2.1.1 倾斜角与斜率（讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线的倾斜角与斜率”核心知识点，从倾斜角的定义及取值范围切入，衔接斜率概念、与倾斜角的关系，再到两点坐标斜率公式，通过求倾斜角、斜率、参数等题型构建完整知识支架，形成从概念到应用的学习脉络。 资料以结构化梳理与分层设计为特色，即学即练与变式巩固结合培养数学思维中的推理能力，实际案例（如射击瞄准）提升数学语言的应用意识，课中辅助教师突出重难点，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第二章 直线和圆的方程 2.1.1 直线的倾斜角与斜率 课标要点 1.掌握直线倾斜角定义与取值范围，能根据直线图像快速判断倾斜角大小，理解倾斜角的唯一性。 2.理解斜率概念k=tan，分清倾斜角为90°时无斜率，熟记斜率随倾斜角变化的增减规律。 3.熟练运用两点坐标斜率公式计算斜率，区分横坐标、纵坐标相等带来的两种特殊直线情况。 4.能结合倾斜角、斜率完成基础计算，利用斜率判断直线倾斜趋势，解决简单求值问题。 学习重难点 重点： 1.倾斜角的定义、取值范围，四种直线形态对应的倾斜角分类。 2.斜率定义k=tan，清晰掌握倾斜角不同区间内斜率正负与单调变化规律。 3.两点式斜率公式，掌握两种特殊直线斜率的判定方法。 难点： 1.根据斜率反向求解倾斜角，区分正负斜率对应锐角、钝角，严格控制角度取值区间。 2.区分跨90°区间倾斜角与斜率大小关系，避免直接用倾斜角判断斜率数值大小。 3.含参数两点求斜率，准确讨论分母为0的特殊情形，排除斜率不存在的增根。 知识点一 直线的倾斜角 1、倾斜角的定义 当直线与轴相交时,我们以轴为基准, 轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角． 2、倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角的取值范围为．直线的图象与倾斜角的关系如下表. 倾斜角 直线 平行/重合于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 图示 3、直线倾斜角的含义 （1）几何作用：直线的倾斜角能够直观反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度。 （2）存在唯一性：平面直角坐标系内，任意一条直线都对应唯一确定的倾斜角。 （3）辨析要点：若两条直线倾斜角相等，无法判定两条直线重合，二者可能为平行线。 即学即练 1．若直线的方程为，则直线的倾斜角是（　　） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】∵直线的方程为， ∴直线与轴垂直. 因此直线的倾斜角是. 2．（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．任意一条直线都有唯一的倾斜角 B．一条直线的倾斜角可以为 C．倾斜角为的直线有无数条 D．若直线的倾斜角为，则 【答案】AC 【详解】对选项A：任意一条直线都有唯一的倾斜角，正确； 对选项B：倾斜角的范围是，不可能为负，错误； 对选项C：倾斜角为的直线有无数条，它们都垂直于y轴，正确； 对选项D：当时，；当时，，错误. 故选：AC 知识点二 直线的斜率 1、斜率的概念 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母表示,即.倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率． 2、斜率与倾斜角的关系 设直线的倾斜角为,斜率为 的大小 0° 0°<<90° 90° 90°<<180° k的范围 k=0 不存在 k的增减性 随的增大而增大 随的增大而增大 即学即练 3．下列命题： ①任何一条直线都有唯一的倾斜角： ②任何一条直线都有唯一的斜率： ③倾斜角为90°的直线不存在： ④倾斜角为0°的直线只有一条． 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】B 【详解】命题①，任何直线都有唯一的倾斜角（范围），故①正确； 命题②，当直线倾斜角为时，斜率不存在，故②错误； 命题③，倾斜角为的直线（垂直于轴的直线）存在，故③错误； 命题④，倾斜角为的直线有无数条（与轴平行或重合的直线），故④错误. 综上，正确的命题有1个. 故选：B 4．图中的直线，，的斜率分别为，，，则有（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图象可得，倾斜角， 故， 又在上单调递增， 故. 故选：A. 知识点三 直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点那么由,可得如下的斜率公式： 特别提醒 1．若，分式无意义，直线斜率不存在，倾斜角，直线垂直于轴。 2．计算斜率与两点选取顺序无关，和可同步互换，但分子、分母不可交换位置。 3．求解斜率，无需借助倾斜角，直接代入直线上两个点的坐标就能计算。 4．若，斜率，倾斜角，直线平行于轴或与轴重合。 5．已知直线上两点坐标，可先算出斜率，再根据斜率求解对应直线的倾斜角。 即学即练 5．若过点的直线的斜率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点，可得直线的斜率为， 因为直线的斜率为，所以，解得. 6．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线经过，两点，直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，得， 即直线的倾斜角为. 题型01 求直线的倾斜角 解题贴士 先区分已知条件分类计算，若已知直线图像、直线平行/垂直坐标轴，直接结合定义写倾斜角；若已知斜率，利用反求角度，严格限定范围。 分正负斜率讨论，时倾斜角为锐角，直接取反正切值；时倾斜角为钝角，需用减去锐角反正切结果；对应，斜率不存在对应。 典｜例｜精｜析 【例1】在平面直角坐标系中，轴的倾斜角为（    ） A．0 B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】因为轴是水平的直线，所以其倾斜角为0， 故选：A． 【例2】下列直线中，倾斜角最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，直线的斜率，则倾斜角； 对于B，直线的倾斜角； 对于C，直线的斜率，则倾斜角； 对于D，直线的倾斜角， 所以直线的倾斜角最大. 故选：C. 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】倾斜角为钝角的直线l一定经过（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第二、三象限 【答案】B 【详解】因为直线的倾斜角为钝角，所以斜率为负， 由一次函数性质得直线l一定经过第二、四象限. 故选：B. 【变式1-2】下列直线中，倾斜角最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，由，可知斜率，则倾斜角为钝角； 对于B，由，可知斜率，则倾斜角为锐角； 对于C，由，可知倾斜角； 对于D，由，可知倾斜角．所以倾斜角最大的直线为． 故选：A． 【变式1-3】已知直线绕原点顺时针旋转得到直线，则的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线 ，设直线斜率为，倾斜角为， ，， 直线绕原点顺时针旋转得到直线， 又倾斜角的取值范围为， 直线的倾斜角为，故D正确． 故选：D． 题型02 根据定义求直线的斜率 解题贴士 牢记斜率定义式，只有倾斜角时才能使用该公式，垂直x轴的直线无斜率，不能代入正切计算。 代入对应角度三角函数值计算，特殊角（等）直接套用固定数值，非特殊角保留形式即可。 典｜例｜精｜析 【例3】（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．分别在轴、轴上截距相等的直线的斜率为. 【答案】BCD 【详解】任何一条直线都存在倾斜角，A正确； 钝角大于锐角，但是钝角对应的斜率小于锐角对应的斜率，B错误； 若一条直线的倾斜角，则斜率不存在，C错误； 分别在轴、轴上截距相等的直线可以过原点，斜率可以不是，D错误； 故选:BCD. 【例4】（多选）已知为等边三角形，直线，的斜率分别为，，则（   ） A．直线的斜率为 B．边上的高所在直线的斜率为 C．边上的高所在直线的倾斜角为 D．边上的高所在直线的倾斜角为 【答案】ABC 【详解】依题意，不妨将三角形的顶点放到坐标原点，则在轴上（如下图所示）， 则，所以直线的斜率为，故A正确； 因为边上的高也为的平分线，所以边上的高所在直线的斜率为，故B正确； 边上的高所在直线的倾斜角为，故C正确； 边上的高所在直线的倾斜角为，故D错误. 故选：ABC 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以直线的斜率为. 故选：C 【变式2-2】已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设的倾斜角为，则，且， 如图，由正切函数的性质知. 故选：C. 【变式2-3】若正方形的一条对角线所在直线斜率为，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，______． 【答案】 / / 【详解】如图， 在正方形中，对角线所在直线的斜率为， 设对角线所在直线的倾斜角为，则， 由正方形性质可知，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 故， ， 故答案为：， 题型03 斜率与倾斜角的变化关系 解题贴士 分两段区间单独分析单调性，区间，倾斜角增大，斜率同步增大且恒为正数；区间，倾斜角增大，斜率同步增大且恒为负数。 典｜例｜精｜析 【例5】设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，，则. 故选：A 【例6】（多选）已知直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由题可得三条直线在坐标系中的大概位置如下： 因为， 所以， 所以A不正确；B正确；C正确；D不正确； 故选：BC 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知直线的斜率满足，则的倾斜角取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，；当时，；当时，. 综上所述，的倾斜角取值范围是. 故选：C. 【变式3-2】已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以. 故选：D. 【变式3-3】若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线､､的倾斜角分别为， 则， 由图可知：，， 所以. 故选：D 题型04 已知两点求斜率 解题贴士 直接套用两点斜率公式，两点坐标顺序可同步互换，分子分母同时颠倒数值，斜率结果不变。 典｜例｜精｜析 【例7】已知点，，则直线AB的倾斜角（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为点，，所以直线的斜率为， 所以直线的倾斜角. 故选：A. 【例8】已知三点，，在同一条直线上，则（    ） A．12 B．24 C．6 D．10 【答案】C 【详解】因为、、三点共线，所以， 即， 解得. 故选：C． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】在平面直角坐标系中，过，两点的直线的斜率为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】. 【变式4-2】如图所示的直线的斜率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图可得直线上两个点的坐标， 所以直线的斜率， 故选：D 【变式4-3】已知是两两不等的实数，点，点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线PQ的斜率， 设直线的倾斜角为，则，且， 所以. 故选：B 题型05 已知斜率求参数 解题贴士 根据题干条件列出等式，已知两点含参数，代入斜率公式构建分式方程；已知倾斜角含参数，利用建立等量关系。 典｜例｜精｜析 【例9】已知斜率为的直线经过点，，则（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】B 【详解】由题设，可得. 故选：B 【例10】过，的直线的斜率大于，则满足条件的一个a值可以为______. 【答案】（满足的一个值即可） 【详解】因为过，的直线的斜率大于，所以， 则，解得． 故答案为：（满足的一个值即可） 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】若经过，两点的直线的斜率是2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，整理得，解得. 【变式5-2】设坐标平面内三点，，，直线的斜率等于直线的斜率的三倍，则实数的值为______. 【答案】或 【详解】由，得，即. 所以，得，即. 或，经验证均符合题意，故的值是或. 故答案为：或. 【变式5-3】已知，若直线与直线的斜率分别为和，则点的坐标为________． 【答案】 【详解】设，显然，则， 解得，所以. 故答案为： 题型06 斜率公式的应用 典｜例｜精｜析 【例11】已知，，，不能构成三角形，则______． 【答案】/ 【详解】三点不能构成三角形的情况，即三点共线， 因为斜率存在，所以，即，即, 因为，所以，即. 故答案为： 【例12】已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得的几何意义是过点和原点的直线的斜率， 画出函数的图象，如图， 直线的斜率分别为，，，而， 所以，，的大小关系是. 故选：A 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意三点共线，设，因为，， 所以，解得，所以. 故选：B 【变式6-2】（多选）点在函数的图象上，当，则可能等于（    ） A．-1 B． C． D．0 【答案】BC 【详解】由表示与点所成直线的斜率， 又是在部分图象上的动点，图象如下： 如上图，，则，只有B、C满足. 故选：BC 【变式6-3】将直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则的斜率是（　　） A． B．4 C．1 D． 【答案】A 【详解】设直线l上任意一点，将直线l沿x轴正方向平移2个单位，则P点移动后为，再沿y轴负方向平移3个单位，则点移动后为． ∵都在直线l上，∴直线l的斜率． 故选：A． 题型07 由直线与线段的相交关系求斜率范围 解题贴士 先画出平面直角坐标系，标出线段两个端点，连接定点与线段两端点，求出两条边界直线的倾斜角与对应斜率。 结合图像观察直线旋转区间，分两类情况：线段跨越x轴上方、下方，区分斜率正负两段取值；若存在垂直x轴的边界，单独划分无斜率分界。 整合取值范围，用不等式或区间写出斜率解集，注意区分开区间、闭区间，直线刚好过端点时可取边界斜率，严格对应图像相交范围。 典｜例｜精｜析 【例13】已知点，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线过定点，且直线与线段相交， 由图象知，或，则斜率的取值范围是． 故选：A 【例14】已知的顶点坐标分别为、、，过原点斜率为的直线与的边有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如下图所示： 将过原点直线记为直线，将直线绕着原点按逆时针方向旋转， 当的倾斜角为锐角时，且当直线从靠近轴的位置旋转至直线时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，其斜率也在逐渐增大，则； 当的倾斜角为钝角时，且当直线从直线的位置旋转至靠近轴的位置时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，其斜率也在逐渐增大，则， 当直线与轴重合时，. 综上所述，的取值范围是. 故选：D. 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】（多选）直线l过点，且与线段AB有公共点，其中，则直线l的斜率可能是（  ） A．2 B． C．1 D． 【答案】ACD 【详解】如图    当直线l过点B时，设直线的斜率为，则； 当直线l过点A时，设直线的斜率为，则. 故要使直线l过点，且与以为端点的线段有公共点， 则直线l的斜率的取值范围为，结合选项可知，直线l的斜率可能是2，1，. 故选：ACD 【变式7-2】已知点和点，若直线PM和PN的斜率分别为2和，求点P的坐标；若过点的直线l与线段MN总有交点，求直线l的斜率的取值范围. 【答案】点P的坐标为，直线l的斜率的取值范围为 【详解】由题意，设点， 因为直线PM和PN的斜率分别为2和，，， 可得，解得，所以点的坐标为. 由斜率公式，可得， 因为过的直线与线段总有交点， 则直线的斜率需满足或， 即直线的斜率的取值范围.    【变式7-3】设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，. 令，且. 则可以看作是线段上（含端点）的点与点连线的斜率. 如图，记，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则直线的倾斜角的范围是. 所以，或. 所以的取值范围是. 故选：A. 基础通关 一、单选题 1．已知直线经过点和点，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设的倾斜角为， 则由题可得直线斜率为. 故选：C 2．过点的直线的倾斜角为，则等于（   ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】D 【详解】因为斜率，所以， 故选：D. 3．下列直线中，倾斜角最大的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由可得直线斜率为，直线的倾斜角为； 对于B，由可得直线斜率为，直线的倾斜角为； 对于C，由可得直线斜率为，直线的倾斜角为； 对于D，由可得直线斜率为，直线的倾斜角为. 因，故倾斜角最大的直线为. 故选：D. 4．如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线倾斜角为，当时，其斜率，函数的图象如图， 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角，则， 所以． 故选：C 5．已知直线过第一象限的点和，直线的倾斜角为135°，则的最大值为（   ） A．9 B．4 C．3 D． 【答案】A 【详解】因为直线过点和，且倾斜角为135°， 所以，得， 因为点在第一象限，所以， 所以，得，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A 6．已知直线的倾斜角为，则“”是“直线的斜率为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】直线的倾斜角为，可得，由，可得或， 则直线的斜率为或，所以充分性不成立； 反之：若直线的斜率为，可得，所以，所以必要性成立， 所以直线的倾斜角为，则“”是“直线的斜率为”的必要不充分条件. 故选：B. 二、多选题 7．下列叙述中正确的有（    ） A．若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为 B．若直线斜率，则它的倾斜角为 C．已知点，，则直线的倾斜角为 D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，斜率不存在，故A错误； 对于B，当直线斜率时，它的倾斜角为，故B正确； 对于C，由，，则直线轴，倾斜角为，故C正确； 对于D，因为直线的倾斜角为，则直线的斜率为1， 由于，因此这条直线必过点，故D正确. 故选：BCD 8．若直线，，的斜率分别为，，，且，则，，的部分图象可能为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】AB 【详解】设直线，，的倾斜角分别为， 对于：，所以，故正确； 对于：，所以，故正确； 对于：，所以，故错误； 对于：，所以，故错误. 故选：. 三、填空题 9．经过两点的直线的倾斜角为___________． 【答案】/ 【详解】∵，∴， 设过的直线的倾斜角为，则，∴． 10．已知a，b，c是两两不等的实数，则过，两点的直线的倾斜角大小为__________. 【答案】/ 【详解】设直线的倾斜角为，其中， 因为，，可得直线的斜率为， 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题 11．已知直线过点 (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)求直线的斜率. 【答案】(1)； (2)且. 【分析】 【详解】（1）由题设，可得，即； （2）由题设，当时，直线不存在斜率， 所以，则. 12．已知．若点在轴上，且，求直线的倾斜角． 【答案】． 【详解】设．．． 又， ，即． 又，垂直于轴． 直线的倾斜角为． 13．已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向之间所成的角为，如图所示，求直线的倾斜角. 【答案】 【详解】设直线的倾斜角为，结合图形及三角形外角与内角的关系， 得， 所以直线的倾斜角为. 素养提升 1．如果直线与的斜率分别是一元二次方程的两个根，那么两直线的夹角为______. 【答案】/60° 【详解】设直线与的斜率分别为， ，与夹角为. ∵直线的斜率分别为二次方程的两个根 且 ∴， ∴ ∵ ∴， 故答案为：. 2．如果直线l先沿x轴正方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】直线l先沿x轴正方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置， 设点为直线上任意一点，则平移后得到，而直线平移后位置没变，故的斜率， 直线的斜率． 故选：C． 3．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“"是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】由题意两直线均有斜率，所以， 当时，取，则， 但，即充分性不成立； 当时，取，则， 但，即必要性不成立； 综上，“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4．设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 【答案】 【详解】因为，，，， 所以或， 所以斜率的取值范围是； 当时，. 5．若，则经过两点，的直线的倾斜角为______． 【答案】 【详解】因为， 所以 又因为， 且， 所以直线的倾斜角为. 故答案为：. 6．在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是_____. 【答案】 【详解】表示线段上的点与连线的斜率， 因为， 所以由图可知的取值范围是． 故答案为：. 7．已知两点，直线过点且交线段于三等分点（靠近），若直线的斜率的绝对值不大于2，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】依题意，上靠近的三等分点的坐标为，    直线的斜率存在，所以直线的斜率为， 由题可得，解得，即． 故答案为： 迁移创新 1．已知.在直线l上，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因在直线l上， 则直线的斜率. 当时，，当且仅当时，等号成立，则，即； 当时，，当且仅当时，等号成立，则，即. 综上，直线的斜率的取值范围是. 故选：C 2．已知点，点，则直线的倾斜角为_______． 【答案】 【详解】设直线的倾斜角为， 则 ， 所以直线的倾斜角为； 故答案为：. 3．在平面直角坐标系中，正方形的其中一条对角线的斜率为2，则直线的斜率为（   ） A．1 B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 由题意得直线斜率为2，有，则， 依题意有或， 当时，， 即，解得，即直线的斜率为； 当时，， 即，解得，即直线的斜率为； 综上所述，直线的斜率为或. 故选：B． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程 2.1.1 直线的倾斜角与斜率 课标要点 1.掌握直线倾斜角定义与取值范围，能根据直线图像快速判断倾斜角大小，理解倾斜角的唯一性。 2.理解斜率概念k=tan，分清倾斜角为90°时无斜率，熟记斜率随倾斜角变化的增减规律。 3.熟练运用两点坐标斜率公式计算斜率，区分横坐标、纵坐标相等带来的两种特殊直线情况。 4.能结合倾斜角、斜率完成基础计算，利用斜率判断直线倾斜趋势，解决简单求值问题。 学习重难点 重点： 1.倾斜角的定义、取值范围，四种直线形态对应的倾斜角分类。 2.斜率定义k=tan，清晰掌握倾斜角不同区间内斜率正负与单调变化规律。 3.两点式斜率公式，掌握两种特殊直线斜率的判定方法。 难点： 1.根据斜率反向求解倾斜角，区分正负斜率对应锐角、钝角，严格控制角度取值区间。 2.区分跨90°区间倾斜角与斜率大小关系，避免直接用倾斜角判断斜率数值大小。 3.含参数两点求斜率，准确讨论分母为0的特殊情形，排除斜率不存在的增根。 知识点一 直线的倾斜角 1、倾斜角的定义 当直线与轴相交时,我们以轴为基准, 轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角． 2、倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角的取值范围为．直线的图象与倾斜角的关系如下表. 倾斜角 直线 平行/重合于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 图示 3、直线倾斜角的含义 （1）几何作用：直线的倾斜角能够直观反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度。 （2）存在唯一性：平面直角坐标系内，任意一条直线都对应唯一确定的倾斜角。 （3）辨析要点：若两条直线倾斜角相等，无法判定两条直线重合，二者可能为平行线。 即学即练 1．若直线的方程为，则直线的倾斜角是（　　） A． B． C． D．0 2．（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．任意一条直线都有唯一的倾斜角 B．一条直线的倾斜角可以为 C．倾斜角为的直线有无数条 D．若直线的倾斜角为，则 知识点二 直线的斜率 1、斜率的概念 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母表示,即.倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率． 2、斜率与倾斜角的关系 设直线的倾斜角为,斜率为 的大小 0° 0°<<90° 90° 90°<<180° k的范围 k=0 不存在 k的增减性 随的增大而增大 随的增大而增大 即学即练 3．下列命题： ①任何一条直线都有唯一的倾斜角： ②任何一条直线都有唯一的斜率： ③倾斜角为90°的直线不存在： ④倾斜角为0°的直线只有一条． 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 4．图中的直线，，的斜率分别为，，，则有（   ）    A． B． C． D． 知识点三 直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点那么由,可得如下的斜率公式： 特别提醒 1．若，分式无意义，直线斜率不存在，倾斜角，直线垂直于轴。 2．计算斜率与两点选取顺序无关，和可同步互换，但分子、分母不可交换位置。 3．求解斜率，无需借助倾斜角，直接代入直线上两个点的坐标就能计算。 4．若，斜率，倾斜角，直线平行于轴或与轴重合。 5．已知直线上两点坐标，可先算出斜率，再根据斜率求解对应直线的倾斜角。 即学即练 5．若过点的直线的斜率为，则（   ） A． B． C． D． 6．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 题型01 求直线的倾斜角 解题贴士 先区分已知条件分类计算，若已知直线图像、直线平行/垂直坐标轴，直接结合定义写倾斜角；若已知斜率，利用反求角度，严格限定范围。 分正负斜率讨论，时倾斜角为锐角，直接取反正切值；时倾斜角为钝角，需用减去锐角反正切结果；对应，斜率不存在对应。 典｜例｜精｜析 【例1】在平面直角坐标系中，轴的倾斜角为（    ） A．0 B． C． D．不存在 【例2】下列直线中，倾斜角最大的是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】倾斜角为钝角的直线l一定经过（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第二、三象限 【变式1-2】下列直线中，倾斜角最大的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知直线绕原点顺时针旋转得到直线，则的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 题型02 根据定义求直线的斜率 解题贴士 牢记斜率定义式，只有倾斜角时才能使用该公式，垂直x轴的直线无斜率，不能代入正切计算。 代入对应角度三角函数值计算，特殊角（等）直接套用固定数值，非特殊角保留形式即可。 典｜例｜精｜析 【例3】（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．分别在轴、轴上截距相等的直线的斜率为. 【例4】（多选）已知为等边三角形，直线，的斜率分别为，，则（   ） A．直线的斜率为 B．边上的高所在直线的斜率为 C．边上的高所在直线的倾斜角为 D．边上的高所在直线的倾斜角为 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】若正方形的一条对角线所在直线斜率为，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，______． 题型03 斜率与倾斜角的变化关系 解题贴士 分两段区间单独分析单调性，区间，倾斜角增大，斜率同步增大且恒为正数；区间，倾斜角增大，斜率同步增大且恒为负数。 典｜例｜精｜析 【例5】设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例6】（多选）已知直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知直线的斜率满足，则的倾斜角取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ）    A． B． C． D． 题型04 已知两点求斜率 解题贴士 直接套用两点斜率公式，两点坐标顺序可同步互换，分子分母同时颠倒数值，斜率结果不变。 典｜例｜精｜析 【例7】已知点，，则直线AB的倾斜角（   ） A． B． C． D． 【例8】已知三点，，在同一条直线上，则（    ） A．12 B．24 C．6 D．10 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】在平面直角坐标系中，过，两点的直线的斜率为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式4-2】如图所示的直线的斜率等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知是两两不等的实数，点，点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 题型05 已知斜率求参数 解题贴士 根据题干条件列出等式，已知两点含参数，代入斜率公式构建分式方程；已知倾斜角含参数，利用建立等量关系。 典｜例｜精｜析 【例9】已知斜率为的直线经过点，，则（   ） A． B． C．1 D．0 【例10】过，的直线的斜率大于，则满足条件的一个a值可以为______. 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】若经过，两点的直线的斜率是2，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】设坐标平面内三点，，，直线的斜率等于直线的斜率的三倍，则实数的值为______. 【变式5-3】已知，若直线与直线的斜率分别为和，则点的坐标为________． 题型06 斜率公式的应用 典｜例｜精｜析 【例11】已知，，，不能构成三角形，则______． 【例12】已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（多选）点在函数的图象上，当，则可能等于（    ） A．-1 B． C． D．0 【变式6-3】将直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则的斜率是（　　） A． B．4 C．1 D． 题型07 由直线与线段的相交关系求斜率范围 解题贴士 先画出平面直角坐标系，标出线段两个端点，连接定点与线段两端点，求出两条边界直线的倾斜角与对应斜率。 结合图像观察直线旋转区间，分两类情况：线段跨越x轴上方、下方，区分斜率正负两段取值；若存在垂直x轴的边界，单独划分无斜率分界。 整合取值范围，用不等式或区间写出斜率解集，注意区分开区间、闭区间，直线刚好过端点时可取边界斜率，严格对应图像相交范围。 典｜例｜精｜析 【例13】已知点，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例14】已知的顶点坐标分别为、、，过原点斜率为的直线与的边有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】（多选）直线l过点，且与线段AB有公共点，其中，则直线l的斜率可能是（  ） A．2 B． C．1 D． 【变式7-2】已知点和点，若直线PM和PN的斜率分别为2和，求点P的坐标；若过点的直线l与线段MN总有交点，求直线l的斜率的取值范围. 【变式7-3】设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 基础通关 一、单选题 1．已知直线经过点和点，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．过点的直线的倾斜角为，则等于（   ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 3．下列直线中，倾斜角最大的是（ ） A． B． C． D． 4．如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 5．已知直线过第一象限的点和，直线的倾斜角为135°，则的最大值为（   ） A．9 B．4 C．3 D． 6．已知直线的倾斜角为，则“”是“直线的斜率为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 7．下列叙述中正确的有（    ） A．若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为 B．若直线斜率，则它的倾斜角为 C．已知点，，则直线的倾斜角为 D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 8．若直线，，的斜率分别为，，，且，则，，的部分图象可能为（   ） A．   B．   C．   D．   三、填空题 9．经过两点的直线的倾斜角为___________． 10．已知a，b，c是两两不等的实数，则过，两点的直线的倾斜角大小为__________. 四、解答题 11．已知直线过点 (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)求直线的斜率. 12．已知．若点在轴上，且，求直线的倾斜角． 13．已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向之间所成的角为，如图所示，求直线的倾斜角. 素养提升 1．如果直线与的斜率分别是一元二次方程的两个根，那么两直线的夹角为______. 2．如果直线l先沿x轴正方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是（    ） A． B． C．1 D．2 3．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“"是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 5．若，则经过两点，的直线的倾斜角为______． 6．在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是_____. 7．已知两点，直线过点且交线段于三等分点（靠近），若直线的斜率的绝对值不大于2，则实数的取值范围是______． 迁移创新 1．已知.在直线l上，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知点，点，则直线的倾斜角为_______． 3．在平面直角坐标系中，正方形的其中一条对角线的斜率为2，则直线的斜率为（   ） A．1 B．或 C． D．或 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $