设与相交于点，根据共线可得，又，可得，再利用向量线性运算即得. 【详解】设与相交于点，如图， 设，又， 所以，即，所以，解得， ，即， 所以，． 故答案为：； 【变式训练5-2】（25-26高三上·天津南开·阶段检测）如图，在中，，分别在线段，上，且，，，交于点，若，则_____________. 【答案】2 【分析】由已知可得向量与向量共线，设，根据向量线性运算法则可得，，由此可得，根据平面向量基本定理可得，，由此可得结论. 【详解】由已知向量与向量共线，故可设， 所以， 因为，所以， 故， 所以， 又， ，不共线， 由平面向量基本定理可得，，，所以， 故答案为： 题型6 平面向量共线定理与点共线问题 例6-1（2026·湖南长沙·三模）已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】C 【详解】假设存在实数，使得，则三点共线， ，而不共线，故，无解，所以假设不成立，故A错误； 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故B错误； C：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，解得，所以假设成立，故C正确； D：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故D错误． 故选：C． 例6-2（25-26高三上·广西梧州·期中）已知中，，，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点．    （1），表示向量，； （2）判断M，N，C三点的位置关系，并证明． 【答案】（1）， （2），，三点共线．证明见解析 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）首先表示出，即可得到，从而得证； 【详解】（1）， 因为． 所以. （2），，三点共线．证明如下; 由于， 所以，所以，因为为公共点，所以，，三点共线． 方法技巧 利用向量共线定理解题的策略 （1）a∥b⇔a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据. （2）若a与b不共线且λa=μb，则λ=μ=0. （3）已知O，A，B是不共线的三点，且=m+n(m，n∈R)，则A，P，B三点共线的充要条件是m+n=1. 【变式训练6-1】已知，为平面内一组基底，，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（     ） A．2 B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据向量的减法运算求出，再由共线向量定理求解即可. 【详解】，， 因为与共线，， 故选：A． 【变式训练6-2】（2026·浙江·二模）已知，是两个不共线的向量，且，，，则四边形的形状是（     ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．无法构成四边形 【答案】A 【分析】根据题意求出，结合与的关系分析判断即可. 【详解】，所以，且， 所以四边形是梯形. 故选：A． 【变式训练6-3】若、是两个不共线的向量，若，，，且、、三点共线，则实数的值等于_____________. 【答案】/ 【分析】求出向量，由题意可得，则存在实数，使得，利用平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得的值. 【详解】由题意可得， 因为、、三点共线，则， 则存在实数，使得，即， 因为、是两个不共线的向量，所以，，解得. 故答案为：. 【变式训练6-4·原创题】已知向量三点共线，则 . 【答案】 【详解】因为三点共线，所以，所以， 可得 故答案为： 题型7 平行向量（共线向量）求参数 例7-1（2026广东茂名·阶段测试）已知向量不共线，且，则实数（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量共线，可设，利用向量相等的条件求解即可． 【详解】因为向量不共线，且， 设，即，所以，解得． 故选：D． 例7-2向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示.若向量λa+b与c共线，则实数λ=_____________. 【答案】2 【解析】由图可知，2a+b=c，因为向量λa+b与c共线，所以根据共线向量基本定理可设c=μ(λa+b)(μ∈R)，即c=λμa+μb，则2a+b=λμa+μb，所以解得 故答案为：2 【变式训练7-1】（2025·广东广州·三模）已知向量不共线，与共线，则实数的值为（     ） A． B．2 C．6 D． 【答案】A 【分析】由向量共线得到，求解即可. 【详解】因为与共线，所以，解得：， 故选：A 【变式训练7-2】已知、不共线，向量，，且，则_____________. 【答案】 【分析】设，其中，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解之即可. 【详解】因为，所以，使得成立，即. 因为、不共线，所以，所以，. 故答案为：. 【变式训练7-3】（25-26高三上·安徽蚌埠·阶段检测）在中，边上的中线为的中点为，过点的一条直线与分别交于点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量基本定理和共线向量定理的推论求解可得. 【详解】由题意可得．因为是的中点，所以． 因为三点共线，所以．又因为，所以，所以，消去，可得． 故选：B． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1.（2026·全国I卷·高考真题） 已知平面向量，不共线，且，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【详解】由题意可知平面向量不共线，且，则. 故选：A 2.（2020·海南·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可. 【详解】 故选：C 3.（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1.化简： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）. 【答案】（1）0（2）（3）（4）0（5）0（6）（7）0 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）原式. （4）原式. （5）原式. （6）原式. （7）原式. 2.在四边形ABCD中，若，则( ). A.四边形ABCD是矩形 B.四边形ABCD是菱形 C.四边形ABCD是正方形 D.四边形ABCD是平行四边形 【答案】D 【详解】是向量加法的平行四边形法则. .故选D. 3.设a是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是( ). A.a与的方向相反 B. C.a与的方向相同 D. 【答案】C 【详解】当时，a与的方向相反，当时，a与的方向相同，故A项错误；，只有当时，才有，故B项错误；因为，所以a与同向，故C项正确；D项错误. 故选C. 4.设M是的对角线的交点，O为任意一点，则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】因为，所以. 故选D. 5.已知a，b是不共线的向量，且，，，则( ). A.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线 C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线 【答案】A 【详解】，A，B，D三点共线. 故选A. 6.已知正方形ABCD的边长为1，，，，则( ). A.0 B.3 C. D. 【答案】D 【详解】因为，所以.因为，所以. 故选D. 7.已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则( ). A. B. C. D. 【答案】B 【详解】易知，，而在平行四边形ABCD中，，所以，即，也即， 故选B. 8.如图，.求证. 【答案】见详解 【详解】因为，而，，所以. 9.已知六边形ABCDEF为正六边形，且，，分别用a，b表示，，，，，，. 【答案】，，，，，， 【详解】如图， 设.因为六边形ABCDEF为正六边形，所以， 且.又是等腰三角形，所以， 从而可有，则， 则， 所以，，同理有，. 所以， ，. ，， ， ，. 10.在中，，，且与边AC相交于点E，的中线 AM与DE相交于点N.设，，用a，b分别表示向量，，，，，，. 【答案】；；；；；； 【详解】如图， ，，，，，， . 11.已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式. （1）作出满足条件的四边形ABCD. （2）四边形ABCD有什么特点？请证明你的猜想. 【答案】（1）平行四边形 （2）四边形ABCD为平行四边形，证明见解析 【详解】（1）作图略，通过作图可以发现四边形ABCD为平行四边形. （2）四边形ABCD为平行四边形. 证明：因为，所以，因为，， 所以，即，因此四边形ABCD为平行四边形. 12.（1）如图（1），在中，计算； （2）如图（2），在四边形ABCD中，计算； （3）如图（3），在n边形中，证明你的结论. 【答案】（1）0；（2）0；（3）0，证明见详解 【解析】（1）. （2）. （3）. 证明如下： … . 24 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 平面向量的概念及线性运算 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 向量的有关概念 知识点2 向量的线性运算 知识点3 向量共线定理 题型破译 (含超链接） 题型1 元素与集合的关系 题型1 平面向量的概念与表示 题型2 向量的几何表示 题型3 相等向量及其应用 题型4 平面向量线性运算 【方法技巧】平面向量线性运算的解题策略 题型5 根据向量的线性运算求参数 题型6 平面向量共线定理与点共线问题 【方法技巧】利用向量共线定理解题的策略 题型7 平行向量（共线向量）求参数 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 平面向量的相关概念 全国Ⅰ卷T5（5分） 平面向量的线性运算 全国一卷T6（5分） 全国Ⅰ卷T3（5分） 考情分析 平面向量概念与线性运算包含向量定义、相等共线判定及加减数乘运算，常结合几何图形转化求解；小题常考基础考点，出题频次平稳； 近三年考情显示，本节侧重向量线性拆分、共线条件应用，依托图形考查逻辑转化能力。 复习目标 1了解向量的实际背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的几何表示 2掌握向量的加、减运算并理解其几何意义 3掌握向量的数乘运算并理解其几何意义以及两个向量共线的含义 4理解向量的线性运算性质及其几何意义 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 向量的有关概念 （1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 ． （2）零向量：长度为0的向量，其方向是 的． （3）单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量 ． (5)相等向量：长度相等且 的向量． (6)相反向量：长度相等且 的向量． 自主检测下列说法中，正确的是（    ） A．模为的向量与任意向量共线 B．单位向量只有一个 C．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 D．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 知识点2 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 自主检测下列结果不是零向量的是（    ） A． B． C． D． 知识点3 向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得 . 【注意】当a≠0时，定理中的实数λ才唯一． 必记结论 （1）P为线段AB的中点，O为平面内任意一点⇔＝(＋). （2）若＝v＋μ(μ，v为常数)，O不在直线AB上，则P，A，B三点共线的充要条件是μ＋v＝1. （3）若G为△ABC的重心，则有 ①＋＋＝0；②＝(＋). （4）对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|(向量三角不等式) 自主检测已知向量，，，，，则一定共线的三点是（   ） A．A，B，D B．A，B，C C．A，C，D D．B，C，D 题●型●破●译 题型1 平面向量的概念与表示 例1-1（多选）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．零向量的长度是0 B．向量是有向线段 C．若，则 D．若是共线的单位向量，则 例1-2（25-26高三上·广东河源·阶段检测）下列关于平面向量的说法中，正确的是（    ） A．长度相等的两个向量一定是相等向量 B．方向相同或相反的两个向量叫做共线向量 C．零向量没有方向 D．平行向量的方向一定相同 【变式训练1-1·变考法】（2026·广东广州·阶段测试）（多选）给出下列命题，则（    ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若，，则 C．若为非零向量，则与同向 D．已知，为实数，若，则与共线 【变式训练1-2·变考法】已知平面向量，，则“或”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型2 向量的几何表示 例2-1 如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且． （1）画出所有满足条件的向量； （2）求的最大值与最小值． 【变式训练2-1·变情境】（2025·河南·三模）若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西方向，且，则向量表示（    ） A．从点O出发，朝北偏西方向移动 B．从点O出发，朝北偏西方向移动 C．从点O出发，朝北偏西方向移动2km D．从点O出发，朝北偏西方向移动2km 题型3 相等向量及其应用 例3-1已知向量，不共线，实数，满足，则（    ） A．4 B． C．2 D． 例3-2如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）： （1）与向量相等的向量； （2）与向量共线的向量． 【变式训练3-1·变考法】已知四边形满足条件，且，其形状是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【变式训练3-2·变载体】平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），且四边形ABCD为平行四边形，那么D点的坐标为（    ） A．（3，3） B．（﹣5，1） C．（3，﹣1） D．（﹣3，3） 【变式训练3-3】如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中： （1）分别写出与，相等的向量； （2）写出与的相反向量； （3）写出与模相等的向量. 【变式训练3-4·变考法】设，，，为平面内的四点，且，，. （1）若，求点的坐标； （2）设向量，若与平行，求实数的值. 题型4 平面向量线性运算 例4-1已知ABCD为平行四边形，E为BC的中点，记，则（     ） A． B． C． D． 例4-2在中，点在线段上，且，则（     ） A． B． C． D． 例4-3【新思维】（25-26高三上·四川成都·期中）如图，在梯形中，，，． （1）用，表示； （2）若与交于点，用，表示． 方法技巧 平面向量线性运算的解题策略 （1）向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义. （2）[爪子定理]在△ABC中，D为BC上一点，若=，则=+. 【变式训练4-1】在中，点D为的中点，点O为的重心，则（     ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】如图，在正六边形中，点满足，则（     ） A． B． C． D． 【变式训练4-3·变考法】（25-26高三上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在梯形中，，，分别为，的中点，为线段的四等分点（靠近点），记，，则（     ） A． B． C． D． 【变式训练4-4·变载体】（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）已知等边三角形内接于，为线段的中点，为线段的中点，则（     ） A． B． C． D． 【变式训练4-5·原创题】已知，为两个不共线的向量，，，则_____.（用，表示） 题型5 根据向量的线性运算求参数 例5-1（2026·湖南邵阳·阶段测试）设为所在平面内一点，．若，则的值为（     ） A．4 B．5 C． D． 例5-2（【新角度】25-26高三上·广东中山·阶段测试）（多选）如图， 在中，为的中点， ，与交于点，若 ，则下面对于的描述正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练5-1】（2026高一·全国·专题练习）在平行四边形中，分别是的中点，若，则______，______． 【变式训练5-2】（25-26高三上·天津南开·阶段检测）如图，在中，，分别在线段，上，且，，，交于点，若，则_____________. 题型6 平面向量共线定理与点共线问题 例6-1（2026·湖南长沙·三模）已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 例6-2（25-26高三上·广西梧州·期中）已知中，，，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点． （1），表示向量，； （2）判断M，N，C三点的位置关系，并证明． 方法技巧 利用向量共线定理解题的策略 （1）a∥b⇔a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据. （2）若a与b不共线且λa=μb，则λ=μ=0. （3）已知O，A，B是不共线的三点，且=m+n(m，n∈R)，则A，P，B三点共线的充要条件是m+n=1. 【变式训练6-1】已知，为平面内一组基底，，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（     ） A．2 B． C．0 D．1 【变式训练6-2】（2026·浙江·二模）已知，是两个不共线的向量，且，，，则四边形的形状是（     ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．无法构成四边形 【变式训练6-3】若、是两个不共线的向量，若，，，且、、三点共线，则实数的值等于_____________. 【变式训练6-4·原创题】已知向量三点共线，则 . 题型7 平行向量（共线向量）求参数 例7-1（2026广东茂名·阶段测试）已知向量不共线，且，则实数（   ） A．3 B． C． D． 例7-2向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示.若向量λa+b与c共线，则实数λ=_____________. 【变式训练7-1】（2025·广东广州·三模）已知向量不共线，与共线，则实数的值为（     ） A． B．2 C．6 D． 【变式训练7-2】已知、不共线，向量，，且，则_____________. 【变式训练7-3】（25-26高三上·安徽蚌埠·阶段检测）在中，边上的中线为的中点为，过点的一条直线与分别交于点．若，则（     ） A． B． C． D． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1.（2026·全国I卷·高考真题） 已知平面向量，不共线，且，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2.（2020·海南·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（    ） A． B． C． D． 3.（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（     ） A． B． C． D． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1.化简： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）. 2.在四边形ABCD中，若，则( ). A.四边形ABCD是矩形 B.四边形ABCD是菱形 C.四边形ABCD是正方形 D.四边形ABCD是平行四边形 3.设a是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是( ). A.a与的方向相反 B. C.a与的方向相同 D. 4.设M是的对角线的交点，O为任意一点，则( ) A. B. C. D. 5.已知a，b是不共线的向量，且，，，则( ). A.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线 C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线 6.已知正方形ABCD的边长为1，，，，则( ). A.0 B.3 C. D. 7.已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则( ). A. B. C. D. 8.如图，.求证. 9.已知六边形ABCDEF为正六边形，且，，分别用a，b表示，，，，，，. 10.在中，，，且与边AC相交于点E，的中线 AM与DE相交于点N.设，，用a，b分别表示向量，，，，，，. 11.已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式. （1）作出满足条件的四边形ABCD. （2）四边形ABCD有什么特点？请证明你的猜想. 12.（1）如图（1），在中，计算； （2）如图（2），在四边形ABCD中，计算； （3）如图（3），在n边形中，证明你的结论. 3 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $